高等数学之重积分应用
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重积分的应用
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且
在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 d 时， 相应地部分量可近似地表示为 f ( x, y)d 的形式， 其中 ( x, y) 在 d 内．这个 f ( x, y)d 称为所求量U
z
2 y
a a2 x2
D1
a
a
a2x2
dxdy dx
a2 x2
0
0
a a2
dy x2
a2
A 8a2
4。质量 面密度为 f(x,y) 的平面薄片的质量
M f ( x, y)d
D
体密度为 f(x,y,z) 的空间体的质量
M f (x, y,z)dv
5。平面薄片的重心
设 xoy平面上有n 个质点，它们分别位于
y
1 x y
h(z, x
2
)
x z
2
dydz;
曲面面积公式为：A 1 y 2 y 2dzdx.
Dzx
z x
例 3. 求球面 x2 y2 z2 a2，含在圆柱体 x2 y2 ax 内部的那部分面积.
解 由对称性知A 4A1,
D1 : x2 y2 ax, ( x, y 0)
即 x a,
y( x)
D
a
2a
y 1 ydxdy
AD
1
2a
dx
y( x)
ydy
A0
0
1 6a2
2a[ y( x)]2 dx
0
a 2[1 cos t]3 dt 6 0
5 . 6
所求形心坐标为
(
a,
5 6
)
.
6。平面薄片的转动惯量
设xoy 平面上有n 个质点，它们分别位于
( x1 , y1 )，( x2 , y2 )， , ( xn , yn )处，质量分别为 m1 , m2 , , mn．则该质点系对于x 轴和y 轴的转
的切平面.
s
dA M
(x, y) y d
d 为 dA 在 xoy 面上的投影, d dA cos ,
cos
1,
1
f
2 x
f
2 y
dA
1
f
2 x
f y2d
曲面S的面积元素
A
1
f
2 x
f
2 y
d
,
同理可得 D
②．设曲面的方程为： x g( y, z)
曲面面积公式为：A
③．设曲面的方程为：Dyz
A 8A1 8
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
（由对称性）
8
D1
D1 R
2R
R2
x2
dxdy y2
8
0
d
0
R rdr
R2 r2
4R2
例5 计算圆柱面 x2 z2 a2
被圆柱面 x2 y2 a2 所截的部分的面积
解 由对称性可知A=8A1
A1 的方程 z a2 x2
1
z x2
00
解二 是柱形区域，用柱坐标
2 1 2r2
V dv d dr rdz
0 0 r2
1
2 r(2 2r2 )dr
0
3。曲面的面积
①．设曲面的方程为： z f (x, y) z
在 xoy 面上的投影区域为 D,
如图，设小区域 d D,
点 ( x, y) d ,
o
为 S 上过 M ( x, y, f ( x, y)) x
( x1 , y1 )，( x2 , y2 )， , ( xn , yn )处，质量分别
为m1 , m2 , , mn ．则该质点系的重心的坐标为
n
x
My M
mi xi
i 1 n
，
mi
i 1
n
y
Mx M
mi yi
i 1 n
mi
．
i 1
设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D ，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在
曲面的方程为 z a2 x2 y2 ,
于是
1
z x
2
z y
2
a ,
a2 x2 y2
面积 A 4 1 zx2 zy2dxdy
D1
a
4
dxdy
D1 a2 x2 y2
4a
2 d
a cos
1
rdr
0
0
a2 r2
2a2 4a2 .
例4 求半径为R的球面的表面积
解 曲面方程为 z R2 x2 y2
区域D的面积 A d
D
2。空间立体的体积
设曲面的方程为 z f ( x, y) 0,( x, y) D
则曲顶柱体的体积为 V f ( x, y)d
D
由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为
V dv
例1 计算由曲面 z 1 4x2 y2 与 xoy 面所围成的立体的体积
解一 用二重积分
V dv 4 dv 4 dx dy
dz 4
1
0
0
0
例2 求 z 2 x2 y2, z x2 y2 所围成的立体的体积
解一 V V2 V1 (2 x2 y2 )d ( x2 y2 )d
D
D
2 (1 x2 y2 )d （用极坐标）
D
2 1
2 d (1 r2 )rdr
的元素，记为dU，所求量的积分表达式为
U f ( x, y)d
D
对三重积分而言 dv ,( x, y, z) dv
U f ( x, y, z)dv dU f ( x, y, z)dv
U f (x, y, z)dv
1。平面图形的面积 由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时
D : 4x2 y2 1 V (1 4x2 y2 )dxdy
D
由对称性得
1
2
14 x2
V 4 (1 4x2 y2 )dxdy 4 dx (1 4x2 y2 )dy
D1
0
0
1
8
2
(1
4
x2
3
)2
dx
8
1
2
cos4
tdt
30
3 20
4
解二 用三重积分
1
2
14 x2 14 x2 y2
D 上连续，平面薄片的重心
由元素法知
x( x, y)d
x D
,
( x, y)d
D
y( x, y)d
y D
.
( x, y)d
D
若薄片是均匀的，重心称为形心.
x 1 xd ,
AD
y
1 AD
yd .
其中
A d
D
wenku.baidu.com
例 6.
设平面薄板由
x y
a(t a(1
sin cos
t) t)
，(0
t
2)
与x轴围成，它的面密度 1 ，求形心坐标．
解 先求区域 D 的面积 A，
0 t 2， 0 x 2a
2a
A 0 y( x)dx
2
0 a(1 cos t)d[a(t sin t)] 2 a2 (1 cos t)2 dt 3a2 .
0
由于区域关于直线x a对称 ，
所以形心在x a上，
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且
在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 d 时， 相应地部分量可近似地表示为 f ( x, y)d 的形式， 其中 ( x, y) 在 d 内．这个 f ( x, y)d 称为所求量U
z
2 y
a a2 x2
D1
a
a
a2x2
dxdy dx
a2 x2
0
0
a a2
dy x2
a2
A 8a2
4。质量 面密度为 f(x,y) 的平面薄片的质量
M f ( x, y)d
D
体密度为 f(x,y,z) 的空间体的质量
M f (x, y,z)dv
5。平面薄片的重心
设 xoy平面上有n 个质点，它们分别位于
y
1 x y
h(z, x
2
)
x z
2
dydz;
曲面面积公式为：A 1 y 2 y 2dzdx.
Dzx
z x
例 3. 求球面 x2 y2 z2 a2，含在圆柱体 x2 y2 ax 内部的那部分面积.
解 由对称性知A 4A1,
D1 : x2 y2 ax, ( x, y 0)
即 x a,
y( x)
D
a
2a
y 1 ydxdy
AD
1
2a
dx
y( x)
ydy
A0
0
1 6a2
2a[ y( x)]2 dx
0
a 2[1 cos t]3 dt 6 0
5 . 6
所求形心坐标为
(
a,
5 6
)
.
6。平面薄片的转动惯量
设xoy 平面上有n 个质点，它们分别位于
( x1 , y1 )，( x2 , y2 )， , ( xn , yn )处，质量分别为 m1 , m2 , , mn．则该质点系对于x 轴和y 轴的转
的切平面.
s
dA M
(x, y) y d
d 为 dA 在 xoy 面上的投影, d dA cos ,
cos
1,
1
f
2 x
f
2 y
dA
1
f
2 x
f y2d
曲面S的面积元素
A
1
f
2 x
f
2 y
d
,
同理可得 D
②．设曲面的方程为： x g( y, z)
曲面面积公式为：A
③．设曲面的方程为：Dyz
A 8A1 8
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
（由对称性）
8
D1
D1 R
2R
R2
x2
dxdy y2
8
0
d
0
R rdr
R2 r2
4R2
例5 计算圆柱面 x2 z2 a2
被圆柱面 x2 y2 a2 所截的部分的面积
解 由对称性可知A=8A1
A1 的方程 z a2 x2
1
z x2
00
解二 是柱形区域，用柱坐标
2 1 2r2
V dv d dr rdz
0 0 r2
1
2 r(2 2r2 )dr
0
3。曲面的面积
①．设曲面的方程为： z f (x, y) z
在 xoy 面上的投影区域为 D,
如图，设小区域 d D,
点 ( x, y) d ,
o
为 S 上过 M ( x, y, f ( x, y)) x
( x1 , y1 )，( x2 , y2 )， , ( xn , yn )处，质量分别
为m1 , m2 , , mn ．则该质点系的重心的坐标为
n
x
My M
mi xi
i 1 n
，
mi
i 1
n
y
Mx M
mi yi
i 1 n
mi
．
i 1
设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D ，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在
曲面的方程为 z a2 x2 y2 ,
于是
1
z x
2
z y
2
a ,
a2 x2 y2
面积 A 4 1 zx2 zy2dxdy
D1
a
4
dxdy
D1 a2 x2 y2
4a
2 d
a cos
1
rdr
0
0
a2 r2
2a2 4a2 .
例4 求半径为R的球面的表面积
解 曲面方程为 z R2 x2 y2
区域D的面积 A d
D
2。空间立体的体积
设曲面的方程为 z f ( x, y) 0,( x, y) D
则曲顶柱体的体积为 V f ( x, y)d
D
由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为
V dv
例1 计算由曲面 z 1 4x2 y2 与 xoy 面所围成的立体的体积
解一 用二重积分
V dv 4 dv 4 dx dy
dz 4
1
0
0
0
例2 求 z 2 x2 y2, z x2 y2 所围成的立体的体积
解一 V V2 V1 (2 x2 y2 )d ( x2 y2 )d
D
D
2 (1 x2 y2 )d （用极坐标）
D
2 1
2 d (1 r2 )rdr
的元素，记为dU，所求量的积分表达式为
U f ( x, y)d
D
对三重积分而言 dv ,( x, y, z) dv
U f ( x, y, z)dv dU f ( x, y, z)dv
U f (x, y, z)dv
1。平面图形的面积 由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时
D : 4x2 y2 1 V (1 4x2 y2 )dxdy
D
由对称性得
1
2
14 x2
V 4 (1 4x2 y2 )dxdy 4 dx (1 4x2 y2 )dy
D1
0
0
1
8
2
(1
4
x2
3
)2
dx
8
1
2
cos4
tdt
30
3 20
4
解二 用三重积分
1
2
14 x2 14 x2 y2
D 上连续，平面薄片的重心
由元素法知
x( x, y)d
x D
,
( x, y)d
D
y( x, y)d
y D
.
( x, y)d
D
若薄片是均匀的，重心称为形心.
x 1 xd ,
AD
y
1 AD
yd .
其中
A d
D
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例 6.
设平面薄板由
x y
a(t a(1
sin cos
t) t)
，(0
t
2)
与x轴围成，它的面密度 1 ，求形心坐标．
解 先求区域 D 的面积 A，
0 t 2， 0 x 2a
2a
A 0 y( x)dx
2
0 a(1 cos t)d[a(t sin t)] 2 a2 (1 cos t)2 dt 3a2 .
0
由于区域关于直线x a对称 ，
所以形心在x a上，