微分方程教案-精选.
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)1. 引言本教案旨在介绍微分方程和常微分方程的基本概念和解法方法，帮助学生理解和掌握微分方程的应用。
微分方程作为数学中重要的研究领域之一，具有广泛的应用背景，在物理、经济、工程等领域中都有着重要的作用。
通过本教案的研究，学生将能够理解微分方程的意义和解题方法，为进一步研究高级数学和应用数学打下坚实的基础。
2. 微分方程的概念与分类2.1 微分方程的定义微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
它可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
2.2 常微分方程的分类常微分方程是指只包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类，其中一阶常微分方程包括可分离变量方程、线性方程和恰当方程等；高阶常微分方程包括二阶和以上阶数的常微分方程。
3. 常见的微分方程解法3.1 可分离变量方程的解法可分离变量方程是一类形如 $M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x)$、$N(y)$、$P(x)$、$Q(y)$ 是关于$x$ 或 $y$ 的函数。
可分离变量方程可以通过对方程进行变形和变量分离的方法求解。
3.2 线性方程的解法线性方程是一类形如 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的一阶常微分方程，其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是关于 $x$ 的函数。
线性方程可以通过求解定积分和应用特解的方法求解。
3.3 恰当方程的解法恰当方程是一类形如 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x,y)$、$N(x,y)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数，并且满足 $\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}$。
恰当方程可以通过利用积分因子的方法求解。
4. 实际应用案例分析本节将通过介绍一些实际应用案例，展示微分方程在物理、经济和工程等领域的应用。
高中数学教案解微分方程
高中数学教案解微分方程引言：微分方程是数学中的重要分支，既是专业的研究领域，也是高中数学课程的内容之一。
本教案旨在帮助高中数学教师更好地解析微分方程，引导学生理解其基本概念和解题方法。
一、微分方程的基本概念微分方程是包含导数或微分的方程，是研究变化和变化率的数学工具。
常见的微分方程类型包括一阶微分方程、二阶微分方程和高阶微分方程。
一阶线性微分方程具有一般形式dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
二、解微分方程的方法1. 可分离变量法可分离变量法适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程。
将变量分离后，将两边积分得到解。
例如，对于dy/dx = x/y，可以将方程改写为ydy=x*dx，然后积分求解。
2. 齐次微分方程齐次微分方程适用于形如dy/dx = f(y/x)的微分方程。
通过令v=y/x 进行变量代换，并化简方程，得到形如dv/(1-v) = f(x)dx的方程。
再次积分并变换回原变量，即可得到解。
3. 线性微分方程线性微分方程是形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的微分方程，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
常用的解法是利用积分因子法，通过乘以合适的积分因子，将方程转化为可积的形式。
具体步骤涉及计算积分因子、乘法积分和求解，并根据初始条件确定特定解。
4. 变量代换法变量代换法适用于形如dy/dx = f(ax+by+c)的微分方程。
通过引入新的变量和代换，可以将方程转化为一阶微分方程或者已知的微分方程类型，进而求解。
三、解题示例1. 题目：求解微分方程dy/dx = 2x解析：由题可知，这是一个可分离变量的微分方程。
将dy/dx = 2x 改写为dy = 2xdx，并积分两边，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
因此，微分方程的解为y = x^2 + C。
2. 题目：求解微分方程dy/dx = y/x解析：该方程为齐次微分方程。
高中数学教案微分方程
高中数学教案微分方程微分方程教案高中数学教案摘要：本教案主要介绍微分方程的基本概念、求解方法和应用，并设计了相关的教学活动和练习。
教学目标：1.了解微分方程的概念与分类，并理解微分方程的意义。
2.能够运用常微分方程的解法，解决简单的微分方程问题。
3.了解微分方程在实际问题中的应用，并能够将数学知识与实际问题相结合，解决实际问题。
教学重点：1.微分方程的概念与分类。
2.常微分方程的解法。
3.微分方程在实际问题中的应用。
教学难点：1.应用题中的问题分析和建立微分方程的能力。
2.求解复杂微分方程的能力。
教学准备：1.教师：PPT课件、教案、多媒体设备。
2.学生：教材、笔记本、计算器。
教学过程：一、导入（约5分钟）教师通过给学生出示一些实际问题，引发学生对微分方程的思考，激发学生的学习兴趣。
例如：一辆汽车在某段路程上的速度是多少？一杯冷水从什么温度下降到什么温度需要多长时间？二、知识讲解（约25分钟）1.微分方程的概念与分类（10分钟）教师结合多媒体展示，详细介绍微分方程的定义和分类，包括常微分方程和偏微分方程的区别，以及一阶、二阶微分方程等。
2.常微分方程的解法（15分钟）教师重点讲解常微分方程的解法，包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等，并通过示例演示每种方法的具体步骤和应用场景。
三、教学活动（约15分钟）1.小组讨论（10分钟）将学生分成小组，让他们根据所学的知识，自行应用解题方法解决教师提供的实际问题。
鼓励学生自主思考、合作探讨，培养学生的问题解决能力和团队精神。
2.展示与总结（5分钟）请每个小组派代表展示解题过程和结果，并让其他小组评价和提问。
教师及时纠正错误，总结解题思路和方法。
四、知识拓展（约20分钟）教师通过讲解微分方程在实际问题中的应用，如放射性衰变问题、人口增长问题等，引导学生将数学知识与实际问题相结合，培养学生应用数学解决实际问题的思维能力。
五、教学总结（约5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并展示一些典型的习题，让学生巩固所学知识。
《高职工科应用数学》教案40一阶微分方程
《高职工科应用数学》教案40一阶微分方程一、教学目标1.理解一阶微分方程的概念和基本性质。
2.掌握一阶可分离变量微分方程的解法。
3.熟练运用线性微分方程的解法。
4.了解齐次微分方程和一般一阶线性微分方程的解法。
5.能够应用一阶微分方程解决实际问题。
二、教学内容1.一阶微分方程的概念和基本性质1.1一阶微分方程的定义1.2一阶微分方程的基本形式1.3一阶微分方程的解的含义和概念1.4一阶微分方程的解的存在与唯一性定理2.一阶可分离变量微分方程的解法2.1可分离变量微分方程的基本概念2.2可分离变量微分方程的解的求法2.3可分离变量微分方程解的存在与唯一性定理3.线性微分方程的解法3.1线性微分方程的定义3.2线性微分方程的标准形式3.3齐次线性微分方程的解法3.4非齐次线性微分方程的解法4.齐次微分方程的解法4.1齐次微分方程的定义4.2齐次微分方程的解的形式4.3齐次微分方程的解的存在与唯一性定理5.一般一阶线性微分方程的解法5.1一般一阶线性微分方程的定义5.2一般一阶线性微分方程的解的形式5.3一般一阶线性微分方程的解的存在与唯一性定理6.应用一阶微分方程解决实际问题6.1几何问题的建模与求解6.2生活中的实际问题的建模与求解三、教学重点和难点1.一阶微分方程的概念和基本性质2.一阶可分离变量微分方程的解法3.线性微分方程的解法4.齐次微分方程的解法5.一般一阶线性微分方程的解法6.应用一阶微分方程解决实际问题四、教学策略1.打破传统的教学模式，采用探究式教学，鼓励学生主动思考和参与课堂讨论。
2.结合具体实例，生动形象地介绍一阶微分方程的概念和性质，激发学生的兴趣。
3.设计一些有趣的练习题和实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
五、教学资源1.教材：《高职工科应用数学》第五章2.多媒体课件3.相关的教学视频和软件六、教学评估1.课堂练习：通过课堂练习，检验学生对知识点的掌握程度。
2.课堂讨论：鼓励学生参与课堂讨论，检验学生的分析和解决问题的能力。
高中数学教案微分方程的基本解法与应用
高中数学教案微分方程的基本解法与应用高中数学教案：微分方程的基本解法与应用1. 介绍微分方程的概念和意义（200字左右）微分方程是描述物理、生物和工程等领域中变化规律的数学工具。
它可以用来描述未知函数的导数和未知函数之间的关系，并由此得到函数的解析解或数值解。
在物理学和工程学中，微分方程广泛应用于描述运动、生长、衰变和传播等现象。
高中阶段，学生将进一步学习微分方程的基本解法和应用。
2. 一阶线性微分方程的基本解法（400字左右）一阶线性微分方程是最简单的微分方程形式之一，可以写成dy/dx+p(x)y=q(x)的形式。
要解决这种微分方程，可以使用积分因子法。
首先，将dy/dx的表达式化简为(d/dx)(y*e^(∫p(x)dx))=q(x)e^(∫p(x)dx)。
然后，对方程两边同时积分得到y*e^(∫p(x)dx)=∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx+C，其中C为常数。
进一步简化化简得到y=e^(-∫p(x)dx)*(∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx+C)。
利用这个公式，可以求得一阶线性微分方程的解析解。
3. 一阶分离变量微分方程的基本解法（400字左右）一阶分离变量微分方程是指可以将dy/dx的表达式表示为f(y)g(x)的形式。
要解决这种微分方程，可以使用分离变量法。
首先，将方程重写成dy/f(y)=g(x)dx的形式。
然后，对方程两边同时积分得到∫dy/f(y)=∫g(x)dx。
通过对f(y)和g(x)的具体形式进行积分，得到关于y和x的方程。
最后，可以通过求解这个方程，得到一阶分离变量微分方程的解析解。
4. 微分方程的应用举例（500字左右）微分方程的应用范围非常广泛。
它可以用于描述自然现象、物理实验、经济模型等各种实际问题。
举例来说，微分方程可以用于描述弹簧的振动、电路的变化、化学反应的速率等等。
其中，描述自然界中的变化规律最常见。
例如，牛顿的冷却定律可以通过微分方程来描述物体的温度随时间的变化；放射性衰变的速率可以通过微分方程来描述。
微积分全套教案
微积分全套教案标题：微积分全套教案教案目标：1. 帮助学生理解微积分的基本概念和原理。
2. 培养学生运用微积分解决实际问题的能力。
3. 培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
教案内容：1. 单元一：导数与微分a. 概念引入：引导学生了解导数的概念和意义，以及微分的基本概念。
b. 导数的计算方法：介绍导数的计算方法，包括基本函数的导数、求导法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解导数在实际中的应用，如速度、加速度等概念。
2. 单元二：微分方程a. 概念引入：介绍微分方程的基本概念和分类。
b. 常微分方程的解法：讲解一阶和二阶常微分方程的解法，包括分离变量法、变量代换法等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生学会将实际问题转化为微分方程，并解决问题。
3. 单元三：积分与定积分a. 概念引入：引导学生了解积分的概念和意义，以及定积分的基本概念。
b. 积分的计算方法：介绍积分的计算方法，包括不定积分、定积分的计算法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解积分在实际中的应用，如面积、曲线长度等概念。
4. 单元四：微积分应用a. 最值与最优化问题：教授最值与最优化问题的求解方法，包括极值点判别法、拉格朗日乘数法等。
b. 曲线的图像与分析：引导学生学会通过微积分方法分析曲线的图像特征，如拐点、渐近线等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生将微积分应用于实际问题的求解，如经济学、物理学等领域。
教学方法与策略：1. 提倡启发式教学：通过引导学生思考和发现，培养他们的自主学习和解决问题的能力。
2. 实践性教学：注重将微积分的概念与实际问题相结合，让学生能够将所学知识应用于实际情境中。
3. 多元化评价：采用多种评价方式，如课堂小测、作业、项目等，全面评估学生的学习情况和能力发展。
教案评估：1. 学生的学习成绩：通过考试、测验等方式评估学生对微积分知识的掌握情况。
2. 学生的解决问题能力：观察学生在应用实例中的表现，评估他们解决实际问题的能力。
微分方程教案范文
微分方程教案范文教学目标：1.了解微分方程的概念和基本形式；2.掌握一阶和二阶微分方程的解法；3.学会应用微分方程解决实际问题；4.提高学生的问题分析与解决能力。
教学重难点：1.理解微分方程的概念和基本形式；2.掌握微分方程的解法；3.能够运用微分方程解决实际问题。
教学准备：1.教师准备好黑板、粉笔、教学投影仪等教学工具；2.准备一些微分方程的例题及对应的解法。
教学过程：第一节：微分方程的概念和基本形式1.教师介绍微分方程的定义和基本概念，强调微分方程与导数的关系；2.通过实际例子，引导学生理解微分方程的意义；3. 教师讲解微分方程的基本形式：dy/dx = f(x)，d²y/dx² = f(x)等。
第二节：一阶微分方程的解法1.教师介绍一阶微分方程的解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程等；2.通过例题演示，讲解每种解法的步骤和注意事项；3.强调应用初始条件解决常数问题。
第三节：二阶微分方程的解法1.教师介绍二阶微分方程的解法：特征方程法、变量分离法、待定系数法等；2.通过例题演示，讲解每种解法的步骤和注意事项；3.强调应用初始条件解决常数问题。
第四节：应用微分方程解决实际问题1.教师讲解如何应用微分方程解决实际问题；2.通过例题演示，指导学生如何建立微分方程模型；3.强调解的意义和结果的合理性。
教学方法与手段：1.讲授与演示相结合的方法，通过例题讲解，帮助学生理解微分方程的解法；2.提问与解答相结合的方法，引导学生思考与分析问题，培养问题解决能力；3.实例分析与模型建立相结合的方法，通过实际问题的讲解，培养学生应用微分方程解决实际问题的能力。
课堂练习与讨论：1.在课程的每个环节，教师都设置一些习题，进行课堂练习；2.学生之间可进行小组讨论和交流，提高问题解决的思路和方法。
课堂总结与作业布置：1.教师对本节课的重点和难点进行总结；2.布置相关作业，要求学生自主思考和解决问题；3.鼓励学生积极参加学术竞赛和科研活动，提升对微分方程的理解和应用能力。
幼儿园中班数学教案认识微分方程让孩子学会微分方程概念
幼儿园中班数学教案-《认识微分方程，让孩子学会微分方程概念》本篇文章将从教学目标、教学内容、教学方法、教学步骤、教学重点与难点以及教学总结六个方向详细阐述中班数学教案《认识微分方程，让孩子学会微分方程概念》。
一、教学目标通过本次教案的教学，让幼儿了解微分方程的概念与基本知识，激发幼儿的学习兴趣，提高幼儿的数学思维能力，培养幼儿的逻辑思维能力和创新意识。
二、教学内容本次教案的教学内容主要包括微分方程的概念、常微分方程的基本形式、微分方程的解法与应用等方面。
通过让幼儿了解微分方程的定义与特点，学习微分方程的基本形式以及解法，让幼儿能够掌握微分方程的基本知识和解题方法，为日后的学习打下坚实的基础。
三、教学方法本教案采用多种教学方法，如讲解法、示范法、互动法、实验法等，以培养幼儿的学习兴趣和积极性。
在教学过程中，可以让幼儿自己动手实践，帮助幼儿理解和掌握微分方程的概念和解题方法。
四、教学步骤1.导入通过讲解微分方程的概念，引导幼儿了解微分方程的基本定义和特点。
2.学习微分方程的基本形式通过讲解微分方程的基本形式，让幼儿了解常微分方程的基本形式，并掌握微分方程的一些基本概念。
3.学习微分方程的解法通过讲解微分方程的解法，让幼儿了解微分方程的解法和求解方法。
4.实践操作通过实验和操作等方式，让幼儿自己动手实践，帮助幼儿理解和掌握微分方程的概念和解题方法。
5.课堂互动通过课堂互动，让幼儿在互动中学习，相互交流，培养幼儿的合作意识和创新精神。
6.总结通过总结，让幼儿回顾学习内容，巩固所学知识，培养幼儿的思维能力和记忆能力。
五、教学重点与难点1.教学重点让幼儿了解微分方程的概念和基本知识，掌握微分方程的基本形式和解法，为日后的学习打下坚实的基础。
2.教学难点微分方程的概念和解法较为抽象，需要通过多种方式引导幼儿理解和掌握，提高幼儿的学习兴趣和积极性。
六、教学总结通过本教案的教学，幼儿们对微分方程的概念和基本知识有了较为深入的了解和掌握，培养了幼儿的数学思维能力和逻辑思维能力，提高了幼儿的创新意识和实践能力，为日后的学习打下了坚实的基础。
高等数学《微分方程》教案
第十二章 微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。
2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4． 会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
4、欧拉方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5)把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)这里C 1, C 2都是任意常数.把条件v |t =0=20代入(6)得20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8)s =-0.2t 2+20t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上, F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x . 积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.例3 验证: 函数x =C 1cos kt +C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解. 解 求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dt x d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dt x d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .§12. 2 可分离变量的微分方程观察与分析:1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得y =x 2+C .一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数).2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.因为y 是未知的, 所以积分⎰dx xy 22无法进行, 方程两边直接积分不能求出通解.为求通解可将方程变为xdx dy y 212=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或Cx y +-=21, 可以验证函数Cx y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=ϕ(x , y )能写成g (y )dy =f (x )dx形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G (y )=F (x )+C ,由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程:一阶微分方程有时也写成如下对称形式:P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有),(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有),(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程:如果一个一阶微分方程能写成g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=ϕ(x )ψ(y ))的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程.讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y '=2xy , 是. ⇒y -1dy =2xdx .(2)3x 2+5x -y '=0, 是. ⇒dy =(3x 2+5x )dx .(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ⇒y '=(1+x )(1+y 2).(5)y '=10x +y , 是. ⇒10-y dy =10x dx . (6)xy y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ;第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解.例1 求微分方程xy dxdy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得xdx dy y21=, 两边积分得⎰⎰=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1,从而 2112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解2x Ce y =.解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得xdx dy y21=, 两边积分得⎰⎰=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+ln C ,从而 2x Ce y =.例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程M dtdM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0<dt dM . 由题意, 初始条件为M |t =0=M 0.将方程分离变量得dt MdM λ-=. 两边积分, 得⎰⎰-=dt M dM )(λ, 即 ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt .由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为kv mg dtdv m -=, 初始条件为v |t =0=0.方程分离变量, 得mdt kv mg dv =-, 两边积分, 得⎰⎰=-mdt kv mg dv , 1)ln(1C m t kv mg k +=--,即 t m k Ce k mg v -+=(ke C kC 1--=), 将初始条件v |t =0=0代入通解得kmg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e kmg v --=. 例4 求微分方程221xy y x dxdy +++=的通解. 解 方程可化为)1)(1(2y x dxdy ++=, 分离变量得 dx x dy y )1(112+=+, 两边积分得 ⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan . 于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.例4 有高为1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面面积为1cm 2. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律.解 由水力学知道, 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算:gh S dtdV Q 262.0==, 其中0. 62为流量系数, S 为孔口横截面面积, g 为重力加速度. 现在孔口横截面面积S =1cm 2, 故 gh dtdV 262.0=, 或dt gh dV 262.0=. 另一方面, 设在微小时间间隔[t , t +d t ]内, 水面高度由h 降至h +dh (dh <0), 则又可得到 dV =-πr 2dh ,其中r 是时刻t 的水面半径, 右端置负号是由于dh <0而dV >0的缘故. 又因222200)100(100h h h r -=--=,所以 dV =-π(200h -h 2)dh .通过比较得到dh h h dt gh )200(262.02--=π,这就是未知函数h =h (t )应满足的微分方程.此外, 开始时容器内的水是满的, 所以未知函数h =h (t )还应满足下列初始条件: h |t =0=100.将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得dh h h g dt )200(262.02321--=π. 两端积分, 得⎰--=dh h h g t )200(262.02321π,即 C h h g t +--=)523400(262.02523π, 其中C 是任意常数.由初始条件得C g t +⨯-⨯-=)100521003400(262.02523π, 5101514262.0)52000003400000(262.0⨯⨯=-=g g C ππ. 因此 )310107(262.0252335h h g t +-⨯=π.上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系.§12. 3 齐次方程齐次方程:如果一阶微分方程),(y x f dxdy =中的函数f (x , y )可写成x y 的函数, 即)(),(xy y x f ϕ=, 则称这方程为齐次方程. 下列方程哪些是齐次方程？(1)022=---'x y y y x 是齐次方程.1)(222-+=⇒-+=⇒x y x y dx dy x x y y dx dy . (2)2211y y x -='-不是齐次方程.2211x y dx dy --=⇒. (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0是齐次方程. xy y x dx dy xy y x dx dy +=⇒+=⇒22. (4)(2x +y -4)dx +(x +y -1)dy =0不是齐次方程.142-+-+-=⇒y x y x dx dy . (5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xy x dx x y y x yx 是齐次方程. x y x y dx dy xy x x y y x y x dx dy +=⇒+=⇒th 32ch 3ch 3sh 2齐次方程的解法:在齐次方程)(x y dx dy ϕ=中, 令xy u =, 即y =ux , 有 )(u dx du x u ϕ=+, 分离变量, 得xdx u u du =-)(ϕ. 两端积分, 得 ⎰⎰=-x dx u u du )(ϕ. 求出积分后, 再用xy 代替u , 便得所给齐次方程的通解. 例1 解方程dx dy xy dx dy x y =+22.解 原方程可写成1)(222-=-=xy x y x xy y dx dy , 因此原方程是齐次方程. 令u x y =, 则 y =ux ,dxdu x u dx dy +=, 于是原方程变为12-=+u u dx du x u , 即 1-=u u dx du x . 分离变量, 得xdx du u =-)11(. 两边积分, 得u -ln|u |+C =ln|x |,或写成ln|xu |=u +C . 以xy 代上式中的u , 便得所给方程的通解 C xy y +=||ln . 例2 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行. 求这旋转曲面的方程.解 设此凹镜是由xOy 面上曲线L : y =y (x )(y >0)绕x 轴旋转而成, 光源在原点. 在L 上任取一点M (x , y ), 作L 的切线交x 轴于A . 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线. 由光学及几何原理可以证明OA =OM ,因为 x y y OP PM OP AP OA -'=-=-=αcot , 而 22y x OM +=. 于是得微分方程22y x x y y +=-',整理得1)(2++=yx y x dy dx . 这是齐次方程. 问题归结为解齐次方程1)(2++=y x y x dy dx . 令v y x =, 即x =yv , 得12++=+v v dy dv y v , 即 12+=v dydv y , 分离变量, 得y dy v dv =+12, 两边积分, 得 C y v v ln ln )1ln(2-=++, C y v v =++⇒12, 1)(22+=-⇒v v Cy , 1222=-C yv Cy , 以yv =x 代入上式, 得)2(22C x C y +=. 这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线, 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为)2(222C x C z y +=+. 这就是所求的旋转曲面方程.例3 设河边点O 的正对岸为点A , 河宽OA =h , 两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从点A 游向点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点 O . 求鸭子游过的迹线的方程.例3 设一条河的两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从岸边点A 游向正对岸点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点O , 已知OA =h , 求鸭子游过的迹线的方程. 解 取O 为坐标原点, 河岸朝顺水方向为x 轴, y 轴指向对岸. 设在时刻t 鸭子位于点P (x , y ), 则鸭子运动速度) ,() ,(dtdy dt dx v v y x ==v , 故有y x v v dy dx =.另一方面, ) ,()0 ,(2222y x y y x x b a +-+-+=+=b a v , ) ,(2222y x by y x bx a +-+-=v . 因此y x y x b a v v dy dx y x ++-==1)(2, 即yx y x b a dy dx ++-=1)(2. 问题归结为解齐次方程y x y x b a dy dx ++-=1)(2. 令u y x =, 即x =yu , 得 12+-=u ba dy du y , 分离变量, 得dy bya u du -=+12, 两边积分, 得 )ln (ln arsh C y abu +-=, 将yx u =代入上式并整理, 得])()[(2111b a b a Cy Cy C x +--=. 以x |y =h =0代入上式, 得hC 1=, 故鸭子游过的轨迹方程为 ])()[(211b a b a hy h y h x +--=, 0≤y ≤h . 将y x u =代入)ln (ln arsh C y ab u +-=后的整理过程: )ln (ln arsh C y ab y x +-= a b Cy y x -=⇒)ln(sh ])()[(21a ba b Cy Cy y x -=⇒- ])()[(2a b a b Cy Cy y x -=⇒-])()[(2111a b a b Cy Cy C x +--=⇒.§12.4 线性微分方程一、 线性方程线性方程:方程)()(x Q y x P dxdy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dxdy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-)2(⇒021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程.(3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程.(4)y x dxdy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dxdy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法:齐次线性方程0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P ydy )(-=, 两边积分, 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰,或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=⎰=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）.例1 求方程y dxdy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy ,两边积分得ln|y |=ln|x -2|+lnC ,方程的通解为y =C (x -2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把⎰=-dx x P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---,化简得 ⎰='dx x P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dx x P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例2 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得12+=x dx y dy , 两边积分得ln y =2ln (x +1)+ln C ,齐次线性方程的通解为y =C (x +1)2.用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u 21)1(+='x u ,两边积分, 得C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为 ])1(32[)1(232C x x y +++=. 解: 这里12)(+-=x x P , 25)1()(+=x x Q . 因为 )1ln(2)12()(+-=+-=⎰⎰x dx x dx x P , 2)1ln(2)()1(+==⎰+-x e e x dx x P ,2321225)()1(32)1()1()1()(+=+=++=⎰⎰⎰⎰-x dx x dx x x dx e x Q dx x P , 所以通解为])1(32[)1(])([232)()(C x x C dx e x Q e y dx x P dx x P +++=+⎰⎰=⎰-. 例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dt di L-. 由回路电压定律得出 0=--iR dt di LE , 即 LE i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得t L E i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为i |t =0=0.方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t L E t Q m sin )(ω=. 由通解公式, 得])([)()()(C dt e t Q e t i dt t P dt t P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t L E e dt L R m dt L R +⎰⎰=⎰-ω)sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ω t L R m Ce t L t R LR E -+-+=) cos sin (222ωωωω. 其中C 为任意常数.将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 L R LE C m ωω+=, 因此, 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 二、伯努利方程伯努利方程: 方程n y x Q y x P dxdy )()(=+ (n ≠0, 1) 叫做伯努利方程.下列方程是什么类型方程？(1)4)21(3131y x y dx dy -=+, 是伯努利方程. (2)5xy y dx dy +=, ⇒5xy y dxdy =-, 是伯努利方程. (3)x y y x y +=', ⇒11-=-'xy y x y , 是伯努利方程. (4)x xy dxdy 42=-, 是线性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dxdy y n n =+-- 令z =y 1-n , 得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+. 例4 求方程2)(ln y x a x y dx dy -+的通解. 解 以y 2除方程的两端, 得x a y xdx dy y ln 112=+--, 即 x a y x dx y d ln 1)(11=+---, 令z =y -1, 则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-. 这是一个线性方程, 它的通解为 ])(ln 2[2x aC x z -=.以y -1代z , 得所求方程的通解为1])(ln 2[2=-x a C yx .经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程. 例5 解方程yx dx dy +=1. 解 若把所给方程变形为y x dydx +=, 即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 但这里用变量代换来解所给方程. 令x +y =u , 则原方程化为u dx du 11=-, 即uu dx du 1+=. 分离变量, 得dx du u u =+1, 两端积分得u -ln|u +1|=x -ln|C |.以u =x +y 代入上式, 得y -ln|x +y +1|=-ln|C |, 或x =Ce y -y -1.§12. 5 全微分方程全微分方程: 一个一阶微分方程写成P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0形式后, 如果它的左端恰好是某一个函数u =u (x , y )的全微分:du (x , y )=P (x , y )dx +Q (x , y )dy ,那么方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0就叫做全微分方程. 这里),(y x P xu =∂∂, ),(y x Q y u =∂∂, 而方程可写为du (x , y )=0.全微分方程的判定: 若P (x , y )、Q (x , y )在单连通域G 内具有一阶连续偏导数, 且 xQ y P ∂∂=∂∂, 则方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0是全微分方程,全微分方程的通解:若方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0是全微分方程, 且du (x , y )=P (x , y )dx +Q (x , y )dy则 u (x , y )=C ,即 )),(( ),(),(00000G y x C dx y x Q dx y x P yy x x ∈=+⎰⎰. 是方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0的通解例1 求解(5x 4+3xy 2-y 3)dx +(3x 2y -3xy 2+y 2 )dy =0.解 这里xQ y xy y P ∂∂=-=∂∂236, 所以这是全微分方程. 取(x 0, y 0)=(0, 0), 有 ⎰⎰+-+=y x dy y dx y xy x y x u 020324)35(),(332253123y xy y x x +-+=.于是, 方程的通解为C y xy y x x =+-+332253123.积分因子: 若方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0不是全微分方程, 但存在一函数μ=μ(x , y ) (μ(x , y )≠0), 使方程μ(x , y )P (x , y )dx +μ(x , y )Q (x , y )dy =0是全微分方程, 则函数μ(x , y )叫做方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0的积分因子.例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解:(1)ydx -xdy =0;(2)(1+xy )ydx +(1-xy )xdy =0.解 (1)方程ydx -xdy =0不是全微分方程.因为2)(y xdy ydx y xd -=, 所以21y 是方程ydx -xdy =0的积分因子, 于是 02=-y xdy ydx 是全微分方程, 所给方程的通解为C y x =. (2)方程(1+xy )ydx +(1-xy )xdy =0不是全微分方程.将方程的各项重新合并, 得(ydx +xdy )+xy (ydx -xdy )=0,再把它改写成0)()(22=-+y dy x dx y x xy d , 这时容易看出2)(1xy 为积分因子, 乘以该积分因子后, 方程就变为 0)()(2=-+ydy x dx xy xy d , 积分得通解C y x xy ln ||ln 1=+-, 即xy Ce yx 1=. 我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程y '+P (x )y =Q (x ).可以验证⎰=dx x P e x )()(μ是一阶线性方程y '+P (x )y =Q (x )的一个积分因子. 在一阶线性方程的两边乘以⎰=dx x P e x )()(μ得 ⎰=⎰+⎰'dx x P dx x P dx x P e x Q e x yP e y )()()()()(, 即 ⎰='⎰+⎰'dx x P dx x P dx x P e x Q e y e y )()()()(][, 亦即 ⎰='⎰dx x P dx x P e x Q ye )()()(][. 两边积分, 便得通解C dx e x Q ye dx x P dx x P +⎰=⎰⎰)()()(,或 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-. 例3用积分因子求x xy dxdy 42=+的通解. 解 方程的积分因子为22)(x xdx e e x =⎰=μ. 方程两边乘以2x e 得22242x x x xe y xe e y =+', 即224)(x x xe y e =',于是 C e dx xe y e x x x +==⎰22224. 因此原方程的通解为2224x x Ce dx xe y -+==⎰.§12. 6 可降阶的高阶微分方程一、y (n )=f (x )型的微分方程解法: 积分n 次1)1()(C dx x f y n +=⎰-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-, ⋅ ⋅ ⋅.例1 求微分方程y '''=e 2x -cos x 的通解.解 对所给方程接连积分三次, 得12sin 21C x e y x +-='',212cos 41C x C x e y x +++=',3221221sin 81C x C x C x e y x ++++=,这就是所给方程的通解.或 122sin 21C x e y x +-='',2122cos 41C x C x e y x +++=',32212sin 81C x C x C x e y x ++++=,这就是所给方程的通解.例2 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数:F =F (t ). 在开始时刻t =0时F (0)=F 0, 随着时间t 的增大, 此力F 均匀地减小, 直到t =T 时, F (T )=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为)(22t F dt x d m =. 由题设, 力F (t )随t 增大而均匀地减小, 且t =0时, F (0)=F 0, 所以F (t )=F 0-kt ; 又当t =T 时, F (T )=0, 从而)1()(0T t F t F -=.于是质点运动的微分方程又写为)1(022T t mF dt x d -=,其初始条件为0|0==t x , 0|0==t dt dx . 把微分方程两边积分, 得120)2(C Tt t m F dt dx +-=. 再积分一次, 得21320)621(C t C Tt t m F x ++-=. 由初始条件x |t =0=0, 0|0==t dt dx , 得C 1=C 2=0.于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -=, 0≤t ≤T . 解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置,根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为mx ''=F (t ).由题设, F (t )是线性函数, 且过点(0, F 0)和(T , 0),故 1)(0=+T t F t F , 即)1()(0Tt F t F -=. 于是质点运动的微分方程又写为)1(0Tt m F x -=''. 其初始条件为x |t =0=0, x '|t =0=0.把微分方程两边积分, 得120)2(C Tt t m F x +-=', 再积分一次, 得2320)621(C Tt t m F x +-=, 由初始条件x |t =0=0, x '|t =0=0,得C 1=C 2=0.于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -=, 0≤t ≤T .二、y ''= f (x , y ')型的微分方程解法: 设y '=p 则方程化为p '=f (x , p ).设p '=f (x , p )的通解为p =ϕ(x ,C 1), 则),(1C x dxdy ϕ=. 原方程的通解为21),(C dx C x y +=⎰ϕ.例3 求微分方程(1+x 2)y ''=2xy '满足初始条件y |x =0=1, y '|x =0=3的特解.解 所给方程是y ''=f (x , y ')型的. 设y '=p , 代入方程并分离变量后, 有dx x x p dp 212+=. 两边积分, 得ln|p |=ln(1+x 2)+C ,即 p =y '=C 1(1+x 2) (C 1=±e C ).由条件y '|x =0=3, 得C 1=3,所以 y '=3(1+x 2).两边再积分, 得 y =x 3+3x +C 2.又由条件y |x =0=1, 得C 2=1,于是所求的特解为y =x 3+3x +1.例4 设有一均匀、柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受重力的作用而下垂. 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?三、y ''=f (y , y ')型的微分方程解法: 设y '=p ,有dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''. 原方程化为 ),(p y f dydp p=. 设方程),(p y f dy dp p =的通解为y '=p =ϕ(y , C 1), 则原方程的通解为21),(C x C y dy +=⎰ϕ.例5 求微分yy ''-y '2=0的通解.解 设y '=p , 则dy dp py ='', 代入方程, 得02=-p dydp yp . 在y ≠0、p ≠0时, 约去p 并分离变量, 得ydy p dp =. 两边积分得ln|p |=ln|y |+ln c ,即 p =Cy 或y '=Cy (C =±c ).再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为ln|y |=Cx +ln c 1,或 y =C 1e Cx (C 1=±c 1).例5 求微分yy ''-y '2=0的通解.解 设y '=p , 则原方程化为02=-p dydp yp , 当y ≠0、p ≠0时, 有01=-p ydy dp , 于是 y C e p dy y 11=⎰=,即 y '-C 1y =0,从而原方程的通解为x C dx C e C e C y 1122=⎰=.例6 一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）.§12. 7 高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例1 设有一个弹簧, 上端固定, 下端挂一个质量为m 的物体. 取x 轴铅直向下, 并取物体的平衡位置为坐标原点.给物体一个初始速度v 0≠0后, 物体在平衡位置附近作上下振动. 在振动过程中, 物体的位置x 是t 的函数: x =x (t ).设弹簧的弹性系数为c , 则恢复力f =-cx .又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比, 比例系数为μ, 则dtdx R μ-, 由牛顿第二定律得dt dx cx dtx d m μ--=22. 移项, 并记m n μ=2, mc k =2, 则上式化为 02222=++x k dt dx n dt x d , 这就是在有阻尼的情况下, 物体自由振动的微分方程.如果振动物体还受到铅直扰力F =H sin pt的作用, 则有pt h x k dt dx n dt x d sin 2222=++, 其中m H h =. 这就是强迫振动的微分方程. 例2 设有一个由电阻R 、自感L 、电容C 和电源E 串联组成的电路, 其中R 、L 、及C 为常数, 电源电动势是时间t 的函数: E =E m sin ωt , 这里E m 及ω也是常数.设电路中的电流为i (t ), 电容器极板上的电量为q (t ), 两极板间的电压为u c , 自感电动势为E L . 由电学知道dt dq i =, C q u c =, dtdi L E L -=, 根据回路电压定律, 得 0=---Ri Cq dt di LE ,即 t E u dt du RC dt u d LC m c c c ωsin 22=++, 或写成t LC E u dt du dtu d m c c c ωωβsin 22022=++, 其中L R 2=β, LC10=ω. 这就是串联电路的振荡方程. 如果电容器经充电后撤去外电源(E =0), 则上述成为022022=++c c c u dt du dtu d ωβ. 二阶线性微分方程: 二阶线性微分方程的一般形式为y ''+P (x )y '+Q (x )y =f (x ),若方程右端f (x )≡0时, 方程称为齐次的, 否则称为非齐次的.二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0, 即0)()(22=++y x Q dx dy x P dxy d . 定理1 如果函数y 1(x )与y 2(x )是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0.的两个解, 那么y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )也是方程的解, 其中C 1、C 2是任意常数.齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.证明 [C 1y 1+C 2y 2]'=C 1 y 1'+C 2 y 2',[C 1y 1+C 2y 2]''=C 1 y 1''+C 2 y 2''.因为y 1与y 2是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0, 所以有y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1=0及y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2=0,从而 [C 1y 1+C 2y 2]''+P (x )[ C 1y 1+C 2y 2]'+Q (x )[ C 1y 1+C 2y 2]=C 1[y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1]+C 2[y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2]=0+0=0.这就证明了y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )也是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0的解函数的线性相关与线性无关:设y 1(x ), y 2(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , y n (x )为定义在区间I 上的n 个函数. 如果存在n 个不全为零的常数k 1, k 2, ⋅ ⋅⋅,k n,使得当x∈I时有恒等式k1y1(x)+k2y2(x)+⋅⋅⋅+k n y n(x)≡0成立,那么称这n个函数在区间I上线性相关;否则称为线性无关.判别两个函数线性相关性的方法:对于两个函数,它们线性相关与否,只要看它们的比是否为常数,如果比为常数,那么它们就线性相关,否则就线性无关.例如, 1, cos2x, sin2x在整个数轴上是线性相关的.函数1,x,x2在任何区间(a, b)内是线性无关的.定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0的两个线性无关的解,那么y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常数)是方程的通解.例3 验证y1=cos x与y2=sin x是方程y''+y=0的线性无关解,并写出其通解.解因为y1''+y1=-cos x+cos x=0,y2''+y2=-sin x+sin x=0,所以y1=cos x与y2=sin x都是方程的解.因为对于任意两个常数k1、k2,要使k1cos x+k2sin x≡0,只有k1=k2=0,所以cos x与sin x在(-∞, +∞)内是线性无关的.因此y1=cos x与y2=sin x是方程y''+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1cos x+C2sin x.例4 验证y1=x与y2=e x是方程(x-1)y''-xy'+y=0的线性无关解,并写出其通解.解因为(x-1)y1''-xy1'+y1=0-x+x=0,(x-1)y2''-xy2'+y2=(x-1)e x-xe x+e x=0,所以y1=x与y2=e x都是方程的解,因为比值e x/x不恒为常数,所以y1=x与y2=e x在(-∞, +∞)内是线性无关的.因此y1=x与y2=e x是方程(x-1)y''-xy'+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1x+C2e x.推论如果y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,y n(x)是方程y(n)+a1(x)y(n-1)+⋅⋅⋅+a n-1(x)y'+ a n(x)y=0的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+⋅⋅⋅+ C n y n(x),其中C1,C2,⋅⋅⋅,C n为任意常数.二阶非齐次线性方程解的结构:我们把方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0叫做与非齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程.定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解,Y(x)是对应的齐次方程的通解,那么y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解.证明提示: [Y(x)+y*(x)]''+P(x)[ Y(x)+y*(x)]'+Q(x)[ Y(x)+y*(x)]=[Y ''+P(x)Y '+Q(x)Y ]+[ y* ''+P(x)y* '+Q(x)y*]=0+ f(x)= f(x).例如,Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y''+y=0的通解,y*=x2-2是y''+y=x2的一个特解,因此y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y''+y=x2的通解.定理4 设非齐次线性微分方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的右端f(x)几个函数之和,如y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)+f2(x),而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)与y''+P(x)y'+Q(x)y=f2(x)的特解,那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.证明提示:[y 1+y 2*]''+P (x )[ y 1*+y 2*]'+Q (x )[ y 1*+y 2*]=[ y 1*''+P (x ) y 1*'+Q (x ) y 1*]+[ y 2*''+P (x ) y 2*'+Q (x ) y 2*]=f 1(x )+f 2(x ).§12. 9 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ''+py '+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.。
高等数学第十一章 微分方程教案
第1次课的教学整体安排 (),)n y =个变量的函数。
这里必须指出，在方程()1,n y -等变量则可以不出现。
另一种是显式 (1),,)n y -'特别地，1n =时，一阶微分方程的标准形式为 (,,F x y y )y 或 (,P x 在区间I 上有(),)n y =()),,())n x ϕ≡该微分方程的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，微分方程的通解或一般解微分方程的另一种解中不含有任意常数，，从通解中确定出任意常数而得出的。
第2次课的教学整体安排个的非零常数倍，即12()()y x y x 不恒等于非零常数，则1()y x 与2()y x 在区间I 上线性无关。
例如，函数23x e -与2x e -在区间(,)-∞+∞内线性相关；函数sin x 与cos x ，x 与2x ,sin x x 与sin x ，x e -与x e 在区间(,)-∞+∞内都线性无关。
于是，当1()y x 与2()y x 线性无关时，函数1122()()y C y x C y x =+中含有两个独立的任意常数12C C 和。
有了线性无关的概念再结合定理1，我们就得到如下二阶齐次线性微分方程（3-2）的通解结构定理。
定理2 若1()y x 与2()y x 是方程（3-2）的两个线性无关的特解，则1122()()y C y x C y x =+ （3-4）就是方程（3-2）的通解。
例如，方程0y y ''+=是二阶齐次线性方程（这里()0,()1p x Q x ≡≡）.容易验证，1cos y x =与2sin y x =是所给方程的两个解，且21sin tan cos y x x y x==常数，即它们是线性无关的。
因此方程0y y ''+=的通解为12cos sin y C x C x =+。
关于二阶非齐次线性方程（3-1）的通解结构，我们有如下的定理。
定理3 设*()y x 是二阶非齐次线性方程()()()y P x y Q x y f x '''++= （3-1）的一个特解，()Y x 是与（3-1）对应的二阶齐次线性方程（3-2）的通解，那末()*()y Y x y x =+ （3-5）是二阶非齐次线性微分方程（3-1）的通解。
大学数学课程教案：研究微分方程
大学数学课程教案：研究微分方程1. 引言概述：在大学数学课程中，微分方程是一个非常重要的主题。
微分方程广泛应用于自然科学和工程学领域，如物理、化学、生物和工程等。
研究微分方程不仅有助于我们深入理解现实世界中的各种变化和现象，还为解决实际问题提供了一种有效的数学工具。
文章结构：本文将以以下几个部分来介绍微分方程及其应用。
首先在第二部分中，我们将回顾微积分的基本知识，以便更好地理解微分方程的概念和性质。
接着，在第三部分中，我们将探讨解微分方程的方法，并详细介绍变量可分离方程、线性一阶常微分方程和齐次线性二阶常系数微分方程的求解方法。
然后，在第四部分中，我们将关注数学建模中微分方程的应用，并说明复利问题与连续贬值问题、生物学中的增长模型和传染病模型，以及物理学中的运动问题和振动问题等案例。
最后，在结论部分，我们将总结本文的主要内容并讨论大学数学课程教案的意义和启示，同时提出未来研究的可能性。
目的：本文的主要目的是引导读者更加系统地学习和理解微分方程，并展示其在不同领域中的实际应用。
通过对微分方程基本概念和求解方法的介绍，读者将能够掌握解决实际问题所需的数学工具和技巧。
此外，本文还意在启发读者对于大学数学课程教案设计和未来研究方向的思考，以促进数学教育和科学研究的进步。
2. 微分方程的基本概念2.1 微积分回顾:微积分是数学的一个分支，涉及到导数和积分的概念。
在微积分中，我们研究函数的变化率和面积或曲线下的累计效应。
导数描述了函数在某一点上的变化率，而积分则表示了函数曲线下面积或累计效应。
2.2 微分方程的定义与分类:微分方程是描述未知函数和其导数（或偏导数）之间关系的方程。
它们广泛应用于自然科学、工程领域以及其他各个领域中，常用于建立模型来解释和预测各种现象。
根据方程中出现的未知函数和导数（或偏导数）的阶数，可以将微分方程分类为以下几类：- 常微分方程：只包含未知函数关于单变量（通常是时间）的导数。
- 偏微分方程：包含未知函数关于多个变量的偏导数。
高三数学《微分方程的简单应用》数学模型教案
高三数学《微分方程的简单应用》数学模型教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解微分方程的概念及其基本性质；2. 掌握常见微分方程的解法；3. 运用微分方程解决实际问题；4. 培养数学建模的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：微分方程的简单应用；2. 教学难点：数学模型的建立与解决。
三、教学准备1. 教材：高中数学教材（微分方程相关章节）；2. 教具：计算器、黑板、多媒体设备。
四、教学过程1. 导入（5分钟）引入微分方程的概念，通过实际问题的引入激发学生的学习兴趣。
例如，引入一个生活场景，如水位上升速度等问题，引导学生思考问题解决的方法。
2. 知识讲解（20分钟）介绍微分方程的定义、基本性质以及常见的解法方法。
重点解释变量分离、参数法和齐次方程等解法的基本思路，通过示例演示具体解题步骤，培养学生的基本解题能力。
3. 案例分析（30分钟）选择几个典型案例，通过给出实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
例如，某物质的衰减问题、弹簧振动问题等等。
学生可以通过建立微分方程、求解微分方程并描绘解的图像等步骤，逐步解决问题，并分析解的物理含义。
4. 小组讨论（20分钟）组织学生进行小组讨论，要求学生互相合作，共同解决一个复杂的实际问题。
教师要在一旁指导和引导，关注学生的思维过程和合作能力。
小组讨论结束后，每组派代表进行汇报和讨论。
5. 总结与拓展（15分钟）对本节课的学习内容进行总结，概括微分方程的应用方法和思维路线。
同时，引导学生思考更复杂的实际问题，激发他们对数学建模的兴趣。
六、课堂实施效果评价根据学生在课堂中的表现、小组讨论的成果以及课后作业的完成情况进行评价。
同时，也要关注学生在解决实际问题中的思维能力和合作能力的提升。
七、板书设计（根据实际内容进行板书设计，可用图表或公式等进行辅助说明）（示例）微分方程的简单应用1. 定义与基本性质2. 常见解法方法- 变量分离法- 参数法- 齐次方程法3. 实际问题解决过程- 建立微分方程- 求解微分方程- 分析解的物理含义八、教后反思本节课通过引入实际问题和案例分析等教学方法，旨在提高学生的数学建模能力。
微分方程教案
微分方程教案引言：微分方程作为数学的一个重要分支，是描述自然界中变化规律的一种数学工具。
本教案将介绍微分方程的定义和基本概念，并以实例演示如何求解微分方程，旨在帮助学生理解微分方程的基本原理和解题方法。
一、微分方程的定义和分类1. 微分方程的定义微分方程是一个包含未知函数及其导数或微分的方程。
一般表示为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中y是自变量x的某个函数。
2. 常微分方程和偏微分方程常微分方程中只含有一个自变量，如dy/dx = f(x)。
偏微分方程中含有多个自变量，如∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0。
二、微分方程的基本概念1. 解函数和通解解函数是满足微分方程的具体函数，通解是含有任意常数的解函数的集合。
2. 初值问题和边值问题初值问题是在给定某一点上的函数值和导数值，求解满足微分方程条件的特解。
边值问题是在给定边界上的函数值，求解满足微分方程条件的特解。
三、常见的微分方程和求解方法1. 一阶常微分方程1) 可分离变量方程2) 齐次方程3) 线性方程4) Bernoulli 方程2. 高阶常微分方程1) 常系数线性齐次方程2) 常系数线性非齐次方程3) 变系数线性齐次方程4) 变系数线性非齐次方程3. 偏微分方程1) 热传导方程2) 波动方程3) Laplace 方程四、求解微分方程的技巧和方法1. 变量分离法将微分方程中的变量分离到方程两边，再进行积分。
2. 齐次方程的换元法通过引入新的变量，将齐次方程转化为变量分离的形式。
3. 一阶线性方程的积分因子法通过乘以适当的积分因子，将一阶线性方程转化为变量分离的形式。
4. 常系数线性方程的特解法根据齐次方程的通解求解非齐次方程的特解。
五、案例演示1. 一阶常微分方程求解以可分离变量方程为例，演示解题步骤和方法。
2. 高阶常微分方程求解以常系数线性非齐次方程为例，演示解题步骤和方法。
第7章微分方程教案.doc1
历史背景在未来的十年中领导世界的国家将是在科学的知识、解释和运用方面起领导作用的国家．整个科学的基础又是一个不断增长的数学知识总体．我们越来越多地用数学模型指导我们探索未知的工作．———H.F.Fehr微分方程的发展史在十八世纪，数学同力学的有机结合是数学的一个鲜明特征．这种结合，其紧密的程度是数学史上任何时期所不能比拟的．几乎所有的数学家都以巨大的热情，致力于运用微积分新工具去解决各种物理、力学问题．欧拉的名字同流体力学和刚体运动的基本方程联系着;拉格朗日最享盛名的著作《分析力学》“将力学变成了分析的一个分支”;拉普拉斯则把数学看作是研究力学、天文学的工具，他的许多重要数学成果正是包含在他的五大卷《天体力学》中．这种广泛的应用成为新的数学思想的源泉，从而使数学本身的发展大大受惠．一系列新的数学分支在十八世纪成长起来，微分方程理论也在这一阶段迅速发展．常微分方程的研究进展尤为迅速．三体问题、摆的运动及弹性理论等的数学描述，引出了一系列的常微分方程，其中以三体问题最为重要，二阶常微分方程在其中扮演了中心角色．数学家起先是采用各种特殊的技巧对付不同的方程，但渐渐地开始寻找带有普遍性的方法．这样，欧拉推广了约翰第一·伯努利的积分因子和常数变易法;黎卡提在以他的名字命名的非线性方程的研究中，首创了后来成为处理高阶方程主要手段的降阶法;泰勒最先引起人们对奇异解存在性的注意;欧拉在1750年解出了一般的常系数线性方程，他还引进超几何级数作为解二阶线性方程的基础;对全微分方程的研究亦由欧拉、拉格朗日和蒙日等开展起来．微分方程是含有未知函数及其导数（或微分）的关系式，解微分方程就能得到未知函数．利用它可以解决几何、力学、物理等许多方面的实际问题．本章将介绍微分方程的一些基本概念和几种常见微分方程的解法．7.177.1微分方程的一般概念引例一平面曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为x 2，求此曲线方程．解 设所求曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义：dx dyM k =，)(x f 应满足方程x dxdy2= （1）且未知函数还满足：当1=x 时， 2=y ．此条件可写成y ︱1=x =1 （2） 将（1）式化为xdx dy 2= （3）对两边积分，得⎰=xdx y 2 即 C x y +=2 （4）其中C 是任意常数．将条件（2）代入（3）式，有,.122C += 即 1=C .于是所求曲线方程为12+=x y .例1中（1）式含有未知函数的导数，（3）式含有未知函数的微分，我们把它们都叫做微分方程． 7.1.1微分方程1、 微分方程： 含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程．未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程．如（1）式、（3）式都是常微分方程；未知函数是多元函数，从而出现多元函数的偏导数的方程，叫做偏微分方程．如.,022222y z a x zxz yz y x ∂∂=∂∂=- 就是偏微分方程．本书只介绍常微分方程的有关知识，故以后所述微分方程即指常微分方程．2 微分方程的阶：微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数叫做微分方程的阶．若一个微分方程的阶为n ，则称这个微分方程为n 阶 微分方程.例如（1）式是一阶微分方程，02322=+-y dx dydxy d 是二阶微分方程． 7.1.2微分方程的解1、微分方程的解：如果将一个函数代入微分方程后能使方程两端恒等，则称此函数为微分方程的解．求微分方程解的过程，叫做解微分方程．2、微分方程的通解、特解和初始条件：如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数，此种解称为微分方程的通解．在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解．例如C x y +=2是x y 2'=的通解，又如x x e C e C y 221+=（21,C C 是任意常数）是02322=+-y dx dy dx y d 的通解，而2122,1+=+=x y x y 都是x y 2'=的特解．通常，特解都是由给定的条件代入通解，确定出任意常数的特定值后得到的，这里用来确定特解的条件，叫做初始条件．例如例1中的条件：1=x 时2=y ，就是初始条件．一般地，一阶微分方程的初始条件为：00y yx x ==；二阶微分方程的初始条件为：'0'00;y y y yx x x x ====．对于形如)()(x f y n =的微分方程，只要通过逐次积分（n 次），便可得到它的通解. 【例1】 求微分方程1+='''x y 的通解.解 将所给方程两边积分一次，得 12121)1(C x x C dx x y ++=++=''⎰； 两边再积分，得2123122161)21(C x C x x dx C x x y +++=++='⎰；第三次积分，得3221342123261241)2161(C x C x C x x dx C x C x x y ++++=+++=⎰.7．2 一阶微分方程7.2.1可分离变量的微分方程一般地，我们把形如)()(y N x M dxdy = （1）或0)()()()(2211=+dy y N x M dx y N x M （２） 的一阶微分方程，叫可分离变量的微分方程．其中)(),(),(21x M x M x M 只是x 的函数，而)(),(),(21y N y N y N 只是y的函数．以方程（1）为例，其解法如下：1、分离变量，将方程化为两端分别只含y 的函数或x 的函数及其微分的形式；即dx x M y N dy)()(=, ２、两边积分（假定函数)(1y N 和)(x M 连续，且0)(≠y N ），得()()dx x M y N dy ⎰⎰=,若()()()(),,'1'x M x F y G y N ==则可得方程（１）的（隐式）通解为()()C x F y G +=, （３）其通解的显函数形式为 ()[]C x F Gy +=-1（若()y G 有反函数）. 【例1】求微分方程xy dx dy2=的通解.解 所给方程是可分离变量的，分离变量得xdx ydy2=两端积分得 12ln C x y +=, 从而 2112x C C x e e ey ==+,即 21x Ce e y ±=,因为1Ce ±仍是任意常数，把它记作C ，便得方程的通解.2x Ce y =以后为了运算方便起见，可把y ln 写成y ln ，只要记住最后得到的任意常数C 是可正可负的就行了．【例2】求方程xdx y ydy x sin cos sin cos =满足出4π==x y的特解． 解 方程分离变量得 dx dy xxy ycos sin cos sin =,两边积分得dx dy xy ⎰⎰=sin sin ,于是方程的通解为y C x cos cos =. 将40π==x y代入上式得2=C ，故原方程满足初始条件4π==x y 的特解为0cos 2cos =-y x . 7.2.2齐次方程形如()xy dxdy f= （4）的一阶微分方程叫做齐次方程．在方程（4）中如果令xy u =，则可得dxdu dx dyx u +=，代入方程（4），得)(u f x u dx du =+ 该方程是可分离变量方程，因此可求其通解，进而可求得方程（4）的解．【例3】求()022=-+xydy dx y x 的通解．解 原方程可变为 ()xy x y xyyx dxdy 2221++==,令xy u =，则dxdu dx dyx u +=．将其代入上式得 u u dxduxu 21+=+,整理、分离变量后得,x dxudu =两边积分可得其通解 )ln(22Cx x y =.7.2.3一阶线性微分方程 形如 )()('x Q y x P y =+ （5）的微分方程叫做一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 为已知函数．特别地，当0)(≡x Q 时，称0)('=+y x P y （6）为一阶线性齐次微分方程；而（5）式叫做一阶线性非齐次微分方程． 我们发现方程（6）是可分离变量的微分方程，分离变量得 dx x P y dy)(-=,两边积分，得 ⎰+-=C dx x P y ln )(ln ,即 ⎰=-dxx P Ce y )( . （7） 其中C 是任意常数．（7）为方程（6）的通解．为了求方程（5）的通解，我们采用微分方程中常用的“常数变易法”，即将（7）式中的常数C 用待定函数)(x C 代替，并设⎰=-dxx P e x C y )()(为方程（5）的解，如果能确定)(x C ，就得到非齐次方程（5）的通解. 为此，我们将⎰=-dxx P e x C y )()(代入（5）式，得 )()()()()()()()()('x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰⋅+⎰⋅-⎰---即 )()()('x Q e x C dx x P ⎰=, 两边积分得 C dx x Q e x C dx x P +⎰=⎰)()()( , 把求出的)(x C 代入⎰=-dxx P e x C y )()(便得方程（5）的通解：])([)()(C dx x Q e e y dxx P dxx P +⎰⎰=⎰-. （8）今后解非齐次线性微分方程时可以直接利用公式（8），但更应掌握应用常数变易法求非齐次线性微分方程的解，其步骤为：第一步：先求对应齐次微分方程的通解⎰=-dxx P Ce y )(；第二步：由常数变易法可设非齐次微分方程的通解⎰=-dx x P e x C y )()(；第三步：将⎰=-dxx P e x C y )()(代入非齐次微分方程，求出)(x C ； 第四步：将)(x C 代入⎰=-dx x P e x C y )()(，可得非齐次微分方程的通解．【例4】求微分方程x y y 3'=+的通解．解 先求对应其次线性方程0=+y dxdy的通解,分离变量得 dx ydy-=,积分得 C x y ln ln +-=, 即 x C y-=ln , 由此得 xCey -=,再用常数变易法求原方程的通解，设解为 xe x C y -=)( （)(x C 是待定函数）带入原方程得x e x C e x C ex C x x x3)()()('=+----,即 xxe x C 3)('=, 由分部积分法可求得C x e x C x+-=)1(3)(,故得所求方程的通解为xCe x y -+-=)1(3.【例2】求方程xy dysin =+满足初始条件1==πx y 的一个特解．解 直接用公式（8）求解 因为xx x x Q x P sin 1)(,)(==，代入（8）式得)cos ()sin ()(1ln sin 111C x C dx x e C dx e e y x dx x x dx x +-=+=+⎰⎰=⎰⎰-初始条件1==πx y代入上式可得1-=πC .所以，所求特解为)cos 1(1x y x --=π 利用公式（8）解一阶线性微分方程时，注意到⎰-dxx P e )(与dx e x Q dxx P ⎰⎰)()(中的⎰dxx P e )(互为倒数，可使计算更为方便．【例6】 有一个电路如图11-2所示，其中电源电动势ωω,(sin m m E t E E =皆是常量），电阻R 和电感L 都是常量，在0=t 时合上电闸，求电流)(t i ．解 根据克希霍夫第二定律：回路的总电压应等于接入回路中的总电动势．现在电阻上的电压降为Ri ，线圈的感应电动势是dt di L -，于是)(t i 所满足的微分方程为dt di L E Ri -=,即t E Ri L m dt di ωsin =+,初始条件为00==t i．若用公式（8）求解，则这里 ,)(L R t P = t t Q LE mωsin )(= 代入公式（8） )sin ()(C tdt e e t i t L Et L R m L R +=⎰-ω由于 )cos sin (sin 2t L t RL tdt e L R e t t L R LR ωωωωω-=⎰+故得所求微分方程的通解为 t L R E l R mCe t l t R t i -++-=)cos sin ()(ωωωω图7--1将初始条件00==t i代入上式，得222L R LE m C ωω+=于是所求函数)(t i 为)cos sin ()(t l t R et i L R E t L R LE m LR m ωωωωωω-+=+-+=)sin(222222ϕωωωω-++-+t eL R E t L R LE m R m其中RLωϕarctan =. 由上式可以看出，当接通电路后，随着t 的增大，第一项很快变小而趋于零，电路中的电流由第二项决定，这一部分时一个周期函数，周期和电源电动势相同，而相角落后ϕ． 小结：掌握一阶微分方程的解法．7.3二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式是)(x f qy y p y =+'+''， （1） 其中p 、q 是常数，)(x f 是已知函数.当0)(≡x f 时，方程（1）变为0=+'+''qy y p y , （2） 称其为二阶常系数齐次线性微分方程，当0)(≠x f 时称方程（1）为二阶常系数非齐次线性微分方程.７.３.１ 二阶常系数齐次线性微分方程下面给出二阶常系数齐次线性微分方程的通解的结构定理. 定理1 设函数1y 与2y 是方程（2）的两个特解，且≠21y y 常数，即1y 和2y 线性无关，则函数2211y C y C y +=（21,C C 为任意常数）是方程（2）的通解.证明 因为1y 和2y 是方程（2）的两个解，所以0111=+'+''qy y p y ， 0222=+'+''qy y p y 把2211y C y C y +=带入（2），得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C qy y p y ++'++''+=+'+''=)(1111qy y p y C +'+''+)(2222qy y p y C +'+''=00021=⋅+⋅C C 即2211y C y C y +=是方程（2）的解，又因为≠21y y 常数，所以y 中含有两个独立的任意常数21,C C ，所以y 是方程（2）的通解. “≠21y y 常数”这一条件很重要.如果k y y =21（k 是常数），则 12ky y =于是有1212211)(y k C C y C y C y +=+=，这里121)(y k C C +是一个常数，故1212211)(y k C C y C y C y +=+=只含一个任意常数，所以它就不是方程（2）的通解了.实际上，求方程（2）的通解就是求它的两个线性无关的特解.如何求方程（2）的两个线性无关的特解呢？根据方程（2）的特点，可以看出y 、y '、y ''必须是同类型函数，才又可能使方程右端为零，这自然使我们想到函数rx e y =（r 为待定常数）有可能是方程（2）的解.事实上，将rx e y =，rxrx e r y re y 2,=''='带入方程（2），得 0)(2=++q pr r e rx . 因0≠rxe，所以必有02=++q pr r . （3） 这表明，只要r 是代数方程（3）的根，那么函数rxe y =就是方程（2）的解.我们称代数方程（3）为微分方程（2）的特征方程，特征方程的两个根1r ，2r 称为特征根.下面根据特征根的三种不同情形，分别讨论方程（2）的三种通解形式.1. 1r ，2r 是两相异实根这样xr e y 1=和xr e y 2=是方程（2）的两个特解，且≠=-x r r e y y )(2121常数，即它们线性无关，于是方程（2）的通解为 xr xr e C e C y 2121+=（21,C C 为任意常数）. 2. 1r ，2r 是两相等实根设1r =2r =r ，由此得到方程（2）的一个特解rxe y =1.可以证明 rx xe y =1是方程（2）的另一个与1y 线性无关的特解.所以方程为（2）的通解为rx e x C C y )(21+= （21,C C 为任意常数）.3. βαi r +=1，βαi r -=2(β>0)是一对共轭复根此时，可以证明x e y x βαcos 1= ，x e y x βαsin 2= 是方程（2）的两个线性无关的特解.所以方程（2）的通解为 )sin cos (21x C x C e y rx ββ+=.【例1】 求微分方程023=+'-''y y y 的通解.解 特征方程为 0232=+-r r ，其特征根为11=r ，22=r .所以方程的通解为xx e C e C y 221+=.【例2】 求微分方程044=+'-''y y y 满足初始条件2,100='===x x y y 的特解.解 特征方程为 01442=+-r r ，其特征根为2121==r r .所以方程的通解为221)(x e xC C y +=. 将初始条件分别代入上面两式,11=C 232=C .于是所求特解为2)231(xe x y +=.【例3】求微分方程032=+'+''y y y 的通解.解 特征方程为 0322=++r r其特征根为一对共轭复根i r 212,1±-=（2,1=-=βα）.所以方程的通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（2）通解的步骤如下：第一步：写出微分方程所对应的特征方程02=++q pr r ；第二步：求出特征方程的两个根1r ，2r ；第三步：根据特征根的不同情况，按下表（如表7-1所示）写出方程（2）的通解.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的结构定理如下： 定理2 设*y 是非齐次方程（1）的一个特解，Y 是对应的齐次方程（2）的通解，则 *+=y Y y是非其次方程（1）的通解. 证明略 由于方程（2）的通解的求法已经在上面得到解决，所以根据这个定理，求方程（2）的通解便归结为讨论如何求方程（1）的一个特解*y 的问题了.下面仅就)(x f 取以下两种常见形式进行讨论.1. xm e x P x f λ)()(=（其中λ是常数，)(x P m 是x 的一个m 次多项式） 这时方程（1）的形式为 x m e x P qy y p y λ)(=+'+''. （4）因为多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积，所以，从方程（4）的结构可以推断出它应该有多形式与指数函数乘积型的特解，且特解形式如表7-2所示（其中)(x Q m 是与)(x P m 同次的特定多项式）.表7-22. )sin cos ()(x b x a e x f xωωλ+=（其中λ、a 、b 、ω是常数）这时方程（1）的形式为)sin cos (x b x a e qy y p y x ωωλ+=+'+'' （5）因为三角函数与指数函数乘积的导数仍是同一类型，所以方程 （5）应有三角函数与指数函数乘积型的特解，且特解形式如表7-3所示（其中A 、B 是待定常数）.表7-3【例4】 求微分方程234-=+'+''x y y y 的一个特解.解 特征方程0342=++r r ，其特征根为,11-=r 32-=r .由2)(-=x x f 知，1=m ，0=λ.因为0=λ不是特征方程的根，故设特解为b ax e x Q y x m +==*λ)(. 求*y 的导数，得a y ='*，0="*y ， 代入原方程，得2334-=++x b ax a . 比较两端x 同次幂的系数，得⎩⎨⎧-=+=.234,13b a a解得 31=a ，910-=b .于是所求方程的特解为91031-=*x y .【例5】求微分方程x e y y y x sin 352-=+'+''的一个特解.解 特征方程0522=++r r 的根是i r ±-=1.由x e x f x sin 3)(-=知，,1,1=-=ωλ因i i ±-=±1ωλ不是特征方程的根，故设特解)sin cos (x b a e y x+=-*.把它代入原方程，得x x b x a sin 3sin 3cos 3=+.比较两端同类项的系数，得1,0==b a .于是所求方程的一个特解为 x e y xsin -*=.【例6】求微分方程x y y s i n 4='+''满足初始条件0,00='==x x y y 的解.解 特征方程02=+r r ，特征根为i r ±=2,1，所以对应其次方程的通解为 x C x C Y sin cos 21+=.由x x f sin 4)(=知.1,0==ωλ而i i ±=±ωλ是特征根，故设特解)sin cos ()sin cos (0x b x a x x b x a xe y x+=+=*，求*y 的导数，得)cos sin ()sin cos (x b x a x x b x a y +-++='*， )sin cos ()cos 2sin 2x b x a x x b x a y +-+-="*，把它代入原方程，得 x x b x a sin 4cos 2sin 2=+-比较两端同类项的系数，得 0,2=-=b a ，因此所求特解为xx y cos 2-=*. 于是原方程的通解为x x x C x C y cos 2sin cos 21-+=. 又由,10==x y得11=C ，由00='=x y ，得22=C ，所以原方程满足初始条件的解为x x x x y cos 2sin 2cos -+=.小结：掌握二阶常系数线性微分方程的解法7.4应用与实践应用微分方程解决具体问题，通常按下列步骤进行：（1）建立数学模型：把问题中的关系联系起来，找到函数的变化率与未知函数的关系，建立微分方程，确定初始条件．（2）求解微分方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解．（3）解释问题：用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些问题过程的特定性质或实际问题的现实意义，以便达到解决实际问题的目的．3.1.1 力学问题我们看一看在交通事故现场交警如何判断事故车辆在紧急刹车前的车速是否超出规定？在公路交通事故的现场，常会发现事故车辆的车轮有一段拖痕（刹车距离）．这是紧急刹车后制动片抱紧制动箍使车轮停止转动，而车轮由于惯性的作用在地面上摩擦滑动留下的痕迹．如果在事故现场测得拖痕的长度为15m ，并测出路面与车轮的摩擦系数为1.04(此系数由路面质地、轮胎与地面接触面积等因素决定)，那么交警如何判定事故车辆在紧急刹车前的车速是否超出规定？解 设拖痕所在直线为x 轴，拖痕的起点为原点，车辆的滑动位移为x ，滑动速度为v .当0=t 时，0=x ，0v v =（滑动时的初速度）；当1t t =时（1t 是滑动停止的时刻），15=x ，0=v .在滑动过程中，车辆受到与运动方向相反的摩擦力f 的作用，如果车辆的质量为m ，则摩擦力f 的大小为m g λ.根据牛顿第二定律，有m g dt xd m λ-=22,即 g dt xd λ-=22,积分得1C gt dtdx+-=λ, 再一次积分，得 2122C t C t g x ++-=λ . 将条件0=t 时，0=x ，0v dtdxv ==代入上面两式，得01v C =，02=C ，即有0v gt dt dx +-=λ，t v t g x 022+-=λ. 将条件1t t =时，15=x ，0=v ，代入上式，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-.152,0102101t v t g v gt λλ在此方程组中消去1t ，得 1520⨯=g v λ代入)/(8.9,04.12s m g ≈=λ,得0v ≈17.49(m/s) ≈63(km/h). 实际上，在车轮开始滑动之前，车辆还有一个滚动减速的过程，因此车辆在刹车前的速度要大于63(km/h).可见刹车拖痕（刹车距离）是分析交通事故的一个重要因素.3.1．2 人口增长问题（马尔萨斯人口方程）英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比.若已知0t t =时人口总数0x ，试根据马尔萨斯人口模型，确定时间t 与人口总数)(t x 之间的函数关系.根据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人口总数为11.6亿，在以后的8年中，年人口平均增长率为14.8‰,假定今后的年增长率不变，试用马尔萨斯方程预测2005年我国的人口总数.解 设t 时刻人口总数为)(t x x =，根据人口指数增长模型 )(t rx dtdx= （r 为比例常数）， 并附初值条件00x xt t ==.这是可分离变量方程，它的通解为 rtCe x = 将初值条件00x xt t ==代入，得00rt e x C -=，于是所求函数关系为)(00)(t t r ex t x -=.将0148.0,6.11,1990,200500====r x t t 代入，可预测出2005年我国的人口总数为4.146.11)19902005(0148.02005≈⨯=-⨯=e x t （亿）马尔萨斯人口模型认为，人口以re 为公比，按几何级数增长，这显然对未来的人口总数预测是不正确的.其主要原因是，随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著.为了使人口预报，特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设.荷兰生物学家Verhulst 引入常数m x ，用来表示自然资源和环境条件所允许的最大人口，并假定人口增长率为))(1(mx t x r -， 即人口增长率随着)(t x 的增加而减少，当m x t x →)(时，人口增长率趋于零.其中m x r ,是根据人口统计数据或经验确定的常数.由此得x x xr dr dx m)1(-=. 这个方程称为Logistic 模型（阻滞增长模型）.属于可分离变量的方程，其通解为rtmCex t x -+=1)(. Logistic 模型实际上是一种变量的增长率drdx与其现实值x 、饱和值与现实值之差x x m -都成正比的数学模型，其在生物群生长、传染病传播以及产品推销、推广技术等问题中都有重要作用.3.1．3 扫雪时间问题一个冬天的早晨开始下雪，整天不停，且以恒定速率不断下降．一台扫雪机，从上午8点开始在公路上扫雪，到9点前进了2千米，到10点前进了3千米．假定扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数．问何时开始下雪？解 第一步 问题分析与建模 题目给我们提供的主要信息有： （1） 雪以恒定的速率下降；（2） 扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数；（3） 扫雪机从8点到9点前进了2千米，倒10点前进了3千米．下面将以上几句话用数学语言表达出来．设)(t h 为开始下雪起到t 时刻时积雪深度，则由（1）得Cdtt dh =)(（C 常数）设)(t x 为扫雪机下雪开始起到t 时刻走过的距离，那么根据（2），我们得到hk dt dx=，k 为比例常数．以T 表示扫雪开始的时刻，则根据（3）有T t =时，0=x ；1+=T t 时，2=x ；2+=T t 时，3=x 于是我们可得问题的数学模型为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+===3)2(2)1(0)()(T x T x T x C hk dt dx dt t dh第二步 模型求解根据以上分析，只要找出x 与t 的函数关系，就可以利用)(T x 求出T ．根据T 即可知道开始下雪的时间． 由Cdt dh =得 1C Ct h +=因0=t 时，0=h ，故01=C ，从而Ct h =．代入hkdt dx=，得CktA dt dxA ==(为常数） 有分离变量法得B t A x +=ln （B 为任意常数） 将,0)(=T x 2)1(=+T x ，3)2(=+T x 代入上式得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+=B T A B T A B T A )2ln(3)1ln(2ln 0从上面消去B A ,得(),1212T T T T +++=即012=-+T T 解此一元二次方程，得618.0215==-T 小时≈37分5秒因此，扫雪机开始工作时为37分5秒，由于扫雪机是上午8点开始的，故下雪是7点22分55秒开始的．3.1.3 盐水稀释问题设容器内有100 kg 盐水，浓度为10%（即含盐10kg ），现在每分钟输入浓度为1%的盐水6kg ，同时每分钟输出盐水4kg ，试问：经过50分钟，容器内盐水浓度是多少？（假设变化过程中，任何时刻容器内盐水的浓度是均匀的）解 第一步 审题和量的分析首先明确题目给出的盐水稀释过程是：盐水浓度和盐水量因每分钟输入1%的盐水6kg 和同时每分钟输出4kg 盐水而不断变化，浓度不断变化必有变化率，需要用微分方程来求解．此问题所涉及的主要量有：实间，时刻容器内盐水的浓度，时刻容器内盐水量，时刻容器内含盐量和含水量．显然，0=t 时，有%10)0(=ρ （1） )()()(t X t Q t H -= （2） 由于容器内的盐水、含盐量、含水量都在不断的变化，它们的变化率分别为)()()(,,t H t X t Q K K K ．在整个变化过程中的任意时刻t ，关系式为)()()(t Q t X t =ρ （3）t t t Q 2100)46(100)(+=-+= （4）在t t ∆+，同样有关系式)()(t t X t t ∆+=∆+ρ（5）)(2100)(t t t t Q ∆++=∆+（6）第二步 模型建立与求解 在模型建立过程中，我们将首先构建浓度)(t ρ变化的微分方程．首先，t t ∆+时刻容器内盐水的含盐量为tt t t X t t X ∆-∆+≈∆+)(406.0)()(ρtt t t Q t ∆-∆+=)(406.0)()(ρρ （7） 将式（6）、（7）、代入式（5）得)(2100(406.0)()()(t t t t t Q t t t ∆++∆-∆+=∆+ρρρ （8）从而有[]t Q t t t t t +=∆++∆+0.0)()()(2100)(ρρ 即[]t t t t t t t t ∆-∆=∆++-∆+)(606.0)(2100)]()([ρρρ（9）对式（9）两边同除以t ∆，得[])(606.0)(2100)()(t t t tt t t ρρρ-=∆++∆-∆+ （10） 式（10）两边在0→∆t 的过程中取极限，再由式（1）得所求问题的数学模型⎩⎨⎧=-=+%10)0()(606.0)2100(ρρρt t dtd （11） 利用分离变量法解微分方程（11）得3)50(01.0)(-++=t C t ρ有初始条件即得35009.0⨯=C故33)50(5009.001.0)(-+⨯+=t t ρ于是经过50分钟，容器内盐水的浓度为%12.2)50(≈ρ上述列微分方程的方法通常称为“小元素分析法”或称为“微元分析法”．小结：掌握微分方程建模的方法。
微分方程教案
微分方程教案
一、教学目标：
1. 理解微分方程的基本概念和解法；
2. 掌握常见微分方程的求解方法；
3. 能够应用微分方程解决实际问题。
二、教学重点和难点：
1. 重点：微分方程的基本概念和求解方法；
2. 难点：微分方程的应用解决实际问题。
三、教学内容：
1. 微分方程的基本概念：一阶微分方程和高阶微分方程；
2. 常见微分方程的求解方法：可分离变量、线性微分方程、齐次微分方程、常
数变易法等；
3. 微分方程的应用：生长衰减问题、物理问题、工程问题等。
四、教学过程：
1. 导入：通过引入实际问题引起学生兴趣，如生长衰减问题；
2. 概念讲解：介绍微分方程的基本概念和常见求解方法；
3. 案例分析：通过具体案例演示微分方程的求解过程；
4. 练习：布置练习题让学生巩固所学知识；
5. 拓展：引导学生思考微分方程在实际问题中的应用。
五、教学方法：
1. 讲授相结合：通过讲解基本概念和求解方法，引导学生理解微分方程的本质；
2. 案例分析：通过具体案例演示微分方程的求解过程，帮助学生掌握解题技巧；
3. 互动讨论：鼓励学生参与讨论，提高学生对微分方程的理解和应用能力。
六、教学工具：
1. 教科书、课件等教学资料；
2. 实例题目和练习题；
3. 多媒体设备。
七、教学评估：
1. 课堂表现：学生对微分方程的理解和应用能力；
2. 作业成绩：检验学生对微分方程的掌握程度；
3. 课后测验：检验学生对微分方程的理解和应用能力。
八、教学反思：
对教学过程进行总结和反思，根据学生的反馈和表现调整教学方法和内容，不断优化教学效果。
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其中C是任意常数
把条件“x1时y2”代入(3)式得
212C
由此定出C1把C1代入(3)式得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)
yx21
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
(5) 或 不是线性方程
齐次线性方程的解法
齐次线性方程 是变量可分离方程分离变量后得
两边积分得
或
这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）
例1求方程 的通解
解这是齐次线性方程分离变量得
两边积分得
ln|y|ln|x2|lnC
方程的通解为
yC(x2)
非齐次线性方程的解法
将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x)把
x|t0Ax|t00
的特解
解由条件x|t0A及xC1cosktC2sinkt得
C1A
再由条件x|t00及x(t)kC1sinktkC2coskt得
C20
把C1、C2的值代入xC1cosktC2sinkt中得
xAcoskt
作业：P298：4
1求微分方程y2x的通解为此把方程两边积分得
yx2C
一般地方程yf(x)的通解为 (此处积分后不再加任意常数)
即lnMtlnC也即MCet
由初始条件得M0Ce0C
所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
解设降落伞下落速度为v(t)降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)根据牛顿第二运动定律Fma得函数v(t)应满足的方程为
§
线性方程
方程 叫做一阶线性微分方程
如果Q(x)0则方程称为齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程
方程 叫做对应于非齐次线性方程 的齐次线性方程
下列方程各是什么类型方程？
(1) 是齐次线性方程
(2) 3x25x5y0y3x25x是非齐次线性方程
(3)yycosxesinx是非齐次线性方程
(4) 不是线性方程
微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解确切地说设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上
F[x(x)(x)(n)(x)]0
那么函数y(x)就叫做微分方程F(xyyy(n))0在区间I上的解
通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解
解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式
(4)
此外未知函数ss(t)还应满足下列条件
t0时s0 简记为s|t0=0s|t0=20(5)
把(4)式两端积分一次得
(6)
再积分一次得
s02t2C1tC2(7)
这里C1C2都是任意常数
把条件v|t020代入(6)得
令xyu则原方程化为
即
分离变量得
两端积分得
uln|u1|xln|C|
以uxy代入上式得
yln|xy1|ln|C|或xCeyy1
作业：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）
§75可降阶的高阶微分方程
一、y(n)f(x)型的微分方程
解法积分n次
例1求微分方程ye2xcosx的通解
第二步两端积分 设积分后得G(y)F(x)C
第三步求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)
G(y)F(x)Cy(x)或x(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解
例1求微分方程 的通解
解此方程为可分离变量方程分离变量后得
两边积分得
即ln|y|x2C1
从而
因为 仍是任意常数把它记作C便得所给方程的通解
2求微分方程y2xy2的通解
因为y是未知的所以积分 无法进行方程两边直
接积分不能求出通解
为求通解可将方程变为 两边积分得
或
可以验证函数 是原方程的通解
一般地如果一阶微分方程y(x,y)能写成
g(y)dyf(x)dx
形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程
G(y)F(x)C
由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解
常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程
微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶
x3yx2y4xy3x2
y(4)4y10y12y5ysin2x
y(n)10
一般n阶微分方程
F(xyyy(n))0
y(n)f(xyyy(n1))
设想成非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得
化简得
于是非齐次线性方程的通解为
或
非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和
例2求方程 的通解
解这是一个非齐次线性方程
先求对应的齐次线性方程 的通解
分离变量得
两边积分得
lny2ln (x1)lnC
齐次线性方程的通解为
yC(x1)2
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：
1、
2、
3、
4、
教学难点：
1、
2、
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程
解设所求曲线的方程为yy(x)根据导数的几何意义可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)
(1)
此外未知函数yy(x)还应满足下列条件
x1时y2简记为y|x12(2)
把(1)式两端积分得(称为微分方程的通解)
的函数即 则称这方程为齐次方程
下列方程哪些是齐次方程？
(1) 是齐次方程
(2) 不是齐次方程
(3)(x2y2)dxxydy0是齐次方程
(4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程
(5) 是齐次方程
齐次方程的解法
在齐次方程 中令 即yux有
分离变量得
两端积分得
求出积分后再用 代替u便得所给齐次方程的通解
令zy1n得线性方程
例4求方程 的通解
解以y2除方程的两端得
即
令zy1则上述方程成为
这是一个线性方程它的通解为
以y1代z得所求方程的通解为
经过变量代换某些方程可以化为变量可分离的方程或化为已知其求解方法的方程
例5解方程
解若把所给方程变形为
即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解但这里用变量代换来解所给方程
解对所给方程接连积分三次得
例3验证函数xC1cosktC2sinkt是微分方程 的解
解求所给函数的导数
将 及x的表达式代入所给方程得
k2(C1cosktC2sinkt)k2(C1cosktC2sinkt)0
这表明函数xC1cosktC2sinkt满足方程 因此所给函数是所给方程的解
例4已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程 的通解求满足初始条件
初始条件为
v|t00
方程分离变量得
两边积分得
即 ( )
将初始条件v|t00代入通解得
于是降落伞下落速度与时间的函数关系为
例4求微分方程 的通解
解方程可化为
分离变量得
两边积分得
即
于是原方程的通解为
作业：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3
齐次方程
如果一阶微分方程 中的函数f(x,y)可写成
初始条件为
i|t00
方程 为非齐次线性方程其中
由通解公式得
其中C为任意常数
将初始条件i|t00代入通解得
因此所求函数i(t)为
伯努利方程方程
(n01)
叫做伯努利方程
下列方程是什么类型方程？
(1) 是伯努利方程
(2) 是伯努利方程
(3) 是伯努利方程
(4) 是线性方程不是伯努利方程
伯努利方程的解法以yn除方程的两边得
解取O为坐标原点河岸朝顺水方向为x轴y轴指向对岸设在时刻t鸭子位于点P(x,y)则鸭子运动速度
故有
另一方面
因此 即
问题归结为解齐次方程
令 即xyu得
分离变量得
两边积分得
将 代入上式并整理得
以x|yh0代入上式得 故鸭子游过的轨迹方程为
0yh
将 代入 后的整理过程
作业：P309：1（1）（3）（5），2
初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如
xx0时yy0yy0
一般写成
特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解
初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题
如求微分方程yf(xy)满足初始条件 的解的问题记为
积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线
§
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程