人教版2020年八年级数学上册《角平分线性质》培优练习卷(含答案)

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八年级数学上册《第十二章角平分线的性质》同步练习题及答案(人教版)

八年级数学上册《第十二章角平分线的性质》同步练习题及答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．点P在∠A0B的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是0B边上的任意一点，则下列不符合题意的是( )A．PQ≤5 B．PQ<5 C．PQ≥5 D．PQ>52．下列条件不能证明两个直角三角形全等的是（）A．斜边和一直角边对应相等B．一直角边和一角对应相等C．两条直角边对应相等D．斜边和一锐角对应相等3．如图，在三角形ABC中∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=2CD，BC=6cm则点D到AB的距离为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm4．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）5．如图，O是Rt△ABC的角平分线的交点，OD∥AC，AC=5，BC=12，OD等于（）A．2 B．3 C．4 D．16．如图，△ABC的面积为8，AD为BC边上的中线，E为AD上任意一点，连接BE，CE，图中阴影部分的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2 B．9：4 C．2：3 D．4：98．如图AB∥CD，OP⊥CD交AB于点P，OF平分∠AOD，OE⊥OF，∠COE=20°有以下结论：①∠AOF=∠DOF；②∠BAO=40°；③∠POF=∠COE；④∠AOP=2∠COE．其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题9．如图,在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE,AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD=5，BE=2，则AB的长是．10．如图，AD是△ABC的角平分线，AB=3,AC=2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为.11．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝．12．如图AD//BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE=9，则两平行线AD与BC间的距离为.13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10cm，则△DEB的周长是cm.三、解答题14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF．求证：AD平分∠BAC．15．如图，已知DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AE=CF，DA=DC．求证：AD是∠BAC的平分线．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，若AC=5，BC=12．求点D到AB 的距离．17．如图,已知直线AB//EF,AB//CD,∠ABE=50°,EC平分∠BEF,求∠DCE的度数.18．如图，在△ABC中∠A+∠ABC=90°，点D在AC上，点E在AB上，ED的延长线交BC的延长线于点F，且△AED≌△FCD．（1）求证：BD是△ABC的角平分线；（2）若∠BDC=70°，求∠A的度数．19．如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．参考答案1．C2．B3．C4．D5．A6．C7．A8．A9．710．1011．100°12．1813．1014．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°∵D 是BC 的中点∴BD ＝CD在△BED 和△CFD 中{∠BDE =∠CDF∠BED =∠CFD BD =CD∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴DE ＝DF∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于点F∴点D 在∠BAC 的角平分线上∴AD 平分∠BAC ．15．证明：∵DE ⊥AE ，DF ⊥AC∴∠E=∠DFC=90°在Rt △ADE 和Rt △CDF 中∴Rt△ADE≌Rt△CDF∴DE=DF∴DF平分∠EAC．16．解：如图，过点D作DE⊥AB于E∵AC=5，BC=12∴AB= =13∵∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线∴CD=DE在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED（HL）∴AE=AC=5BE=AB﹣AE=13﹣5=8设DE=x则BD=12﹣x在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2∴x2+82=（12﹣x）2解得x= ．答：点D到AB的距离是．17．解：∵AB//EF，∠ABE=50°（已知）∴∠ABE=∠BEF=50°（两直线平行，内错角相等）∵EC平分∠BEF（已知）∠BEF=25°（角平分线的意义）∴∠CEF= 12∵AB//EF,AB//CD（已知）∴CD//EF（平行线的传递性）∴∠CEF+∠DCE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠DCE=180-25=155°（等式性质）18．（1）证明：∵∠A+∠ABC=90°∴AC⊥BF∵△AED≌△FCD∴∠DEA=∠DCF=90°，DE=DC又EF⊥AB∴BD平分∠ABC∴BD是△ABC的角平分线；（2）解：∵∠BDC=70°∴∠DBC=20°∵BD平分∠ABC∴∠ABC =2 ∠DBC=40°∴∠A =90°- ∠ABC =50°．19．（1）解：∵AM∥BN∴∠A+∠ABN=180°∵∠A=60°∴∠ABN=120°∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN∴∠CBP= 12∠ABP,∠DBP= 12∠NBP∴∠CBD=∠CBP+∠DBP= 12∠ABN=60°（2）解：不变化，∠APB=2∠ADB，理由：∵AM∥BN∴∠APB=∠PBN∠ADB=∠DBN又∵BD平分∠PBN∴∠PBN=2∠DBN∴∠APB=2∠ADB（3）解：在△ABC中，∠A+∠ACB+∠ABC=180°在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°∵∠ACB=∠ABD,∴∠ABC=∠ADB∵AD∥BN，∠A=60°∴∠ABN=120°，∠ADB=∠DBN=∠ABC 由（1）知∠CBD=60°∴∠ABC= 1(∠ABN-∠CBD)=30°2。

人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》练习题附答案

13.3 角的平分线的性质一、选择题1．如图 1 所示，∠ 1=∠ 2，PD ⊥ OA ，PE ⊥ OB ，垂足分别为 D ，E ，则下列结论中错误的是（）．A ． PD=PEB ．OD=OE C．∠ DPO=∠ EPO D ． PD=ODBEACPDEFOD ABDCA E B（ 1） (2) (3)2．如图 2 所示，在△ ABC 中， AB=AC ， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别是 E ，F ，则下列四个结论：① AD 上任意一点到C ，B 的距离相等；② AD 上任意一点到 AB ，AC 的距离相等；③ BD=CD ， AD ⊥ BC ；④∠ BDE=∠ CDF ，其中正确的个数是（）． A ．1个 B．2个 C ．3个 D． 4 个3．如图 3 所示，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=BC=1， AB=2 ，AD 在∠ BAC?的平分线上，DE ⊥ AB 于点 E ，则△ DBE 的周长为（）．A ．2B ．1+2C ． 2D．无法计算AAAEDC EFPOEBOFB BDC(4)(5)(6)4．如图 4 所示，已知∠ AOB ，求作射线 OC ，使 OC 平分∠ AOB ， ?作法的合理顺序是（）．（ 1）作射线 OC ；（ 2）在 OA 和 OB 上，分别截取 OD ， OE ，使 OD=OE ；（ 3）分别以 D ， E 为圆心，大于1DE 的长为半径作弧，在∠ AOB 内，两弧交于点 C ．2A ．（ 1）（ 2）（ 3）B ．（ 2）（ 1）（ 3）C ．（ 2）（ 3）（ 1）D ．（ 3）（ 2）（ 1）二、填空题1．（ 1）若 OC 为∠ AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PE ⊥OA ， PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，则PE=________，根据是 ________________ ．（ 2）如图 5 所示，若在∠ AOB 内有一点 P ，PE ⊥ OA ，PF ⊥ OB ，垂足分别为 E ，F ，且 PE=PF ，则点 P 在 _______，根据是 ____________ ．2．△ ABC 中，∠ C=90°， AD平分∠ BAC，已知 BC=8cm，BD=5cm，则点 D?到 AB?的距离为 _______．3．如图 6 所示， DE⊥AB 于 E，DF⊥ AC 于点 F，若 DE=DF，只需O 添加一个条件， ?这个条件是 __________ ．4．如图所示，∠ AOB=40°， OM平分∠ AOB， MA⊥ OA于 A，MB?⊥OB?于 B， ?则∠ MAB的度数为 ________．三、解答题1．如图所示，AD是∠ BAC的平分线， DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC于 F，且 BD=CD，那么相等吗？为什么？AN M BBE与 CFEBDA F C2．如图所示，∠ B=∠ C=90°， M是 BC中点， DM平分∠ ADC，判断 AM?是否平分∠ DAB，说明理由．M DCA B3．如图所示，已知 PB⊥ AB，PC⊥ AC，且 PB=PC，D是 AP 上一点，由以上条件可以得到∠BDP= ∠ CDP吗？为什么？ADCBP探究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）如图所示，在一次军事演习中，?红方侦察员发现蓝方指挥部设在 A 区，到公路、铁路的交叉处 B 点 700m．如果你是红方指挥员，?请你如图所示的作图地图上标出蓝方指挥部的位置．BA区比例尺 1:200002．（探究题）已知：在△ABC中， AB=AC．（1）按照下列要求画出图形：①作∠BAC的平分线交 BC于点 D；②过 D作 DE⊥ AB，垂足为点 E；③过点 D作 DF⊥ AC，垂足为点 F ．（2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC除外）？说明理由．3．如图所示，在△ ABC中， P， Q?分别是 BC， AC上的点，作 PR⊥ AB， PS⊥ AC，垂足分别是R，S．若 AQ=PQ， PR=PS， ?下面三个结论① AS=AR，② QP∥ AR，③△ BRP≌△ CSP中，正确的是（）．A ．①和③B．②和③C．①和② C ．①，②和③BRPA Q S C、、答案 :一、1． D 解析：∵∠ 1=∠ 2， PD ⊥ OA 于 E ， PE ⊥ OB 于 E ，∴ PD=PE ．又∵ OP=OP ，∴△ OPE ≌△ OPD ．∴ OD=OE ，∠ DPO=∠ EPO ．故 A ，B ， C 都正确．2． D 解析：如答图，设点 P 为 AD 上任意一点，连结PB ，PC ．∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD=∠ CAD ．又∵ AB=AC ， AP=AP ，∴△ ABP ≌△ ACP ，∴ PB=PC ． A故①正确．由角的平分线的性质知②正确．∵ AB=AC ，∠ BAD=∠ CAD ，AD=AD ，P∴△ ABD ≌△ ACD ．E F∴ BD=CD ，∠ ADB=∠ ADC ．BDC又∵∠ ADB+∠ ADC=180°， ∴∠ ADB=∠ ADC=90°， ∴ AD ⊥BC ，故③正确．由△ ABD ≌△ ACD 知，∠ B=∠ C ．又∵ DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥AC 于点 F ，∴∠ BED=∠ CFD=90°，∴∠ BDE=∠ CDF ．故④正确．4． C 解析：∵ AD 平分∠ CAB ， AC ⊥ BC 于点 C ，DE ⊥ AB 于 E ，∴ CD=DE ．又∵ AD=AD ，∴ Rt △ACD ≌ Rt △ AED ，∴ AC=AE ．又∵ AC=BC ，∴ AE=BC ，∴△ DBE 的周长为 DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB= 2 ．提示：设法将 DE+BD+EB 转成线段 AB ．5． C二、 1．（ 1） PF 角平分线上的点到角的两边的距离相同（ 2）∠ AOB 的平分线上到角的两边距离相等的点在角的平分线上2．解析：如图所示， AD 平分∠ CAB ， DC ⊥ AC 于点 C ， DM ⊥AB 于点 M ．∴ CD=DM ，∴ DM=CD=BC-BD=8-5=3．答案： 3C提示：利用角的平分线的性质．D3． AD 平分∠ BAC ．4．解析：∵ OM 平分∠ AOB ，∴∠ AOM=∠ BOM=AOB=20°．AMB2又∵ MA ⊥ OA 于 A ， MB ⊥ OB 于 B ，∴MA=MB．∴Rt △OAM≌ Rt△ OBM，∴∠ AMO=∠ BMO=70°，∴△ AMN≌△ BMN，∴∠ ANM=∠ BNM=90°，∴∠ MAB=90° -70 ° =20°．答案： 20°三、 1．解析： BE=CF．∵AD平分∠ BAC， DE⊥ AB于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．又∵ BD=DC，∴ Rt△ BDE≌Rt △ CDF，∴ BE=CF．提示：由角的平分线的性质可知DE=DF，从而为证△ BDE≌△ CDF提供了条件．2．解析： AM平分∠ DAB．理由：如答图13-9 所示，作 MN⊥ AD于点 N，∵ DM平分∠ CDA，MC ⊥ DC于点 C，MN⊥ AD于点 N，∴MC=MN．又∵ M是 BC的中点，∴ CM=MB，∴MN=BM，∴ AM平分∠ DAB．3．解析：可以．∵ PB⊥AB于点 B， PC⊥ AC于点 C，且 PB=PC，D CNM A B∴AP平分∠ BAC，∴∠ BAP=∠CAP．在 Rt△ ABP和 Rt△ ACP中，PB=PC ， AP=AP，∴Rt △ABP≌ Rt△ ACP，∴ AB=AC．在△ ABD与△ ACD中，AB=AC ，∠ BAP=∠CAP， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴∠ ADB=∠ ADC，∴∠ BDP=∠ CDP．探究应用拓展性训练1．如答图所示．解析：由题意可知，蓝方指挥部P 应在∠MBN的平分线上．又∵比例尺为1： 20000，∴ P 离 B 为 3． 5cm．提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．2．（ 1）解析：按题意画图，如答图13-11 ．（2）可以得到 ED=FD， AE=AF， BE=CF，BD=CD．理由如下：∵ AB=AC，∠ 1=∠ 2， AD=AD，∴△ ABD≌△ ACD，∴ BD=DC．∵∠ 1=∠2， DE⊥AB 于点 E， DF⊥ AC于点 F，∴DE=DF．A1 2E F BD C又∵ AD=AD，∴Rt △AED≌ Rt△ AFD，∴ AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，即 BE=CF．提示：正确地画出图形是解决问题的关键，另三角形全等来寻找相等的线段．3． C解析：如答图所示，连结AP．∵PR⊥AB于点 R， PS⊥ AC于点 S， PR=PS，∴ AP平分∠ BAC，∴∠ 1=∠2．又∵ AQ=QP，∴∠ 2=∠ 3，∴∠ 1=∠ 3，∴ PQ∥ AR．在 Rt △APR和 Rt△ APS中，外本题主要应用角的平分线的性质及BRP312PR=PS ， AP=AP，A Q S C ∴Rt △APR≌ Rt△ APS，∴ AR=AS．而△ BRP与△ CSP不具备三角形全等的条件，故①②正确．提示：本题的突破口是判断出点P 在∠ BAC的平分线上．。

人教版初二数学上册 12.3 角平分线的性质培优训练-答案

人教版初二数学上册12.3 角平分线的性质培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，P为OC上一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为()A．30°B．45°C．60°D．50°【答案】C[解析] ∵点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN，∴OC是∠AOB 的平分线．∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝60°.2. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OB的距离是()A．4 B. 3 C．2 D．1【答案】C[解析] 如图，过点P作PE⊥OB于点E.∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD＝2.3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC ＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是()A．3 B．4C．5 D．7【答案】A4. 如图,OP平分∠AOB,点P到OA的距离为3,N是OB上的任意一点,则线段PN 的长度的取值范围为()A.PN<3B.PN>3C.PN≥3D.PN≤3【答案】C[解析] 作PM⊥OB于点M.∵OP平分∠AOB,PE⊥OA,PM⊥OB,∴PM=PE=3.∴PN≥3.5. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是()A.3B.-3C.2D.-2【答案】A[解析] 如图，过点D作DE⊥AB于点E.∵点D的坐标是(0，-3)，∴OD=3.∵AD是△OAB的角平分线，∴ED=OD=3，即点D到AB的距离是3.6. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,若BC=10 cm,BD CD=3 2,则点D到AB的距离是()A.6 cmB.5 cmC.4 cmD.3 cm【答案】C[解析] ∵BC=10 cm,BD CD=3 2,∴CD=×10=4(cm).∵AD是角平分线,∴点D到AB的距离等于CD,即点D到AB的距离为4 cm.故选C.7. 如图,利用尺规作∠AOB的平分线OC,其作法如下:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,与OA,OB分别交于点D,E;(2)分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;(3)画射线OC,则射线OC就是∠AOB的平分线.这样作图的原理是三角形全等的一种判定方法,这种判定方法是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS【答案】A8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝16，则△ABD的面积是()A．14 B．32 C．42 D．56【答案】B[解析] 如图，过点D作DH⊥AB于点H.由作法得AP平分∠BAC.∵DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝4.∴S△ABD＝12×16×4＝32.9. 如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部交于点G,作射线AG交CD于点H.若∠C=140°,则∠AHC的大小是()A.20°B.25°C.30°D.40°【答案】A[解析] 由题意可得AH平分∠CAB.∵AB∥CD,∴∠C+∠CAB=180°,∠HAB=∠AHC.∵∠ACD=140°,∴∠CAB=40°.∵AH平分∠CAB,∴∠HAB=20°.∴∠AHC=20°.10. 如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为51和38,则△EDF的面积为 ()A.6.5B.5.5C.8D.13【答案】A[解析] 如图,过点D作DH⊥AC于点H.∵AD是△ABC的角平分线,DF ⊥AB,DH⊥AC,∴DF=DH.在Rt△DFE和Rt△DHG中,∴Rt△DFE≌Rt△DHG.在Rt△ADF和Rt△ADH中,∴Rt△ADF≌△ADH.设△EDF的面积为x.由题意得,38+x=51-x,解得x=6.5,∴△EDF的面积为6.5.二、填空题（本大题共5道小题）11. 如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，DE⊥AB于点E.若DE＝5 cm，则BC＝________cm.【答案】15[解析] ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE＝5 cm.∴BD＝2CD＝10 cm，则BC＝CD＋BD＝15 cm.12. 如图，点O 在△ABC 的内部，且到三边的距离相等．若∠BOC ＝130°，则∠A＝________°.【答案】80[解析] ∵点O 到△ABC 三边的距离相等，∴BO 平分∠ABC ，CO平分∠ACB.∴∠A ＝180°－(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－2(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－2(180°－∠BOC)＝80°.13. 如图,在△ABC中,E 为AC 的中点,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ,AB ︰AC=2︰3,AD 与BE 相交于点O.若△OAE 的面积比△BOD 的面积大1,则△ABC 的面积是 .【答案】10[解析] 如图,过点D 作DM ⊥AC 于点M ,DN ⊥AB 于点N.∵AD 平分∠BAC ,DM ⊥AC ,DN ⊥AB , ∴DM=DN.∵S △ABD ︰S △ADC =BD ︰DC ,且S △ABD =·AB ·DN ,S △ADC =·AC ·DM ,∴BD ∶DC=AB ∶AC=2∶3. 设△ABC 的面积为S ,则S △ADC =S.∵E 为AC 的中点, ∴S △BEC =S.∵△OAE 的面积比△BOD 的面积大1, ∴△ADC 的面积比△BEC 的面积大1.∴S-S=1.∴S=10.故答案为10.14. 如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S△BPC =2，则S△ABC=.【答案】7[解析] 过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP.∵△ABC 的两条外角平分线BP，CP相交于点P，∴PF=PG=PE=2.∵S△BPC=2，∴BC·2=2，解得BC=2.∵△ABC的周长为11，∴AC+AB=11-2=9.∴S△ABC =S△ACP+S△ABP-S△BPC=AC·PE+AB·PG-S△BPC=×9×2-2=7.15. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．【答案】32°[解析] ∵PD＝PE＝PF，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC 于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，∴CP平分∠ACF，BP平分∠ABC.∴∠PCF＝12∠ACF，∠PBF＝12∠ABC.∴∠BPC＝∠PCF－∠PBF＝12(∠ACF－∠ABC)＝12∠BAC＝32°.三、解答题（本大题共3道小题）16. 育新中学校园内有一块直角三角形(Rt △ABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD 为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD 区域内种植了一串红，在△ACD 区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB ＝20 m ，AC ＝10 m ，分别求一串红与鸡冠花两种花草的种植面积．【答案】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF. ∵AB ＝20 m ，AC ＝10 m ，∴S △ABC ＝12×20×10＝12×20·DE ＋12×10·DF ，解得DE ＝203(m)． ∴△ACD 的面积＝12×10×203＝1003(m 2)， △ABD 的面积＝12×20×203＝2003(m 2)．故一串红的种植面积为2003 m 2，鸡冠花的种植面积为1003 m 2.17. 如图，已知△ABC 的周长是20 cm ，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC于点D ，且OD ＝4 cm.求△ABC 的面积．【答案】解：∵BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， ∴点O 到AB ，AC ，BC 的距离相等．∵△ABC 的周长是20 cm ，OD ⊥BC 于点D ，且OD ＝4 cm ，∴S △ABC ＝12×20×4＝40(cm 2)．18. 如图,已知AD∥BC,∠D=90°.(1)如图①,若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P,CD经过点P,则P是线段CD的中点吗?为什么?(2)如图②,若P是DC的中点,BP平分∠ABC,∠CPB=35°,求∠PAD的度数.【答案】解:(1)P是线段CD的中点.理由如下:过点P作PE⊥AB于点E.∵AD∥BC,∠D=90°,∴∠C=180°-∠D=90°,即PC⊥BC.∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P,∴PD=PE,PC=PE.∴PC=PD,即P是线段CD的中点.(2)过点P作PE⊥AB于点E.∵AD∥BC,∠D=90°,∴∠C=180°-∠D=90°,即PC⊥BC.∵BP平分∠ABC,∴∠PBE=∠PBC.在△PBE与△PBC中,∴△PBE≌△PBC(AAS).∴∠EPB=∠CPB=35°,PE=PC.∵PC=PD,∴PD=PE.在Rt△P AD与Rt△P AE中,∴Rt△P AD≌Rt△P AE(HL).∴∠APD=∠APE.∵∠APD+∠APE=180°-2×35°=110°,∴∠APD=55°.∴∠P AD=90°-∠APD=35°.。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (42)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D,则下列结论错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPOD．OC=OD【答案】B【解析】试题分析：已知OP为∠AOB的角平分线，PC∠OA，PD∠OB，垂足分别是C、D，根据角平分线的性质可得PC=PD，A正确；在Rt∠OCP与Rt∠ODP中，OP=OP,PC=PD，由HL可判定∠OCP∠∠ODP，根据全等三角形的性质可得∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．故答案选B．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质.12．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∠BC，∠B=30°，则么C的度数为（）A．40∘B．30∘C．20∘D．【答案】C【解析】试题分析：已知AD∠BC，∠B=30°，根据平行线的性质可得∠EAD＝∠B＝30，因为AD为角平分线，所以，∠DAC＝∠DAE＝30°，∠C＝∠DAC＝30°，故答案选C.考点：平行线的性质.13．如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】如图，过点D作DM⊥AC于点M，∵∵DAE=∵ADE=15°，∵∵DEC=∵DAE+∵ADE=30°，DE=AE=8，∵DM∵AC于M，∵DM=12DE=4.∵DE∵AB，∵∵DAF=∵ADE=∵DAE，∵AD平分∵BAC，∵DF∵AB，DM∵AC，∵DF=DM=4.故选C.14．如图所示,在RtΔACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=16，BD=10，则点D到AB的距离是: ( )A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解析】试题分析：如下图所示，过点D作DE⊥AB，因为AD平分∠BAC，∠C＝90°，所以可得：DC=DE，又因为BC＝16，BD＝10，所以可得：CD=BC-BD=6，所以DE=CD＝6.故应选A.考点：角平分线的性质.15．如图，长方形ABCD中，E为BC中点，作∠AEC的角平分线交AD 于F点．若AB=6，AD=16，则FD的长度为何？（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】试题分析：首先由矩形ABCD的性质，得BC=AD=16，已知E为BC中点，则BE=BC÷2=8，根据勾股定理在直角三角形ABE中可求出AE，再由∠AEC 的角平分线交AD于F点，得∠AEF=∠CEF，已知矩形ABCD，AD∥BC，则∠AFE=∠CEF，所以∠AEF=∠AFE，所以AF=AE，从而求出FD．解：已知矩形ABCD，∴BC=AD=16，又E为BC中点，∴BE=×BC=×16=8，在直角三角形ABE中，AE2=AB2+BE2=62+82=100，∴AE=10，已知矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，又∠AEC的角平分线交AD于F点，∴∠AEF=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AF=AE=10，∴FD=AD﹣AF=16﹣10=6，故选：C．考点：矩形的性质；角平分线的性质；勾股定理．16．如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P=（）A．120°B．90°C．75°D．60°【答案】B【解析】试题分析:根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，再根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义解答即可．解：∵点P到AB、BC、CD距离都相等，∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠BCD，∴∠CBP+∠BCP=（∠ABC+∠BCD），∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠CBP+∠BCP=×180°=90°，∴∠P=180°﹣（∠CBP+∠BCP）=180°﹣90°=90°．故选B．考点：角平分线的性质；平行线的性质．17．如图OP平分∠AOB，PC∠OA于C，D在OB上，PC=3，则PD的大小关系是（）A．PD≥3 B．PD=3 C．PD≤3 D．不能确定【答案】A【解析】试题分析：过点P作PE∠OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据垂线段最短解答．解：如图，过点P作PE∠OB于E，∠OP平分∠AOB，PC∠OA，∠PE=PC=3，∠D在OB上，∠PD≥PE，∠PD≥3．故选A．考点：角平分线的性质；垂线段最短．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD．其中正确的结论为（）A．①②④B．①②③C．②③D．①③【答案】B【解析】试题分析：根据等角的余角相等可判断①；先判断CD∠EF，根据平行线的性质得出∠CEH=∠CHE，再由角平分线的性质可判断②；用AAS判定∠ACE∠∠AFE，可判断③；根据②，结合图形可判断④．∠∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∠∠ACD=∠B，故①正确；∠CD∠AB，EF∠AB，∠EF∠CD，∠∠AEF=∠CHE，∠∠CEH=∠CHE，∠CH=CE=EF，故②正确；∠角平分线AE交CD于H，∠∠CAE=∠BAE，∠∠ACE∠∠AFE（AAS），∠AC=AF，故③正确；CH=CE=EF＞HD，故④错误．考点：(1)、直角三角形的性质；(2)、三角形全等的性质19．如图，AD∥BC，∥ABC的角平分线BP与∥BAD的角平分线AP相交于点P，作PE∥AB，垂足为E．若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为（）A．3 B．5 C．6 D．不能确定【答案】C【解析】试题解析：作PF∠AD于F，PG∠BC于G，∠AP是∠BAD的角平分线，PF∠AD，PE∠AB，∠PF=PE=3，∠BP是∠ABC的角平分线，PE∠AB，PG∠BC，∠PG=PE=3，∠AD∠BC，∠两平行线AD与BC间的距离为PF+PG=6，故选C．考点：1.角平分线的性质；2.平行线之间的距离．20．已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为10，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（）A．PQ＞10 B．PQ≥10 C．PQ＜10 D．PQ≤10【答案】B【解析】试题分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为10，再根据垂线段最短解答．解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于10，∴点P到OB的距离为10，∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥10．故选B．考点：角平分线的性质；垂线段最短．。

八年级初二上册数学人教版《角平分线的性质》练习试题测试卷(含答案)

《12.3 角平分线的性质》课时练一、选择题1．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，连结AO，若△OAB、△OBC、△OCA的面积比为1：1：，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形2．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，AB＝7cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则EB的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定3．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BE＝3，则△BDE的周长是（）A．15B．12C．9D．64．如图，△ABC外角∠CBD，∠BCE的平分线BF、CF相交于点F，则下列结论成立的是（）A．AF平分BC B．AF⊥BC C．AF平分∠BAC D．AF平分∠BFC 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4m，AB ＝10m，则△ABD的面积是（）A ．20m 2B ．30m 2C ．40m 2D ．无法确定 6．三条笔直的公路两两相交，若要建一座仓库，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．AD 是△ABC 的角的平分线，AB ＝5，AC ＝3，则S △ABD ：S △ACD ＝（）A ．1：1B ．2：1C ．5：3D ．3：58．如图，AB ∥CD ，点P 到AB 、BC 、CD 距离都相等，则∠P ＝（）A ．120°B ．90°C ．75°D ．60°9．如图，若OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论中错误的是（）A ．PC ＝PDB ．OC ＝PC C ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝OD 10．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，△ABC 面积是28cm 2，AB ＝16cm ，AC ＝12cm ，则DE 的长为（）A．2B．2.4C．3D．3.2二．填空题11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，已知CD＝3，则D到AB的距离是．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠1＝∠2，CB＝8，BD＝5．则点D 到AB的距离为．13．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为．14．如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，过D作AC的垂线DE交AC于E，DE＝5，则D到AB的距离是．15．如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正确的是（写序号）三．解答题16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O到AB，BC三边的距离相等，求∠AOC的度数．17．已知，如图，A，B，C，D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△P AB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝6，AP平分∠BAC并交BC于点P．（1）求S△ABP 与S△ACP的比值；（2）求BP的长．19．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．（1）求证：PD＝PE＝PF；（2）点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．B 10．A 二．填空题（共5小题）11．312．313．814．515．①②④⑤三．解答题（共4小题）16．解：∵点O到AC、BC、AB三边的距离相等，∴AO，CO分别平分∠CAB，∠ACB，∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠BCA＝90°，∴∠CAO+∠ACO＝45°，∴∠AOC＝180°﹣45°＝135°，17．证明：过P点作PE⊥ON，PF⊥OM，∵△P AB的面积与△PCD的面积相等，AB＝CD，∴PE＝PF，∵PE⊥ON，PF⊥OM，∴射线OP是∠MON的平分线．18．解：（1）过P作PE⊥AB，PF⊥AC，∵AP平分∠BAC并交BC于点P．PE⊥AB，PF⊥AC ∴PE＝PF，∴S△ABP 与S△ACP的比＝；（2）∵＝＝，∴＝＝，∴PB＝BC＝．19．（1）证明：∵BM平分∠ABC，PE⊥BC，PD⊥AB，∴PE＝PD，∵CN平分∠ACB，PE⊥BC，PF⊥AC，∴PE＝PF，∴PD＝PE＝PF．（2）解：结论：点P在∠BAC的平分线上。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (37)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)(1)如图1，P是∠ABC内一点，请过点P画射线PD，使PD∠BC；过点P 画直线PE∠BA，交BC于点E．请画图并通过观察思考后你发现∠ABC与∠DPE 的大小关系是，并说明理由．(2)如图2，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，为了测量这两条直线所成的角的度数，请画图并简单地写出你的方法．【答案】（1）相等或互补（2）见解析【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论；（2）利用平行线的性质或三角形的内角和设计方法.试题解析：（1）相等或互补理由如下：如图1①，DP交AB于点F．∵PD∵BC，∵∵ABC=∵AFP，∵PE∵BA，∵∵AFP=∵DPE，∵∵ABC=∵DPE；如图1②，设DP交AB于点F．∵PD∵BC，∵∵ABC=∵CEP，∵PD∵BC，∵∵CEP+∵DPE=180°，∵∵ABC+∵DPE=180°；（2）方法一：如图2①，设直线b与木板交于点P，过点P作PC∵a，量出直线b与PC的夹角度数，即为直线a，b所成角的度数，依据是：两直线平行，同位角相等；方法二：如图2②，在直线a，b上各取一点A，B，连结AB，测得∵1，∵2的度数，则180°﹣∵1﹣∵2即为直线a，b所成角的度数；依据是：三角形内角和为180°．考点：平行线的判定与性质.62．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：CD=BE；（2）若CD=2，求AC的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，故∠B=45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE=BE，再根据角平分线的性质即可得出结论；（2）由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论试题解析：（1）∵AC=BC，∠C=90°，∴∠B=45°，∵DE⊥AB∴△BED是等腰直角三角形∴BE=DE∵AD平分∠BAC，∠C=∠AED=90°∴DE=CD（角平分线上的点到角两边距离相等）∴CD = BE（2）由（1）得CD = BE=DE=2∴由勾股定理得BDBC=CD+BD，则AC=BC63．作图题：已知∠AOB和∠AOB内两点M、N，画一点P使它到∠AOB 的两边距离相等，且到点M和N的距离相等。

人教版八年级上册数学 12.3 角的平分线的性质同步练习(含答案)

12.3 角的平分线的性质同步练习一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若AD＝2，则点D到BC的距离为（）A．1 B．C．D．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝6，BC＝8，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：53．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（）A．6 B．5 C．4 D．34．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（）A．线段CD的中点B．CD与过点O作CD的垂线的交点C．CD与∠AOB的平分线的交点D．以上均不对5．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（）A．PQ＜m B．PQ＞m C．PQ≤m D．PQ≥m6．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC7．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果△ADE的周长为6cm，AC＝4cm，那么AD等于（）A．2cm B．4cm C．3cm D．6cm8．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．125°D．130°9．如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连结AB、BC，则四边形OABC的面积为（）A．4cm2B．2cm2C．4cm2D．2cm210．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°二．填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC ＝2，则△ABD的面积为．12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为cm．13．如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE ＝30°，EC＝3，则EF＝．14．如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝．15．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E，AB＝8cm，那么△DEB的周长是cm．三．解答题16．如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，△ABC的面积为14，求DE的长．17．如图，点P是∠MON中一点，P A⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠P AB ＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．参考答案1．D2．A3．B4．C5．D6．B7．A8．A9．B10．D11．512．313．614．150°15．816．解：过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，如图，∵CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，∴DF＝DE．∵△ABC的面积为14，∴S△BCD+S△ACD＝14，∴×DE×10+×DF×4＝14，即5DE+2DE＝14，∴DE＝2．17．证明：∵∠P AB＝∠PBA，∴P A＝PB，∵P A⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，∴OP平分∠MON．18．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在△CDF与△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在△ACD与△AED中，，∴△ACD≌△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．。

人教版2020年八年级数学上册《角平分线性质》培优练习卷(含答案)

AB、AC 于 E、F. ① 求证：OE=BE； ② 若△ABC 的周长是 25，BC=9，试求出△AEF 的周长；（2）如图 2，若∠ABC 的平分线与∠ACB 外角∠ACD 的平分线相交于点 P，连接 AP，试探求∠BAC 与∠PAC 的数量关系式.
1.D 2.答案为：C. 3.C 4.D 5. 答案为：A； 6. 答案为：D； 7.A． 8.C 9.C 10.A 11.B 12.答案为：D. 13.答案为：3cm． 14.答案为：2.4． 15.答案为：9; 16.答案为：125°． 17.答案为：36． 18.答案为：6； 19.证明：连接 AD，
三、解答题 19.如图所示，已知 AB=AC，BD=CD，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F.
求证：DE=DF．
20.如图，四边形 ABDC 中，∠D=∠ABD=90°，点 O 为 BD 的中点，且 OA 平分∠BAC. (1)求证：CO 平分∠ACD； (2)求证：AB+CD=AC.
21.如图，已知 AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，CF⊥AD 于 F，且 BC=CD. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)求证：AB+AD=2AE.
）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
10.如图，在△ABC 中，∠A=52°，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于 D1，∠ABD1 与∠ACD1 的角平分线交于点 D2，依此类推，∠ABD4 与∠ACD4 的角平分线交于点 D5，则∠BD5C 的度数是（）
A．56°
B．60°
C．68°
B．CM=MD
C．∠OCD=∠ECD D．S 四边形 OCED= CD•OE
3.如图，△ABC 的三边 AB，BC，CA 长分别是 20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (4)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，△ABC中，△C = 90°，AC = BC，AD是△BAC的平分线，DE△AB 于E，若AB = 10cm，则△DBE的周长等于( )A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm【答案】A【解析】∵AD平分∠CAB,∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，AE由勾股定理得：AC∴DE+BD=CD+BE=BC，∵AC=BC，∴BD+DE=AC=AE，∴△BDE的周长是BD+DE+BE=AE+BE=AB=10.故选A.二、填空题32．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE △AB 于E ，△ABC 的面积是50cm 2，AB ＝11cm ，BC ＝14cm ，则DE ＝ cm ．【答案】4【解析】过点D 作DF ⊥BC 于点F ，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点E ，∴DE=DF.∵S △ABC =S △ABD +S △CBD =1122AB DE BC DF ⋅+⋅=50cm 2， ∵115022AB DE BC DE ⋅+⋅=，即1(1114)502DE +⋅=，解得DE=4（cm ）.33．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，若S △ABD ：S △ACD ＝3：2，则AB ：AC ＝________．【答案】3:2；【解析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，又∵AD是∵BAC的角平分线，∵DE=DF，又∵S△ABD=12AB·DE，S△ACD=12AC·DF，∵S△ABD：S△ACD=AB：AC=3：2.故答案为3：2.点睛：本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.34．如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=8，AD平分△BAC，交BC边于点D，若CD=2，则△ABD的面积为_______．【答案】8【解析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∵DE=DC=2，∵S△ABD=AB?DE2=822=8，故答案为8.35．在Rt△ABC中，△C=90°，若AB=20，AC=12，AD平分△BAC 交BC于点D，且BD：CD=5：3，则点D到线段AB的距离为___________．【答案】6【解析】解：∵∵C=90°，AB=20，AC=12，∵BC=16，∵BD：CD=5：3，∵CD=16×353+=6，∵AD平分∵BAC，∵DE=CD=6，即点D到线段AB的距离为6．故答案为：6．点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．36．如图，BD是△ABC的平分线，DE⊥BC,垂足为E，若AB=16，BC=12，DE=6，则△ABC的面积为______．【答案】84【解析】过点D 作DF ⊥AB ,根据线段垂直平分线的性质可得:DE =DF =6,然后根据三角形面积公式进行计算可得:111664822ADB S AB DF =⨯⨯=⨯⨯=,11 1263622cDB S BC DE =⨯⨯=⨯⨯=,所以483684ABC ABD CDB S S S =+=+=,故答案为:84.37．如图,已知:ABC ∆中，090C ∠=，AM 平分CAB ∠，CM =20cm 那么M 到AB 的距离是_____________.【答案】20cm【解析】∵∠C =90°，AM 平分∠CAB ，∴M 到AB 的距离等于CM =20cm .故答案为20 cm.38．如图，在ΔABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°，BD 平分∠ABC ，则∠1的度数是_______．【答案】72°【解析】∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°，又∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=36°，∴∠1=72°，故答案是：72°．39．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=，30B ∠=，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ．若1DE cm =，则BC =________cm ．【答案】3【解析】∵AD 平分∠CAB ，∠C=90°，DE ⊥AB ，∴CD=DE=1cm ，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2cm ，∴BC=1+2=3cm ，故答案是：3cm ．40．已知∠1与∠2互余，若∠1=58°12＇则∠2=_____________.【答案】31°48＇【解析】因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2＝90o ,又因为∠1=58°12＇，所以∠2＝31°48＇. 故答案是：31°48＇.。

八年级数学上册《第十二章角平分线的性质》同步练习题及答案(人教版)

八年级数学上册《第十二章角平分线的性质同步练习题及答案（人教版) 班级姓名学号一、单选题1．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A．PQ>5 B．PQ<5 C．PQ≥5 D．PQ≤52．如图，AD是△AEC的角平分线AC=2AB，若S△ACD=4，则△ABD的面积为（）D．1A．3 B．2 C．323．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点O是三条角平分线的交点，则△BOC的BC边上的高是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝10，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4，则△PGE的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．405．如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm6．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°7．如图，在Rt△ABC中∠C=90°，AC=8，BC=6，AB=10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……：∠A n-1BC与∠A n-1CD的平分线交于点A n，要使∠A n的度数为整数，则n的最大值为( )A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题9．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD ＝5，CD＝7，则AE＝．10．如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA＝8cm，PB＝3cm，则△POA的面积等于cm2．11．如图，△ABC的面积为6cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积是cm2．12．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=7，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．13．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△=CAO三、综合题14．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠ABC=64°，∠AEB=70°．（1）求∠CAD的度数；（2）若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．15．如图，在△ABC中，CM⊥AB于点M，∠ACB的平分线CN交AB于点N，过点N作ND∥AC交BC于点D．若∠A＝78°，∠B＝50°.求：①∠CND的度数；②∠MCN的度数.16．数学课上，老师要求同学们用一副三角板画一个钝角，并且画出它的角平分线．小强的作法如下：①先按照图1的方式摆放一副三角板，画出∠AOB；②在∠AOB处，再按照图2的方式摆放一副三角板，画出射线OC；③去掉三角板后得到的图形如图3．老师说小强的作法完全符合要求．请你回答：（1）小强画的∠AOB的度数是；（2）射线OC是∠AOB的平分线的依据是．17．填空，完成下列说理过程如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如果∠COD=65°，求∠AOE的度数．18．如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．（1）若CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．19．如图，已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC得平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交于点G．求证：（1）BF=CG；（2）AF= 1（AB+AC）．2参考答案1．C2．B3．B4．B5．B6．B7．B8．C9．610．1211．312．413．4：5：614．（1）解：∵BE平分∠ABC∴∠ABC=2∠EBC=64°∴∠EBC=32°∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°∴∠BAD=90°﹣64°=26°∵∠C=∠AEB﹣∠EBC=70°﹣32°=38°∴∠CAD=90°﹣38°=52°；（2）解：分两种情况：①当∠EFC=90°时，如图1所示：则∠BFE=90°∴∠BEF=90°﹣∠EBC=90°﹣32°=58°；②当∠FEC=90°时，如图2所示：则∠EFC=90°﹣38°=52°∴∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=52°﹣32°=20°；综上所述：∠BEF的度数为58°或20°．15．解：①∵∠A＝78°，∠B＝50°∴∠ACB=180°-∠A-∠B=52°∵CN平分∠ACB∴∠ACN=12∠ACB=26°∵ND∥AC∴∠CND=∠CAN=26°；②∵CM⊥AB，∠A＝78°∴∠ACM=90°-∠A=12°∴∠MCN=∠ACN-∠ACM=14°．16．（1）150°（2）∠BOC= 12∠AOB17．（1）解：如图，因为OD是∠AOC的平分线所以∠COD= 12∠AOC．因为OE是∠BOC的平分线所以∠COE= 12∠BOC ．所以∠DOE=∠COD+ ∠COE = 12（∠AOC+∠BOC）= 12∠AOB=90 °（2）解：由（1）可知∠BOE=∠COE= ∠DOE ﹣∠COD= 25 °．所以∠AOE= ∠AOB ﹣∠BOE= 155 °18．（1）证明：∵CD平分∠BCA∴∠BCD＝∠ACD∵DC∥EF∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE∵AC∥DE∴∠ACD＝∠CDE∴∠BEF＝∠DEF，即EF平分∠BED．（2）解：如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平分∠BCA．证明：∵EF平分∠BED∴∠BEF＝∠DEF∵DC∥EF∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE∵AC∥DE∴∠ACD＝∠CDE∴∠BCD＝∠ACD，即EF平分∠BED．19．（1）证明：连接BE和CE∵DE是BC的垂直平分线∴BE=CE∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC∴∠BFE=∠EGC=90°，EF=EG在Rt△BFE和Rt△CGE中{BE=EGEF=EG∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL）∴BF=CG；（2）证明：∵AE 平分∠BAC ，EF ⊥AB ，EG ⊥AC ∴∠AFE=∠AGE=90°，∠FAE=∠GAE 在△AFE 和△AGE 中{∠FAE =∠GAE∠AFE =∠AGE AE =AE∴△AFE ≌△AGE∴AF=AG∵BF=CG∴12 （AB+AC ）= 12 （AF ﹣BF+AG+CG ） = 12 （AF+AF ）=AF即AF= 12 （AB+AC ）。

人教版八年级上册《角平分线、三角形性质》综合培优训练

《角平分线、三角形性质》综合培优训练一．选择题1．下列各组线段中，能组成三角形的是（）A．2，4，6 B．2，3，6 C．2，5，6 D．2，2，62．如果一个多边形的每个内角的度数都是108°，那么这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数（）A．75°B．135°C．120°D．105°4．如图，△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别为AB、AC上的点，则∠1+∠2＝（）A．180°B．200°C．220°D．240°5．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°6．AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（）A．25°B．60°C．85°D．95°7．画△ABC中BC边上的高，下面的画法中，正确的是（）A．B．C．D．8．如图所示，以BC为边的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，则图中x的值是（）A．75 B．65 C．60 D．5510．如图，△ABC中，∠A＝α°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A n﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠A n的度数为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，四边形ABCD中，∠B＝88°，AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，且AE∥CF，若∠BAE＝54°，则∠D的度数等于．12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝320°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是．13．如图，在△ABC中，两个内角∠BAC与∠BCA的角平分线交于点D，若∠B＝70°，则∠D ＝度．14．如图，在△ABC中，∠ABC：∠ACB：∠CAB＝5：6：7，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，DA平分∠CAM，DC平分∠ACN，连接BD，则∠BDC﹣∠ADB＝度．15．在正六边形ABCDEF中，对角线BD、AC交于点M，则∠CMD的度数为．16．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的外部．已知∠A＝30°，∠1＝100°，则∠2的度数是度．三．解答题17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．（1）若∠DCB＝40°，求∠CEF的度数；（2）求证：∠CEF＝∠CFE．18．如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．（1）若∠MON＝60°，则∠ACB＝°；若∠MON＝90°，则∠ACB＝°；（2）若∠MON＝n°．请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）19．已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）如图1，求∠B与∠D的和为多少度？（2）如图2，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，求证：BE∥DF．20．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．参考答案一．选择题1．解：A、2+4＝6，不能构成三角形；B、2+3＜6，不能构成三角形；C、2+5＞6，能够组成三角形；D、2+2＜6，不能构成三角形．故选：C．2．解：∵多边形的每个内角都是108°，∴每个外角是180°﹣108°＝72°，∴这个多边形的边数是360°÷72°＝5，∴这个多边形是五边形，故选：C．3．解：∵图中是一副直角三角板，∴∠1＝45°，∠2＝30°，∴∠α＝180°﹣45°﹣30°＝105°．故选：D．4．解：∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝120°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C＝360°﹣120°＝240°，故选：D．5．解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．6．解：∵AD是∠CAE的平分线，∴∠EAC＝2∠DAE＝120°，∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝85°，∴∠ACD＝180°﹣85°＝95°，故选：D．7．解：由题可得，过点A作BC的垂线段，垂足为D，则AD是BC边上的高，∴表示△ABC中BC边上的高的是D选项．故选：D．8．解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC，故选：C．9．解：∵AB∥CD，∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，∵五边形ABCDE内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴在五边形ABCDE中，∠E＝540°﹣135°﹣120°﹣60°﹣150°＝75°．故图中x的值是75．故选：A．10．解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠A1＝α，∴∠A1＝α°，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2＝α°，∴∠A2＝α°，∴∠A＝2n∠A n，∴∠A n＝α°•（）n＝（）°．故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：∵∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣88°﹣54°＝38°，∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠DAE＝∠BAE＝54°，∠DCF＝∠BCF，∵CF∥AE，∴∠DFC＝∠DAE＝54°，∠FCB＝∠AEB﹣38°，∴∠DCF＝∠FCB＝38°，∴∠D＝180°﹣∠DFC﹣∠DCF＝180°﹣54°﹣38°＝88°，故答案为88°．12．解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝320°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣320°＝220°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝110°，∴∠CPD＝180°﹣110°＝70°．故答案是：70°．13．解：∵AD、CD是∠BAC与∠BCA的平分线，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B＝125°，故答案为：125．14．解：过D作DE⊥BM于E，DH⊥AC于H，DF⊥BN于F，∵DA平分∠CAM，DC平分∠ACN，∴DE＝DH，DH＝DF，∴DE＝DF，∴BD平分∠ABC，∵在△ABC中，∠ABC：∠ACB：∠CAB＝5：6：7，∴设∠ABC＝5x，∠ACB＝6x，∠CAB＝7x，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，∴5x+6x+7x＝180°，∴x＝10°，∴∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∠CAB＝70°，∴∠MAC＝110°，∠ACN＝120°，∵DA平分∠CAM，DC平分∠ACN，∴∠MAD＝MAC＝55°，∠NCD＝ACN＝60°，∠ABD＝∠CBD＝25°，∴∠BDC＝∠NCD﹣∠DBC，∠ADB＝∠MAD﹣∠ABD，∴∠BDC﹣∠ADB＝∠NCD﹣∠DBC﹣（∠MAD﹣∠ABD）＝∠NCD﹣∠MAD＝60°﹣55°＝5°，故答案为：5．15．解：根据题意得∠ABC＝，∵AB＝BC，∴∠ACB＝，∴∠CMD＝2∠ACB＝60°．故答案为：60°．16．解：如图∵∠1＝100°，∴∠ADF＝80°，∵△A′ED是△AED翻折变换而成，∴∠A′＝∠A＝30°，∵∠A′FE是△ADF的外角，∴∠A′FE＝∠A+∠ADF＝30°+80°＝110°，∵∠A′FE+∠2+∠A′＝180°，∴110°+∠2+30°＝180°，∴∠2＝40°．故答案为：40．三．解答题（共4小题）17．解：（1）∵CD是高，∠DCB＝40°，∴∠B＝50°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝40°，又∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝20°，∴∠CEF＝∠B+∠BAE＝50°+20°＝70°；（2）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，∴∠CFE＝∠ACD+∠CAE，∠CEF＝∠B+∠BAE，∴∠CFE＝∠CEF．18．解：（1）∵∠MON＝60°，∴∠OBA+∠OAB＝120°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝×120°＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠MON＝90°，∴∠OBA+∠OAB＝90°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝×90°＝45°，∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n°），即∠ABC+∠BAC＝90°﹣n°，∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，∴∠ACG＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°．故答案为：120，135．19．（1）解：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠B+∠D+∠A+∠C＝（4﹣2）×180°＝360°，∴∠B+∠D＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°；即∠B与∠D的和为180度；（2）证明：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE+∠EDF＝90°，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠ADF，∴BE∥DF．20．（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．。

人教版八年级数学上册角的平分线的性质同步练习题(含答案)

人教版八年级数学上册角的平分线的性质同步练习题（含答案）12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质要点感知1 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离_____.预习练习1-1 如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB,垂足为D,则PC与PD的大小关系是( )A.PC>PDB.PC=PDC.PC<PDD.不能确定要点感知2 命题证明的一般步骤为：(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意画出图形,并用数学符号表示已知和求证；(3)写出证明过程.预习练习2-1 命题“全等三角形对应角的角平分线长度相等”的已知是____,求证是____.知识点1 角平分线的作法1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等2.已知△ABC,用尺规作图作出∠ABC的角平分线,保留作图痕迹,但不写作法.知识点2 角平分线的性质3.如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4 cm，则点P到边BC的距离为cm.4.如图所示,E 是∠AOB 的平分线上一点,EC ⊥OA,ED ⊥OB,垂足分别为C ，D.求证：OC=OD.5.如图，BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，△ABC 的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE 的长.知识点3 命题证明6.命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是____,结论是____.7.证明：全等三角形对应边上的中线相等.8.如图,AD ∥B C,∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P,作PE ⊥AB 于点E.若PE ＝2,则两平行线AD 与BC 间的距离为____.9.如图，在△ABC ，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ；②分别以点E,F 为圆心，大于21EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 边于点D ，则∠CDA 的度数为____. 10.已知，如图所示，△ABC 的角平分线AD 将BC 边分成2∶1两部分，若AC=3 cm ，则AB=____.11.已知:如图所示,点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,垂足分别为D ，E,求证：OB ＝OC.12.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB 的周长.13.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.挑战自我14.如图，∠AOB=90°，OM 平分∠AOB ，直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由.参考答案课前预习要点感知1 相等预习练习1-1 B预习练习2-1 全等三角形对应角的角平分线对应角的角平分线长度相等当堂训练 1.A 2.图略. 3.4 4.证明：∵E 是∠AOB 的平分线上一点,CE ⊥OA,ED ⊥OB ，∴EC=ED.在Rt △OCE 和Rt △ODE 中,OE=OE,EC=ED,∴Rt △OCE ≌Rt △ODE(HL).∴OC=OD.5.∵BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，∴点D 到BC 的距离等于DE 的长度.∵AB=18，BC=12，∴S △ABC =S △ABD +S △BCD =21×18·DE+21×12·DE=21DE(18+12)=15·DE.∵△ABC 的面积等于90，∴15·DE=90.∴DE=66.全等三角形对应边的高线对应边的高线相等7.已知:△ABC ≌△A ′B ′C ′,AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线.求证：AD=A ′D ′.证明：∵△ABC ≌△A ′B ′C ′,∴AB=A ′B ′,∠B=∠B ′,BC=B ′C ′.又∵AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线,∴BD=21BC,B ′D ′=21B ′C ′.∴BD=B ′D ′.∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(SAS).∴AD=A ′D ′.课后作业 8.4 9.65° 10.6 cm 11.证明:∵点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,∴OE ＝OD,∠BEO ＝∠CDO ＝90°.在△BEO 与△CDO 中,∠BEO ＝∠CDO,OE ＝OD,∠EOB ＝∠DOC,∴△BEO ≌△CDO(ASA).∴OB ＝OC.12.∵AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∴Rt △ACD ≌Rt △AED.∴AE=AC.∴△DEB 的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10 cm. 13.已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD,A ′D ′分别是∠BAC,∠B ′A ′C ′的平分线,且AD=A ′D ′.求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′.证明：∵∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的角平分线,∴∠BAD=∠B ′A ′D ′.∵∠B=∠B ′,AD=A ′D ′，∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(AAS).∴AB=A ′B ′.在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,AB=A ′B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA).14.PC=PD.理由如下：过点P 分别作PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为点E ，F.又∵OM 平分∠AOB ，∴PE=PF.又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF=90°.∴∠EPC+∠CPF=90°.又∵∠CPD=90°，∴∠CPF+∠FPD=90°.∴∠EP C=∠FPD.在△PCE 与△PDF 中，∠PEC=∠PFD ，PE=PF ，∠EPC=∠FPD ，∴△PCE ≌△PDF(ASA).∴PC=PD.第2课时角的平分线的判定要点感知1 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的______上.预习练习1-1 已知点P 为∠AOB 内部的一点,PD ⊥OB 于点D,PC ⊥OA 于点C,且PC=PD,则OP 平分_____.要点感知2 三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到_____.预习练习2-1 如图,在△ABC 中,BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB,并且BD ，CE 相交于点O,过O 点作OP ⊥BC 于点P,OM ⊥AB 于点M,ON ⊥AC 于点N,则OP ，OM ，ON 的大小关系是_____.知识点1 角平分线的判定1.已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中:①∠AOC=∠BOC，②PD=PE，③OD=OE，④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的角平分线的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.知识点2 角平分线的性质与判定的综合运用3.如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O，下面结论中正确的是( )A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.不能确定4.如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.知识点3 角平分线的性质与判定的实际应用5.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA，OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.6.某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭子,供人们休息,而且要使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭的中心位置.7.如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1＞∠2C.∠1＜∠2D.无法确定8.如图所示,P为△ABC外部一点,D，E分别在AB，AC的延长线上,若点P到BC，BD，CE 的距离都相等,则关于点P的说法最佳的是( )A.在∠DBC的平分线上B.在∠BCE的平分线上C.在∠BAC的平分线上D.在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上9.三条公路两两相交于A，B，C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路距离相等,则可供选择的地方有_____处.10.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.11.如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.12.如图所示,△ABC中,∠B＝∠C,D是BC边上一动点,过D作DE⊥AB,DF⊥AC,E，F分别为垂足,则当D 移动到什么位置时,AD 恰好平分∠BAC,请说明理由.挑战自我13.已知：如图所示，在△ABC 中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.参考答案课前预习要点感知1 平分线预习练习1-1 ∠AOB要点感知2 三边的距离相等预习练习2-1 OP=OM=ON 当堂训练 1.D 2.证明：∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BDE 和△CDF 中，∠BDE=∠CDF, ∠DEB=∠DFC,BE=CF,∴△BDE ≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴AD 平分∠BAC. 3.B 4.证明：过点D 分别作DE ⊥AB,DG ⊥AC,DF ⊥BC,垂足分别为E,G,F.又∵BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACF,∴DE=DF,DG=DF.∴DE=DG.∴AD 平分∠EAC,即AD 是∠BAC 的外角平分线.5.图略.提示：作∠AOB 的角平分线，与AB 的交点即为点M 的位置.6.在三角形内部分别作出两条角平分线,其交点O 就是小亭的中心位置,图略. 课后作业7.A8.D9.410.(1)证明：∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°.在△BOD 和△COE 中，∠BOD=∠COE ，OD=OE ，∠ODB=∠OEC,∴△BOD ≌△COE(ASA).∴OB ＝OC. (2)证明：在△BOD 和△COE 中，∠ODB=∠OEC ，∠BOD=∠COE ， OB=OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS).∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.11.证明：过点D 作DH ⊥AB 于H ，DG ⊥AC 于G.∵S △DCE =21CE ·DG,S △DB F=21BF ·DH,S△DCE=S △DBF ,∴21CE ·DG=21BF ·DH.又∵CE=BF,∴DG=DH.∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC.12.移动到BC 的中点时,AD 恰好平分∠BAC.理由如下:∵D 是BC 的中点,∴BD ＝CD.∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C,∴△DEB ≌△D FC(AAS).∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴AD 平分∠BAC.13.证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.在△BED 和△CFD 中，∠BED=∠CF D=90°,∠1=∠2,BD=CD,∴△BED ≌△CFD(AAS).∴DE=DF.又DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.。

人教版八年级数学 12.3 角平分线的性质培优训练(含答案)

人教版八年级数学 12.3 角平分线的性质培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，AO 是∠BAC的平分线，OM ⊥AC 于点M ，ON ⊥AB 于点N .若ON ＝8 cm ，则OM 的长为( )A ．4 cmB ．5 cmC ．8 cmD ．20 cm2. 用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图，则能说明OC 是∠AOB 的平分线的依据是( )A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA3. 到三角形三边距离相等的点是()A ．三条中线的交点B ．三条高(或三条高所在直线)的交点C ．三边垂直平分线的交点D ．三条内角平分线的交点4. (2019•张家界)如图，在ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于A ．4B ．3C ．2D ．15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC ＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是()A．3 B．4C．5 D．76. 下面是黑板上给出的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交__○__于点N；②分别以点__⊕__为圆心，大于__△__的长为半径画弧，两弧在__⊗__的内部交于点C；③画射线OC，OC即为所求．则下列回答正确的是()A．○表示OA B．⊕表示M，CC．△表示MN D．⊗表示∠AOB7. 如图，OC平分∠AOB，P是射线OC上的一点，PD⊥OB于点D，且PD＝3，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ的长度不可能是()A．2 B．3 C．4 D．58. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,AB=6 cm,DE=4 cm,S△ABC=30 cm2,则AC的长为()A.10 cmB.9 cmC.4.5 cmD.3 cm9. 如图，平面上到两两相交的三条直线a，b，c的距离相等的点一共有()A．4个B．3个C．2个D．1个10. 如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为51和38,则△EDF的面积为 ()A.6.5B.5.5C.8D.13二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图,在△ABC中,两条外角平分线交于点P,PM⊥AC交AC的延长线于点M.若PM=6 cm,则点P到AB的距离为.12. 如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝________°.13. △ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O到AB的距离为________．14. 如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E.若AE=12 cm，则DE的长为cm.15. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD 的面积之比是________．16. 如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S△BPC =2，则S△ABC=.三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC 于点D，且OD＝4 cm.求△ABC的面积．18. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点D，M和点E，N，使OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C.求证:点C在∠AOB的平分线上.19. 数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A，B，C，D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA＝OB＝OC＝OD，E，F可以在中间的两根木条上滑动，AE＝CE＝BF＝DF.求证：∠AOE＝∠EOF＝∠FOD.20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD 与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝FD.人教版八年级数学12.2 角平分线的性质培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】A3. 【答案】D4. 【答案】C【解析】如图，过点D作DE AB于E，∵8AC =，13DC AD =，∴18213CD =⨯=+， ∵90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，∴2DE CD ==，即点D 到AB 的距离为2，故选C ．5. 【答案】A6. 【答案】D7. 【答案】A[解析] 如图，过点P 作PE ⊥OA 于点E.∵OC 平分∠AOB ，PD ⊥OB ，∴PE ＝PD ＝3. ∵动点Q 在射线OA 上运动，∴PQ≥3. ∴线段PQ 的长度不可能是2.8. 【答案】B[解析] 如图,过点D 作DF ⊥AC 于点F .∵AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB , ∴DE=DF=4. ∵AB=6,∴S △ABC =S △ABD +S △ACD =×6×4+AC ×4=30, 解得AC=9(cm).故选B .9. 【答案】A[解析] 如图，到三条直线a ，b ，c 的距离相等的点一共有4个．10. 【答案】A[解析] 如图,过点D 作DH ⊥AC 于点H.∵AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB,DH⊥AC,∴DF=DH.在Rt△DFE和Rt△DHG中,∴Rt△DFE≌Rt△DHG.在Rt△ADF和Rt△ADH中,∴Rt△ADF≌△ADH.设△EDF的面积为x.由题意得,38+x=51-x,解得x=6.5,∴△EDF的面积为6.5.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】6 cm[解析] 如图,过点P作PN⊥BC于点N,PQ⊥AB交AB的延长线于点Q.∵BP,CP是两条外角的平分线,PM⊥AC,∴PN=PM,PQ=PN.∴PQ=PM.∵PM=6 cm,∴PQ=6 cm,即点P到AB的距离为6 cm.12. 【答案】150[解析] ∵DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∴AD是∠BAC的平分线．∵∠BAC＝40°，∴∠CAD＝12∠BAC＝20°.∴∠DGF＝∠CAD＋∠ADG＝20°＋130°＝150°.13. 【答案】2.5[解析] 设点O到AB，BC，AC的距离均为h，∴S△ABC＝12×8·h＝10，解得h＝2.5，即点O到AB的距离为2.5.14. 【答案】12[解析] 如图，连接BE.∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，过点D作BC的垂线，交AC于点E，∴∠A=∠BDE=90°.在Rt△DBE和Rt△ABE中，∴Rt △DBE ≌Rt △ABE (HL).∴DE=AE.∵AE=12 cm ，∴DE=12 cm .15. 【答案】4∶3【解析】如解图，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE ＝DF ＝h ，则S △ABD S△ACD＝12AB·h12AC·h ＝43.16. 【答案】7[解析] 过点P 作PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥AB 于点G ，连接AP .∵△ABC 的两条外角平分线BP ，CP 相交于点P ，∴PF=PG=PE=2.∵S △BPC =2，∴BC ·2=2，解得BC=2.∵△ABC 的周长为11，∴AC+AB=11-2=9.∴S △ABC =S △ACP +S △ABP -S △BPC =AC ·PE+AB ·PG-S △BPC =×9×2-2=7.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：∵BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， ∴点O 到AB ，AC ，BC 的距离相等．∵△ABC 的周长是20 cm ，OD ⊥BC 于点D ，且OD ＝4 cm ，∴S △ABC ＝12×20×4＝40(cm 2)．18. 【答案】证明:如图，过点C 作CG ⊥OA 于点G ，CF ⊥OB 于点F .在△MOE 和△NOD 中，∴△MOE ≌△NOD (SAS). ∴S △MOE =S △NOD .∴S △MOE -S 四边形ODCE =S △NOD -S 四边形ODCE ，即S △MDC =S △NEC .由三角形面积公式得DM ·CG=EN ·CF .∵OM=ON ，OD=OE ， ∴DM=EN.∴CG=CF . 又∵CG ⊥OA ，CF ⊥OB ，∴点C 在∠AOB 的平分线上.19. 【答案】证明：在△AOE 和△COE 中，⎩⎨⎧AE ＝CE ，OA ＝OC ，OE ＝OE ，∴△AOE ≌△COE(SSS)． ∴∠AOE ＝∠COE. 同理∠COE ＝∠FOD. ∴∠AOE ＝∠EOF ＝∠FOD.20. 【答案】证明：如图，连接BF.∵F 是△ABC 的角平分线AD ，CE 的交点， ∴BF 平分∠ABC. ∵FM ⊥AB ，FN ⊥BC ，∴FM ＝FN ，∠DNF ＝∠EMF ＝90°.∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝30°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝15°. ∴∠CDA ＝75°.∵CE 平分∠ACB ，∠ACB ＝90°， ∴∠ACE ＝45°. ∴∠MEF ＝75°＝∠NDF. 在△DNF 和△EMF 中，⎩⎨⎧∠DNF ＝∠EMF ，∠NDF ＝∠MEF ，FN ＝FM ，∴△DNF ≌△EMF(AAS)．∴FE ＝FD.。

角的平分线的性质(限时满分培优训练)-八年级数学上册尖子生培优必刷题(原卷版)【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题12.7角的平分线的性质（限时满分培优训练）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•七星区校级期中）如图，点P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，垂足为D ，若PD ＝2，则点P 到边OA 的距离是（）A ．2B ．3C ．√3D ．42．（2023春•涟源市期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，DC =12AD ，BD 平分∠ABC ，则点D到AB 的距离等于（）A ．1B ．43C ．2D ．83 3．（2023春•罗湖区期末）三条公路将A 、B 、C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A ．三条高线的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三边垂直平分线的交点4．（2023春•郏县期末）如图，已知点P 到AE 、AD 、BC 的距离相等，下列说法：①点P 在∠BAC 的平分线上；②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③5．（2022秋•南开区校级期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（）A．4B．6C．8D．106．（2023春•株洲期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．M点B．N点C．P点D．Q点7．（2022秋•兴城市期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AC，F是BC中点，连接AF，若AB＝4，AC＝6，DE＝3，则S△AFC为（）A．7.5B．12C．15D．308．（2022秋•大足区期末）如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（）A．4：3：2B．5：3：2C．2：3：4D．3：4：59．（2023春•东营期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点10．（2022秋•右玉县期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△P AC＝S△MAP+S△NCP．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023春•西和县期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BE的长为．12．（2023春•肥城市期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为49和40，则△EDF的面积为．13．（2023春•青白江区期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝3，则PD 的长的最小值为．14．（2022秋•南岳区期末）如图，P为△ABC三条角平分线的交点，PH、PN、PM分别垂直于BC、AC、AB，垂足分别为H、N、M．已知△ABC的周长为15cm，PH＝3cm，则△ABC的面积为cm2．15．（2023春•贵州期末）如图，已知AB∥CD，射线AE平分∠BAC，过点E作EH⊥AC于点H，作EF⊥AB于点F，并延长FE交CD于点G，连接CE，若∠AEC＝90°，EH＝1，则FG的长为．16．（2023春•万源市校级期末）如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC＝60°，则下面的结论：①∠ABP＝30°；②∠APC＝60°；③PB＝2PH；④∠APH＝∠BPC，其中正确的结论是．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2023春•惠民县期末）如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）18．（2023春•凤翔县期末）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．19．（2023•惠州二模）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长．20．（2022秋•西丰县期末）如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．21．（2022秋•利川市期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．（1）求证：DE平分∠ADC；（2）求证：AB+CD＝AD．22．（2021秋•渑池县期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：PE＝PF；（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．23．（2023春•城关区校级期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数．（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面积．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (26)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，点P为∠AOB平分线上的一点，PC⊥OB于点C，且PC=4，点P 到OA的距离为___________．【答案】4【解析】因角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点P到OA的距离为4.52．已知∠A=47°，则∠A的余角等于_________度.【答案】43【解析】90°-47°=43°.53．如图，若CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，∠A=45°，则∠D=______°．【答案】22.5°【解析】试题解析：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠ABC=2∠DBC，∠ACE=2∠DCE，∵∠ACE=2∠DCE=∠A+∠ABC，2∠DCE=2（∠D+∠DBC）=2∠D+∠ABC，∴∠A+∠ABC=2∠D+∠ABC，∴∠A=2∠D，∵∠A=45°，∴∠D=22.5°.54．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝_________【答案】90°【解析】试题分析：根据点P到AB、BC、CD的距离相等可得：BP平分∠ABC，CP平分∠BCD，根据平行线的性质可得：∠ABC+∠BCD=180°，则∠PBC+∠PCB=90°，则∠P=90°．55．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点E，则△DEF的面积为______．【答案】cm【解析】∵AD是△ABC的角平分线,∠ACB=90°，DE⊥AB，∴∠CAD=∠EAD，DE=CD，AE=AC=2，∠B=45°∵AD的垂直平分线交AB于点E，∴AF=DF ，∴∠ADF=∠EAD ，∴∠ADF=∠CAD ，∴AC ∥DF ，∴∠BDF=∠C=90°，∵∴△BDF 、△BED 是等腰直角三角形，设DE=x ，则EF=BE=x ，BD=DF=2−x ，在Rt △BED 中2BD = ，∴222(2)x x x +=-，解得12x =--负值舍去),22x =-+，∴△DEF 的面积为(−)×(−)÷2=6−4. 故答案为：6-点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.56．如图,△ABC 中，∠C=90º，AM 平分∠CAB ，cm ，AB=6cm ，则△ABM 的面积是________．【答案】【解析】作MD AB ⊥ ，易得，则△ABM三、解答题57．如图所示，∠AOB ＝∠COD ＝90°，OE 为∠BOD 的平分线，∠BOE ＝22°，求∠AOC 的度数．【答案】136°【解析】【试题分析】利用角平分线的定义求出BOD ∠ ,22244︒⨯=︒ ，再利用周角的定义，计算∠AOC=360909044136︒-︒-︒-︒=︒ 即可【试题解析】OE 为∠BOD 的平分线, ∠BOE ＝22°222244BOD BOE ∴∠=∠=︒⨯=︒∠AOB ＝∠COD ＝90°，∴ ∠AOC=360909044136︒-︒-︒-︒=︒即∠AOC=136︒58．如图，已知点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，（1）若∠A=30°，则∠BOC的大小是________；（2）若∠A=60°，则∠BOC的大小是________；（3）若∠A=n°，则∠BOC的大小是多少？试用学过的知识说明理由．【答案】（1）105°（2）120°（3）12n°+90°.【解析】试题分析：∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，等量代换得到∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°，根据三角形的内角和定理即可得到结论.试题解析：（1）如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°，又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BOC=12∠A+90°=105°；（2）如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°，又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BOC=12∠A+90°=120°；（3）∠BOC=12n°+90°，∵OB、OC是两条角平分线，∴∠OBC=12∠ABC, ∠OCB=12∠ACB ，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（12∠ABC+12∠ACB）=180°-12（∠ABC+∠ACB）=180°-12（180°-∠A）=12∠A+90°=12n°+90°.59．如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD△BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图见解析．【解析】试题分析：根据题意可知，作∠BDC的平分线交BC于点P即可．试题解析：如图，点P即为所求．考点：作图—基本作图．60．如图，点在以为直径的上，点是的中点，过点作垂直于，交的延长线于点，连接交于点.（1）求证：是的切线；（2）若，求的长.【答案】（1）见解析；（2）16.【解析】试题分析：（1）连接OC，由点C是的中点利用垂径定理可得出OC∠BE，由AB是∠O的直径可得出AD∠BE，进而可得出AD∠OC，再根据AD∠CD可得出OC∠CD，由此即可证出CD是∠O的切线．（2）过点O作OM∠AC于点M，由点C是的中点利用圆周角定理可得出∠BAC=∠CAE，根据角平分线的定理结合cos∠CAD=可求出AB的长度，在Rt∠AOM中，通过解直角三角形可求出AM的长度，再根据垂径定理即可得出AC的长度．试题解析：（1）证明：连接OC，如图1所示．∠点C是的中点，∠，∠OC∠BE．∠AB是∠O的直径，∠AD∠BE，∠AD∠OC．∠AD∠CD，∠OC∠CD，∠CD是∠O的切线．（2）解：过点O作OM∠AC于点M，如图2所示．∠点C是的中点，∠，∠BAC=∠CAE，∠．∠cos∠CAD=，∠，∠AB=BF=20．在Rt∠AOM中，∠AMO=90°，AO=AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD=，∠AM=AO•cos∠OAM=8，∠AC=2AM=16．考点：切线的判定与性质；解直角三角形；平行线的性质；垂径定理；圆周角定理角平分线的性质.。

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