(完整版)讲义_直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系讲义
九年级数学时间: 学生:第讲直线与圆的位置关系【知识点】1直线和圆的位置关系有三种：, 。
2设r为O O的半径，d为圆心O到直线l的距离， d r, 则直线l与O O相交。
d r,则直线l与O O相切d r,则直线l与O O相离。
3圆的切线的性质：圆的切线垂直于_________________ 的半径。
4圆的切线的判定定理：经过直径的一端，并且____________ 这条直径的直线是圆的切线。
5圆的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
6.三角形的内切圆：（1）定义：与三角形三边都相切的圆称为三角形的内切圆。
（2）_________________________________ 内切圆的作法；______ .（3）_________________________ 内心的性质：内心是 _______ 的交点，内心到的距离相等，内心与三角形顶点的连线________ 这个内角。
【课前自测】1. （2011?成都）已知O O的面积为9n cm2,若点0到直线I的距离为n cm则直线l与。
O的位置关系是（）A、相交B、相切 C 、相离D无法确定2.如图，从O O外一点A引圆的切线AB切点为B,连接AO并延长交圆于点C,连接BC若/ A= 26°，则/ ACB的度数为▲.3.已知O O的半径为5,圆心O到直线AB的距离为2,则O O上有且只有_______________ 到直线AB的距离为3.4.如图，已知AB是O O的一条直径，延长AB至C点，使得AC= 3BQ 个占I 八、、CD与O O相切，切点为D.若CD= d，则线段BC的长度等于5.如图23, PA与O O相切，切点为A, PO交O O于点C,点B是优弧CBA上一点，若 / ABC=32，则/ P的度数为【例题讲解】例1.如图，AB是O O的直径，点D在AB的延长线上，DC切O O于点C,若/ A=25°, 则/ D 等于A. 20°B.30°C.40°D.50°例2已知BD是O O的直径，OAL OB,M是劣弧AB上的一点，过M作O O的切线MP交OA的延长线于点P, MD交OA于点N。
直线与圆的位置关系(复习讲义)01(教师版)
直线与圆的位置关系（复习讲义）01 重点突破知识点一直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：直线与相离直线与相切直线与相交性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．知识点三三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心和外心的区别：外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：【考查题型】考查题型一判断直线与圆的位置关系【典例1】已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定变式1-1．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（）A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相离C．与x轴相离，与y轴相切D．与x轴相离，与y轴相离变式1-2．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定变式1-3在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，以点B为圆心，5cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线和⊙B的位置关系（）A．相切B．相交C．相离D．都有可能考查题型二已知直线和圆的位置关系求半径的取值【典例2】直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是( )rA．r<3 B．r=3 C．r>3 D．3变式2-1．若点B(a ，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a 的取值范围为( )A ．a<－1B ．a ＞3C ．－1 <a < 3D ．a ≥－1且0a ≠考查题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离【典例3】已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，那么点O 到直线l 的距离是( )A ．2.5B ．3C ．5D ．10变式3-1．圆O 的半径为5，若直线与该圆相离，则圆心O 到该直线的距离可能是（ ）A ．2.5BC ．5D ．6变式3-2．设⊙O 的直径为m,直线L 与⊙O 相离,点O 到直线L 的距离为d,则d 与m 的关系是( )A ．d=mB ．d>mC ．d>2mD ．d<2m 变式3-3．O 的圆心到直线a 的距离为3cm ，O 的半径为1cm ，将直线a 向垂直于a 的方向平移，使a 与O相切，则平移的距离是（ ） A ．1cmB ．2cmC ．4cmD ．2cm 或4cm 考查题型四 切线定理【典例4】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°变式4-1．如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O 的半径为4，6BC =，则PA 的长为（ ）A ．4B ．C ．3D ．2.5变式4-2．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为5，CD=8，则弦AC 的长为（ ）A ．10B ．8C ．D ．变式4-3．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上,且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于( )A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°变式4-4．如图，BM 与O 相切于点B ，若140MBA ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70考查题型五 证明某条直线是圆的切线【典例5】如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上(异于点A ，B)，AD ⊥CD ．(1)若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的长；(2)若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．变式5-1．如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O 交⊙O 于点C ，∠A ＝∠B ＝30°，连接BD ．求证：BD 是⊙O 的切线．变式5-2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，∠CAD=∠ABC ．判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．考查题型六 应用切线长定理求解【典例6】如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是( )A ．PA ＝PB B ．∠BPD ＝∠APDC ．AB ⊥PD D ．AB 平分PD变式6-1．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA ＝6，则△PCD 的周长为（ ）A ．8B ．6C ．12D ．10 变式6-2．如图，O 为ABC 的内切圆，10AC =，8AB =，9BC =，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为O 的切线，则CDE 的周长为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．8变式6-3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，若∠A=25°，，若使DC 切⊙O 于点C ，则∠D 等于( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°考查题型七 应用切线长定理求证【典例7】如图，△ABC 中，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ．（1）已知∠C ＝90°．①若BD ＝6，AD ＝4，则⊙O 的半径r 为 ，△ABC 的面积为 ；②若BD ＝m ，AD ＝n ，请用含m 、n 的代数式表示△ABC 的面积；（2）若2AC BC BD AD ⋅=⋅，试判断△ABC 的形状，并说明理由。
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解(基础)
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).要点三、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【高清ID号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．（优质试题•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC 于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【答案与解析】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．【总结升华】本题考查了切线的判定，连接OE构造全等三角形是解题的关键．举一反三：【高清ID号： 356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切.【答案】作PF⊥OB于F，则可证明△OEP≌△OFP，所以PF=PE，即F在圆P上，故⊙P与OB相切.2．（优质试题•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【答案与解析】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．类型二、圆与圆的位置关系3．(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( )A．外切 B．内切 C．相交 D．相离(2)已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( )A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm【答案】（1）C ；（2）C.【解析】(1)由于圆心距d＝7cm，R+r＝5+3＝8(cm)，R-r＝5-3＝2(cm)．∴ R-r＜d＜R+r，故这两圆的位置关系是相交．(2)两圆相切包括外切和内切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；当⊙O1与⊙O2内切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r；④两圆内切⇔d＝R-r；⑤两圆内含⇔d＜R-r．4．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于A点，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C点，若⊙O1的半径r1=2cm，⊙O2的半径r2=3cm．求BC的长．【思路点拨】首先连接O1B，O2C，O1O2，过点O1作O1D⊥O2C于D，由直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C 点，可得四边形O1BCD是矩形，即可知CD=O1B=r1=2cm，BC=O1D，然后在Rt△O2DO1中，利用勾股定理即可求得O1D的长，即可得BC的长．【答案与解析】【总结升华】此题考查了相切两圆的性质、切线的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握相切两圆的性质．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于( )A．．【答案】因为以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，所以∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC=C．。
直线与圆、圆与圆的位置关系讲义
直线与圆、圆与圆的位置关系讲义一、知识梳理1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. (3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( ) (4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( )(5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()(6)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()题组二：教材改编2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)3．x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．题组三：易错自纠4．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是() A．[－2，2] B．[－22，22]C．[－2－1，2－1] D．[－22－1,22－1]5．设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A．4 B．42C．8 D．826．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________．答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0三、典型例题题型一：直线与圆的位置关系1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能思维升华：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．题型二：圆与圆的位置关系典例已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为()A.62 B.32 C.94D．23引申探究：1．若将本典例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．2．若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．思维升华：判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．跟踪训练：如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是 题型三：直线与圆的综合问题 命题点1：求弦长问题典例已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 命题点2：直线与圆相交求参数范围典例 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 命题点3：直线与圆相切的问题典例 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．思维升华：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 跟踪训练 (1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． (2)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________． 注意：高考中与圆交汇问题的求解 一、与圆有关的最值问题典例1 (1)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33C ．±33D ．－3二、直线与圆的综合问题典例2 (1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2 B ．42 C ．6D ．210(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 四、反馈练习1．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－82．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个3．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－144．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条5．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A ．m ∥l ，且l 与圆相交 B ．m ⊥l ，且l 与圆相切 C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离6．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于点A ，则|P A |的最小值为( ) A.12 B ．1 C.2－1D ．2－27．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.8．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．9．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．12．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．13在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是14．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________． π|AB |2≥16(2－1)π.故选C.。
直线与圆的位置关系 - 简单 - 讲义
直线与圆的位置关系知识讲解一、直线与圆的位置关系位置关系有三种：相交、相切、相离 判断直线与圆的位置关系：1）代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，求出其∆的值，然后比较判别式∆与0的大小关系， 若0∆<，则直线与圆相离 若0∆=，则直线与圆相切 若0∆>，则直线与圆相交2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：d r <⇔相交，d r =⇔相切，d r >⇔相离．二、计算直线被圆截得的弦长的常用方法1）几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．2）代数方法：运用韦达定理及弦长公式A B AB x =-=说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．三、圆与圆的位置关系的判定判定：设2222221111122222:()()(0),:()()(0)C x a y b r r C x a y b r r -+-=>-+-=>，则有： 12121C C r r C >+⇔与2C 外离 12121C C r r C =+⇔与2C 外切 1212121r r C C r r C -<<+⇔与2C 相交 1212121()C C r r r r C =-≠⇔与2C 内切 12121C C r r C <-⇔与2C 内含四、圆的切线方程问题1.求圆切线的方法a)过圆222x y r +=上一点00(,)x y 的切线方程为200x x y y r +=已知圆的方程是222x y r +=，求经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程．解：当点M 不在坐标轴上时，设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为1k ， ∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴11k k =-，又∵010y k x =，∴00x k y =-， ∴经过点M 的切线方程是0000()x y y x x y -=--， 整理得：220000x x y y x y +=+，又∵点00(,)M x y 在圆上，∴22200x y r +=，∴所求的切线方程是200x x y y r +=．注：当点M 在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用． b)求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程：几何方法: 设切线方程为00(),y y k x x -=-即000.kx y kx y --+=由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，切线方程即可求出．代数方法：设切线方程为00(),y y k x x -=-即000.kx y kx y --+=代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0=求得k ，切线方程即可求出．2.圆的切线方程常见结论a)已知22222222123:,:()(),:0,O x y r O xa yb r O x y D x E y F +=-+-=++++=则以00(,)M x y 为切点的1O 的切线方程200;xx yy r +=2O 的切线方程200()()()(),x a x a y b y b r --+--=3O 切线方程0000()()022D x xE y y xx yyF ++++++=b)已知圆的222x y r +=的切线斜率为k ，则圆的切线方程为y kx =±c)已知切线过圆外一点11(,)P x y ,可设切线方程为11(),y y k x x -=-利用相切条件确定斜率k ，此时必有两条切线，不能漏掉斜率不存在的那一条切线．d)切线段长公式：从圆外一点00(,)P x y 引圆222()()x a y b r -+-=的切线，则P 到切点的切线段长为d ；从圆外一点00(,)P x y 引圆22x y Dx Ey F ++++=的切线，则P 到切点的切线段长为d 五、圆系方程概念：具有某种共同性质的圆的集合，称为圆系．1）同心圆系2220000()(),,x x y y r x y -+-=为常数，r 为参数．2）圆心共线且半径相等圆系22200()(),x x y y r -+-=r 为常数，圆心00(,)x y 在直线0ax by c ++=上移动．3）过两已知圆22(,)0(1,2)i i i i f x y x y D x E y F i =++++==的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=即12(,)(,)0(1)f x y f x y λλ+=≠-．当1λ=-时，方程变为121212()()0,D D x E E y F F -+-+-=表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心垂直的直线． 4）过直线与圆交点的圆系方程设直线:0l Ax By C ++=与圆22:0C x y Dx Ey F ++++=相交，则方程22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程．典型例题一．选择题（共5小题）1．（2014•浙江）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣82．（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣3．（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0 4．（1993•全国）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．15．（2014•湖南）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣11二．填空题（共4小题）6．（2017•山西一模）已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是．7．（2017•江苏模拟）若直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于．8．过两圆x2+y2=1和x2+y2+2x=0的交点且过点（3，2）的圆的方程为．9．圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为．三．解答题（共3小题）10．已知圆M：x2+y2=10和圆N：x2+y2+2x+2y﹣14=0．求过两圆交点且面积最小的圆的方程．11．求面积为10π，且经过两圆x2+y2﹣2x+10y﹣24=0和x2+y2+2x+2y﹣8=0的交点的圆的方程．12．求直线x+y﹣8=0被圆x2+y2﹣4x﹣8y﹣80=0所截得的弦长．。
直线与圆的位置关系- 完整版课件
直线和圆有两个公共点时，叫做直线
•o
和圆相交。这时直线叫做圆的割线
l
直线和圆有唯一公共点时，叫做直
•o
线和圆相切。这时直线叫做圆的切
l 线。唯一的公共点叫切点。
M
直线和圆没有公共点时，叫做直
•o
线和圆相离。
l
直线和圆的位置关系及其判定
直线和圆的位置 相交
图形
公共点个数 圆心到直线距离 d与半径r的关系 公共点名称
变式：若AB等于6cm，
O
则∠AOB=___9_0_°__.
AC
B
2、已知⊙O的半径为2cm，圆心O到直线l 的距离为 3 cm,那么直线l与⊙O的位置关 系是_____
3、已知⊙O的直径为6cm，如果直线l上的一 点C到圆心的距离为3cm,则直线l与⊙O的位 置关系是 _____
4、等边三角形的周长为18，则它的内切圆 面积是_____
直线名称
r •Od
2
d<r
交点 割线
相切
•O rd
1 d=r
相离
•O rd
0
d>r
切点
无
切线 无
切的判定方法有：
①、直线与圆有一个公共点。
②、直线到圆心的距离等于圆的半径。 ③、切线的判定定理。
切线的判定定理：经过半径外端 并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线。
切线的性质
1、经过切点的半径垂直于圆的切线
2、经过切点垂直于切线的直线必经
过圆心.
B
O
A
T
三角形的内切圆
1、三角形的内切圆的圆心是_______的 交点
2、三角形的内心的性质_______
《直线和圆的位置关系》-完整版课件
一的时般切，情线只况，需下它证，过明要半该A证径直O明外线一端垂条是直直 已 于aa线知半为给径圆出. A
例1
• 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. • 求证直线AB是⊙O的切线.
O
ACB
问题2：如图AB是⊙O 的切线，点A是⊙O上的 一点则 AB _⊥__ OA
你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪 几种？
a(地平线) (3) (2) (1)
如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线 观察三幅太阳落山的照片，地平线与太阳的位置关 系是怎样的？
直线和圆的位置关系
O
O
O
l
l
l
（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交； 这时直线叫做圆的割线.
1、直线和圆相离 2、直线和圆相切
d>r d=r
Ｏ
r
d
┐
l
ｏ
dr ┐l
3、直线和圆相交
d<r
．O
r ┐d
l
总结：
判定直线 与圆的位置关系的方法有_两___种：
（1）根据定义，由_直___线___与__圆__的___公__共__点___ 的个数来判断；
（2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__d_与__半__径__r 的关系来判断.
O AM l
切线的性质定理
1.圆的切线垂直于经过切点的半径
几何符号语言：
∵l是 ⊙O 的切线，A 为切点 O
∴OA⊥l
A
l
2.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
3.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
《直线与圆的位置关系》 讲义
《直线与圆的位置关系》讲义在我们的数学世界中，直线与圆的位置关系是一个非常基础且重要的概念。
它不仅在几何领域有着广泛的应用，还与我们的日常生活有着紧密的联系。
首先，我们来思考一下什么是直线和圆。
直线，就是在平面内可以向两端无限延伸的线，它没有端点。
而圆呢，是平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合，这个定点称为圆心，定长称为半径。
那么直线与圆到底有哪些位置关系呢？主要有三种：相离、相切和相交。
当直线与圆没有公共点时，我们称直线与圆相离。
想象一下，一个圆在那里，一条直线远远地在圆的外面，两者完全碰不到，这就是相离的状态。
比如，在一个操场上画了一个圆，而你在操场的另一边沿着一条直线行走，你的路线和这个圆没有任何交叉的地方，这就是直线与圆相离。
当直线与圆有且仅有一个公共点时，直线与圆相切。
此时，这条直线被称为圆的切线，这个公共点被称为切点。
就好像你沿着一条直线走向一个圆，刚好在某一个点碰到了圆，然后就沿着圆的边缘滑过去了，这个接触的点就是切点，直线就是切线。
当直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交。
这就好比你拿着一根棍子从圆的一边穿过去到另一边，棍子代表直线，与圆相交的那两个点就是交点。
那我们怎么来判断直线与圆的位置关系呢？这就需要用到数学中的一些知识和方法。
我们可以通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系来判断。
如果 d ＞ r ，那么直线与圆相离；如果 d ＝ r ，直线与圆相切；如果 d ＜ r ，直线与圆相交。
那怎么求圆心到直线的距离呢？这就需要用到点到直线的距离公式。
假设圆心的坐标为（a, b) ，直线的方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ，那么圆心到直线的距离 d 就可以通过公式：d ＝｜Aa ＋ Bb ＋ C| ／√（A²＋B²) 来计算。
接下来，我们通过一些具体的例子来加深对直线与圆位置关系的理解。
例 1：已知圆的方程为 x²＋ y²＝ 9 ，直线的方程为 y ＝ 2x ＋ 5 ，判断直线与圆的位置关系。
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一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定1． 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．_ A_l _ l _A_l上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．三、三角形内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-四、典例分析：切线的性质及判定_ O_F _E_ D _ C _ B_ A_ C_ B _ A _ C_ B_ A_c_ b _a_c_ b_a_T _A【例1】 如图，AB 是O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作O 的切线，切点为C ，若25A =︒∠，则D =∠______．例1例2巩固【例2】 如图，直线AB 与O ⊙相切于点A ，O ⊙的半径为2，若30OBA ∠=︒，则OB 的长为()A ．B ．4C ．D ．2【巩固】如图，AB 与O ⊙相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，60AOB ∠=︒，4cm BC =，则切线AB = cm ．【例3】 如图，若O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30︒，切线CD 与AB 的延长线交于点D ，且O 的半径为2，则CD 的长为（ ） A ．B ．C ．2D ．4巩固【巩固】如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB ，BC AD ⊥于点C ，2AB =，半圆O 的半径为2，则BC 的长为_______________．【例4】 如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D C E ，，．求证：以AB 为直径的圆与CD 相切．例4 巩固【巩固】如图，已知以直角梯形ABCD 中，以AB 为直径的圆与CD 相切，求证：以CD 为直径的圆与ABAD_ A _ O_ C _B_MC相切．【例5】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE AC ⊥，垂足为点E ． 求证：（1）ABC ∆是等边三角形；（2）13AE CE =．【巩固】如图，MP 切O ⊙于点M ，直线OP 交O ⊙于点A B 、，弦AC MP ∥，求证：MO BC ∥．【例6】 如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点求证：AC 是O 的切线。
【例7】 如图，已知AB 是O 的直径，BC 为O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ， OA r =。
（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求AD OC ⋅的值；（3）若92AD OC r +=，求CD 的长。
【巩固】 如图，已知AB 是O 的直径，BC 是和O 相切于点B 的切线，过O 上A 点的直线AD OC ∥，若2OA =且6AD OC +=，则CD = 。
CB AODCBA【巩固】 如图，AB 是半圆（圆心为O ）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM于C 。
（1）求证：CD 是半圆的切线；（2）若AB 长为4，点D 在半圆上运动，设AD 长为x ，点A 到直线CD 的距离为y ，试求出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
【例8】 如图，AC 为O 的直径，B 是O 外一点，AB 交O 于E 点，过E 点作O 的切线，交BC 于D 点，DE DC =，作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是O 的切线；（2）EM FM =。
【例9】 如图，割线ABC 与O 相交于B 、C 两点，D 为O 上一点，E 为BC 的中点，OE 交BC 于F ，DE 交AC 于G ，ADG AGD ∠=∠。
（1）求证：AD 是O 的切线；（2）如果242AB AD EG ===，，，求O 的半径。
【例10】 如图，已知点E 在ABC ∆的边AB 上，以AE 为直径的O ⊙与BC 相切于点D ，且AD 平分BAC ∠．求证：AC BC ⊥．【巩固】AB 是圆的直径，BC 是它的弦，过C 作圆的切线CD ，过B 作BEABC EBC ∠=∠．【例11】 如图，已知Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 于D ，过D 作O ⊙的切线DED CBAE_ A_ O_ B_ C _ D _E交BC 于E ．求证：BE CE =．【巩固】如图，已知O ⊙的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA EC =，延长EC 到点P ，连结PB ，若PB PE =，试判断PB 与O ⊙【例12】 如图，点P 在O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切O 于点C，连结BC ．（1）求P ∠的正弦值；（2）若O 的半径2cm r =，求BC 的长度．【巩固】在Rt ABC△中，90ACB ︒∠=，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ． （1）求证：BD BF =；（2）若64BC AD ==，，求O ⊙的面积．【例13】 如图所示，AB 是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ，若AEC ODB ∠=∠．（1）判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明； （2）当108AB BC ==，时，求BD 的长．【巩固】已知：如图，⊙O 的直径AB =8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ．_PB（1）若120ACP∠=︒，求阴影部分的面积；（2）若点P在AB的延长线上运动，CPA∠的平分线交AC于点4tan60PC=⋅︒=，∠83OPCS S Sπ∆=-=阴影扇形BOC的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠12的度数．【例14】在平行四边形ABCD中，1060AB AD m D==∠=︒，，，以AB为直径作O⊙，（1）求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示)；（2）当m取何值时，CD与O⊙相切．【例15】已知：如图，O⊙的直径AB与弦CD相交于E，BC BD=，O⊙的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD BF∥．（2）连结BC，若O⊙的半径为4，3cos4BCD∠=，求线段AD CD、的长．【巩固】如图，在ABC∆中，90C∠=︒，34AC BC==，．O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D E，，连结DE．（1）当3BD=时，求线段DE的长；（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F形．A_C典例分析：切线长定理及切线性质的应用【例16】在Rt ABC∆中，90A∠=︒，点O在BC上，以O为圆心的O分别与AB、AC若AB a=，ACb=，则O的半径为（）AB、a bab+C、aba b+D、2a b+【例17】如图，AB BC⊥，DC BC⊥，BC与以AD为直径的O相切于点E，9AB=，4CD=，则四边形ABCD的面积为。
【例18】如图，过O外一点P作O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连结AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD BE=，BD AF=，连结DE、DF、EF，则EDF∠=（）A、90P︒∠－B、1902P︒-∠C、180P︒-∠D、1452P︒∠-【例19】如图，已知ABC∆中，AC BC=，CABα∠=（定值），O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。
（1）求POQ∠；（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断DOE∠的大小是否保持不变，并说明理由。
【例20】如图，O为Rt ABC∆的内切圆，点D、E、F为切点，若6AD=，4BD=，则ABC∆的面积为。
CFBACEBNQPODCBAC EFBFCBA【例21】 正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则:CF FD =（ ）A 、1∶2B 、1∶3C 、1∶4D 、2∶5【巩固】 如图，以正方形ABCD 的边AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，CG 切半圆于E ，交AD于F ，交BA 的延长线于G ，8GA =。
（1） 求G ∠的余弦值；（2）求AE 的长。
【例22】 如图，AB 是半O 的直径，点M 是半径OA 的中点，点P 在线段AM 上运动（不与点M 重合），点Q 在半O 上运动，且总保持PQ PO =，过点Q 作O 的切线交BA 的延长线于点C 。
（1）当60QPA ∠=︒时，请你对QCP ∆的形状做出猜想，并给予证明； （2）当QP AB ⊥时，QCP ∆的形状是 三角形；（3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P 在线段AM 上运动到任何位置时，QCP ∆ 一定是 三角形。
【巩固】 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 的半径AO 上运动， PC ⊥AB 交⊙O 于E ，PT 切⊙O 于T ，PC =2.5。
（1）当CE 正好是⊙O 的半径时，PT =2，求⊙O 的半径； （2）设2PT y =，AC x =，求出y 与x 之间的函数关系式；（3）△PTC 能不能变为以PC 为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC 的面积；若不能，请说明理由。