(完整版)讲义_直线与圆的位置关系

一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：

从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：

二、切线的性质及判定

1． 切线的性质：

定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2

：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：

定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：

⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理

设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．

_ A

_

l _ l _A

_

l

上

②切线的性质定理及其推论

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

三、三角形内切圆

1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系

（1） （2）

图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()1

2

r a b c =+-

四、典例分析：切线的性质及判定

_ O

_F _E

_ D _ C _ B

_ A

_ C

_ B _ A _ C

_ B

_ A

_c

_ b _a

_c

_ b

_a

_T _A

【例1】 如图，AB 是O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作O 的切线，切点为C ，若25A =︒∠，

则D =∠______．

例1

例2

巩固

【例2】 如图，直线AB 与O ⊙相切于点A ，O ⊙的半径为2，若30OBA ∠=︒，则OB 的长为(

)

A ．

B ．4

C ．

D ．2

【巩固】如图，AB 与O ⊙相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，60AOB ∠=︒，4cm BC =，则切线

AB = cm ．

【例3】 如图，若O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30︒，切线CD 与AB 的延长线交于点D ，且O 的半

径为2，则CD 的长为（ ） A ．B ．

C ．2

D ．4

巩固

【巩固】如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB ，BC AD ⊥于点C ，

2AB =，半圆O 的半径为2，则BC 的长为_______________．

【例4】 如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相

切，切点分别是D C E ，，．求证：以AB 为直径的圆与CD 相切．

例4 巩固

【巩固】如图，已知以直角梯形ABCD 中，以AB 为直径的圆与CD 相切，求证：以CD 为直径的圆与AB

A

D

_ A _ O

_ C _B

_

M

C

相切．

【例5】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE AC ⊥，

垂足为点E ． 求证：（1）ABC ∆是等边三角形；（2）1

3

AE CE =．

【巩固】如图，MP 切O ⊙于点M ，直线OP 交O ⊙于点A B 、，弦AC MP ∥，求证：MO BC ∥．

【例6】 如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点求证：AC 是O 的切线。

【例7】 如图，已知AB 是O 的直径，BC 为O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ， OA r =。

（1）求证：CD 是O 的切线；

（2）求AD OC ⋅的值；

（3）若9

2AD OC r +=，求CD 的长。

【巩固】 如图，已知AB 是O 的直径，BC 是和O 相切于点B 的切线，过O 上A 点的直线AD OC ∥，

若2OA =且6AD OC +=，则CD = 。

C

B A

O

D

C

B

A

【巩固】 如图，AB 是半圆（圆心为O ）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM

于C 。

（1）求证：CD 是半圆的切线；

（2）若AB 长为4，点D 在半圆上运动，设AD 长为x ，点A 到直线CD 的距离为y ，试求出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

【例8】 如图，AC 为O 的直径，B 是O 外一点，AB 交O 于E 点，过E 点作O 的切线，交BC 于

D 点，D

E DC =，作E

F AC ⊥于F 点，交AD 于M 点。

（1）求证：BC 是O 的切线；

（2）EM FM =。

【例9】 如图，割线ABC 与O 相交于B 、C 两点，D 为O 上一点，E 为BC 的中点，OE 交BC 于F ，

DE 交AC 于G ，ADG AGD ∠=∠。

（1）求证：AD 是O 的切线；

（2）如果242AB AD EG ===，，，求O 的半径。

【例10】 如图，已知点E 在ABC ∆的边AB 上，以AE 为直径的O ⊙与BC 相切于点D ，且AD 平分

BAC ∠．求证：AC BC ⊥．

【巩固】AB 是圆的直径，BC 是它的弦，过C 作圆的切线CD ，过B 作BE

ABC EBC ∠=∠．

【例11】 如图，已知Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 于D ，过D 作O ⊙的切线DE

D C

B

A

E

_ A

_ O

_ B

_ C _ D _E