数理方程第二章 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题-3剖析
合集下载
场论与数理方程Lesson02
第一类边界条件直接规定了所研究的物理量在边界上的数值第二类边界条件规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值第三类边界条件规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值其中是时间的已知函数为常系数
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t )
作用，则上式应该改写为
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n f ( x0 , y0 , z0 , t )
x0 , y0 , z0
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x , y
0 0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
utt a uxx f ( x, t )
2
式中 f ( x, t )
F ( x, t )
称为力密度 ，为 t 时刻作用于
x
处单位质量上的横向外力
上式称为弦的受迫振动方程。
例2：柔软而均匀的弦一端固定，在它本身重力作用下，此弦 处于铅锤的平衡位置，试导出此弦微小横振动方程。 T ( x) 解：取 [ x, x x] 一段 u x 轴方向： 0 x T ( x) cos g (l x) x x u 轴方向： 2u T ( x) sin x 2 T ( x x) sin t T ( x x) 2 u g[l ( x x)] tan g (l x) tan x 2 t u x tan x u ( x x, t ) u ( x, t ) 2u g[l ( x x)] g (l x) x 2 x x t 2u u 得： 2 g (l x) t x x
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t )
作用，则上式应该改写为
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n f ( x0 , y0 , z0 , t )
x0 , y0 , z0
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x , y
0 0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
utt a uxx f ( x, t )
2
式中 f ( x, t )
F ( x, t )
称为力密度 ，为 t 时刻作用于
x
处单位质量上的横向外力
上式称为弦的受迫振动方程。
例2：柔软而均匀的弦一端固定，在它本身重力作用下，此弦 处于铅锤的平衡位置，试导出此弦微小横振动方程。 T ( x) 解：取 [ x, x x] 一段 u x 轴方向： 0 x T ( x) cos g (l x) x x u 轴方向： 2u T ( x) sin x 2 T ( x x) sin t T ( x x) 2 u g[l ( x x)] tan g (l x) tan x 2 t u x tan x u ( x x, t ) u ( x, t ) 2u g[l ( x x)] g (l x) x 2 x x t 2u u 得： 2 g (l x) t x x
2-3 拉普拉斯方程
③ 写出边界条件和衔接条件(即：不同区域分界面 上的边值关系)。
④ 根据定解条件，求出通解中的积分常数。 ⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际
问题的解。 关键步骤：① 充分利用对称性，写出简单的通解。
② 正确写出边界条件，不能有遗漏。
例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带 电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。
R 0 处，2 应为有限值，因此
dn 0
在介质球面上（R=R0），
1 2 ,
0
1
R
2
R
比较Pn的系b数1 ，得:200 E0 R03，
c1
3 0 2 0
E0
bn cn 0， (n 1)
所有常数已经定出，因此本问题的解为
1
E0R cos
0 20
E0R03 cos
R2
2
3 0 20
E(a) 0 er
E0R cos
在球内总电场作用下，介质的极化强度为
P内
e 0 E
(
0)E
0 20
30 E0
介质球的总电偶极矩为
p
4
3
R03 P
0 20
4 0 R03 E0
球外区域电势 所产生的电势
1
的第二项就是这个电偶极矩
E0
1
4 0
pR R3
0 20
E0 R03 R2
cos
例3 半径为R0的接地导体球置于均匀外电场E0中， 求电势和导体上的电荷面密度。
因此v的可能值为
νn
n 2 α
,
n 1,2
④ 根据定解条件，求出通解中的积分常数。 ⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际
问题的解。 关键步骤：① 充分利用对称性，写出简单的通解。
② 正确写出边界条件，不能有遗漏。
例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带 电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。
R 0 处，2 应为有限值，因此
dn 0
在介质球面上（R=R0），
1 2 ,
0
1
R
2
R
比较Pn的系b数1 ，得:200 E0 R03，
c1
3 0 2 0
E0
bn cn 0， (n 1)
所有常数已经定出，因此本问题的解为
1
E0R cos
0 20
E0R03 cos
R2
2
3 0 20
E(a) 0 er
E0R cos
在球内总电场作用下，介质的极化强度为
P内
e 0 E
(
0)E
0 20
30 E0
介质球的总电偶极矩为
p
4
3
R03 P
0 20
4 0 R03 E0
球外区域电势 所产生的电势
1
的第二项就是这个电偶极矩
E0
1
4 0
pR R3
0 20
E0 R03 R2
cos
例3 半径为R0的接地导体球置于均匀外电场E0中， 求电势和导体上的电荷面密度。
因此v的可能值为
νn
n 2 α
,
n 1,2
华科大数理方程课程总结2014
u n (0) 0,
t 0
(n 1, 2, ).
k 2 ( t )
(63)
的解为
u n (t ) f n ( )e
d . (n 1, 2, ). (64)
6
第2章主要内容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：
● 当边界条件为非齐次时，则必须引进辅助函数
(11)
2. n 阶第一类贝塞尔函数
J n ( x) a 2 m x
m 0 n2m
n2m x (1) m n 2 m , (18) 2 m!(n m 1) m 0
3. n 阶第二类贝塞尔函数
J n ( x) cos n J n ( x) Yn ( x) . sin n
如果方程中的自由项 f 和边界条件中的 u1 , u 2 都与自变量 t 无关，在这种情形下，我们可选取 辅助函数 w( x ), 通过函数代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x), 使方程与边界条件同时化成齐次的。
9
第2章主要内容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：
● 对于像矩形0 x a, 0 y b;带形 0 x a, 0 y
一类的区域采用直角坐标系 应当指出，只有当求解区域很规则时，才可以应 用分离变量法求解拉普拉斯方程的边值问题。
11
第2章主要内容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言：
u |r r0 f ( ).
(P)
思路2 将问题(P)的解看成两部分，令
u(r, ) v(r, ) w(r, ),
v(r , )
和 w(r , ) 分别满足
1 1 v rr v r 2 v F (r , ),(0 r r0 ), r r
t 0
(n 1, 2, ).
k 2 ( t )
(63)
的解为
u n (t ) f n ( )e
d . (n 1, 2, ). (64)
6
第2章主要内容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：
● 当边界条件为非齐次时，则必须引进辅助函数
(11)
2. n 阶第一类贝塞尔函数
J n ( x) a 2 m x
m 0 n2m
n2m x (1) m n 2 m , (18) 2 m!(n m 1) m 0
3. n 阶第二类贝塞尔函数
J n ( x) cos n J n ( x) Yn ( x) . sin n
如果方程中的自由项 f 和边界条件中的 u1 , u 2 都与自变量 t 无关，在这种情形下，我们可选取 辅助函数 w( x ), 通过函数代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x), 使方程与边界条件同时化成齐次的。
9
第2章主要内容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：
● 对于像矩形0 x a, 0 y b;带形 0 x a, 0 y
一类的区域采用直角坐标系 应当指出，只有当求解区域很规则时，才可以应 用分离变量法求解拉普拉斯方程的边值问题。
11
第2章主要内容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言：
u |r r0 f ( ).
(P)
思路2 将问题(P)的解看成两部分，令
u(r, ) v(r, ) w(r, ),
v(r , )
和 w(r , ) 分别满足
1 1 v rr v r 2 v F (r , ),(0 r r0 ), r r
分离变量解法2（圆域与非齐次问题）
(
ρ ρ0
)n
cos n(θ
−
t
⎤ )⎥ ⎦
d
t
∫ u( ρ
,θ
)=
1
2π
2π 0
f
(t)
ρ02
−
ρ2
ρ02 − ρ 2 − 2ρ0ρ cos (θ
d −t)
t
这个解，称为圆域内的泊松（poisson） 公式，它的理论意义是把解写成了积分的形式。
(0 ≤ θ ≤ 2π , ρ < ρ0 )
Poisson 积分公式——Laplace 方程，在圆域内的第一类边界条件的解。
⎞2 ⎠⎟
+
2 ∂2u
∂r∂θ
∂r ∂y
∂θ
∂y
+
∂2u
∂θ 2
⎛ ∂θ
⎝⎜ ∂y
⎞2 ⎠⎟
+
∂u
∂ρ
∂2ρ
∂y 2
+
∂u
∂θ
∂ 2θ
∂y 2
,
∂ρ
∂x
=
x
ρ
,
∂ρ
∂y
=
y
ρ
,
∂θ
∂x
=
−
y
ρ2
,
∂θ = x ∂y ρ 2
∂2ρ
∂x2
=
1
ρ
−
x2
ρ3
,
∂2ρ
∂y 2
=
1
ρ
−
y2
ρ3
,
∂ 2θ
∂x 2
⎧ u ( 0 ,θ ) < +∞
即有
⎪ ⎨ ⎪⎩
u( ρ ,θ ) = u( ρ ,θ + 2π )
数理方程-总结复习及练习要点报告
utt a 2uxx F ( M , t ) u x 0 0, u x l 0(0 x l ) u t 0 ( x), ut
t 0
( x)
－通过叠加原理分解问题，再通过分离变量法与冲量定理法
求解(Page164页)
28
定解问题求解之二—分离变量法
量研究初始时的状况，即初始条件。 数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。
5
数理方程基本知识
由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的
问题称为数学物理定解问题，准确地说就是在给定
定解条件下求解数学物理方程。 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数 最高的求导次数 －偏微分方程的齐次与非齐次 －偏微分方程的线性与非线性 不含有研究函数的非零项
19
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f 0
定解条件的确定
初始条件
t=0时刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值
u( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
也可以是对时间变量的导数
ut ( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
d 2w dw p( z ) q( z ) w 0 2 dz dz w( z0 ) C0 , w( z0 ) C1
常点和奇点的定义及判别
31
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
－输运方程(描述温度传播、浓度扩散的泛定方程)
ut a2u f (M , t ) 其中齐次情况下f(M,t)=0
t 0
( x)
－通过叠加原理分解问题，再通过分离变量法与冲量定理法
求解(Page164页)
28
定解问题求解之二—分离变量法
量研究初始时的状况，即初始条件。 数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。
5
数理方程基本知识
由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的
问题称为数学物理定解问题，准确地说就是在给定
定解条件下求解数学物理方程。 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数 最高的求导次数 －偏微分方程的齐次与非齐次 －偏微分方程的线性与非线性 不含有研究函数的非零项
19
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f 0
定解条件的确定
初始条件
t=0时刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值
u( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
也可以是对时间变量的导数
ut ( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
d 2w dw p( z ) q( z ) w 0 2 dz dz w( z0 ) C0 , w( z0 ) C1
常点和奇点的定义及判别
31
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
－输运方程(描述温度传播、浓度扩散的泛定方程)
ut a2u f (M , t ) 其中齐次情况下f(M,t)=0
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
2.3二维拉普拉斯方程的初值问题
(n 1, 2, )
解 作变换 r e t
则有
1 Rr Rt , r
t ln r
1 1 1 1 1 Rrr ( Rtt ) Rt ( 2 ) 2 Rtt 2 Rt , r r r r r
代入原方程有
Rtt Rt Rt n 2 R 0
(34) Y ' ' ( y) Y ( y) 0, (35) (32)
X ' ' ( x) X ( x) 0,
由齐次边界条件 u(0, y) 0, u(a, y) 0
X (0) X (a) 0,
下面求解常微分方程边值问题 X ' ' ( x) X ( x) 0, X (0) X (a) 0, (36) 的非0解。 (1)当 0 时，问题(36)没有非平凡解。 (2)当 0 时，问题(36)也没有非平凡解。
则有关系式
n (an bn ) sin a x f ( x), n 1
(a e
n 1 n
n b a
bn e
n b a
n ) sin x g ( x), a
利用傅里叶系数公式得
2 a n a n bn f ( x) sin xdx , 0 a a
其中 an An Cn , bn Bn Cn 是任意常数。 由于方程(39)是线性齐次的，利用叠加原理，可 得到该方程满足单值性和有界性的级数解为 (4 3) 为了确定系数an , bn , 由边界条件(40)即 u |r r0 f ( ). 得
1 u (r0 , ) a0 (a n cos n bn sin n )r0n f ( ), 2 n 1
数理方程总结完整版
该方程是非齐次方程。解决该类方程主要用特征函数法来 解决。以本题为例，来介绍一下特征函数法。
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
第二章定解问题
（k为热导率，与介质材料有关 ）
（3）热源强度（ 单位时间内单位体积源放出的热量）
F Q tV
3、建立方程： （1）在t时间内引起小段x的温度升高时，所需热量为
Q c( Ax)[u(x,t t) u(x,t)]
取 t 0
Q c Autxt
（2）在t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为
Q1(x) kux (x,t) At
l2
x
l
ut (x, t) t0 0
（2）如果泛定方程是关于时间变量 t 的 n 阶(n=1,2…) 方程，就必须给出 n 个初始条件，只有这样才可能给 出具体问题的定解。
例 长为 l 的细杆导热问题，设其初始温度均匀，记 为u0 ，试写出该过程的初始条件。 解：由题意，得
u(x,t) |t0 u0 , (0 x l)
1在?t时间内引起小段?x的温度升高时所需热量为qcaxuxttuxt??????取0t??tqcauxt????tq?2在?t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为1xqxkuxtat???3在?t时间内沿x轴由x?x处正向流出截面的热量为2xqxxkuxxtat???????4在?t内杆内热源在?x段产生的热量为qftaat??3qfxtaxat???根据能量守恒定律123qqqq???txxcauxtkuxtatkuxxtatfaxt?????????????xxtkuxxxuxtcufx???????令0x??取极限kf令0x??取极限txxuucc????txxudufxt??一维的热传导方程类似可得三维扩散热传导方程
所产生的扩散物质），试根据能斯特（Nernst)定律（通过界面d 流出的扩散物质为-Du d )和能量守恒定律导出扩散方程：
ut Du F, 其中D为扩散系数。
数理方程第二章(3)
(2.3.2) (2.3.3)
思路： 想象为时间， 思路：应用分离变量法 ，将 y想象为时间，将 想象为时间 (2.3.3)看作 齐次 边界条件。 看作(齐次 看作 齐次) 边界条件。 设u( x, y) = X( x)Y( y), 且 u( x, y) (2.3.1), 分离变量得 分离变量得
0, 代入方程
例：解定解问题
∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u + 2 = 0 ( 0 < ρ < ρ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π ) 2+ 2 ρ ∂ ρ ρ ∂θ ∂ρ u | (0 ≤ θ ≤ 2π ) ρ = ρ0 = cosθ
解: 直接利用公式， 直接利用公式， a0 ∞ n cos θ = + ∑ ρ0 ( an cos nθ + bn sin nθ ) 2 n =1 注意到三角函数的正交性质, 注意到三角函数的正交性质 可得 bn = 0, n = 1,2,...
2 0
π
4T dn = (1 − cos nπ ), n 3 πa n u ( ρ ,θ ) = 4T
π
∑a n
n =1 n
∞
ρn
[1 − ( −1)n ]sin nθ . 3
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
∂ρ ∂θ 1 = ∂x ⋅ cosθ − ρ ∂x ⋅ sinθ 0 = ∂ρ ⋅ sinθ + ρ ∂θ cosθ ∂x ∂x
∂ 2u ∂ 2u 2 + 2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b ∂y ∂x u ( x ,0 ) = f ( x ) ; u ( x , b ) = g ( x ) , u ( a , y ) = 0. u ( 0, y ) = 0;
思路： 想象为时间， 思路：应用分离变量法 ，将 y想象为时间，将 想象为时间 (2.3.3)看作 齐次 边界条件。 看作(齐次 看作 齐次) 边界条件。 设u( x, y) = X( x)Y( y), 且 u( x, y) (2.3.1), 分离变量得 分离变量得
0, 代入方程
例：解定解问题
∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u + 2 = 0 ( 0 < ρ < ρ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π ) 2+ 2 ρ ∂ ρ ρ ∂θ ∂ρ u | (0 ≤ θ ≤ 2π ) ρ = ρ0 = cosθ
解: 直接利用公式， 直接利用公式， a0 ∞ n cos θ = + ∑ ρ0 ( an cos nθ + bn sin nθ ) 2 n =1 注意到三角函数的正交性质, 注意到三角函数的正交性质 可得 bn = 0, n = 1,2,...
2 0
π
4T dn = (1 − cos nπ ), n 3 πa n u ( ρ ,θ ) = 4T
π
∑a n
n =1 n
∞
ρn
[1 − ( −1)n ]sin nθ . 3
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
∂ρ ∂θ 1 = ∂x ⋅ cosθ − ρ ∂x ⋅ sinθ 0 = ∂ρ ⋅ sinθ + ρ ∂θ cosθ ∂x ∂x
∂ 2u ∂ 2u 2 + 2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b ∂y ∂x u ( x ,0 ) = f ( x ) ; u ( x , b ) = g ( x ) , u ( a , y ) = 0. u ( 0, y ) = 0;
非齐次方程的解法
其中
20
因此确定函数vn(t)只需解下列定解问题: 2 2 2 anp (t ) vn (t ) f n (t ), t 0, vn 2 (2.46) l v (0) 0, v (0) 0,( n 1, 2, ). n n
21
拉普拉斯变换简介: 拉普拉斯变换简称为拉氏变换, 是将定义在 t>0区域的函数f(t)变换为另一个复变函数F(p), 对于这个复变函数F(p)又可以变换回原来的 函数f(t). 正变换和反变换的公式为:
两个函数f1(t)和f2(t)做如下运算被称为卷积:
t
0
f1 ( ) f 2 (t )d
则卷积的拉氏变换等于F1(p)F2(p), 其中F1(p) 是f1(t)的拉氏变换, 而F2(p)则是f2(t)的拉氏变 换, 这在拉氏变换表中也能够查得到.
25
再来谈拉氏逆变换的公式:
f (t )
10
a0 n u ( r , ) r ( an cos n bn sin n) (2.32) 2 n 1 a0 c0 ; an,bn 分别是 an cn 与bn cn . 此式中的 就是 a0 2 最后为了确定系数 an,bn, 利用边界条件(2.26) 得 a0 n f ( ) r0 (an cos n bn sin n ) (2.33) 2 n 1 n n 因此, a0 , r0 an , r0 bn 就是 f()展开为傅里叶级 数的系数, 即有
14
例 解下列定解问题 2u 1 u 1 2u 2 0, r r0 ,0 2p , 2 2 r r r r u | A cos , 0 2 p , A 为常数 . r r 0
数理方程解法
令 u( x, t ) X ( x)T (t )
代入方程： X ( x)T ''(t ) a2 X ''( x)T (t ) 令 X ''( x) T ''(t ) X ( x) a 2T (t ) X ''( x) X ( x) 0 T ''(t ) a2T (t ) 0 代入边界条件 X (0)T (t ) 0,
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
T a 2T 0 n 2 x ▪求特征值和特征函数 n n / l X n ( x) Bn sin l na na cos sin t Dn t ▪求另一个函数 Tn Cn l l na na n t Dn sin t ) sin x ▪求通解 u un X nTn (Cn cos l l l n 1 n 1 n 1
2 2u u 4 0 x 10, t 0 t 2 10 x 2 , t 0 u (0, t ) u (10, t ) 0, x(10 x) u ( x,0) u ( x,0) 1000 , t 0, 0 x 10
数学物理方程与特殊函数
l
l
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
n X n ( x) Bn sin x (n 1, 2,3,) l
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2 2u 2 u X ''( x) X ( x) 0 0 x l, t 0 t 2 a x 2 , T ''(t ) a 2T (t ) 0 t 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, 2 2 n u ( x, 0) n 2 (n 1, 2,3,) u ( x, 0) ( x), ( x), 0 x l l n t X n ( x) Bn sin x (n 1, 2,3,) l a 2 n 2 2
数理方程第二章 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题-3
将非齐次边界条件（2）代入形式解（3）：
R( 0 )( ) f ( )
（6）
上式无法分离成关于R和的两个独立的边界条 件，不能分别构成关于R和的常微分方程的定 解问题！
下一步如何进行？
深圳大学电子科学与技术学院
寻找物理上的边界条件：
1. ( , ) 和 ( , 2 ) 在物理上代表同一个点， 具有相同的温度:
0
A cos
1 u 1 2u 2 2 0 0 0 2
(1) (2)
0
u A cos
0
( 0 2 )
深圳大学电子科学与技术学院
0 ( 2 ) ( )
(7)
(8)
(9)
R R R 0
2
R(0)
(10)
至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而 条件(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条 件一样，最后再去考虑。
深圳大学电子科学与技术学院
求解角向定解问题： 1. 0：(7)的通解
一般解:
a0 n u ( , ) an cos n bn sin n 2 n1
a0 an 1
2
f ( ) A cos
A cos d 0
0 2
bn
1
2 n 0
A cos sin n d 0
0
1
0n
A cos cosn d
(10)为欧拉方程，其通解为
为了保证 R(0) ，必须取 d n 0 (n 0, 1, 2,)
R0 ( ) c0 ( n 0)
拉普拉斯变换的数学方法ppt课件
L[t]
test dt t est
( est )dt
0
s0 0 s
0
est s
dt
1 s2
est
0
1 s2
；.
12
2.3 典型时间函数的拉氏变换
4 指数函数 定义为：
f (t) eat
指数函数的拉氏变换为：
L[eat ] eatest dt e(sa)t dt
00e(sa)t1sa 0 sa
；.
13
2.3 典型时间函数的拉氏变换
5 正弦函数 用欧拉公式表示为：
sin t 1 (e jt e jt )
2j
其拉氏变换为：
L[sint]
sin t estdt
0
s2
2
6 余弦函数 用欧拉公式表示为：
其拉氏变换为：
cost 1 (e jt e jt )
2
L[cost]
G(s) s2 1
( 2 2 1) j2
；.
6
G(s) K (s z1) (s zm ) (s p1) (s pn )
当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm 为G(s)的极点。
；.
时域的微分方程 拉氏变复换数域的代数方程
•系统分析大为简化 •直接在频域中研究系统的动态性能
；.
3
引言 复数和复变函数
（1）复数的概念
s j, 其中，,
数。 j 1
为虚单位。
均为实
（2）复数的表示法
点表示法 向量表示法
s j,
s r 2 2
arctan
数理方程第二章 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论-6
( m n )
对应于不同特征值的特征函数在a,b上带权函数(x)互相正交。
（4 ） 本征函数系 yn ( x) , n 1,2,, n, , 在
a , b 上构成完备系。 Nhomakorabea即：对于一个任意函数f(x) ，在区间 [a,b]上，只要满足具有一 阶连续导数、二阶分段连续导数；同时满足斯特姆-刘维尔型 方程的边界条件，那么一定可以将f(x)按本征函数系展成绝对 b 且一致收敛的级数。 ( x) f ( x) y ( x) d x
则无论方程是齐次还是非齐次，必须首先作函数的代换，使其转化为
齐次边界条件问题，方可进行求解。
三、非齐次方程、非齐次边界条件的定解问题（无论初始条件如何），一定
要将其转化为：非齐次方程+齐次边界条件来处理。
深圳大学电子科学与技术学院
分离变量法的军事策略 ：
— —分兵合围，各个击破
分离变量法的哲学思想 ：
2
到此为止，所求解的各种问题只牵涉具有边界的空间。但 这并不意味分分离变量法就不可以应用于无界空间。事实上， 稍加推广还是可以应用的。所说的推广，指的是间断的本征值 为连续本征值所取代，线性叠加为积分所取代。
深圳大学电子科学与技术学院
实施分离变量法应该注意的几个问题：
一、根据边界条件的形状，选取适当的坐标系。选取的原则是：使对应 的坐标系，边界条件的表达式最为简单。如 圆、圆环、扇形区域→极坐标系； 圆柱形区域→柱坐标系； 球形区域→球坐标系。 二、若边界条件是非齐次的，又没有其它可利用的条件来确定特征函数，
关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论参考了孙秀泉教授的课件深圳大学电子科学与技术学院26关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论常微分方程在齐次边界条件下的本征值以及本征函数1有界弦的自由振动3圆形域内laplace方程的定解问题sincos分离变量法的实质将时间变量视为参变量
圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
这个解，称为圆域内的泊松公式，它的理论 意义是把解写成了积分的形式，方便研究
2 R R R 0
u ( 0 , ) ③
R (0)
u ( , ) u ( , 2 ) ④ ( 2 ) ( )
因此，得到两个常微分方程的定解问题：
0 ( 2 ) ( )
2
y arctan x cos x y sin x 2 y 2 1 y sin cos 2 , 2 2 x 1 y / x x y 1 2 x cos , sin 2 2 x 2 x y y
圆域内的二维拉普拉斯方程 的定解问题
一个半径为ρ0的薄圆盘，上下两面绝热， 圆周边缘温度分布为已知，求达到稳恒状 态时圆盘内的温度分布。
因为稳恒状态时温度分布与时间无关，应满足拉普拉斯方程：
2u 0
因为边界是圆域，所以选用平面极坐标系。因为ρ=ρ0，所以边界条件为：
u
0
f ( )
n n 因此， 0 , 0 an , 0 bn 正是 f ( ) 展开为傅立叶级数时的系数，即 a
2 1 a0 f ( ) d 0 2 1 an n f ( ) cos n d 0 0 2 1 bn n f ( ) sin n d 0 0
2
( ) a cos b sin
由于φ(θ)以2π为周期，β必须为整数，所以取βn=n,(n=1,2,3......) 则解为： n ( ) an cos n bn sin n
（2）.求另一方程组 2 R R R 0 R (0)
3-3 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
1 2π u( ρ , θ ) = ∫ π 0
⎡ 1 ∞ ⎛ ρ ⎞n ⎤ f ( t ) ⎢ + ∑ ⎜ ⎟ cos n(θ − t ) ⎥ dt ⎢ 2 n =1 ⎝ ρ 0 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页
退出
证明恒等式:
1 ∞ rn 1 + ∑ n cos n(θ − t ) = 2 n =1 R 2
数学物理方程与特殊函数 主页 上一页 下一页 退出
1 2π u( ρ , θ ) = ∫ π 0
⎡ 1 ∞ ⎛ ρ ⎞n ⎤ f ( t ) ⎢ + ∑ ⎜ ⎟ cos n(θ − t ) ⎥ dt ⎢ 2 n =1 ⎝ ρ 0 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
ρ 02 − ρ 2 1 2π u( ρ ,θ ) = ∫0 f (t ) ρ02 + ρ 2 − 2ρ 0 ρ cos(θ − t ) dt 2π
u( ρ 0 ,θ ) = f (θ )
a0 ∞ n f (θ ) = + ∑ ρ 0 (an cos nθ + bn sin nθ ) 2 n =1
可得到这级数的系数:
⎧ ⎪ a0 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ an = ⎪ ⎪ ⎪ bn = ⎪ ⎩
1 2π ∫0 f (θ )dθ π 1 2π f (θ )cos nθ dθ n ∫0 ρ0 π 1
⎧ ρ 2 R′′ + ρ R′ − λ R = 0 再解问题 ⎨ ⎩| R(0) |< +∞
其中的方程是欧拉(Euler)方程,它的通解为:
R0 = c0 + d 0 ln ρ 当 λ = 0; Rn = cn ρ + d n ρ
n −n
当 λ = n2
第2讲定解问题dhh分析
L
n
aij (x)
i, j1
2 xi x j
n i1
2 bi (x) xi
c(x)
（1）改写为
Lu f (x)
（1） （2）
二阶线性偏微分算子
n
2
L i, j1 aij (x) xixj
n
2
i1 bi (x) xi
c(x)
满足： 其中, 任意常数，u1,u2,u C2
1) L(u) L(u),
叠加原理2
设二阶线性偏微分算子
L
n
aij (x)
i, j1
2 xi x j
n i1
bi (x)
2 xi
c(x)
若 Lui fi , u iui i1
收敛， 则 u iui i1
满足 Lu L(ciui ) ci fi.
i 1
i 1
这里要求无穷项求导与求和交换次序。 （需要用到函数项级数的一致收敛。本课程默认
2. 物理解释，叠加原理即是对一个线性系统，几种不同的外 因同时作用所产生的效果等于各外因单独作用产生的效果 的累加.
3. 例如，若干个点电荷产生的电位，可由这些点电 荷各自 单独存在时所产生的电位相加而得出；
又如，几个外力作用在一个物体上所产生的加速度，等于 这些外力单独作用在该物体上产生的加速度之和.
(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；
(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
三类定解问题举例
初值问题：如无界弦自由振动
utt u |t
0
a2uxx
(x),
,
ut |t0 (x)
x
边值问题： 狄氏问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一个半径为 0 的薄圆盘， 上下两面绝热，
0
圆周边缘温度分布为 f ( ) ， 求达到稳恒 状态时圆盘内的温度分布 u ( , ) 。
定解问题: 由第一章知道，热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关
u 2u 2u 2 即 0 , 应满足二维拉普拉斯方 程 u u 2 0 2 t x y
A cos(n 2n ) B sin(n 2n ) A cosn B sin n ( )
(9 )
深圳大学电子科学与技术学院
求解径向定解问题：
2 R R n 2 R 0 (10)
R(0)
(11)
(10)为欧拉方程，其通解为
分离变量:
设方程（1）有径向和角向分离的解：
u( , ) R( )( )
（ 3）
代入方程（1）得到：
2 R R
R
分离变量： 2 R R R 0（径向方程） （4） （角向方程） （5） 0
深圳大学电子科学与技术学院
2
, 0 , 0 2
, 0 2
u ( 0 , ) f ( )
u ( 0 , )
u ( , ) u ( , 2 )
代入径向方程和角向方程
深圳大学电子科学与技术学院
变成常微分方程的定解问题
( n 0, 1, 2, 3,)
边界条件： u f ( )
0
un ( 0 , ) an cosn bn sin n
n 0
不能表征任 意函数 f ( )
深圳大学电子科学与技术学院
一般解:
为了表征任意边界条件（2）, 需要利用叠加原理写 出一般解(它是对于 0 和 0 所有本征解的组合)
0
(7 )
( 2 ) ( ) (8)
( ) A B
由(8)得到 B 0 , 有特解: 0 ( ) A 2. 0: (7)的通解
( ) A exp( ) B exp( )
(常数)
不能满足周期性边界条件(8)
R0 ( ) c0 d 0 ln Rn ( ) cn n d n n (for n 0) (for n 1, 2, 3,)
为了保证 R(0) ，必须取 d n 0 (n 0, 1, 2,)
R0 ( ) c0 ( n 0)
Rn ( ) cn n ( n 1, 2, 3,)
可以合并为 Rn ( ) cn n ( n 0, 1, 2,)
深圳大学电子科学与技术学院
本征解 un ( , ) Rn ( ) n ( )
n an cos n bn sin n
0 ( 2 ) ( )
(7)
(8)
(9)
R R R 0
2
R(0)
(10)
至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而 条件(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条 件一样，最后再去考虑。
深圳大学电子科学与技术学院
求解角向定解问题： 1. 0：(7)的通解
据此，写成极坐标形式为
u ( , ) f ( ) , 0 2 0
2
1 u 1 2u u ( ) 2 0, 2
0 ,
0 2
（１）
泛定方程
（２）
边界条件——边缘温度
深圳大学电子科学与技术学院
u ( , ) R0 ( ) 0 ( ) n an cos n bn sin n
u ( , ) u ( , 2 )
这个条件称为“周期性边界条件” 2. 物理上，圆内各点的温度应该是有界的， 特别是圆盘中心的温度应该是有限的：
u(0, )
这个条件称为“自然边界条件”特点，有
0 , 0
将非齐次边界条件（2）代入形式解（3）：
R( 0 )( ) f ( )
（6）
上式无法分离成关于R和的两个独立的边界条 件，不能分别构成关于R和的常微分方程的定 解问题！
下一步如何进行？
深圳大学电子科学与技术学院
寻找物理上的边界条件：
1. ( , ) 和 ( , 2 ) 在物理上代表同一个点， 具有相同的温度:
即有
和
0 , 2
中心点的温度有限（有界） 坐标系中指同一点温度不变
u ( 0 , )
u ( , ) u ( , 2 )
以下，求满足一个方程和三个边界条件所构成的定解问题的解。
1 u 1 2u u ( ) 0 2 2
深圳大学电子科学与技术学院
分离变量法提要: • • • • • • 有界弦的自由振动 有限长杆上的热传导 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 非齐次方程的解法 非齐次边界条件的处理 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
§2.3
圆形域内的二维 Laplace 方程的定解问题
深圳大学电子科学与技术学院
深圳大学电子科学与技术学院
求解角向定解问题：
3. 0 : (7)的通解
0
(7 )
( 2 ) ( ) (8)
( ) A cos B sin
要让它以2为周期，必须取
n (n 0, 1, 2,)
即： ( ) A cos n B sin n 事实上：( 2 ) A cosn( 2 ) B sin n( 2 )