正余弦定理题型总结(全)汇总
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平面向量题型归纳（全）
题型一：共线定理应用
例一：平面向量→
→b a ,共线的充要条件是（ ）A.→
→b a ,方向相 同 B. →
→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在
,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→
→b a λλλλ
变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→
→b a //”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
变式二：设→
→b a ,是两个非零向量（ ）
A.若→
→
→
→
=+b a b a _则→
→
⊥b a B. 若→
→
⊥b a ，则→
→→→=+b a b a _ C. 若
→
→→→
=+b
a b a _，则存在实数λ，使得
→→
=a b λ D 若存在实数λ，使得→
→=a b λ，则
→
→→→
=+b
a b a _
例二：设两个非零向量→
→
21e e 与，不共线，
（1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e e e e e ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→
→
21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。
变式二：已知向量→
→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D
题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用
例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2+=则（ ）
A. +=
B. +=
C. +=
D. ++=
变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且OC OB OA ++=20,那么（ ）A. OD A =0
B. OD A 20=
C. OD A 30=
D. OD A =02
变式二：在平行四边形ABCD 中a AB =，b AD =，NC AN 3=,M 为BC 的中点，则=MN ( 用b a ,表示)
例二：在三角形ABC 中，=，=,若点D 满足2=,则=( )
A. ,3132+
B. ,3235-
C. ,3132-
D. ,3
231+
变式一：(高考题) 在三角形ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分角ACB,a CB =，b CA =21==,则=( )
A. ,3231+
B. ,3132+
C. ,54
53+ D. ,5
354+
变式二：设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点，且,2=,2=,2=则
++,与( )
A.反向平行
B. 同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
变式三：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=
变式四：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,a AC =,b BD =则=( )A.
,2141+ B. ,3132+ C. ,4121+ D. ,3
2
31+
题型三：三点共线定理及其应用
例一：点P 在AB 上，求证：μλ+=且μλ+=1（,,R ∈μλ）
变式：在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若
,m =,n =则m+n=
例二：在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 与AF 交于点H,设,=,=则= A.
,5452- B. ,5452+ C. ,5452+- D. ,5
452--
变式：在三角形ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 是边AC 上一点且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,若,λ=求λ的值。
题型四： 向量与三角形四心 一、 内心
例一：O 是∆ABC 所在平面内一定点，动点P
满足），【∞+∈+
+=0λλAC AB OA OP ，则点P
的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
变式一：已知非零向量AB 与AC
满足0=⋅+
，且
2
1=
⋅
，则∆ABC 为（ ）
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形
D.三边均不相等的三角形
变式二：⇔=⋅+⋅+⋅P 为∆ABC 的内心
二、重心
例一：O 是∆ABC 内一点，=++，则为∆ABC 的（ ）A.外心B.内心C .重心 D.垂心
变式一：在∆ABC 中，G 为平面上任意一点，证明：⇔++=)(3
1
O 为∆ABC 的重心
变式二：在∆ABC 中，G 为平面上任意一点，若⇔+=)(3
1
AC AB AO O 为∆ABC 的重心
三垂心：
例一：求证：在∆ABC 中，⇒⋅=⋅=⋅OA OC OC
OB OB OA O 为∆ABC 的垂心
变式一：O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满
足
,R AC AB ∈+
+=λλ则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）
A.外心
B.内心
C.重心 D .垂心
四外心
例一：若O 是∆ABC 的外心，H 是∆ABC 的垂心，则++=