布朗运动理论一百年
布朗运动理论
布朗运动理论布朗运动是物理学中的一种现象，由罗伯特·布朗在19世纪末观察到并进行了详细研究。
该理论被广泛应用于许多领域，如颗粒物理学、化学、生物学和金融等。
本文将探讨布朗运动的定义、原理以及应用，并对其重要性进行分析。
一、布朗运动的定义布朗运动是一种无规则的、连续的、无记忆性质的运动。
在布朗运动中，微小粒子或颗粒不断地做无规则的运动，呈现出随机性和不可预测性。
这种运动的主要特点是颗粒以相对较小的速度在液体或气体中做无规则的碰撞和扩散运动。
二、布朗运动的原理布朗运动的原理主要是由液体或气体中的分子碰撞引起的。
根据统计物理的观点，在溶液或气体中，微观颗粒受到分子碰撞的力的作用，从而产生了布朗运动。
这种分子碰撞是随机的，没有规律可循。
三、布朗运动的数学描述布朗运动的数学描述采用随机游动的模型。
在一段极短的时间间隔内，粒子的运动方向和速度都是随机的。
根据这一模型，布朗运动可以使用随机过程来描述，其中最普遍的模型是随机游动模型。
四、布朗运动在物理学中的应用1. 粒子物理学：布朗运动在粒子物理学中是一个重要的参考，可以用来描述粒子在物质中的扩散运动。
2. 化学反应：布朗运动在化学反应中起到了重要的作用。
通过对布朗运动的研究，可以更好地理解化学反应速率和反应动力学。
3. 生物学：布朗运动在细胞生物学和分子生物学中也具有重要意义，用来描述细胞内分子的运动。
五、布朗运动在金融中的应用布朗运动在金融学中有着广泛的应用。
布朗运动模型被用来描述股票价格、证券价格等金融市场中的随机波动。
通过布朗运动模型，可以进行期权定价、风险管理等金融工具的应用和分析。
六、布朗运动的重要性布朗运动的研究对我们理解自然界、物质运动和微观粒子行为有着重要的意义。
它为我们提供了对随机性运动的认识，并在许多领域中提供了解决问题的方法和途径。
布朗运动的应用广泛，在理论和实践中均发挥着重要的作用。
七、结论布朗运动理论从物理学、化学、生物学到金融学等领域都有着广泛的应用，对于研究和理解自然界中的随机运动具有重要意义。
布朗运动、郎之万方程式、与布朗动力学
將方程式(1)乘上x，我們得到
m
d dx dx 2 d2x x m x dt 2 dt dt dt m dx x R(t ) )與粒子所處位置x並無相關性，所以
R (t ) x 0 。同時熱力學平衡時，系統中粒子的平
而 言 ， Brownian Dynamics 算 是 一 種 coarse-grained model。 在含許多布朗粒子的系統中，遵循動量守恆概念 的『郎之萬』方程式可直接推展為
mi
d 2 xi dx mi i i Fi j R i 2 dt dt j
(4)
這裡 ri 與 mi 分別為布朗粒子i的位置與質量， i
R i (t )R j (t ) 2 i k B T ij (t )I ，這裡 I 為 3 3 的單
位張量(unit tensor)， k B 是波茲曼常數，T為絕對溫度，
i j 是Kronecker delta ( ij =0, 若ij； ij =1, 若ij)。當
流體的黏滯阻力很大或是僅對長時間的結構動態有興 趣時，我們可以忽略在方程式(4)左邊的慣性項，方程 式 簡 化 成 “ 位 置 朗 之 萬 方 程 ”(Position Langevin Equation)。
(friction coefficient) 。 將 該 結 果 代 入 Nernst-Einstein Equation可得到Stokes-Einstein equation， D k BT 。 6a 綜而言之，兩類方法可用來描述布朗粒子在外加 力場下的隨機運動。第一種方法是以機率平衡方程 Fokker-Planck Equation來描述粒子在時間t、位置x、速 度 v 時的機率 P(x,v,t) ；第二種方法則是透過 Langevin Equation來描述粒子隨著時間t改變的運動軌跡。這些 研究方法除了被使用在瞭解布朗運動外，也被運用到 其它熱擾動扮演重要角色的研究領域，例如化學反應 動 力 學 (chemical dynamics) 和 生 物 奈 米 科 技
布朗与布朗运动的发展
Ε W s fα ( x , y )W s fα ( x + τ x , y + τ y ) = Rw s fα (τ x , τ y )
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布朗运动在经济方面的发展
亚 权 张 权 约， 权 内 均值 声资产 经历 价格 均值。这 谓 均 两 均。 Jt…÷•I 个 义： 术 均 均。假设Jt…÷•I ， 径变 从 时刻时 时刻tŠf•® ， 么 均值 均值
算术平均 离散情形 几何平均
1 n Jn = ∑i =1 Sti n 1 t Jt = ∫ Srdr t 0
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布朗运动的发现
布朗运动是小颗粒的运动，不是分子的运动， 布朗运动是小颗粒的运动，不是分子的运动， 它是液体（或气体）分子无规则运动的反映。 它是液体（或气体）分子无规则运动的反映。
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受理条件
r ˆ ∞ ψ (w) r ∞ r r ˆ Cψ = ∫ r dw < ∞ ⇒ψ (0) = 0 ⇒ ∫−∞ψ (x)dx = 0 −∞ w
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布朗运动在数学方向的发展
二维估计分数布朗运动（fBm特征）及其应用使 特征） 二维估计分数布朗运动（fBm特征 用小波
爱
与 运动
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布朗运动在数学方向的发展
布朗运动理论
布朗运动理论一百年1布朗运动理论一百年郝柏林由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。
爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。
1 我们从布朗运动本身开始回顾英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1927年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。
他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。
布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。
事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。
他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。
2 科学前沿与未来2 爱因斯坦的扩散长度公式爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。
他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。
爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。
这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。
然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。
这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。
”爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。
布朗运动的数量级
布朗运动的数量级1.引言1.1 概述布朗运动是由英国科学家罗伯特·布朗于1827年发现的一种微粒在液体或气体中无规律地运动的现象。
它是由于流体中的微观分子的碰撞和运动而产生的，这些微观分子与布朗粒子产生的碰撞使得布朗粒子呈现出随机运动的特点。
布朗运动是一种无规律的、不可预测的运动，即使在相同初始条件下，每次运动的轨迹也都是不同的。
布朗运动的轨迹呈现出无规律性和随机性，在统计学上可以用随机漫步模型来描述。
这种运动在很多领域都有着广泛的应用，比如金融、物理学、生物学等。
布朗运动的数学模型是通过随机漫步理论来描述的。
随机漫步理论认为，在布朗运动中，布朗粒子在每个微小时间段内的位移是一个随机变量，符合正态分布。
这种随机性使得布朗运动的轨迹呈现出连续不断的波动，与我们日常观察到的运动方式有所不同。
布朗运动的数量级分析是对布朗运动中的运动特性进行量化和分析的过程。
通过对布朗运动的数量级进行分析，可以揭示出布朗粒子的运动规律和特点。
布朗运动的数量级分析可以从多个角度进行，比如分析布朗粒子的速度、位移、扩散系数等。
这些分析有助于我们更好地理解和应用布朗运动。
在实际应用中，布朗运动具有很高的意义。
例如，在金融领域，布朗运动被广泛应用于股市价格的预测和波动性分析。
在物理学中，布朗运动被用于研究微观粒子的运动和扩散行为。
在生物学中，布朗运动被用于描述细胞内分子的运动和扩散过程。
布朗运动的研究和应用为我们深入理解自然界中的运动现象提供了重要的理论基础。
总之，布朗运动是一种无规律的、随机的运动现象。
它的数学模型通过随机漫步理论进行描述，数量级分析可以揭示出布朗运动的运动规律和特点。
在实际应用中，布朗运动具有广泛的应用价值，为我们认识和探索自然界中的各种运动现象提供了重要的理论支持。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要围绕布朗运动的数量级展开讨论。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先对整篇文章进行概述，介绍了布朗运动的基本定义和特点。
统计物理学中的布朗运动模型
统计物理学中的布朗运动模型在统计物理学的研究中，布朗运动模型是一个非常重要的概念。
它的研究源于对自然界中微观粒子运动的观察和理论推导。
布朗运动模型在物理、化学、生物学等学科的研究中都有广泛应用，由此可见它的重要性。
布朗运动模型最初是由英国科学家罗伯特-布朗在1827年观察颗粒在水中做无规则运动而提出的。
这种无规则运动是小颗粒在液体中被分子碰撞碰散之后的结果。
后来，法国物理学家爱因斯坦在他的博士论文中给出了对布朗运动的更加深入的理论描述，建立了现代布朗运动模型的理论基础。
布朗运动的特点在于：颗粒的运动轨迹呈现无规则的、扭曲的、抖动的形式，一般而言不呈现任何规则性。
这种运动状态被称为布朗运动，也常常被称为三维随机游走。
随机游走在物理学中是指一个性质相同的微观粒子在时刻之间独立地随机“跳动”，这里的“跳动”可以是粒子沿某个方向的“行走”，也可以是粒子的随机运动。
布朗运动可以用统计物理学中的随机过程理论来描述，这样的过程可以用概率分布来刻画。
布朗运动模型的研究对于理解分子扩散、粒子输运、热力学等诸多问题具有重要意义。
分子扩散是物质传递和物质转化过程中的基础问题，布朗运动模型对其的解释与研究为分子扩散现象的研究奠定了基础。
粒子输运是生物分子运输、微流控领域以及材料科学中的一个关键问题，这个问题也可以通过布朗运动模型进一步探究。
热力学是物理学中的一个基本分支，它研究了热的本质和热现象的性质，布朗运动模型在热现象的研究中也发挥了重要作用。
布朗运动模型研究的一个重点是描述和探究它的统计行为。
这个主题对于我们了解布朗运动的性质、发展布朗运动理论以及应用布朗运动模型进行实验有着重要意义。
传统的统计物理学中，我们用统计物理学中的基本概念来研究系统，其中群体性质占据中心地位。
通过这样的方法，我们可以了解群体性质如何影响运动、热力学性质、输运等现象。
统计物理学中研究的随机过程模型也可以用来研究布朗运动模型，这里的“随机过程”是指某个或某些物理量在时间或空间上呈现出的不确定性。
布朗运动理论简介
f (x1 , x2," , xn ) = ⎧ 1 ⎡x 2 (x − x )2 ⎫ (x − xn−1)2 ⎤ 1 ⎪ ⎪ ⎥ exp ⎨ − ⎢ 1+ 2 +" + n ⎬ (7) ⎢ ⎥ t t t t t 2 − − ⎭ n n−1 2 1 ⎩ ⎣ 1 ⎦ ⎪ ⎪ (2π)n / 2[t1(t2 − t1)"(tn − tn−1)]1/ 2
连续,在 t > 0 连续,
3 布朗运动的变形形式
O
X(t) 的任一样本函数 x(t) 在 t > 0 连续,但
却处处不可导(图 2).
t
布朗运动的变形可以导出其他的随机过程,他们 有各自特定的性质,在数学建模中也有广泛的应用,设
图 2 X(t) 的一个样本函数
X(t) 是标准的布朗运动,下面是布朗运动常用的一些
t > 0 时刻开始,每隔 ∆t 时间,粒子等概率的向左或者
向右移动大小为 ∆ x 距离 , 设 t 时 刻粒子的位置为 X(t) , 则 X(t) 可 以表示为
←⎯⎯⎯ → O
p = 1/ 2
x
图1
随机游走
X(t) =∆ x(X 1 + X 2 + " + X[t /∆ t ])
(1)
f (x, t) =
中,并且令 ∆t → 0 ,得到
∂f (x, t) ∂2 f (x, t) =D ∂t ∂x 2
(2)
(6)
上式中 , D 为扩散系数 , D = 2 RT / Nf , R, N 均为常 数, f 是反映液体性质的常量, T 是温度. 可以验证式
(5) 是方程 (6) 的解 , 已经证明 , 若 X(t) 在 t = 0 连续 (依概率连续)的条件下式(6)的解是唯一的.
标准布朗运动
标准布朗运动布朗运动是指微观粒子在液体或气体中因受到分子碰撞而呈现出的无规则运动。
这种运动最早由英国植物学家罗伯特·布朗在1827年观察到，因而得名。
标准布朗运动是指在标准条件下进行的布朗运动实验，其结果被用作研究微粒子在流体中的运动规律的基础数据。
在标准布朗运动实验中，通常会选择一种特定的微粒子，如颗粒或胶体微粒，悬浮在特定液体中，并通过显微镜观察其运动轨迹。
通过记录微粒子在不同时间段内的位置变化，可以得到微粒子的位移、速度和加速度等运动参数，从而揭示微粒子在流体中的运动规律。
标准布朗运动的研究对于理解分子动力学和热力学性质具有重要意义。
根据爱因斯坦在1905年提出的布朗运动理论，微粒子在流体中的运动服从于随机过程，其平均位移与时间成正比，速度的平方与时间成线性关系。
这一理论为后续对布朗运动的研究提供了重要的理论基础。
通过对标准布朗运动的实验研究，科学家们发现微粒子在流体中的运动呈现出与经典力学规律不同的特性。
在布朗运动中，微粒子的运动轨迹呈现出无规则性、不可预测性，这与牛顿力学的确定性运动规律形成鲜明对比。
这一现象被称为“布朗运动之谜”，成为了物理学和化学领域中的一个重要研究课题。
除了理论研究外，标准布朗运动在实际应用中也具有重要意义。
例如，在纳米技术领域，研究微纳米尺度下颗粒在流体中的运动规律对于设计纳米材料和纳米器件具有重要意义。
通过对标准布朗运动的研究，科学家们可以更好地理解微纳米尺度下颗粒的扩散、输运和聚集等过程，为纳米材料的制备和应用提供理论指导。
总之，标准布朗运动作为研究微粒子在流体中运动规律的基础实验，对于理解分子动力学和热力学性质具有重要意义。
通过对布朗运动的观察和分析，科学家们揭示了微粒子在流体中呈现出的无规则运动特性，为纳米技术和其他领域的应用研究提供了重要的理论基础。
因此，标准布朗运动的研究不仅在理论上具有重要意义，同时也具有广泛的应用前景。
布朗运动
出擴散方程式。以下我們簡單的介紹愛因斯坦的分析 過程，首先，為了簡潔起見，我們只考慮一維空間擴 散的情況，讀者可依照以下的分析脈絡推廣到三維空 間的情況。 我們用 P(Δ)代表一個懸浮粒子，在特徵時間τ 的範圍，在 x 方向位移Δ所對應的機率密度。顯然 的，P(Δ)必須滿足歸一化的條件， ∫−∞ P( ∆ )d ∆ = 1 ， 以及正負對稱的性質 P(Δ)=P(-Δ)。此外，由於特徵 時間τ(≈10 sec)非常地短，所以機率分佈 P(Δ)應該 非常集中於Δ的絕對值很小的範圍。此外，我們以 f(x,t)代表懸浮粒子在位置 x、時間 t 的時候，所對應 的數目密度。由前述的阻滯力作用與熱擾動的動態平 衡，造成的獨立運動的概念，我們可推得以下的關係 式： f ( x,t + τ ) = ∫∆=−∞ f ( x − ∆ ,t )P( ∆ )d ∆ 。因為特徵時 間τ很小，所以 f ( x,t + τ ) ≈ f ( x,t ) + τ
圖四：物理學家愛因斯坦（ Einstein ）（引用圖片來源： http://www.dlr.de/Schoollab/Oberpfaffenhofen/Experimente/G PS/;internal&action=printview.action）
述的阻滯力的影響。此外，他是第一個科學家指出在 布朗運動定量性的實驗觀察中，應該測量的是微小懸 浮粒子做布朗運動時，所對應的位移大小平方的平均 值與時間的關係，而不是測量瞬間速度。因為以當時 的實驗技術，所能達到的時間上或空間上的解析度， 都是很粗糙的，根本不足以確定如此不規則、凌亂的 鋸齒狀運動的瞬間速度。
f ( x − ∆ ,t ) ≈ f ( x,t ) − ∆
此
f +
罗伯特布朗的布朗运动和数学建模
羅伯特布朗的布朗运动和数学建模罗伯特·布朗是19世纪的一位英国植物学家，以其对微观粒子的研究而闻名。
1831年，他首次观察到悬浮在液体中的微小颗粒呈现随机运动，这种现象后来被称为布朗运动。
布朗运动不仅在物理学中具有重要意义，也为生物、化学和金融等领域提供了深化理解随机过程中基本原理的基础。
本文将探讨罗伯特·布朗发现的布朗运动及其背后的数学建模，旨在更全面地理解这一现象的科学价值。
布朗运动的起源布朗运动的发现源于布朗对花粉颗粒在水中悬浮时的观察。
当他通过显微镜观察水中花粉颗粒时，惊讶地发现这些颗粒并不是静止不动，而是呈现出无序的、持续的运动。
他随后进行了多次实验，确认这一现象并非花粉本身特有，而是普遍存在于其他悬浮微粒中。
这一发现引起了科学界的广泛关注，随后，许多科学家开始对此进行深入研究。
随着对现象本质的探索，许多学者尝试用理论模型来解释这种不可预测的随机运动，并揭示其背后的原因。
布朗运动的物理机制布朗运动是由液体分子对悬浮微粒施加随机碰撞造成的。
在液体中，分子不断具有热能地运动，并且通过碰撞与周围的小颗粒相互作用。
这些不可预知的分子碰撞使得微小颗粒发生错综复杂的运动，而没有任何可明显辨别的方向或模式。
在一定温度下，分子的运动将为颗粒提供动能，使得它们在液体中进行无规则、连续的移动。
温度越高，分子的能量增大，导致布朗运动更加剧烈。
通过这一研究，可以看出布朗运动不仅仅是一个物理现象，也与热力学法则密切关联。
数学建模布朗运动要对布朗运动进行定量描述，科学家使用了一系列数学模型。
从随机游走理论到扩散方程，这些模型成功捕捉到了布朗运动的关键特性。
随机游走模型随机游走是一种用于模型化随机过程的重要工具。
在这种模型中，可以将每一步移动视为具有一定概率朝某个方向前进或后退。
通过重复这种过程，可以模拟出布朗运动的路径。
在一维情况下，如果假设粒子每一步以1单位长度向左或向右移动，向左和向右的概率均为0.5，那么随着步数n趋于无穷大，粒子离初始位置的期望距离逐渐增大。
第三章布朗运动1
W (t2 )-W (t1 ),W (t1 )-W (t0 ) 是相互独立的随机变量 （４）随机过程Ｗ具有连续的样本轨道 W (0) 0 的ＢＭ也称为标准Ｂｒｏｗｎ运动
Wiener过程
称实S.P.{W(t),t≥0}是参数为σ 2的Wiener过程, 如果
(1) W (0) 0
(2)
{W (t ), t 0}是平稳的独立增量过程．
在W(t0)=x0的条件下，W(t0+t)的条件密度函数为
( x x0 )2 2t
1 fW t t W t x x0 e 0 0 2 t
P W t0 t x0 W t0 x0 P W t0 t x0 W t0 x0
x2 x1
1 e 2 (t2 t1 )
y2 2( t2 t1 )
dy
所以
E[W t2 W t1 x0 ] x0
W(t2)-W(t1) 与W(t1)独 立
Var W t2 W t1 x0 t2 t1 E[W t2 W t1 ] W t1 Var W t2 W t1 t2 t1
RW ( s, t ) CW ( s, t ) 2 min( s, t ), s, t, 0
(2) 由(1)易知有
mW (t ) 0, DW (t ) t, t 0
2
对s≥0, t ≥0,不妨设 s≤t,则
RW (s, t ) E[W (s)W (t )]
E[(W ( s) W (0))(W (t ) W ( s) W ( s))]
f x1 , x2 ,
布朗运动的计算
该方法适用于研究布朗运动的宏 观性质和统计规律，如均方位移、
扩散系数等。
扩散系数法需要确定扩散系数和 其他相关参数，这些参数的准确
性对计算结果的影响较大。
04 布朗运动的应用
在物理领域的应用
分子扩散
布朗运动是分子扩散的主要原因 之一，通过布朗运动，分子在液 体中不断进行无规则的随机运动， 从而实现物质传递和混合。
03 布朗运动的计算方法
直接模拟法
01
直接模拟法是一种基于物理原 理的布朗运动计算方法，通过 模拟布朗粒子的运动轨迹来计 算布朗运动的位移和速度。
02
该方法需要跟踪每个布朗粒子 的运动轨迹，因此计算量大， 计算时间长，但结果准确可靠 。
03
直接模拟法适用于研究布朗运 动的微观机制和特性，如布朗 粒子的扩散系数、碰撞频率等 。
热传导
布朗运动可以影响物质的热传导 性能，通过研究布朗运动对热传 导的影响，有助于理解物质的热 性质和设计更高效的热管理材料。
光学性质
布朗运动可以影响物质的光学性 质，如散射和吸收等，通过研究 布朗运动对光学性质的影响，有 助于理解物质的光学性质和应用。
在化学领域的应用
化学反应动力学
布朗运动可以影响化学反应的速 率和机理，通过研究布朗运动对 化学反应的影响，有助于理解化
学反应的动力学和机理。
催化剂设计
布朗运动可以影响催化剂的活性， 通过研究布朗运动对催化剂活性的 影响，有助于设计更高效的催化剂。
药物传递
布朗运动可以用于药物传递系统中， 通过控制药物的布朗运动，可以实 现药物的定向传递和释放。
在生物学领域的应用
细胞生物学
布朗运动是细胞内分子运动的主要方式之一，通过研究细 胞内分子的布朗运动，有助于理解细胞的功能和代谢机制。
《布朗运动》 知识清单
《布朗运动》知识清单一、什么是布朗运动布朗运动是指悬浮在液体或气体中的微粒所做的永不停息的无规则运动。
这些微粒通常非常小，肉眼难以直接观察到。
比如在显微镜下，我们可以看到花粉颗粒在水中的不规则运动。
布朗运动并非由外界的驱动力或者定向的力所引起，而是由于液体或气体分子对微粒的不断碰撞而产生的。
二、布朗运动的发现布朗运动是由英国植物学家罗伯特·布朗在 1827 年首先观察到的。
当时，布朗正在研究植物花粉。
他在显微镜下发现花粉颗粒在水中不停地做无规则运动。
起初，他以为这种运动是由于花粉具有生命活动引起的。
但后来他发现，即使是无生命的颗粒，如矿物粉末，在液体中也会表现出同样的无规则运动。
三、布朗运动的特点1、无规则性微粒的运动轨迹没有任何规律可循，其运动方向和速度在不断变化。
2、永不停息只要液体或气体的温度不降到绝对零度，布朗运动就不会停止。
3、颗粒越小，运动越明显较小的颗粒受到分子碰撞的影响更显著，因此其运动更剧烈。
4、温度越高，运动越剧烈温度升高，分子的热运动加剧，对微粒的碰撞更频繁且更有力，导致微粒的布朗运动更加活跃。
四、布朗运动的产生原因布朗运动的本质是由于液体或气体分子的热运动。
分子在不停地做无规则的热运动，它们会不断地撞击悬浮的微粒。
由于分子运动的随机性和不均匀性，微粒受到的撞击力在大小和方向上都是随机变化的。
这种随机的撞击力使得微粒不断改变运动状态，从而表现出无规则的布朗运动。
五、布朗运动与分子热运动的关系布朗运动不是分子的热运动，但它反映了分子的热运动。
通过观察布朗运动，可以间接了解分子热运动的情况。
分子热运动是布朗运动产生的原因，而布朗运动则是分子热运动的宏观表现。
六、布朗运动的理论解释爱因斯坦和斯莫卢霍夫斯基等科学家对布朗运动进行了深入的理论研究。
他们基于分子热运动的理论，成功地解释了布朗运动的一些特性，如微粒的位移分布等。
这些理论成果为分子动理论的发展提供了重要的支持。
七、布朗运动的实验验证为了验证布朗运动的理论，科学家们进行了大量的实验。
布朗运动——精选推荐
布朗运动43 布朗运动华东理⼯⼤学化学系胡英43.1 引⾔1827年，英国植物学家布朗(Brown R)在光学显微镜下发现了悬浮在⽔中的花粉颗粒进⾏着⽆休⽌的不规则运动，他正确地将这种以后被称为布朗运动的起因归结于物质的分⼦本性。
但争论⼀直延续，直到1888年古艾(Gouy G)做了排除了其它可能原因如机械振动、对流和光照的实验后，才告消除。
正如佩兰(Perrin J)在1910年指出的，颗粒的独⽴运动并不受到密度和组成的影响。
在《物理化学》6.4中对布朗运动已有了初步的讨论，导得了爱因斯坦(Einstein A)-斯莫鲁霍夫斯基(Smoluchowski M von)⽅程，Dt z 22>=<，其中><2z 是颗粒在t 时的均⽅位移，D 是扩散系数；⼜导得斯托克斯(Stokes G G)-爱因斯坦⽅程，) π6/(L r RT D η=，r 是颗粒半径，η是粘度。
在本章中将进⾏更深⼊的介绍。
我们将从计⼊随机⼒的朗之万(Langevin P)⽅程开始，⾸先对单个粒⼦的运动解出其速度和位移，并引⼊时间相关函数；然后讨论在位形和速度相空间中找到颗粒的概率，导出其随时间的演变，得出扩散⽅程。
最后在结语中简要提及不同颗粒运动间的相关。
对布朗运动的进⼀步了解，将为研究稠密流体包括⾼分⼦熔体中的传递打下良好的基础。
43.2 朗之万⽅程设在粘度为η、密度为ρ的流体中，有⼀半径为a 质量为m 的中性球体颗粒漂浮着，颗粒密度可视为与流体密度相同，因此有3/43ρa m π=。
如果时间尺度⽐起ηρ/2a ⾜够长(后者称为粘滞弛豫viscous relaxation ，来源见后)，运动的幅度⼜⽐a ⼩时，这时流体的粘滞响应可⽤准稳态的斯托克斯拖曳⼒来表⽰，可以应⽤斯托克斯定律u f a ηπ=6，f 即拖曳⼒或摩擦⼒，t d /d r u =是颗粒的运动速度，r 是位置，f 、u 、r 均为⽮量。
布朗运动理论一百年
布朗运动理论一百年郝柏林由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。
爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。
1 我们从布朗运动本身开始回顾英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1827年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。
他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。
布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。
事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。
他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。
2 爱因斯坦的扩散长度公式爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。
他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。
爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。
这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。
然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。
这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。
”爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。
我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数D 的推导，直接从熟知的（一维）扩散方程出发：22D t xρρ∂∂=∂∂ 假定在t =0时刻粒子位于x =0处，即ρ（x ，0）=δ（x ），扩散方程的解是：()241,4πx Dt x t e Dtρ-= 即粒子的密度遵从高斯分布。
关于布朗运动的理论(爱因斯坦)
关于布朗运动的理论爱因斯坦1905年12月在我的论文《热的分子［运动］论所要求的[静］液体中悬浮粒子的运动》发表后不久，（耶那的）西登托普夫（Siedentopf）告诉我：他和别的一些物理学家——首先是（里昂的）古伊（Gouy ）教授先生一一通过直接的观测而得到这样的信念，认为所谓布朗运动是由液体分子的不规则的热运动所引起的。
不仅是布朗运动的性质，而且粒子所经历路程的数量级，也都完全符合这个理论的结果。
我不想在这里把那些可供我使用的稀少的实验资料去同这个理论的结果进行比较，而把这种比较让给那些丛实验方面掌握这个问题的人去做。
下面的论文是要对我的上述论文中某些论点作些补充。
对悬浮粒子是球形的这种最简单的特殊情况，我们在这里不仅要推导出悬浮粒子的平移运动，而且还要推导出它们的旋转运动。
我们还要进一步指明，要使那篇论文中所给出的结果保持正确，观测时间最短能短到怎样程度。
要推导这些结果，我们在这里要用一种此较一般的方法，这部分地是为了要说明布朗运动同热的分子［运动］论的基础有怎样的关系，部分地是为了能够通过统一的研究展开平动公式和转动公式。
因此，假设α是一个处于温度平衡的物理体系的一个可量度的参数，并且假定这个体系对于α的每一个（可能的）值都是处在所谓随遇平衡中。
，按照把热同别种能量在原则上区别开的古典热力学，α不能自动改变；按照热的分子〔运动］论，却不然。
下面我们要研究，按照后一理论所发生的这种改变必须遵循怎么样的定律。
然后我们必须把这些定律用于下列特殊情况：——1、 α是（不受重力的作用的）均匀液体中一个球形悬浮粒子的重心的 X 坐标。
2、α是确定一个球形粒子位置的旋转角，这个粒子是悬浮在液体中的，可绕直径转动。
§1、热力学平衡的一个情况假设有一物理体系放在绝对温度为 T 的环境里，这个体系同周围环境有热交换，并且处干温度平衡状态中。
这个体系因而也具有绝对温度T ，而且依据热的分子［运动］论，它可由状态变数p p n 1完全地确定下来。
第十二章 涨落理论
(85.12)
扩散方程（85.11）在初始化条件（85.12）下的解为
n ( x, t ) =
N 2 π Dt
e
−
x2 4 Dt
（85.13）
这说明，颗粒的密度分布是与 t 有关的高斯误差分布。随着 t 增加，颗粒逐颧向两边扩散。 由（85.13）式可以求得颗粒位移平方的平均值：
x2 =
1 N
∫
∞
密度。 为了将 V 2 按频率分解，我们将 V(t)作富氏变换：
V ( t ) = ∫ V (ω )eiωt dω
−∞
∞
（86.4）
其逆变换为
V (ω ) =
1 2π
∫ ∫
∞
−∞
V ( t )e − iωt dt
−∞
x 2 n ( x, t ) dx = 2 Dt
(85.14)
(85.14)式的结果与朗之万理论的结果(85.8)是—致的。将两式比较可以求得，温度为 T 时颗 粒在粘滞阻力系数为 α 的介质中的扩散系数为
D=
kT
α
（35.15）
爱因斯坦， 斯莫陆绰斯基和朗之万等人所发展的布朗运动理论不仅正确地说明了布朗运 动的本质，而且预言了布朗运动的一系列特性。这些预言得到皮兰实验的完全证实。布朗运 动是当时能够以最直接和最明显的方式把分子运动显示出来的物理过程。 这些研究对于分子 运动论的确立曾经起过重要的历史作用。 布朗运动对于仪器的灵敏度有重要的影响。 电流计或其他仪器中带有用细丝悬挂的反射 镜。 在任一瞬间反射镜受到周围气体分子碰撞而施加的力矩一般说来是互不平衡的， 反射镜 因而不断进行着无规则的扭摆运动。这是布朗运动的又一例子。在反射镜的问题上，除了来 自空气阻尼和线路中的电磁阻尼而产生的阻尼力矩外， 当反射镜偏离平衡位置时， 细丝因扭 转而产生恢复力矩。 这里不准备详细讨论这个问题。 我们只根据能量均分定理计算反射镜由 于布朗运动而转动的角度的方均根值。由能量均分定理，得
爱因斯坦的布朗运动理论
爱因斯坦的布朗运动理论1905年，爱因斯坦依据分子运动论的原理提出了布朗运动的理论。
就在差不多同时，斯莫卢霍夫斯基也作出了同样的成果。
他们的理论圆满地回答了布朗运动的本质问题。
应该指出，爱因斯坦从事这一工作的历史背景是那时科学界关于分子真实性的争论。
这种争论由来已久，从原子分子理论产生以来就一直存在。
本世纪初，以物理学家和哲学家马赫和化学家奥斯特瓦尔德为代表的一些人再次提出对原子分子理论的非难，他们从实证论或唯能论的观点出发，怀疑原子和分子的真实性，使得这一争论成为科学前沿中的一个中心问题。
要回答这一问题，除开哲学上的分歧之外，就科学本身来说，就需要提出更有力的证据，证明原子、分子的真实存在。
比如以往测定的相对原子质量和相对分子质量只是质量的相对比较值，如果它们是真实存在的，就能够而且也必须测得相对原子质量和相对分子质量的绝对值，这类问题需要人们回答。
由于上述情况，象爱因斯坦在论文中指出的那样，他的目的是“要找到能证实确实存在有一定大小的原子的最有说服力的事实。
”他说：“按照热的分子运动论，由于热的分子运动，大小可以用显微镜看见的物体悬浮在液体中，必定会发生其大小可以用显微镜容易观测到的运动。
可能这里所讨论的运动就是所谓‘布朗分子运动’”。
他认为只要能实际观测到这种运动和预期的规律性，“精确测定原子的实际大小就成为可能了”。
“反之，要是关于这种运动的预言证明是不正确的，那么就提供了一个有份量的证据来反对热的分子运动观”。
爱因斯坦的成果大体上可分两方面。
一是根据分子热运动原理推导：在t 时间里，微粒在某一方向上位移的统计平均值，即方均根值，D是微粒的扩散系数。
这一公式是看来毫无规则的布朗运动服从分子热运动规律的必然结果。
爱因斯坦成果的第二个方面是对于球形微粒，推导出了可以求算阿伏伽德罗常数的公式。
爱因斯坦曾用前人测定的糖在水中的扩散系数，估算的NA值为×10^23，一年后1906又修改为×10^23。
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布朗运动理论一百年郝柏林由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。
爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。
1 我们从布朗运动本身开始回顾英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1827年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。
他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。
布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。
事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。
他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。
2 爱因斯坦的扩散长度公式爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。
他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。
爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。
这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。
然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。
这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。
”爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。
我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数D的推导，直接从熟知的（一维）扩散方程出发：假定在t =0时刻粒子位于x=0处，即ρ（x，0）=δ（x），扩散方程的解是：即粒子的密度遵从高斯分布。
对于固定的时刻t，x和x2的平均值分别是：〈x〉=0，〈x2〉=2Dt于是得到扩散长度的公式：这里出现了著名的爱因斯坦的1/2指数。
3 无规行走问题如果把时间离散化为步长Δt的小段，令t=nΔt，同时保持Δt适当的大，使得每小段时间头尾的运动彼此无关，于是行走n步的结果x n就是n 个独立随机变量之和。
自然：〈x n〉=0，〈x n2〉∝n可见，均方距离并不比例于步数n，而是：∝这里的1/2幂次出现在高分子构象统计等许多涉及随机运动的理论中。
离散的无规行走问题本身早已经发展成一个活跃的研究领域。
最简单的等步长的无规行走问题，除了〈x n〉=0，〈x n2〉∝n，还有一个重要特征量：从原点出发再次返回原点的概率。
它与空间维数有关。
一维行走返回原点的概率为1；二维行走返回原点的概率也是1；但三维行走返回原点的概率小于1，仅为 0.3405373296… （Pólyá常数）。
纯无规行走对于走过的点没有记忆。
非随机性表现为对历史的某种记忆。
可以考察〈x n2〉同n的关系，来判断所研究的过程偏离完全随机的程度。
如果走过的点都不许再碰，称为自回避行走（英文缩写是SAW）。
这是对溶液中高分子链的很好描述。
一种二维的、只是第一步不许返回的无规行走问题导致统计物理学中著名的二维伊辛（Ising）模型的严格解，但相应的三维推广只给出一个封闭的高温近似解。
[1]试问平面中n步正向SAW有多少种？这个种类数m是没有封闭解但存在具体答案的计数问题的实例：n123456789…m1251230731834561151…这是《整数序列全书》[2]中的第A046170号序列。
我们再看一个无规行走的“现代”应用：DNA行走。
对很长的由4个字母组成的DNA序列，令A、C、G、T对应上下左右4个方向。
从2维格子的原点和序列的最左端出发，每见到一个字母移动一格。
这不是随机行走，因为每个序列对应一个特定的实现，不能随机重复和取平均值。
然而，可以随着n增加，问行走n步之后，到原点的距离r n的平均值和平方平均值如何随n变化？自然，〈r n〉=0，但〈r n2〉∝nα中的指数α是大于、小于还是等于1/2？1992年发表在英国《自然》杂志上的一篇文章[3]考察了一维的DNA行走，即只区分两个左右方向：遇嘌呤（A或G）向左一步、遇嘧啶（C 或T）向右一步。
他们的结论是α＞1/2，而且编码段比非编码段更随机。
这篇文章引起了几百篇后继论文，正反参半。
4 皮兰实验和诺贝尔奖爱因斯坦并没有因为布朗运动理论而得到诺贝尔奖，但法国物理学家皮兰（Jean Baptiste Perrin，1870—1942）却因为1908年以来证实爱因斯坦理论的实验研究获得1926年的诺贝尔物理学奖。
获奖说明是“为了他关于物质离散结构特别是沉积平衡的发现”。
当时布朗运动实验的主要意义在于它证明了分子存在，并且提供了测量阿佛伽德罗常数的一种新办法。
沉积平衡的直观实例发生在超速离心机中。
高速旋转的处于水平位置的试管里，大小不同的颗粒在离心力作用下沿径向往外运动，越往外离心力也越大，但所受到的液体的黏滞阻力也越大，于是在一定半径处达到平衡。
这是现代分子生物学实验室里分离大小分子集团的重要手段之一。
由沉积平衡定义的沉积系数S，在分子生物学中作为分子量的度量一直沿用至今。
例如，23S rRNA确实比16S rRNA大，但并不成简单比例关系。
有趣的是同年的诺贝尔化学奖颁给了瑞典人斯维德堡（Theodor Svedberg，1884—1971），理由是“为了他关于弥散系统的工作”，而斯维德堡的诺贝尔演讲题目却是“超速离心机”。
沉降系数S又称斯维德堡单位，并没有因为皮兰而改用P。
5 朗之万方程法国物理学家朗之万（Paul Langevin，1872—1946）是中国物理学界的朋友。
他在1931年作为国际物理学联合会的代表来到当时的北平，协助建立了中国物理学会，并且当选为中国物理学会的第一位外籍会员。
他是我国声学前辈汪德昭先生的老师。
朗之万晚年成为法国共产党人和反法西斯抵抗运动的斗士。
爱因斯坦用统计物理和流体力学方法，考察多个布朗粒子的分布，导出了扩散长度公式。
朗之万在1908年为单个粒子写出“随机力”F(t)作用下的“牛顿方程”：其中摩擦系数由斯托克斯公式k=6πηa/m给出，这里η是液体的黏性、a是球形粒子的半径，而m是粒子质量。
这是历史上第一个随机微分方程。
我们先不把随机力F(t)具体化，直接对线性的朗之万方程求积分：重要的不是各种物理量的瞬时值，而是它们的时间平均值，例如：上面各式中的尖括号表示对随机力的分布求平均值。
很自然地假定：于是在t→∞的极限，速度的平均值为零，而速度的自关联也极短。
朗之万方程肇始了整个随机微分方程的数学理论。
我们主要沿三条线对后来的发展稍作说明：（1）朗之万方程的各种推广：广义朗之万方程；（2）决定朗之万随机变量分布函数的方程：福克—普朗克方程；（3）朗之万解空间上的连续积分。
6 广义朗之万方程线性的朗之万方程后来结合各种应用被大踏步地推广。
广义朗之万方程可以写成：其中非随机力K i由两项组成：第一项是可以由位势V微分得到的广义力，σij的对称部分对应耗散，而反称部分对应保守的正则力；第二项是不能由位势得到的正则力，例如磁矩在磁场中所受力。
这就是川崎恭治用手工加进去的“模模耦合项”：其中A ij是反称的泊松括号或对易子。
对随机力做高斯分布假定：上式中σij与非随机力中的σij的对称部分相同，这是涨落耗散定理的后果。
7 涨落耗散定理其实，出现在线性的朗之万方程或广义朗之万方程中的两个常数，摩擦系数k和涨落力的关联强度D（或前面σij的对称部分）并不能随便给定。
它们的关系要由“终值条件”决定：时间无穷长时，布朗粒子要与所处环境达到热平衡，也遵从能量均分定理。
联系这两个量的关系因而含有温度T。
这个关系式也出现在爱因斯坦1905年的论文中。
这是涨落耗散定理的一个实例。
涨落耗散定理的另一个早期实例是电路中电流噪声和电阻的关系。
这两个例子代表着两类涨落耗散定理。
线性输运过程框架内的涨落耗散定理的一般理论，是在20世纪50年代建立的。
涨落耗散定理是接近平衡态的非平衡理论的重要内容。
接近平衡但又处于不平衡的系统中有三种最基本的过程，这就是趋向平衡、线性输运和涨落。
这三种过程本质上密切相关。
假定液体中某处的溶质浓度忽然比附近增高，因而局部偏离平衡，那下一时刻就会产生粒子流使得多余的溶质向浓度低的方向扩散。
扩散流比例于浓度梯度。
扩散引起耗散，不过耗散是比例于扩散流的平方的二阶效应。
无论局部的浓度增加是由于从外界注入溶质，还是来自内部涨落，随后发生的扩散过程是一样的。
这是涨落耗散定理的物理基础。
微分方程的初值问题在物理学中处理简单问题时比比皆是、司空见惯。
涨落耗散定理出现在求解朗之万方程所加的终值条件中。
我们在讨论布朗运动这样的复杂现象时常常遇到“终值条件”。
生物学家们描述更复杂的生命现象时有时使用“目的论”（teleology）的语言就更不足为奇了。
8 输运系数对称原理既然提到了线性输运过程，我们就再说几句，以便后面讲到涨落场论特别是其非线性推广时，有所对比。
首先是广义力和广义流的概念。
电位差导致电流，浓度差导致扩散流，温度差导致热流，等等。
可以定义广义势V，它的势差给出广义力F i，而广义力导致广义流J i。
这是“对角项”。
还可以存在非对角的交叉项：电位差可以导致热流，温度差可以引起电流，等等。
在线性范围内可以写成。
上式中ij称为输运系数。
恰当定义输运系数后，ij=ji，这就是输运系数对称原理或“倒易关系”。
历史上最早的倒易关系是19世纪汤姆逊为热电系数和电热系数导出的，他当时巧妙地利用了一个热循环做论据。
1968年昂萨格（Lars Onsager，1903—1976）因在1931年提出输运系数对称原理而获得诺贝尔化学奖。
顺便提一句，所谓“恰当”定义输运系数，就是考察决定总耗散的二次型，把它对角化以后的平方项的系数适当地归入原来线性输运系数的定义。
通常，这就是补上温度T的一定幂次。
9 欧尔斯坦-乌伦别克过程其实，前面依据物理直观写出的朗之万方程或广义朗之万方程，在数学上很成问题。
随机项使得它们的解可能变得无界，所涉及的导数也可能不存在。
由此在随机微分方程理论中引出来整个新篇章，如所谓伊藤清（ItÔ）算法和Stratonovich算法，它们在数学上等价，但数值计算时的方便程度不同。
我们不去涉足这些数学理论，只指出朗之万方程的一种研究得比较好的极限情况，是定常、高斯、马可夫和连续概率分布条件下的随机过程，即欧尔斯坦-乌伦别克（OU）过程。