数理方程第二章 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题-3剖析

0 ( 2 ) ( )
(7)
(8)
(9)
R R R 0
2
R(0)
(10)
至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而 条件(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条 件一样，最后再去考虑。
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求解角向定解问题： 1. 0：(7)的通解
u ( , ) u ( , 2 )
这个条件称为“周期性边界条件” 2. 物理上，圆内各点的温度应该是有界的， 特别是圆盘中心的温度应该是有限的：
u(0, )
这个条件称为“自然边界条件”
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同时，考虑到自变量变化的特点，有
0 , 0
2
, 0 , 0 2
, 0 2

u ( 0 , ) f ( )
u ( 0 , )
u ( , ) u ( , 2 )
代入径向方程和角向方程
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变成常微分方程的定解问题
将非齐次边界条件（2）代入形式解（3）：
R( 0 )( ) f ( )
（6）
上式无法分离成关于R和的两个独立的边界条 件，不能分别构成关于R和的常微分方程的定 解问题！
下一步如何进行？
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寻找物理上的边界条件：
1. ( , ) 和 ( , 2 ) 在物理上代表同一个点， 具有相同的温度:
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求解角向定解问题：
3. 0 : (7)的通解
0
(7 )
( 2 ) ( ) (8)
( ) A cos B sin
要让它以2为周期，必须取
n (n 0, 1, 2,)
即： ( ) A cos n B sin n 事实上：( 2 ) A cosn( 2 ) B sin n( 2 )
据此，写成极坐标形式为
u ( , ) f ( ) , 0 2 0
2
1 u 1 2u u ( ) 2 0, 2
0 ,
0 2
（１）
泛定方程
（２）
边界条件——边缘温度
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一个半径为 0 的薄圆盘， 上下两面绝热，

0

圆周边缘温度分布为 f ( ) ， 求达到稳恒 状态时圆盘内的温度分布 u ( , ) 。
定解问题: 由第一章知道，热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关
u 2u 2u 2 即 0 , 应满足二维拉普拉斯方 程 u u 2 0 2 t x y
Rn ( ) cn n ( n 1, 2, 3,)
可以合并为 Rn ( ) cn n ( n 0, 1, 2,)
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本征解 un ( , ) Rn ( ) n ( )
n an cos n bn sin n
R0 ( ) c0 d 0 ln Rn ( ) cn n d n n (for n 0) (for n 1, 2, 3,)
为了保证 R(0) ，必须取 d n 0 (n 0, 1, 2,)
R0 ( ) c0 ( n 0)
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分离变量法提要: • • • • • • 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
§2.3
圆形域内的二维 LapБайду номын сангаасace 方程的定解问题
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( n 0, 1, 2, 3,)
边界条件： u f ( )
0
un ( 0 , ) an cosn bn sin n
n 0
不能表征任 意函数 f ( )
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一般解:
为了表征任意边界条件（2）, 需要利用叠加原理写 出一般解(它是对于 0 和 0 所有本征解的组合)
分离变量:
设方程（1）有径向和角向分离的解：
u( , ) R( )( )
（ 3）
代入方程（1）得到：
2 R R
R

分离变量： 2 R R R 0（径向方程） （4） （角向方程） （5） 0
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u ( , ) R0 ( ) 0 ( ) n an cos n bn sin n
即有

和
0 , 2

中心点的温度有限（有界） 坐标系中指同一点温度不变
u ( 0 , )
u ( , ) u ( , 2 )
以下，求满足一个方程和三个边界条件所构成的定解问题的解。
1 u 1 2u u ( ) 0 2 2
0
(7 )
( 2 ) ( ) (8)
( ) A B
由(8)得到 B 0 , 有特解: 0 ( ) A 2. 0: (7)的通解
( ) A exp( ) B exp( )
(常数)
不能满足周期性边界条件(8)
A cos(n 2n ) B sin(n 2n ) A cosn B sin n ( )
(9 )
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求解径向定解问题：
2 R R n 2 R 0 (10)
R(0)
(11)
(10)为欧拉方程，其通解为