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r x i y j z k (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
C r M k j B o y i A N x
z
沿三个坐标轴方向的分向量.
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四、利用坐标作向量的线性运算 设 a ( a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) , 为实数 ， 则 a b (a x bx , a y by , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
即 M1M 2 M 3 为等腰三角形 .
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M1 M2
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M3
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例4. 在 z 轴上求与两点 离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0 , 0 , z ) , 因为 M A M B ,
(4) 2 12 (7 z ) 2
解得
(2 z ) 2 3 5
例6. 已知两点
解: A B

和
求
AB

AB 3 1 2 , , 14 14 14
1 (3 ,1, 2) 14

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2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. x x cos 2 2 2 r x y z
中点公式:
x1 x2 , 2
y1 y2 , 2
z1 z 2 2
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B M
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五、向量的模、方向角、投影
设 r ( x , y , z ), 作 OM r , 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
1. 向量的模与两点间的距离公式
2 cos 2 3 4
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3
,
例6. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 角依次为 , , 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 . 3 4
, , 则 解: 已知 3 4 cos 2 1 cos 2 cos 2 1 4 因点 A 在第一卦限 , 故 cos 1 , 于是 2
OM O A ( OB OM )
得
即
o
A
B M
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OM 1 ( OA OB 1 1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1
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说明: 由
1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A 当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
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任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
的夹角. a ,b
z
r
o

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y
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x
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x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2
o
y
x
坐标面 :
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2. 向量的坐标表示
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM ON NM OA OB OC
2 2
9
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(Fra Baidu bibliotek) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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提示: (1) 设动点为 M ( x , y , 0) , 利用 M A M B , 得 且 (2) 设动点为 M ( x , y , z ) , 利用 M A M B , 得
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一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M1 M2
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
故 0 , 即 .
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“
” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向
a∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
a b AC b a BD
可见 总之: a a 1a a ; 运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a 1 a a ;
(a b ) a b 1 则有单位向量 a a a. 因此 a a a
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
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2. 向量的减法
a
三角不等式
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3. 向量与数的乘法
规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
平行向量对应坐标成比例:
当 a 0 时,
bx a x by a y
bx b y bz ax a y az
bz a z
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例2. 已知两点
在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1, 如图所示
解: 设 M 的坐标为
A M B
AM MB AM OM OA MB OB OM
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc b
b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
R
z
M Q y
N
2 2 2
o
P x
r OM
对两点 与 因
x y z
得两点间的距离公式:
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
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例3. 求证以
的三角形是等腰三角形 .
证:
为顶点
M 1M 2 (7 4) 2 (1 3) 2 (2 1) 2 14 M 2 M 3 (5 7) 2 (2 1) 2 (3 2) 2 6 M 1M 3 (5 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6 M 2 M 3 M 1M 3
z
z 轴(竖轴)
• 坐标原点
Ⅲ Ⅳ
Ⅱ
• 坐标轴 • 坐标面
yoz 面
o xoy面
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
Ⅴ
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在直角坐标系下
点 M 有序数组 ( x, y, z ) 向径 r (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
MC 1 ( a b ) 2
2 MA 2 MB
MD 1 ( b a ) 2
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D
b
C
M
MA 1 ( a b ) MB 1 ( b a ) A 2 2
a
B
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
解： 对角线的长为
|mn|
m n ( 1, 1,1) m n (1, 3 , 1)
|mn 3 | m n 11
n
m
该平行四边形的对角线的长度各为 3, 11
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原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
1 1
1 1
z
R(0,0, z )
B(0, y, z )
C ( x, o, z )
o
r
M
y
Q(0, y,0)
x P(x,0,0)
A( x, y,0)
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z
坐标轴 :
第八章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第八章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
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分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则 a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± ( 为唯一实数)
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且

b
故 b a.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
方向余弦的性质:
z
r
o


y
x
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例5. 已知两点
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
(1, 1, 2 )
(1) 2 12 ( 2 ) 2 2
1 cos , 2 2 , 3
OA O A OA 6 ( 1 , 2

2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
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备用题 1. 设 m i j , n 2 j k , 求以向量 m , n 为边的平 行四边形的对角线的长度 .