上海中考数学真题 题 题 题全解析

2017上海中考18题、24题、25题全解析

枚育学府——吴老师

18、正(4)n n ≥的最短对角线与最长对角线的比值称为“特征值”，记作n λ，那么6λ=

【解析】6λ表示的是正六边形的最短对角线与最长对角线的比值

在正六边形中，由图可知，最短对角线与最长对角线分别为： AC ，AD ，且容易得到ACD ∆是一个60ADC ∠=o 的直角三角形。 3sin sin 602

AC ADC AD ∠===o

24、如图1，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线1x =。对称轴与x 轴交于点C ，抛物线经过点(2,2)A

（1） 求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；

（2） 点M 在点B 的上方，设(1,)M m ，求AMB ∠的余切值（用m 的式子表示）；

（3） 将抛物线进行向上或向下平移，使得抛物线的顶点落在x 轴上，点P 为原抛物线上一点，点Q 为平移后抛物线上的对应一点，且OP OQ =,求点Q 坐标。

【解析】

（1）由题意的抛物线的对称轴为直线1x =，12(1)b -

=⨯-所以2b =

将点(2,2)A 坐标带入抛物线解析式22y x x c =-++得，2c = 所以抛物线解析式为222y x x =-++

配方得2(1)3y x =--+，所以点(1,3)B

（2）过点A 作对称轴的垂线，垂足为H ，易知点(1,2)H 。 在Rt AHM ∆中，1,2AH HM m ==-，所以2cot 21

MH m AMB m AH -∠===- （3）因为平移后抛物线的顶点落在x 轴上，所以此时抛物线的解析式为2(1)y x =--221x x =-+-。因为,P Q 为平移前后的对应点，且OP OQ =，所以x 轴即为等腰OPQ ∆底边上的高线，所以点,P Q 关于x 轴对称。

故，2(22)x x --++221x x =-+-，解得x =，带入221y x x =-+-得32y =-

综上点Q 坐标为33)22

--。

25、如图1，已知O Θ的半径为1，弦AB AC =，弦长BO 交弦AC 于点D ，联结,.OA OC

（1） 求证：OAD ∆∽ABD ∆；

（2） 若OCD ∆是直角三角形，求BC 的长；

（3） 记,,AOB AOD COD ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ,且2S 是13,S S 的比例中项，求OD 的长。

（1） 证明：

因为OA OB OC ==, 所以12,34∠=∠∠=∠，

又AB AC =，所以AOB AOC ∠=∠

又12180AOC ∠+∠+∠=o ，34180AOB ∠+∠+∠=o

所以14∠=∠，又ADO ADB ∠=∠ 所以OAD ∆∽ABD ∆

（2） 第一种情况：90DOC ∠=o 当时，如图所示，

所以90BOC ∠=o ,又OB OC =，所以Rt OBC ∆为等腰直角三角形，且45OBC ∠=o , 2sin 2

OC OBC BC ∠==,又1OC =，所以2BC =。

第二种情况：90ODC ∠=o 当时，如图所示，

此时，,BD AC BD AC ⊥平分,所以BA BC =,又AB AC =，所以ABC ∆为等边三角形。

BD 平分DBC ∠，

又9060BDC ABC ∠=∠=o o ,,则30DBC ∠=o ,所以Rt BDC ∆在中，2BC DC =。在Rt ODC ∆在中，160OC DOC =∠=o ，，又32

DC DOC OC ∠==sin ，

所以3

2DC =,所以3BC =；

（3）过点O 分别作AB AC 、边上的垂线，垂足分别为E F 、,过点A 作BD 垂线，垂足为点H ，如图所示：

因为AB AC =，所以OE OF =,又123111,,222S AB OE S AD OF S CD OF =⨯=⨯=⨯， 且2S 是13,S S 的比例中项，所以2213=S S S ⨯，即有2=AD AB DC ⨯,又AB AC =， 所以2=AD AC DC ⨯，则点D 是线段AC 的黄金分割点。所以

51CD AD AD AC -==, 则有21512S AD AD S AB AC ===，又1211,22S OB AH S OD AH =⨯=⨯,所以21512S OD S OB == 又=1OB ,所以51OD -=