2018版高中数学第三章不等式3.2均值不等式二学案新人教B版必修5(含答案)
人教B版高中数学必修五第3章32均值不等式教案.docx
课题均值不等式课时一课时课型新授教学重点1、均值定理的推导2、均值定理的应用依据：2017年高考大纲分析：均值定理得应用教学难点均值定理在实际问题川的应用依据：学生刚接触到均值定理，实际问题屮均值定理及•其变形应用比较抽象自主学习目标一•知识冃标：1、能熟•记均值定理的内容并会推导2・能应用均值。
定理求最值二、能力目标：应用均值定理求最值时，通过构造和一定积一定让学生学会自主探索。
理由：均值-定理的推导及其应用是本节课的重点。
教具多媒体课件、教材，教辅教学教学内容教师行为学生行为设计意图时间环节1.课前3分钟1、教辅第67页《预习自测》课前导学1-52、目标解读检查，评价总结小考结果。
1.小考：《「预习测评》课前导读及1-52.提出自主学习困惑明确本节课学习目标，准备学习。
3分钟2.承接结果1、教材第71页练习A组第1,2,3题和练习B3O2、教辅第67页：课前导学。
3、学生提出的困惑.1.巡视检查学纶预习习题完成情况，进行及时评价。
2.补充学生出现的漏洞。
3.解决「学生的问题，并达成共识。
1、学生自己展示预习习题完成情况。
2、其余”学生互相补充并学牛对所展示习题进行评价。
3、质疑、解答。
验收学生自主学习的结果，并解决学生自主学习中遇到的困惑。
13分钟3.做、议讲、评均值定理：均值定理:如果a,b是正实数而5啤2当且仅当a二b吋“二”成立1、展示课件2、让学生熟记均值定理的内容并抽查记忆情况。
1、独立完成课熟记定理的内容便于应用3分钟思考1:均值定理成立的条件是什么？思考2：均值定理“当且仅当时取等号的含义是什么” ？O思考3：完成教材7, & 9?让学牛.注意应用均值定理求最值时必需满足三个条件。
1、学纶先独立完成课后习题，然后以小组为单位统一答案。
2、小组讨论并展示自己组所写的答案。
3、•其他组给予评价（主要是找错，纠错）在具体问题中，探索量与量Z 间的关系，挖掘内在规律、发现数学的本质。
人教版数学高二B版必修5学案3.2均值不等式
数学人教B 必修5第三章3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝12 D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a ≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用． 【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x 的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2(－x )×1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1.由于2xx －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b 2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x 是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二 利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．分析：1x ＋1y →(1x ＋1y )·1→(1x ＋1y)(2x ＋y )→利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三 利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四 利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五 易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x的最值． 错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x≥2＋2log 5x ·5log 5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log 5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值．错解：因为f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x 2＋3＝1x 2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )．A ．a ＋b ≥2abB ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2abD ．b a ＋ab≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．154若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________．5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案： 基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】22 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x )2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2 (2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254(1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋y x ≥3＋22x y ·yx＝3＋22，当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·ax y＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log 5x )≥2(－log 5x )·(－5log 5x )＝2 5.∴log 5x ＋5log 5x≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5.当且仅当log 5x ＝5log 5x，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1. 令t ＝x 2＋3(t ≥3)， 则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5. 5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。
高中数学第三章不等式3.2均值不等式名师讲义新人教B版必修5(2021学年)
201７-2018学年高中数学第三章不等式3.2 均值不等式名师讲义新人教B版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(20１7-2０18学年高中数学第三章不等式 3．2 均值不等式名师讲义新人教B版必修5)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为２01７-2018学年高中数学第三章不等式 3.2 均值不等式名师讲义新人教B版必修5的全部内容。
3。
2 均值不等式预习课本P69~71,思考并完成以下问题(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件?（2)在利用均值不等式求最值时,应注意哪些方面？（3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题?错误!1.均值定理如果a，b∈R＋,那么错误!≥错误!.当且仅当a＝b时，等号成立,以上结论通常称为均值不等式.对任意两个正实数a,b,数＼f(a＋b,２)称为a，b的算术平均值（平均数）,数＼ｒ(aｂ)称为ａ，b的几何平均值（平均数)．均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.［点睛］(１)“a＝b”是＼f(a＋b,2)≥ab的等号成立的条件.若a≠b，则＼f(a＋b,２）≠错误!，即错误!＞错误!。
(2）均值不等式错误!≥错误!与a2＋b2≥2ab成立的条件不同,前者a>0,b>０,后者ａ∈R,b ∈Ｒ。
２.利用均值不等式求最值(１)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;（２）两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.错误!１．判断下列命题是否正确.(正确的打“√"，错误的打“×”）(1)对任意a,ｂ∈R,a2+b2≥2ab,ａ＋b≥2错误!均成立( )（2)若ａ≠0，则a ＋错误!≥２错误!＝４（ ）(3)若a 〉０,b 〉０,则ａb ≤错误!２( )解析：（1)错误．任意a ，ｂ∈R,有a 2+ｂ2≥2ａb 成立,当a ,b 都为正数时,不等式a ＋b ≥2错误!成立．(2)错误.只有当a >０时，根据均值不等式,才有不等式ａ+错误!≥2错误!=4成立. （３）正确.因为＼r(ab ）≤a +b2，所以ab ≤错误!2。
人教B版高中数学必修5-3.2导学案2-均值不等式
3．2 均值不等式（一）一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空1.正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．2.均值不等式是 。
其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？3.在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．4.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 （ ）（2）2b a （ ） （3）a b ＋ba （ ）（4）ab≤ （ ） （5）x ＋x 1 (x>0)（6）x ＋x1 (x<0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例1.已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例2.（1）一个矩形的面积为100m 2。
问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m 。
问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练1.已知a 、b ∈（0，1）且a≠b ，下列各式中最大的是（ ）A ．a 2+b 2B ．2abC ．2a bD ．a +b2.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。
（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋ba ≥2b a a b ∙＝2（ ） （2）若x 、y ∈R ＋，则lgx ＋lgy≥2y x lg lg ∙（ ）（3）x ∈R －，则x ＋x4≥－2x x 4∙＝－4（ ） （4）若x ∈R ，则x 2＋x -2≥2x x -∙22＝2（ ）3.x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 4.设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
高中数学必修五第三章不等式导学案及课后作业加答案
【学习要求】
1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质．
不等关系与不等式
如果 a－b 是正数，那么 ；
如果 a－b 是负数，那么
；
【学法指导】
1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成 “数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即 可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻 底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．
如果 a－b 等于零，那么
.
【知识要点】
1．不等式：用数学符号<，≤，>，≥或≠表示 式子叫做不等式． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 大于 > 小于 < 大于等于 ≥ 小于等于 ≤ 的
至多 ≤
至少 ≥
不少于 ≥
不多于 ≤ ，那么 a<b，
3．比较实数 a，b 大小的依据 （1）文字叙述：如果 a－b 是 ，那么 a>b；如果 a－b 等于 ，那么 a＝b；如果 a－b 是 反过来也对． （2）符号表示:a－b>0⇔ ;a－b＝0⇔ ;a－b<0⇔ . 4．常用的不等式的基本性质 （1）a>b⇔b a(对称性)； （2）a>b，b>c⇒ a c(传递性)； （3）a>b⇒ a＋c b＋c(可加性)； （4）a>b，c>0⇒ ac bc；a>b，c<0⇒ ac bc； （5）a>b，c>d⇒ a＋c b＋d； （6）a>b>0，c>d>0⇒ ac bd； （7）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ an bn； （8）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ n a n b.
高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案
均值不等式1．不等式m 2＋1≥2m 中等号成立的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1 C．m ＝－1 D ．m ＝0 答案 A2．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b2>ab >b B ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P答案 B 解析 P ＝log 12a ＋b2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )＝log 12ab ， M ＝12log 12(a ＋b )＝log 12a ＋b ，∴只需比较a ＋b2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b2>ab ，又因为a ＋b2<a ＋b (由a ＋b >a ＋b24，也就是a ＋b4<1)，∴a ＋b >a ＋b2>ab .而y ＝log 12x 为减函数，故Q >P >M ，选B.4．已知0<a <1,0<b <1，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________． 答案 a ＋b解析 方法一 ∵a >0，b >0， ∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ， ∴四个数中最大数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， ∴a 2＋b 2<a ＋b ，∴a ＋b 最大． 方法二 令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1，2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212·18＝12，∴a ＋b 最大．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2．由均值不等式变形得到的常见的结论： (1)ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R +)；(3)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4(a ，b ∈R +)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .。
人教B版数学必修五：3.2均值不等式学案含答案解析
§3.2均值不等式13材拓展1. 一个常用的均值不等式链 设a>0, b>0,则有：2a + bmin{ a , b} < 1<abw —< max{a ,b},(1) a , b € R ，都有ab w ©严w 色严成立.(2) a 2 + b 2> 2ab 可以加强为a 2 + b 2> 2|a| |b|,当且仅当|a|=|b|时取等号. (3) a , b , c € R ，都有 a 2 + b 2 + c 2> ab + bc + ca 成立.a b⑷若ab>0，则^ + a 》2.3. 利用均值不等式求最值的法则d _ a + b 均值不等式，ab w数)常用于证明不等式或求代数式的最值.(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即 ab w 号 2,当且仅当a = b 时, 等号成立.(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a +b >2 ab ，当且仅当a = b 时,等号成立.注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件： ①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立.概括为“一正、二定(值)、三相等”.k4. 函数f(x)= x + x (k>0)的单调性在求最值中的应用 有些最值问题由于条件的限制使等号取不到， 其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x)k=x + x (k>0)的单调性加以解决.利用函数单调性的定义可以证明函数f(x) = x + - (k>0)在(0, ■. k ］上单调递减，在［.k , +x8)上单调递增.因为函数f(x)= x + x (k>0)是奇函数，所以f(x)= x + x (k>0)在(一8, — . k ］上为增函数， 在［—k , 0)上为减函数.k函数f(x) = x + - (k>0)在定义域上的单调性如右图所示.x5当且仅当a = b 时，所有等号成立. 若a>b>0，则有：2.均值不等式的拓展x€ (0, n的最小值. 例如：求函数f(x)= sin2x + -,sin x.25解 令 t = sin x , x € (0, n, g(t) = t + -.t € (0,1]，易知g(t)在(0,1]上为单调递减函数, 所以当 t = 1 时，g (t) min = 6.即 sin x = 1 , X =n 时，f(x)min = 6.一、利用均值不等式求最值方法链接：均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”.不要仅仅关注结构上的定值， 而忽略对相等条件的考察.解 设 t = "J x + 2,从而 x = t 2- 2(t >0)，则 y =当 t = 0 时，y = 0;当 t>0当且仅当2t = 1，即t =¥时等号成立. 即当x = — 3时,y max =于. 二、 利用均值不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题， 通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最 值问题.a>f(x)恒成立? a>[f(X )]max , a<f(x)恒成立? a<[f(x)]min .【例2】已知f(x)= 32x — (k + 1)3x + 2,当x € R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是( )A .(―汽一1)B . (— a, 2 ,2— 1)C . ( — 1,2 .2 — 1)D . (— 2 2 — 1,2 2 — 1)解析 由 f(x)>0 得 32x — (k + 1) 3x + 2>0 , 解得 k + 1<3x + 令，而 3x + 3x > 2 .2, ••• k + 1<2 2, k<2 2 — 1. 答案 B三、 利用均值不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构， 合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性.【例 3】已知 a>2，求证:log a (a — 1) log a (a +1)<1. 证明 因为 a>2，所以 log a (a — 1)>0, log a (a + 1)>0. 又 log a (a — 1)丰 log a (a +1), log a a — 1 + log a a + 1/ /1 ”丿、¥ ・2匕乙\5] J^^ya's I ] JF 212 12=2〔og a (a — “Vqlog a a = 1.所以 log a (a — 1)log a (a + 1)<1.即 sin x = 1, x = 【例1】求函数y = 乂+ 2的最大值.2x + 52 /2t + 1四、均值不等式的实际应用方法链接：应用均值不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围.例4 某公司计划用一块土地建造一幢总面积为 A m2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的 2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m2,以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2,试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用. (总费用=建筑费用+征地费用)解设建造这幢办公楼的楼层数为n,总费用为y元，当n = 1 时，y= 2.5 A 2 388 + 445A = 6 415A(元),A当n = 2 时，y= 2.5 刁 2 388 + 445A = 3 430A(元),A 2A A A当n>3 时，y= 2.5 下 2 388 + 445 〒 + (445 + 30) + (445 + 60) +…+ ［445 + 30(n-A A ------------2)］ n = 6 000 n + 15nA + 400A > 2A 6 000 X 15 + 400A=1 000A(元)(当且仅当n = 20时取等号).即n = 20时，有最小值1 000A元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A元.区突破1.忽略应用均值不等式的前提条件而致错5【例1】求f(x)= 2 + log2x+iogn0<x<1)的最值.5［错解］f(x)= 2+ Iog2x+ —> 2+2 :log2x lot 2+2 5…f(x)min = 2+ 2 , 5.这实际是一个错解，错在哪里？请你找出来.5［点拨］•/ 0VXV1 , •••Iog2xv0, ］og z x<0，不能直接运用公式.［正解］••• 0VXV1 ,•••( - log2X)>0, >0.X- log2x) + -点》2 log2x -急=2 5.•••log z x+T"^w-2 5.log2x• f(x) = 2 + log2x+l og5"x< 2 - 2 .5.当且仅当log2X=jo5x时，即x = 2 .5时取等号.• f(x)［正解］利用三角代换可避免上述问题.m = v a COS a-m+ n = a, •••设(a€ ［0,2 力),n=/a sin ax=/b cos 3 ••• x2+ y2= b, •••设$ (3€ ［0,2 n)y = {5 sin 3• mx+ ny= abcos a cos 3+ . absin osin 3=^/ab(cos acos 3+ sin a sin 3 = ^/abcos( a— 3 w ^ab--(mx+ ny)max= \：ab,1 1【例3】已知x>0 , y>0，且x+ 2y= 1,求-+丄的最小值.x y［错解］因为x>0, y>0,且x+ 2y= 1,x+〉G+ 1：(x+ 2y)》2昭X 2何=4返1 1所以- + -的最小值为4 2.x y［点拨］上述解答是错误的，错因是连续两次使用均值不等式解题忽视了等号成立的一致性.［正解］因为x>0, y>0，且x+ 2y= 1,所以1+1=注 + _= 1+ 2 + x y x y=3+ 2 2.当且仅当牛鸽x + 2y=1,即x = 2—1, y= 1 —宁时，取得等号所以：+1的最小值为3+2逅2.忽略等号成立的条件而致错【例2】已知m2+ n2= a, x2+ y2= b (a、b为大于0的常数且2 2 2 2m + x n + y［错解］T mx w —2，ny w -,b),求mx+ ny的最大值.m2+ x2 n2+ y2 m2+ n2+ x2+ y2 a+ b /• mx+ny w —2— +当且仅当m = x, n = y时取“=”［点拨］如果m = x, n=y,则会有m2+ n2= x2+ y2= a= b，这与条件b”矛盾，如果m = x, n = y中有一个不成立，则=”取不到，则不满足使用均值不等式的条件.□题多解例若正数a, b满足ab= a + b+ 3,求ab的取值范围解方法一把代数式ab转化为a(或b)的函数.a+ 3ab = a + b+ 3, b = b>0, a>1.a- 12 2 2a + 3a (a—1 )+ 5a-1 (a—1 )+ 5(a—1 + 4--ab = = =a-1 a -1 a-14=(a —1) + + 5a- 1a>1 ,二a —1>0,二(a —1) + 》2叫/(a—1 •= 4.a- 1 弋a —1••• ab>9，当且仅当a- 1 ==，即a = 3, b= 3 时，取“=”.a - 1方法二利用均值不等式a + b > 2可，把a + b转化为ab,再求ab的范围.a+ b》2、.;ab, •- ab = a + b + 3》2 ab + 3.• ab-2 ab - 3》0, •• C ab-3)( ab+ 1)》0.•ab》3, • ab》9,从以上过程可以看出：当且仅当 a = b= 3时，取“=”.方法三把a, b视为一元二次方程x2+ (3- ab)x + ab= 0的两个根，那么该方程应有两个正根.X1 X2= ab>0所以有：X1+ X2= ab- 3>02I △= (3 —ab J —4ab》0其中由△= (3 —ab)2—4ab= a2b2—10ab + 9=(ab—9)(ab—1)》0，解得ab》9 或ab< 1.-X1 + X2 = ab —3>0, ab》9.又ab= a + b + 3, a+ b= 6,•当且仅当a= b = 3时取“=”.题赏析1 41.已知a>, b>o,a+ b=2，则y=1+4的最小值是(B. 4C.|D. 51 4 a + b 5 2a b 5 2a b 9(2 +b)(〒)=2 +(7 +刃》2+ 2行•aP解析•/ a + b = 2, a+ b 2（当且仅当2a=》，即b = 2a时，“=”成立），故y = ~+ f的最小值为9b 2a a b 2答案Ca b 112.（2009天津）设a>0, b>0,若.3是3与3b的等比中项，贝V匚+匚的最小值为（）a b1A . 8 B. 4 C. 1 D.T4解析由题意知3a 3b= 3,即卩3a+ b= 3,所以a+ b= 1.因为a>0, b>0，所以1+ b = £ @+ b）= 2+ £+ >2+ 2 b a= 4，当且仅当 a = b时，等号成立. '答案B赏析本题考查了等比中项的概念、均值不等式，解答本题时要注意等号成立的条件是否具备，防止最小值取不到.。
高中数学 3.2 均值不等式教案 新人教B版必修5
3．2 均值不等式整体设计教学分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．三维目标1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b 2≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a ＋b 2≥ab 等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．思路 2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．推进新课新知探究提出问题均值定理的内容是什么？怎样进行证明？你能证明a 2＋b 2≥2ab吗？你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？均值不等式有哪些变形式？活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a 、b 的a ＋b 2叫做数a 、b 的算术平均值，数ab 叫做a 、b 的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0.当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图1(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD ＝ab.或由射影定理也可得到CD＝ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a＋b表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示2为：a＋b≥ab.2显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．。
高中数学人教B版五学案：第三单元 §3.2 均值不等式(一) 含答案
学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。
理解均值不等式的内容及证明。
2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小。
3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b,过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP,PB。
如何用a,b表示PO,PQ的长度?梳理一般地,对于正数a,b，错误!为a，b的________平均值,错误!为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即错误!≤错误!。
其几何意义如上图中的|PO|≥｜PQ|。
知识点二均值不等式及其常见推论思考如何证明不等式错误!≤错误!（a〉0，b〉0)?梳理错误!≤错误!(a〉0，b〉0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论:(1）ab≤(错误!）2≤错误!(a，b∈R);（2)错误!＋错误!≥2（a，b同号);（3）当ab>0时，错误!＋错误!≥2；(4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．类型一常见推论的证明例1证明不等式a2＋b2≥2ab（a，b∈R)．引申探究证明不等式(错误!）2≤错误!（a，b∈R)．反思与感悟(1）本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R,与均值不等式不同．（2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1已知a,b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca.类型二用均值不等式证明不等式例2已知x、y都是正数．求证：（1）错误!＋错误!≥2;（2)(x＋y）(x2＋y2）(x3＋y3)≥8x3y3。
反思与感悟在(1)的证明中把错误!,错误!分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在（2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证:(a＋b）（b＋c）·(c＋a）≥8abc.类型三用均值不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则(）A．x＝错误!B．x≤错误!C．x＞错误!D．x≥错误!反思与感悟均值不等式错误!≥错误!一端为和，一端为积,使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3设a＞b＞1，P＝错误!，Q＝错误!，R＝lg 错误!，则P,Q，R的大小关系是()A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q1．已知a〉0，b>0，则错误!＋错误!＋2错误!的最小值是（）A．2 B．2错误!C．4 D．52．若0〈a〈b,则下列不等式一定成立的是()A．a>错误!〉错误!>b B．b〉错误!〉错误!〉aC．b>错误!〉错误!〉a D．b〉a>错误!〉错误!3．设a、b是实数，且a＋b＝3,则2a＋2b的最小值是（)A．6 B．42C．2错误!D．84．设a〉0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1〉a；②错误!错误!≥4；③（a＋b)错误!≥4；④a2＋9>6a。
高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式课件 新人教B版必修5
解析：A 中xy＜0 时，不满足题意；B 中等号不能成立；D
中 tanθ＜0 时，不符合题意；C 中12ex＋2e－x≥2，当 ex＝2，即
x＝ln 2 时等号成立．故选 C. 答案：C
3．已知 x，y 都是正数，若 xy＝4，则 x＋y 的最小值是 ________．
解析：∵x>0，y>0， ∴x＋y≥2 xy＝4， 当且仅当 x＝y＝2 时，等号成立． 答案：4
解析：若x2＋3xx＋1≤a(x>0)恒成立， 则x2＋3xx＋1max≤a，
令 y＝x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2＋1 3＝15，
当且仅当 x＝1 时，等号成立，
∴ymax＝15，
∴a
的取值范围为15，＋∞
.
答案：15，＋∞
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
1．已知实数 a>0，则 a＋4a的最小值为( )
＝n＋1n－＋112＋8＝
n＋12－2n＋1＋9 n＋1
＝n＋1＋n＋9 1－2≥2 n＋1·n＋9 1－2＝4，
当且仅当 n＋1＝n＋9 1，即 n＝2 时，符号成立，故选 A.
答案：A
5．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn，且 S3＝15，a7＋a9＝34，数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn， 且对于任意的 n∈N*，Tn<an＋t 11，则实数 t 的取值范围为 ________．
课堂互动探究
典例精析 规律总结
设 a，b∈(0，＋∞)，试比较a＋2 b， ab，
a2＋b2， 2
1a＋2 1b的大小． 【解】 ∵a，b∈(0，＋∞)，
∴1a＋1b≥2 a1b，
即2≤ 1a＋1b
高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式学案 新人教B版必修5(2021年最新整理)
2018版高中数学第三章不等式3.2 均值不等式学案新人教B版必修5 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章不等式3.2 均值不等式学案新人教B版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第三章不等式3.2 均值不等式学案新人教B版必修5的全部内容。
3.2 均值不等式1。
了解均值不等式的证明过程.2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点)3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.（重点）［基础·初探]教材整理1 均值不等式阅读教材P69~P71,完成下列问题。
1.重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”).2。
均值不等式错误!≤错误!（1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0;(2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号。
3。
算术平均数与几何平均数(1）设a〉0，b>0,则a，b的算术平均数为错误!，几何平均数为错误!；（2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.判断(正确的打“√",错误的打“×”）（1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立.( ）（2）若a≠0,则a＋错误!≥2错误!＝4.（)（3）若a〉0,b>0，则ab≤错误!错误!。
( )（4)两个不等式a2＋b2≥2ab与错误!≥错误!成立的条件是相同的。
( ）（5）若ab＝1，a>0，b〉0，则a＋b的最小值为2.( )【解析】(1）×。
2018版高中数学人教B版必修五学案：第三单元 §3-2 均
学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．知识点一 均值不等式及变形 思考 使用均值不等式证明：21a ＋1b ≤ab (a >0，b >0)，并说明什么时候等号成立．梳理 以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件． 当a >0，b >0时，有21a ＋1b________ab ________a ＋b2________a 2＋b 22； 当且仅当________时，以上三个等号同时成立．知识点二 用均值不等式求最值思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2.以上说法对吗？为什么？梳理 均值不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是________；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为________；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为________；(3)等号成立的条件是否满足．类型一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．类型二均值不等式在实际问题中的应用命题角度1几何问题的最值例2(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？反思与感悟利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪训练2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？命题角度2 生活中的最优化问题例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．1．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－22．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值13．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A ．6.5 mB ．6.8 mC ．7 mD ．7.2 m4．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x的最大值是________．1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px (p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．答案精析问题导学 知识点一思考 ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b ≥21ab>0， ∴11a ＋1b≤ab 2， 即21a ＋1b ≤ab (a >0，b >0)， 当且仅当1a ＝1b ，即a ＝b 时，等号成立．梳理 ≤ ≤ ≤ a ＝b 知识点二思考 错．显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．仅说明抛物线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 上方，仅在x ＝1时有公共点．使用均值不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错． 梳理 (1)正数 (2)定值 定值 题型探究 类型一例1 解 (1)当x >0时， x ＋4x≥2 x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． ∴x ＋4x －2的最小值为6.(4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y ) ＝y x ＋9xy ＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，不等式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 方法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)． 由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2(x －1)(y －9)＋10＝16， 当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时不等式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 跟踪训练1 解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥212x·3x ＝12， 当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时取等号，∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号． ∴f (x )的最大值为－1.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18. 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18. 类型二 命题角度1例2 解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ， 则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y ) m. 由x ＋y2≥xy ，可得x ＋y ≥2100， 2(x ＋y )≥40.当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．所以这个矩形的长、宽都为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．所以这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2. 跟踪训练2 解 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m.又设水池总造价为y 元，根据题意，得 y ＝150×4 8003＋120×(2×3x ＋2×3×4 8003x )＝240 000＋720×⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ≥240 000＋720×2 x ·1 600x＝297 600(元)，当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时，y 取得最小值297 600.所以水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297 600元． 命题角度2例3 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管及其他费用为 3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 元， 则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 引申探究解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1＜x 2. 则(9x 1＋900x 1＋10 809)－(9x 2＋900x 2＋10 809)＝9(x 1－x 2)＋900(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫9－900x 1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫9x 1x 2－900x 1x 2.∵15≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫9x 1x 2－900x 1x 2＜0，即y ＝9x ＋900x＋10 809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少． 跟踪训练3 8 当堂训练1．C 2.D 3.C 4.2－2 5。
新人教B版必修5高中数学第三章不等式3.2《均值不等式2》
1、均值不等式：
ab ab(a,bR) 2
2、均值不等式的变形：
ab2 ab(a,bR)
ab(ab)2 (a,bR)
2
3、重要不等式的变形：ab
a2
b2
2
三、典例分析：
例1、求函数
2x2 f(x)
x3(x0） 的最大值，x来自以及此时的x 值。解 f( x ) ： 1 ( 2 x 3 )因 x 0 ,为 所 2 x 3 以 26
2
当 32x2x1即 x 1 时，
2
y有最大值4。
变式1、已知 0 x 1 ，求函数 yx(13x)
的最大值。 3
提示：yx(13x)13x(13x) 3
1
12
变式2、已知 x , y 都是正实数，且x4y 1 求 x y 的最大值。（有几种方法？）
1
16
例3、设
x, y R ,
且x2
y2 2
1
求 x 1 y 2 的最大值。
解：
x 1 y 222 x 21 y 22 2 x 2 1 y 2 32
2
22 4
练习：已知 a,b R，且 ab3
求 a1 b1 的最大值。
5
2
四、课堂练习： 1、已知点 P ( x, y )在直线2xy40上运动，
求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点 P 坐标。
2 (1, 2)
2、已知
x2,y4,xy32，求
log2
x 2
log2
y 4
的最大值，以及相应的 x , y 值。
1 x4, y8
五、高考再现：
已知：x 0 ,y 0 ,x 2 y 2 x y 8
则x 2 y 的最小值是多少？
2018版高中数学人教B版必修五学案：第三章 3-2 均值不
3．2 均值不等式 (一)[学习目标] 1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．[知识链接]下列说法中，正确的有________． (1) a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2；(2)(a ±b )2≥0； (3) a 2＋b 2≥(a ＋b )2；(4) (a ＋b )2≥(a －b )2. 答案 (1)(2)解析 当a ，b 同号时，有a 2＋b 2≤(a ＋b )2，所以(3)错误； 当a ，b 异号时，有(a ＋b )2≤(a －b )2，所以(4)错误． [预习导引] 1．重要不等式对于任意实数a ，b ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．均值定理如果a ，b ∈R ＋a ＝b 时，等号成立．3．算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值． 4．均值定理的常用推论(1)ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(2)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋ab ≤－2.(3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).要点一 均值不等式的证明例1 证明下列不等式，并指出“＝”号成立的条件：(1)a 2＋b 2≥2ab ； (2) ab ≤a ＋b2( a >0，b >0)．证明 (1) ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．(2) ∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0. ∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”． 规律方法 a 2＋b 2≥2ab 对a 、b ∈R 都成立，a ＋b 2≥ab 成立的条件是a ，b ∈R ＋，两个不等式“＝”号成立的条件都是a ＝b .跟踪演练1 还有一种证明ab ≤a ＋b2( a >0，b >0)的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的空填正确？ 要证：a ＋b2≥ab (a >0，b >0) ① 只要证：a ＋b ≥________② 要证②，只要证a ＋b －________≥0③ 要证③，只要证 (________－________)2≥0④显然， ④是成立的，当且仅当a ＝b 时， ④的等号成立． 答案 2ab 2abab要点二 均值不等式的直接应用例2 (1)已知a ，b ，c 为任意的实数，求证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca . 证明 (1)∵ a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .(2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b ≥2 ab ＞0，b ＋c ≥2 bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .规律方法 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式． 跟踪演练2 已知x ，y 都是正数． 求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3.证明 (1)∵x ，y 都是正数， ∴x y ＞0，yx ＞0，∴x y ＋yx≥2x y ·y x ＝2，即x y ＋yx≥2.当且仅当x ＝y 时，等号成立． (2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy ＞0，x 2＋y 2≥2x 2y 2＞0，x 3＋y 3≥2x 3y 3＞0. ∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3.即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立． 要点三 含条件的不等式的证明例3 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．规律方法 使用均值不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用均值不等式，要注意等号能否同时成立． 跟踪演练3 已知a ，b ，x ，y ∈R ，且a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， 求证：ax ＋by ≤1.证明 ∵a 2＋x 2≥2ax ，b 2＋y 2≥2by ， ∴a 2＋x 2＋b 2＋y 2≥2ax ＋2by ， 又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2ax ＋2by ≤2，∴ax ＋by ≤1.1．不等式m 2＋1≥2m 中等号成立的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1 C ．m ＝－1 D ．m ＝0 答案 A2．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a >a ＋b 2>ab >bB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P 答案 B 解析 P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )＝log 12ab ， M ＝12log 12(a ＋b )＝log 12a ＋b ，∴只需比较a ＋b 2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b 2>ab ，又因为a ＋b 2<a ＋b (由a ＋b >(a ＋b )24，也就是a ＋b 4<1)，∴a ＋b >a ＋b2>ab .而y ＝log 12x 为减函数，故Q >P >M ，选B.4．已知0<a <1,0<b <1，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________． 答案 a ＋b解析 方法一 ∵a >0，b >0， ∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ， ∴四个数中最大数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， ∴a 2＋b 2<a ＋b ，∴a ＋b 最大． 方法二 令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1，2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212·18＝12， ∴a ＋b 最大．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2．由均值不等式变形得到的常见的结论： (1)ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R +)；(3)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4(a ，b ∈R +)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .。
人教版数学高二B版必修5学案 第三章不等式 3.2 第2课时
第2课时 均值不等式的应用学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.知识点一 均值不等式及变形 思考 使用均值不等式证明：21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)，并说明什么时候等号成立. 答案 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab >0， ∴11a ＋1b ≤ab 2， 即21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)，当且仅当1a ＝1b ，即a ＝b 时，等号成立. 梳理 以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件. 当a >0，b >0时，有21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22； 当且仅当a ＝b 时，以上三个等号同时成立. 知识点二 用均值不等式求最值思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号.所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？ 答案 错.显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号.仅说明抛物线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 上方，仅在x ＝1时有公共点.使用均值不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值，可能出错. 梳理 均值不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值，即“和定积大，积定和小”. (3)等号成立的条件是否满足.1.函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )2.函数y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为2.( × ) 3.若x y ＋yx≥2，则必有x >0，y >0.( × )类型一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值.解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号.∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32.∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. (3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立.∴x ＋4x －2的最小值为6.(4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，不等式取等号. 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值).由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时不等式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备. 跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值. 解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时取等号，∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号.∴f (x )的最大值为－1.(3)方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立.∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2xy ＋10≥28y x ·2xy＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立.∴x ＋y 的最小值是18.类型二 均值不等式在实际问题中的应用 命题角度1 几何问题的最值例2 (1)用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ， 则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y ) m.由x ＋y 2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40.当且仅当x ＝y ＝10时等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为10m 时， 所用篱笆最短，最短篱笆为40m.(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.所以这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积为81m 2.反思与感悟 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解 设水池底面一边的长度为x m ， 则另一边的长度为48003xm.又设水池总造价为y 元，根据题意，得y ＝150×48003＋120×⎝⎛⎭⎫2×3x ＋2×3×48003x ＝240000＋720×⎝⎛⎭⎫x ＋1600x ≥240000＋720×2x ·1600x＝297600(元)，当且仅当x ＝1600x，即x ＝40时，y 取得最小值297600.所以水池底面为正方形且边长为40m 时总造价最低，最低总造价为297600元. 命题角度2 生活中的最优化问题例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨.由题意可知，面粉的保管及其他费用为 3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1). 设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800＝9x ＋900x ＋10809≥29x ·900x＋10809＝10989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. 引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？ 解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1＜x 2.则⎝⎛⎭⎫9x 1＋900x 1＋10809－⎝⎛⎭⎫9x 2＋900x 2＋10809＝9(x 1－x 2)＋900⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2. ∵15≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2＜0，即y ＝9x ＋900x＋10809在[15，＋∞)上为增函数.∴当x ＝15，即15天购买一次面粉，平均每天支付的费用最少.反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解.跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要小时. 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则 t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v202v ＝400v ＋16v400≥2400v ×16v400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，所以这批货物全部运到B 市，最快需要8小时.1.设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.80B.77C.81D.82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81， 当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2.已知a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( ) A.12B.－12C.1D.－1 答案 A解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2， ∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝12×⎝⎛⎭⎫222＝12， 当且仅当2x ＝y ＝1时，等号成立.3.设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y 的最小值为( ) A.16B.9C.12D.15 答案 A解析 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝1＋9＋y x ＋9xy≥16，当且仅当y ＝3x 时，等号成立.4.已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4的最小值为.答案 1解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －2)＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立.1.用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px (p >0)的单调性求得函数的最值. 2.求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.一、选择题1.已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A.4B.2C.1D.14答案 A解析 ∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号.2.已知点P (x ，y )在经过A (3，0)，B (1，1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A.22B.42C.16D.不存在 答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上， ∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x +2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立.3.函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( )A.－3B.3C.4D.－4 答案 B解析 ∵x >1，∴x －1>0， ∴x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝8，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立.∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3.4.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B.4C.92D.5 答案 C解析 ∵a ＋b ＝2， ∴a ＋b 2＝1. ∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝⎛⎭⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92⎝⎛⎭⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.5.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3答案 B 解析 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0且z ≠0得x 2z ＋4y 2z ＝3xyz＋1，∵x 2z ＋4y 2z ≥2x 2·4y 2z 2＝4·xyz， ∴3·xy z ＋1≥4·xyz.∴xy z ≤1，当且仅当x 2z ＝4y 2z 即x ＝2y 时取等号. ∴⎝⎛⎭⎫xy z max ＝1，此时x ＝2y ，z ＝xy ＝2y 2.∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝2y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 当1y ＝1即y ＝1时取等号. ∴⎝⎛⎭⎫2x ＋1y －2z max ＝1.6.已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 的最小值为( )A.eB.2C.eD.e 2 答案 C解析 由题意得⎝⎛⎭⎫142＝14ln x ·ln y ， ∴ln x ·ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ·ln y ＞0，又ln(xy )＝ln x ＋ln y ≥2ln x ·ln y ＝1，当且仅当ln x ＝ln y ＝12时，等号成立，∴xy ≥e.即xy 的最小值为e.7.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A.9B.8C.4D.2答案 A解析 圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0，1).因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·b c ＝4， 当且仅当4c b ＝b c时等号成立. 由此可得b ＝2c 且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 二、填空题8.若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是 答案 4解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号. 9.若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是m 2.答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.10.设0<x <2，则函数y ＝3x (8－3x )的最大值为.答案 4解析 ∵0<x <2，∴0<3x <6，8－3x >2>0，∴y ＝3x (8－3x )≤3x ＋(8－3x )2＝82＝4， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号. ∴当x ＝43时，y ＝3x (8－3x )有最大值4.11.设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是. 答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9. 12.已知x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12，则lg x ＋lg y 的最大值为.答案 lg3解析 由x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12，得xy ＝112·(3x )·(4y )≤112⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 22＝3. 所以lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg3，当且仅当3x ＝4y ＝6，即x ＝2，y ＝32时，等号成立. 故当x ＝2，y ＝32时，lg x ＋lg y 的最大值是lg3.三、解答题 13.某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3000＋50x (单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8000×100004000x ＝50x ＋20000x＋3000(x ≥12，x ∈N ＋)， f (x )＝50x ＋20000x ＋3000≥250x ·20000x＋3000＝5000(元). 当且仅当50x ＝20000x，即x ＝20时，上式取等号， 所以当x ＝20时，f (x )取得最小值5000(元).所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5000元.四、探究与拓展14.已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为. 答案 6解析 由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54， 当且仅当2a b ＝2b a，即a ＝b 时等号成立， 所以9m ≤54，即m ≤6.15.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，现有可围36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为时，可使每间虎笼面积最大.答案 4.5m ，3m解析 设每间虎笼长为x m ，宽为y m.依题意，得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .方法一 由于2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使面积最大.方法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y . ∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )·y . ∵0<y <6，∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使面积最大.。
数学人教B版必修5教学设计：第三章不等式 Word版含答案
教学设计整体设计教学分析本章知识网络本章复习建议本章为高中5个必修中的最后一章，我们在这一章中重点探究了三种不等式模型，即一元二次不等式、二元一次不等式(组)及均值不等式，在了解了这三种不等式的实际背景的前提下，重点探究了不等式的应用，那么如何复习好不等式这一章的内容呢？总纲是复习不等式要结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想，以及分类讨论思想，类比思想，换元思想等．1．充分认识不等式的地位与作用．不等式是中学数学的重要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容，无一不与不等式有着密切联系，它所涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的．因此，不等式是永不衰退的高考热点，必须加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合．2．加深对不等式性质的理解．不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用，它又是高等数学的基础知识之一，因此，它是高考试题的热点，有时通过客观题直接考查不等式的某个性质，有时在解答题中的证明不等式或解不等式中，间接地考查不等式的性质，高考试题也直接或间接考查均值不等式及其他重要不等式的应用，不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段．在解不等式中往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系，因此在复习中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清．解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜，如a ＞b ，c ≠0ac ＞bc(忘了c ＞0)， ⎭⎬⎫a>b c>d ⇒ac ＞bd(忘了a 、b 、c 、d ∈R ＋)等等．3．加强等价变换在解不等式中的运用．解不等式是通过等价变形转化为简单不等式，从而得到解集．一定要注意变形是同解变形，即每一步变换必须既充分又必要．含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论．在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案．在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简”的原则，有的问题还可能进行二次分类．另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段问题”的解集．4．注重在证明不等式中推理论证能力的提高．不等式的证明非常活跃，它可以和很多内容结合，是高中数学的一个难点，又是历届高考中的热点问题．证明时不仅要用到不等式的性质，还要用到不等式证明的技能、技巧，其中，均值不等式是证明不等式的主要依据．证明不等式的方法有很多，比如常用的有比较法(归0、归1)、分析法、综合法等．5．解不等式是高考中的常见题型，尤其是含参数的指、对数不等式解法及绝对值不等式．一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系，在高考中频繁出现．这类题目思考性强，灵活新颖，对分析能力要求较高，解题的基本思路是等价转换，基本方法是化归化简．二是加强“三个二次结合”的深刻理解．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数简称“三个二次”，它们互相联系，互相渗透，使这个“知识块”的内容异常丰富，是历年高考命题的重点．求解时，常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定理、二次函数图象及函数性质等．很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的提高．6．不等式的应用是本章的重点．不等式的应用主要表现在三个方面：一是研究函数的性质，如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等；二是方程与不等式解的讨论；三是用线性规划或均值不等式解决实际问题．对于第一个方面，要求学生运算准确．第二个方面，我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化，函数与不等式在一定条件下也可以相互转化．这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础，使我们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质，哪些是变化的规律和性质．第三个方面，可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型，只要我们揭示这些模型的本质规律，就一定能培养出学生的创新能力，真正做到以不变应万变．本章复习分为两课时完成，第一课时侧重三种不等式模型的复习，第二课时侧重线性规划的复习．三维目标1．通过本章的综合复习，理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景，能用不等式的基本性质比较代数式的大小；掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法，会用线性规划解决实际生活中的常见问题；理解并掌握均值不等式a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)的应用方法与技巧． 2．通过对一元二次不等式解法的复习，设计求解的程序框图，深刻理解三个二次之间的关系．以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗透数形结合等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力．3．通过对全章内容的复习，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观．重点难点教学重点：1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式〕的概念、方法及应用．2．深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的理解，加深对线性规划解决实际问题的认识．3．掌握构建均值不等式解决函数的最值问题，利用均值不等式解决实际问题．教学难点：三个二次的灵活运用；用线性规划解决实际问题的建模问题；均值不等式解函数最值的正确运用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)通过我们的共同努力，我们学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业——阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行整合的？由此展开新课．思路2.(问题导入)先让学生结合本章小结，回忆我们是怎样探究本章知识的？经历了怎样的探究活动？你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗？根据学生回答和所画的知识网络结构图，自然地引入新课．推进新课新知探究提出问题(1)本章共研究了几种不等式模型？不等式有哪些性质？(2)怎样求解一元二次不等式的解集？怎样画一元二次不等式的程序框图？(3)均值不等式a ＋b 2≥ab 的应用条件是什么？主要用它来解决哪些问题？(4)“三个二次”是指哪三个？它们之间具有怎样的关系？活动：教师让学生充分回忆思考，并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究．本章共研究了三种不等式模型，它们分别是一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)． 由实数的基本性质，我们推出了常用的不等式的4条性质5个推论，教师可结合多媒体课件给出这些性质．在这些基本性质的基础上，我们接着探究了均值不等式a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)的代数及几何意义，以及均值不等式在求最值、证明不等式方面的应用．在温故知新的基础上，我们又探究了一元二次不等式的解法和明确了“三个二次”之间的关系，并用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示了出来，为前面学过的算法找到了用武之地．对一元二次不等式的求解集问题，老师可借助多媒体给出以下表格让学生填写，加深对“三个二次”关系的理解.Ø 由于本章是高中必修内容的最后一章，通过对以上内容的归纳整合，我们对不等式有了全面系统的认识，也因此对高中必修内容有了整体的理解．应用示例例1已知集合A ＝{x|x 2＋2x －8＜0}，B ＝{x|| x ＋2|＞3}，C ＝{x|x 2－2mx ＋m 2－1＜0，m ∈R }．若(1)A ∩C ＝Ø，(2)A ∩B ⊆C ，分别求出m 的取值范围．活动：本例可让学生自己探究解决，或可让两名学生到黑板板演，教师针对出现的问题作点评．解：(1)∵A ＝{x|－4＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞1或x ＜－5}，C ＝{x|m －1＜x ＜m ＋1}， 欲使A ∩C ＝Ø，只需m －1≥2或m ＋1≤－4.∴m ≥3或m ≤－5.(2)欲使A ∩B ⊆C ，∵A ∩B ＝{x|1＜x ＜2}，只需⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ≥1，即1≤m ≤2. 点评：本例体现了一元二次不等式与集合的交汇．变式训练设集合A ＝{x|(x －1)2＜3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中有__________个元素． 答案：6解析：由(x －1)2＜3x ＋7可得－1＜x ＜6，结合题意可得A ＝(－1,6)．例2若正数x 、y 满足6x ＋5y ＝36，求xy 的最大值．活动：均值不等式的功能就是“和积互化”．通过此例，教师引导学生回忆如何用均值不等式求最值．本例中把积化为和而和恰好为定值，应联想均值不等式．解：∵x 、y 为正数，则6x 、5y 也是正数，∴6x ＋5y 2≥6x·5y ＝30xy ， 当且仅当6x ＝5y 时，取“＝”．∵6x ＋5y ＝36，则30xy ≤362，即xy ≤545.∴xy 的最大值为545. 点评：本例旨在说明均值不等式的应用．事实上，∵6x ＋5y ＝36，∴y ＝36－6x 5.代入xy ，得xy ＝x·15(36－6x)＝－65x 2＋365x(x ＞0)，利用二次函数的图象和性质也很容易解出来，教师可在活动前向学生说明．学生用均值不等式解完此题后，结合学生的板书，对出现的漏洞或错误进行一一点拨．变式训练已知2x ＋3y＝2(x ＞0，y ＞0)，则xy 的最小值是__________． 解法一：由x ＞0，y ＞0，得2＝2x ＋3y ≥22x ·3y. ∴xy ≥6，当且仅当2x ＝3y＝1，即x ＝2，y ＝3时，xy 取得最小值为6. 解法二：令2x ＝2cos 2θ，3y ＝2sin 2θ，θ∈(0，π2)，∴x ＝22cos 2θ，y ＝32sin 2θ. ∴x·y ＝64sin 2θcos 2θ＝6sin 22θ. ∵sin 22θ≤1，当且仅当θ＝π4时等号成立，这时x ＝2，y ＝3.∴xy 的最小值是6. 解法三：由2x ＋3y ＝2，得y ＝3x 2x －2.∴xy ＝3x 22(x －1)(x ＞1)． 令x －1＝t ，t ＞0，x ＝t ＋1.∴3x 22(x －1)＝3(t ＋1)22t ＝32(t ＋1t ＋2)≥32(2t·1t＋2)＝6.当且仅当t ＝1时等号成立，即x －1＝1，x ＝2.∴xy 有最小值6.答案：6例3不等式ax x －1＜1的解集为{x|x ＜1或x ＞2}，求a. 活动：本例不是一元二次不等式，但可转化为一元二次不等式的形式来思考．训练学生的等价转化能力．解法一：将ax x －1＜1化为(a －1)x ＋1x －1＜0，即[(a －1)x ＋1](x －1)＜0. 由已知，解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知a －1＜0，∴[(1－a)x －1](x －1)＞0.∴(1－a)x －1＜0，x ＞11－a .于是有11－a＝2.解得a ＝12. 解法二：原不等式转化为[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，即(a －1)x 2＋(2－a)x －1＜0.依题意，方程(1－a)x 2＋(a －2)x ＋1＝0的两根为1和2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 11－a ＝2，a －2a －1＝3，解得a ＝12. 点评：本例是一道经典题目，学生完成后，可让他们互相交流一下解法，体会等价转化的意义．变式训练若关于x 的不等式x －a x ＋1＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝__________. 答案：4例4为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200 m2的长方体二级净水处理池(如图)，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元．一般情形下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？活动：教师引导学生观察题目的条件，可以先建立目标函数，再求解．可让学生独立探究，必要时教师给予适当的点拨．解：设净水池长为x m ，则宽为200x m ，高为h m ，则总造价 f(x)＝400(2x ＋2·200x )·h ＋100·200x ·h ＋60×200＝800h(x ＋225x)＋12 000(x ＞0)， 当且仅当x ＝225x(x ＞0)，即x ＝15时上述不等式取到等号．故当净水池的长设计为15 m 时总造价最低．点评：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证．用均值不等式创设不等量关系，也是经常采用的方式方法，让学生以后在解决有关最值问题时注意这条解题思路的灵活应用．知能训练1．已知集合A ＝{x||2x ＋1|＞3}，B ＝{x|x 2＋x －6≤0}，则A ∩B 等于( )A ．[－3，－2)∪(1,2]B ．(－3，－2]∪(1，＋∞)C ．(－3，－2]∪[1,2)D ．(－∞，－3)∪(1,2]2．已知a ∈R ，二次函数f(x)＝ax 2－2x －2a ，设不等式f(x)＞0的解集为A ，又知集合B ＝{x|1＜x ＜3}，若A ∩B ≠，求a 的取值范围．3．已知关于x 的不等式x ＞ax 2＋32的解集是{x|2＜x ＜m}，求不等式ax 2－(5a ＋1)x ＋ma ＞0的解集．4．解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0.5．已知a 、b 、c 、d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2). 答案： 1．A 解析：易得A ＝{x|x ＞1或x ＜－2}，B ＝{x|－3≤x ≤2}．则A ∩B ＝{x|1＜x ≤2或－3≤x ＜－2}．2．解：由f(x)为二次函数，知a ≠0.令f(x)＝0，解得其两根为x 1＝1a －2＋1a 2，x 2＝1a ＋2＋1a 2.由此可知x 1＜0，x 2＞0. (1)当a ＞0时，A ＝{x|x ＜x 1}∪{x|x ＞x 2}．A ∩B ≠的充要条件是x 2＜3，即1a＋2＋1a 2＜3，解得a ＞67. (2)当a ＜0时，A ＝{x|x 1＜x ＜x 2}．A ∩B ≠的充要条件是x 2＞1，即1a ＋2＋1a 2＞1，解得a ＜－2. 综上，使A ∩B ≠成立的a 的取值范围为(－∞，－2)∪(67，＋∞)． 3．解：x ＞ax 2＋32ax 2－x ＋32＜0,2＜x ＜m (x －2)(x －m)＜0x 2－(2＋m)x ＋2m＜0.对照不等号方向及x 2的系数可知a ＞0且a 1＝12＋m ＝322m ，解得a ＝18，m ＝36. ∴ax 2－(5a ＋1)x ＋ma ＞018x 2－(5×18＋1)x ＋36×18＞0x 2－13x ＋36＞0(x －4)(x －9)＞0x ＜4或x ＞9.点评：条件中的不等式含参数a ，而其解集中又含有参数m ，似乎有较大难度．策略之一，求出原不等式的解集，与{x|2＜x ＜m}比较；策略之二，抓住解集，即写出解集为{x|2＜x ＜m}的一元二次不等式，再与原不等式比较，若只求原不等式的解集，需讨论．4．解：(1)当a ＝0时，原不等式化为x －2＜0，解集为{x|x ＜2}．(2)当a ＜0时，原不等式化为(x －2)(x －2a )＜0，这时两根的大小顺序为2＞2a，所以解集为{x|2a＜x ＜2}． (3)当a ＞0时，原不等式化为(x －2)(x －2a)＞0，①当0＜a ＜1时，两根的大小顺序为2＜2a ，所以原不等式的解集为{x|x ＞2a 或x ＜2}；②当a ＝1时，2＝2a，所以原不等式的解集为{x|x ≠2且x ∈R }； ③当a ＞1时，两根的大小顺序为2＞2a ，解集为{x|x ＞2或x ＜2a}． 综上所述，不等式的解集为a ＝0时，{x|x ＜2}，a ＝1时，{x|x ≠2}，a ＜0时，{x|2a＜x ＜2}，0＜a ＜1时，{x|x ＞2a 或x ＜2}，a ＞1时，{x|x ＞2或x ＜2a}． 点评：本例应对字母a 分类讨论，分类的原则是不重、不漏．解完后教师引导学生思考本例的解法并注意书写的规范性．5．证明：∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2＝(a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2)＋(b 2c 2－2abcd ＋a 2d 2)＝(ac ＋bd)2＋(bc －ad)2≥(ac ＋bd)2， ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd|≥ac ＋bd.点评：能否联想到均值不等式ab ≤a ＋b 2或其变形形式上来？关键是探究根号里面的(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)的变形问题． 课堂小节1．由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法？解决了哪些问题？通过本节复习，你有哪些收获？2．通过本节复习，深化了“三个二次”之间的关系，加深了不等式基本性质的理解，进一步熟悉了数形结合、方程等数学思想方法；熟悉了简单不等式的证明思路，沟通了各知识点之间的关系．从更高的角度理解了相等和不等的关系，体会了数学来源于生活的道理，也认识到了数学的系统美、严谨美与简洁美．作业本章巩固与提高A 组3、4、7、8、9；B 组6、7、8、9.设计感想1．本课时设计体现了复习课的特点，从更高的角度对本章知识方法进行整合．复习不是简单的重复或阅读课本，把“发展为本”作为教学设计的中心，使各层次的学生在各个方面都有所提高，达到“温故而知新”的目的．2．本课时设计重视了学生的探究活动，让学生在教师的引导下自主探究，避免了学生只当观众、听众．设计中体现把复习的机会还给学生，充分让学生在知识整合的基础上，再发展、再创造．3．本课时设计体现了复习中前后知识的联系．注重了复习应涉及哪些内容？重难点是什么？与其前沿知识和后继知识有哪些联系？在复习过程中应该注意什么等．针对这些情况，教师应该做到心中有数，这样，在复习过程中，才能够做到步步到位，使学生在复习中不至于盲目无从．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(复习导入)上节课我们重点复习了不等式的基本性质，一元二次不等式的解法及均值不等式的应用．本节将重点对平面区域和线性规划问题做一归纳整合，由此展开复习．思路2.(直接引入)我们曾对平面区域，线性规划问题进行了探究，解决了我们日常生活中有关资源的分配，人力、物力的合理利用等最优问题．本节课我们将对这些内容做进一步的回顾与提高，进一步提高线性规划这一数学工具的应用．推进新课新知探究提出问题(1)在直角坐标系中，怎样用二元一次不等式(组)的解集表示平面上的区域？(2)确定二元一次不等式表示的区域的方法是什么？(3)利用线性规划可解决哪些实际问题？渗透了哪些数学思想方法？(4)解线性规划实际问题的方法步骤是什么？活动：教师引导学生回忆并思考以上问题．我们知道二元一次方程ax＋by＋c＝0表示平面坐标系中的一条直线．这条直线把直角坐标系内的点分成了三部分：在直线ax＋by＋c ＝0上或两侧．在直线上的点的坐标满足ax＋by＋c＝0，两侧点的坐标则满足ax＋by＋c＞0或ax＋by＋c＜0.这样，二元一次不等式ax＋by＋c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax＋by ＋c＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线；若画不等式ax＋by＋c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．由于对在直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以a0x＋b0y＋c的正负情况便可判断ax＋by＋c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点．(此时，教师用投影仪给出下面的图形归纳)用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形：本节课内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材．通过本节课的复习，让学生进一步了解到线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益．它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法．简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：(1)阅读题意，寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)； (3)在可行域内求目标函数的最优解(设t ＝0，画出直线l 0，观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解)；(4)由实际问题的实际意义作答． 讨论结果：(1)～(4)略．应用示例例1画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0，x －y ≥0，y ≤3，x ＜5表示的平面区域．活动：为了让全体学生都能准确地画出平面区域，教师可请两名学生上黑板板演，然后对出现的问题作点评．解：不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y ≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y ≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x ＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0，x －y ≥0，y ≤3，x ＜5表示的平面区域如图所示．点评：画平面区域是学生易错的地方，也是用线性规划解决实际问题的关键步骤，一定让学生准确掌握．变式训练已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3 答案：B解析：画出x ，y 满足的可行域，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y 取得最小值．故由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，解得x ＝m ＋13，y ＝2m －13.代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.例2某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力、成品合格率及日工资数如下表所示：工厂要求每天至少加工配件2 400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少．活动：学生对求解简单线性规划实际应用问题的步骤已经是很熟悉，让学生独立解决问题，有助于学生解题能力的锻炼与培养．本例的关键是列出约束条件和目标函数，再就是画平面区域．解：根据题意列出线性约束条件和目标函数．设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x 、y 人． 线性约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧97%·240x ＋95.5%·160y ≥2 400，0≤x ≤8，6≤y ≤12，化简即为⎩⎪⎨⎪⎧29.1x ＋19.1y ≥300，0≤x ≤8，6≤y ≤12.目标函数为z ＝[(1－97%)·240x ＋(1－95.5%)·160y]×2＋5.6x ＋3.6y ， 化简即为z ＝20x ＋18y.根据题意知即求目标函数z 的最小值．画出约束条件的可行域，如图，根据图知，点A(6,6.3)应为既满足题意，又使目标函数最小．然而A 点非整数点．故在点A 上侧作平行直线经过可行域内的整点，且与原点距离最近，可知(6,7)为满足题意的整数解．此时zmin ＝20×6＋18×7＝246(元)，即每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人时，工厂每天支出费用最少．答：每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人，工厂每天支出费用最少．点评：通过本例的求解我们可以看出，处理简单的线性规划的实际问题，关键之处在于从题意中建立目标函数和相应的约束条件，实际上就是建立数学模型．这样解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清目标函数与约束条件的区别，得到目标函数的最优解．例3A 、B 两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D 、E 、F 三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运费如下表所示：怎样确定调运方案，使总的运费最少？点评：本例表中的数据较多．可设从A 运到D 为x ，从A 运到E 为y ，则从A 运到F 就可用x 、y 表示，即12－x －y ，则B 运到D 、E 、F 分别为8－x,6－y ，x ＋y －6.目标函数为f ＝－3x ＋y ＋100.解：设从A 运到D 为x ，从A 运到E 为y ，则从A 运到F 为12－x －y ，B 运到D 、E 、F 分别为8－x,6－y ，x ＋y －6.约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12－x －y ≥0，8－x ≥0，6－y ≥0，x ＋y －6≥0.目标函数为f ＝－3x ＋y ＋100.可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．易知，当x ＝8，y ＝0时，f 最小，即运费最省．故当从A运到D8千吨、从A运到F4千吨、从B运到E6千吨、从B运到F2千吨时，总的运费最少．点评：通过本例的训练，让学生学会对多个数据的处理，进一步明确线性规划的应用性．变式训练行驶中的汽车在刹车时，由于惯性作用，要继续向前滑行一段距离才能停下来，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝nx100＋x2400(n为常数，n∈N)．做两次刹车试验，有数据如图，其中5＜y1＜7,13＜y2＜15.(1)求出n 的值；(2)要求刹车距离不超过18.4 m ，则行驶的最大速度应为多少？解：(1)将x 1＝40，x 2＝70分别代入y ＝nx 100＋x 2400，有y 1＝25n ＋4，y 2＝710n ＋494.依题意，有⎩⎨⎧5<25n ＋4<7，13<710n ＋494<15(n ∈N )．解得n ＝3.(2)y ＝3x 100＋x 2400≤18.4，解得x ≤80，即最大行驶速度为80 km/h.知能训练1．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，＋∞)D ．[－12，1)2．如图所示，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( )A ．[7,8]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[6,15]3．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少要两张，如果小明带有10元钱，问有多少种买法？答案：1.D 解析：设点D(x ，y)在图中阴影部分内，如图．ω＝y －1x ＋1，即动点(x ，y)与定点A(－1,1)连线的斜率．当动点为B 点时，ω取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x －y －2＝0，得B 点坐标为(1,0)．∴ω＝－12.当动点在x －y ＝0上，且x →＋∞时，ω趋向于最大值，即经过A 点，斜率为ω的直线与x －y ＝0平行．∴ω∈[－12，1)．2．A 解析：由题意知要求在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，目标函数z ＝3x ＋2y 的取值范围，作出如图所示目标函数取最大值时的可行域．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2，∴当x ＋y ＝3时，在B 点处z 取最大值；随着x ＋y ＝3的上移，z 的最大值也随着增大．当平移经过C 点时，z 的最大值达到最大，且B(1,2)，C(0,4)．∴当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7,8]．3．解：设8角邮票可买x 张，2元邮票可买y 张，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋20y ≤100，x ≥2，y ≥2，x 、y ∈N .不等式表示的平面区域如图所示，而在该区域内，x 、y 都是不小于2的整数，这样的点的个数为11，所以小明有11种购买方法，分别是(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(7,2)．课堂小节1．由学生回顾本节课复习了哪些内容？通过对这些内容的复习，你有什么新的发现？ 2．本节课重点复习了平面区域和线性规划问题，明确了用线性规划的方法解决的两种重要问题．线性规划实质上是数形结合的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷地求最值的方法．进一步熟悉了利用线性规划解决问题的步骤．还结合一道线性规划题目，探究了利用新视角解决问题的方法，打破了思维定式，今后要注意这方面的思维训练，以培养学生思维的灵活性．作业1．本章巩固与提高A 组14、15；B 组14、15. 2．本章自测与评估．设计感想1．本课时设计注重了教师的灵活操作．在复习时，采取提问、讨论、练习等方式，引导学生再现知识点、知识的形成过程及内在联系．用表格、图示、文字的方法串成线、连成片，建立起合理的认知结构，便于学生记忆，而不是简单的重复．2．本课时设计关注了学生的层次，关注了学习要求上的分层．让学习较差层次的学生多回答一些概念识记性提问，要求学会做一些基础题目．让学习中等层次的学生，多回答一些需认真思索的提问，会做一些难度适中的综合练习．让学习较好层次的学生，多回答一些智力运用性的提问，会运用知识解决一些难度较大的综合性题目．3．本课时设计注意了数学思想方法的教学．学生的能力最终体现在数学思想方法的应用上．在讲授数学知识的同时，更加注重数学思想方法的渗透和培养，把数学思维方法和数学知识、技能融为一体，不断提高学生的思维能力、解题能力及联系实际的能力．(设计者：郑吉星)备课资料一、备用例题【例1】 已知0＜x ＜13，求函数y ＝x(1－3x)的最大值．活动一：原函数式可化为y ＝－3x 2＋x ，利用二次函数求某一区间的最值． 解法一：(利用二次函数法可获得求解)(解略)活动二：挖掘隐含条件，∵3x ＋1－3x ＝1为定值，且0＜x ＜13，则1－3x ＞0；可用均值不等式．。
2018版高中数学人教B版必修五课件：第三章 3-2 均值不
答 xy 有最大值.由均值不等式，得 s＝x＋y≥2 xy，所 s2 s2 以 xy≤ 4 ，当 x＝y 时，积 xy 取得最大值 4 .
2. 已知 x ， y 都是正数，若 xy ＝ p( 积为定值 ) ，那么 x ＋ y 有
最大值还是最小值？如何求？
答 x＋y有最小值. 由均值不等式，得x＋y≥2 xy ＝2 p .
2.均值不等式求最值的条件
(1)x，y必须是 正数 ；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 定值 ；求和 x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值 .
(3)等号成立的条件是否满足.
要点一 均值不等式与最值
4 例1 (1)若x>0，求函数y＝x＋ 的最小值，并求此时x的值； x
4 解 当 x>0 时，x＋x ≥2 ＝4，x＝2 时取等号.
2 16 x－8× ＋10＝18. x－8
16 当且仅当 x－8＝ ，即 x＝12 时，等号成立.∴x＋y 的最小值是 18. x－8
8 2 方法二 由 2x＋8y－xy＝0 及 x>0，y>0，得x＋y＝1.
8 2 8y 2x ∴x＋y＝(x＋y)(x＋y)＝ x ＋ y ＋10≥2
8y 2x · ＋ 10 ＝ 18. x y
y 9x x·y ＋10＝6＋10＝16，
1 9 y 9x 当且仅当x＝ y ，又 x＋y＝1，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号.
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
1 9 方法二 由x ＋y ＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值). 可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2
解
10 800 ∵x>0，∴48x＋ x ≥2 48×10 800＝1 440，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学习目标 1. 熟练掌握均值不等式及变形的应用 .2. 会用均值不等式解决简单的最大 问题 .3. 能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．
( 小) 值
知识点一 均值不等式及变形 2
思考 使用均值不等式证明： 1 1≤ ab( a>0， b>0) ，并说明什么时候等号成立． a＋ b
3 (2) 设 0<x<2，求函数 y＝4x(3 － 2x) 的最大值；
4 (3) 已知 x>2，求 x＋ x－ 2的最小值；
19 (4) 已知 x>0， y>0，且 x＋ y＝ 1，求 x＋ y 的最小值．
反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求 和式最小值时应使积为定值， 求积式最大值时应使和为定值 ( 恰当变形， 合理拆分项或配凑因 式是常用的解题技巧 ) ；三是考虑等号成立的条件是否具备．
梳理 以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．
2
a＋ b
当 a>0， b>0 时，有 1 1________ ab________ 2 ________
a＋b
a2＋ b2 2；
当且仅当 ________时，以上三个等号同时成立．
知识点二 用均值不等式求最值 思考 因为 x2＋1≥２x，当且仅当 x＝ 1 时取等号．所以当 x＝ 1 时， ( x2＋1) ＝ min 2. 以上说法对吗？为什么？
跟踪训练 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为
4 800 m 3，深为 3 m，如果池
底每 1 m2 的造价为 150 元，池壁每 1 m2 的造价为 120 元，问怎样设计水池才能使总造价最低？
最低总造价是多少？
命题角度 2 生活中的最优化问题
例 3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉
)
5 A．最大值 2
5 B．最小值 4
400 千米，为了安全，两列货车的间距不得小于
v 20
2 千米，那么这批货物全部运到
B 市，最
快需要 ________小时．
11 k
1．设 a>0， b>0，且不等式 a＋ b＋ a＋b≥０恒成立，则实数 k 的最小值等于 (
)
A． 0 B ． 4 C ．－ 4 D ．－ 2
5
x2－ 4x＋ 5
2．已知 x≥ 2，则 f ( x) ＝ 2x－ 4 有 (
反思与感悟 应用题，先弄清题意 ( 审题 ) ，建立数学模型 ( 列式 ) ，再用所掌握的数学知识解
决问题 ( 求解 ) ，最后要回应题意下结论 ( 作答 ) ．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是 否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．
跟踪训练 3 一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米 / 小时匀速直达 B 市，已知两地铁路线长
12 跟踪训练 1 (1) 已知 x>0，求 f ( x) ＝ x ＋ 3x 的最小值；
4 (2) 已知 x<3，求 f ( x) ＝x－ 3＋ x 的最大值； (3) 设 x>0， y>0，且 2x＋8y＝ xy，求 x＋ y 的最小值．
类型二 均值不等式在实际问题中的应用
命题角度 1 几何问题的最值 例 2 (1) 用篱笆围一个面积为
梳理 均值不等式求最值的条件： (1) x，y 必须是 ________； (2) 求积 xy 的最大值时，应看和 x＋ y 是否为 ________；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为 ________； (3) 等号成立的条件是否满足．
类型一 均值不等式与最值 4
例 1 (1) 若 x>0，求函数 y＝ x＋x的最小值，并求此时 x 的值；
100 m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱
笆最短，最短的篱笆是多少？
(2) 一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积 最大，最大面积是多少？
反思与感悟 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利
用均值不等式求解目标函数的最大 ( 小 ) 值及取最大 ( 小 ) 值的条件．
6 吨，每每吨每天
3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元．求该厂多
少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
引申探究 若受车辆限制， 该厂至少 15 天才能去购买一次面粉， 则该厂应多少天购买一次面粉， 才能使 平均每天所支付的费用最少？