弹塑性力学第九章弹性力学的能量原理
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具
幂函数型弹塑性本构模型
该模型将应力应变关系表示为幂函数形式，适用于描述岩石等材料 的弹塑性行为。
双曲线型弹塑性本构模型
该模型将应力应变关系表示为双曲线形式，适用于描述某些复合材 料的弹塑性行为。
弹塑性本构模型的选用原则
根据材料的性质选择合适的弹塑性本 构模型，以确保能够准确描述材料的 力学行为。
在选择本构模型时，需要考虑模型的 复杂性和计算效率，以便在实际工程 中得到广泛应用。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹塑性力学基础 • 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质 。
当外力卸载后，物体发生弹性恢复，但需要一定的时间才能完成。这种 现象称为弹性后效。弹性后效的大小与材料的性质、温度和加载速率等 因素有关。
03
塑性应力应变关系
塑性应力应变关系定义
塑性应力应变关系
01
描述材料在塑性变形阶段应力与应变之间的关系。
特点
02
当材料受到超过屈服点的外力时，会发生塑性变形，此时应力
弹塑性力学部分讲义（ＰＤＦ）
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
第九章 塑性力学简单实例
• 圆杆的位移,应变和应力 采用圆柱坐标,位移分量 a 为: ur 0 zra z u zr r uz 0 o x 其中 为单位长度扭角. 应变 z r , 其它为零. 应力除 z (它的大小与 z 有关,是 r 的 函数)不等于零外, 其它为零. 注意: 这个问题满足简单加载条件. 另外, 应力满足平衡条件, 也满足圆杆侧 面的边界条件. 根据Saint-Venant原理杆 两端的边界条件可以只在合力方面得到 满足.
5) 残余应力 在 T 作用下, 按弹性计算得 到 2Tr z R4
3)弹性极限扭角( rs R
e
s
):
RG 3
弹性极限扭矩为
Te
由卸载前的应力减去上 式的剪应力得到残余应 力.见前页图.
R 3 s
2 3
4-5 非圆截面杆的塑性极限扭矩 在圆杆的弹塑性扭转中, 截面上的最大剪应力产生在距圆心最远 处的外边界上, 且在扭转过程中截面无翘曲. 对于非圆截面杆件, 前述两个结论不适用. 此时杆件截面将发生翘曲, 及扭转中横截 面不再保持平面, 但刚性转动的假定仍然成立, 而因此得到的最 大剪应力产生在距形心最近处. 先讨论非圆截面杆的弹性扭转. y zr 1.弹性分析
b y
M
M
x o
h/2
z h/2
y
y
• 基本关系式 按照梁的初等弯曲理论: 平截面和小变形, 并且材料不 可压缩,即 1/ 2 ,它们的应力和应变表示为
截面上的应力分布情况( 距离):
是梁的中性面到弹塑性分界面的
梁截面上要 满足的条件
1. 对于理想弹塑性材料
• 截面上的弯矩是
是弹性区对中性轴的惯性矩,
《弹塑性力学》第九章空间轴对称问题
80%
物理方程
描述了材料在不同应力状态下表 现出的物理性质。
塑性力学的基本方程
流动法则
描述了塑性应变与应力之间的 关系。
屈服准则
描述了材料屈服的条件，即应 力达到屈服点时的状态。
强化准则
描述了材料在塑性变形过程中 的应力增强机制。
空间轴对称问题的边界条件和初始条件
边界条件
描述了物体在边界上的受力状态和位 移约束。
如旋转机械、航空航天器等的 设计和分析。
土木工程
如桥梁、高层建筑等大型结构 的分析。
石油工程
如油藏模拟、油气管道设计等 。
核工程
如核反应堆、核废料处理设施 等安全评估。
02
空间轴对称问题的数学模型
弹性力学的基本方程
80%
平衡方程
描述了物体内部各点的受力平衡 状态。
100%
几何方程
描述了物体在受力后产生的形变 和位移。
近原问题的解。
在处理空间轴对称问题时，有限元法能 够将复杂的空间几何形状和边界条件简 化为易于处理和计算的离散模型，从而
提高求解效率。
有限元法在空间轴对称问题中广泛应用 于弹性力学、塑性力学等领域，能够得
到高精度的数值解。
有限差分法在空间轴对称问题中的应用
有限差分法是一种将偏微分方程离散化为差分方程的方法，通过求解差分方程来逼近原问题
目
CONTENCT
录
• 空间轴对称问题的基本概念 • 空间轴对称问题的数学模型 • 空间轴对称问题的解析解法 • 空间轴对称问题的数值解法 • 空间轴对称问题的实验研究
01
空间轴对称问题的基本概念
定义与特性
定义
空间轴对称问题是指物体在空间中关于某一直线或平面对称分布 的问题。
弹塑性力学部分习题
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
2018/10/7
8
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
2018/10/7
1
参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数， 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2018/10/7
18
题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
2018/10/7
在 V上
16
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
2018/10/7
17
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz
弹塑性力学之弹性力学的能量原理
WdV =
V
V
W
(ε
(k ij
)
)dV
∫ ∫ V (k)
=− V
fiui(k ) dV −来自SσXi
u
( i
k
)
dS
（1） fi 和 X i 给定;
（2）已将几何关系引入 εij =(ui,j +uj,i )/2 ;
（3）ui(k)为可能位移： ui = ui
在su上 ;
（4）在各向同性线性材料应变能 U 的表达式为徐芝纶（上册）P.345
∫ ∫ ∫ W12 =
V
f
i
(1)
u (2) i
dV
+
S
X
(1) i
u (2) i
dS
=
σ ε dV (1) (2)
V ij ij
第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上做功
∫ ∫ ∫ W21 =
V
f
i
(
2)
u (1) i
dV
+
S
X
(2) i
u (1) i
dS
=
σ ε dV (2) (1)
V ij ij
δui =0 在su上
虚设状态
根据虚功方程，真实的外力与应力状态在虚设的齐次可能位移上
做功
∫ ∫ ∫ V fiδui dV + Sσ X iδui dS = V σ ijδε ij dV
弹性体应力与外力处于平衡状态，对于任意虚设的齐次微小位移
及应变，则外力在虚位移上做的虚功等于应力在虚应变上做的虚功—
Q x
第一：一对力 P 作用在直杆的垂直方向，局部效应，在两端点
《弹塑性力学》第十章弹性力学的能量原理
弹性力学能量原理在材料力学 中有着广泛的应用，它为材料 在受力状态下的行为提供了重 要的理论依据。
在结构力学中的应用
在结构力学中，弹性力学能量 原理被广泛应用于各种结构的 分析、设计和优化。
通过应用该原理，可以分析结 构的整体和局部稳定性、振动 特性、屈曲行为等，确保结构 在各种载荷下的安全性和稳定 性。
弹性力学能量原理在其他领域的应用
工程结构分析
利用弹性力学能量原理对桥梁 、建筑等工程结构进行静力和 动力分析，优化设计。
生物医学工程
将弹性力学能量原理应用于人 体组织和器官的力学行为研究 ，为医学诊断和治疗提供依据 。
地球科学
将弹性力学能量原理应用于地 质构造、地震工程等领域，研 究地球物理现象。
该原理基于能量守恒和最小势能原理，通过分析系统的能量分布 和转化，推导出弹性系统的平衡方程和本构关系。
弹性力学能量原理的重要性
弹性力学能量原理是解决弹性力学问 题的重要工具之一，它可以用于求解 各种弹性力学问题，如应力分析、应 变分析、弹性稳定性等。
该原理提供了一种系统的方法来研究 弹性系统的行为，有助于深入理解弹 性材料的性质和行为，为工程设计和 应用提供理论支持。
02
弹性力学能量原理的基本概念
势能原理
总结词
势能原理是弹性力学中一个重要的基本原理，它表明一个弹性系 统的总势能达到极值。
详细描述
势能原理指出，对于一个处于平衡状态的弹性系统，其总势能（ 包括应变能和外力势能）在平衡状态下达到极值，即在受到微小 扰动后，系统会恢复到原来的平衡状态。
最小势能原理
03
弹性力学能量原理的应用
在材料力学中的应用
01
02
03
04
《弹塑性力学》课件
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在 不同应力状态下表现出的弹塑性性质 ，对于理解材料的力学行为和优化材 料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子 动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法， 可以研究材料的微观结构和宏观性能 之间的关系，预测材料的弹塑性行为 。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结 构的复杂性，弹塑性力学应 用面临诸多挑战，如非线性 行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采 用先进的数值计算方法和实 验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将 弹塑性力学与计算机科学、 物理学等学科相结合，可以 推动工程实践中的弹塑性力 学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究材料在弹性和 塑性范围内行为的学科。它主要关注 材料在外力作用下发生的变形行为， 以及这种行为与材料内部应力、应变 的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。
弹塑性力学总结
弹塑性力学总结弹塑性力学是研究材料在受力后既有一部分弹性变形又有一部分塑性变形的力学学科。
它是力学学科的分支之一，因为它研究的对象是材料，所以也可以看作是材料力学的一个方向。
它的研究对象包括各种传统或新型材料——金属、高分子、陶瓷等。
本文将对弹塑性力学进行总结。
一、弹性力学与塑性力学的区别弹性力学和塑性力学都是力学学科的重要分支。
它们各自关注的是物体在受力后不同的反应。
（1）弹性力学弹性力学研究的是物体在受到力的作用下，发生弹性变形而迅速恢复原状的力学原理。
简单来说，就是物体在受力后可以发生弹性变形，如压缩变形或拉伸变形，但是在撤离力的影响之后能够回复原来的状态。
弹性力学理论主要依赖于胡克定律，胡克定律可以表示为应力与应变之比等于恒定的常数。
（2）塑性力学塑性力学研究的是物体在受到力的作用下，发生塑性变形而无法迅速完全恢复原状的力学原理。
简单来说，就是物体在受力后可以发生塑性变形，但是在恢复撤离力的影响之后，不能完全返回原来的状态，仍有残余塑性变形。
塑性力学理论主要依赖于流动理论，流动理论可以用应变率表示材料变形时受到的应力。
二、弹塑性力学的基本概念（1）应力应力是单位面积上的力，通常用σ表示。
应力有三种类型：拉应力、压应力和剪应力。
（2）应变应变是材料的形变量，通常表示为ε。
应变有三种类型：拉伸应变、压缩应变和剪切应变。
（3）黏塑性黏塑性是材料表现出的一种变形特性，它描述了物质在应力作用下的变形表现。
（4）弹性模量弹性模量是材料在受力作用下相对于其初始长度相应变形程度的比率。
弹性模量是一种力学参数，通常用E表示，单位是帕斯卡(Pa)。
材料的弹性模量越大，其刚度就越高。
（5）屈服点在达到一定的应力时，材料就会开始发生塑性变形。
材料开始发生塑性变形的应力点称为屈服点。
三、弹塑性力学的应用弹塑性力学广泛应用于工程、物理、材料科学和冶金工业等领域。
弹塑性力学理论的应用使我们在实际情况下更好地理解和处理材料的力学性质。
弹塑性力学(浙大通用课件)通用课件
塑性力学
研究材料在塑性状态下应 力和应变行为的科学。
塑性力学的基本假 设
塑性变形是连续的，且不改变物质的性质。 塑性变形过程中，应力和应变之间存在单值关系，且该关系是连续的。 塑性变形过程中，材料内部的应力状态是稳定的，不会出现应力振荡或波动。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
在塑性状态下，物体的内部应力场满 足平衡方程，即合力为零。
应变协调方程
本构方程
在塑性状态下，应力和应变之间的关 系由本构方程描述，该方程反映了材 料的塑性行为特性。
在塑性状态下，物体的应变状态满足 应变协调方程，即应变是连续的。
塑性力学的边值问题
01
塑性力学中的边值问题是指给定 物体的边界条件和初始条件，求 解物体内部的应力和应变状态的 问题。
02
边值问题可以通过求解微分方程 或积分方程来解决，具体方法取 决于问题的具体形式和条件。
04
材料弹塑性性质
材料弹性性质
弹性模量
材料在弹性变形阶段所表现出的 刚度，反映了材料抵抗弹性变形
的能力。
泊松比
描述材料在受到压力时横向膨胀 的程度，反映了材料在弹性变形
阶段的横向变形特性。
弹性极限
材料在弹性变形阶段所能承受的 最大应力，超过该应力值材料将
发生不可逆的塑性变形。
材料塑性性 质
屈服点
解析法的优点是精度高、理论严 谨，但缺点是适用范围较窄，对
于复杂问题难以得到解析解。
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的单元，通过求解这些小单元的 解来逼近原问题的求解方法。
它适用于各种复杂的几何形状和边界条件，能够处理大规模的问题，并且可以方便 地处理非线性问题。
弹塑性力学第09章弹性力学的能量原理
弹塑性力学第09章弹性力学的能量原理弹性力学的能量原理是通过对变形体系的能量进行分析，来描述和研
究材料的力学行为。
根据能量守恒定律，能量在各种形式之间的转换是相
互平衡的，因此可以通过能量原理来推导出材料的力学性质。
弹性力学的
能量原理主要包括两个方面：弹性能量原理和稳定性能量原理。
弹性能量原理是指在弹性变形的情况下，变形体系的总能量保持不变。
变形体系的总能量包括弹性应变能和应力对变形体系所做的功。
具体来说，在弹性变形情况下，变形体系的总应变能等于外力所做的功，而不会发生
能量的损失。
这一原理反映了材料在弹性变形情况下能量的守恒性质。
稳定性能量原理是指在塑性变形的情况下，材料的变形体系的总能量
沿着最稳定方向变化。
塑性变形是指当材料受到较大应力时，会发生永久
性变形的情况。
稳定性能量原理通过分析塑性变形对变形体系的总能量的
影响，来得出变形体系的稳定性和塑性变形的机制。
在弹塑性力学中，能量原理被广泛应用于力学问题的求解和工程实践中。
通过能量原理，可以解释材料的弹性和塑性特性，研究和设计材料的
力学性能。
同时，能量原理也为工程实践中的结构设计和材料选择提供了
理论依据。
总之，弹塑性力学的能量原理是研究材料力学行为的重要原理之一、
弹性能量原理和稳定性能量原理通过分析变形体系的能量转换来描述材料
的弹性和塑性变形特性。
能量原理的应用可以解释材料的力学性质，为工
程实践中的结构设计和材料选择提供理论支持。
弹塑性力学PPT课件精选全文
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.
弹塑性力学第九章
2014-12-20 13
第二节 半空间体在边界上受法向集中力 （Boussinesq问题）
半空间体，体力不计，边界受法向集中力 P作用. 轴对称问题，P作用在坐标原点上。 已知，当z=0且r 0时, z=0 , zr= 0； 当R 时，R=(r2+z2)1/2， 应力、位移 0； 当R 0时，应力奇异。
应力：
2014-12-20
17
第二节 半空间体在边界上受法向集中力 （Boussinesq问题）
根据边界条件来确定A1和A2： 在z=0且r 0边界上, z=0 自然满足。 在z=0且r 0边界上, zr= 0
y
P
R
x
（1-2）A1+ A2 = 0—(a)
r z
z
2014-12-20
2014-12-20
36
第三节 半空间体在边界上受法向分布力q
2．位移：z轴上的ur= 0，仅存在w
2014-12-20
37
第三节 半空间体在边界上受法向分布力q
2014-12-20
38
第四节
两球体之间的接触压力
接触压力问题是在机械工程、土木工程中 经常碰到的问题，接触问题在 1881 年由德国 赫兹（Heinrich Herty）首先用数学弹性力学 导出了计算公式。 4.1 接触问题的特点： 1．两个弹性体互相接触，当无压力作用时，为 点接触或线接触。当有压力作用时，弹性体发 生变形，点接触（或线接触）变为面接触。
在Su上
位移边界：
力的边界：在 r=r0 在 z=z0 6.按应力解法 四个应力分量r、、z、
2014-12-20
弹塑性力学能量原理及其应用
第八章 能量原理及其应用弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。
然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有15个未知量的6个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。
因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。
这些解法的依据都是能量原理。
本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。
本章共讨论五个能量原理。
首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。
另外，还简单介绍最大耗散能原理。
本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。
8.1 基本概念1.1 物体变形的热力学过程由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。
因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。
如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。
物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。
令物体在变形过程中的动能为E ，应变能为U ，则在微小的t δ时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为 Q W U E δδδδ+=+ (a) 其中，W δ为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q δ是物体由其周围介质所吸收(或向外发散)的热量，并以等量的功度量。
假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有00==Q ，E δδ (b)将式(b)代入式(a)，则有W U δδ= (8.1-1)1.2 应变能由第四章的式(4.1-5b)知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为ik ij ij ij ij d U εσεσε2100==⎰ (8.1-2)对于一维应力状态，在x x εσ-平面内，则0U 实际上就是应力应变曲线与x ε轴和'xx εε=所 围成的面积(图8.1)，即⎰='0Xx x d U εεσ (8.1-3)其中'x ε是物体变形过程某一指定时刻的应变，应 图8.1 应变能与应变余能变能0U 表示物体在变形过程中所储存的能量。
弹塑性力学定理和公式
弹塑性⼒学定理和公式应⼒应变关系弹性模量||⼴义虎克定律1.弹性模量对于应⼒分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常⽤的弹性常数包括:a弹性模量单向拉伸或压缩时正应⼒与线应变之⽐,即b切变模量切应⼒与相应的切应变之⽐,即c体积弹性模量三向平均应⼒与体积应变θ(=εx+εy+εz)之⽐,即d泊松⽐单向正应⼒引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之⽐,即此外还有拉梅常数λ。
对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独⽴的。
常⽤弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。
室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。
2.⼴义虎克定律线弹性材料在复杂应⼒状态下的应⼒应变关系称为⼴义虎克定律。
它是由实验确定，通常称为物性⽅程，反映弹性体变形的物理本质。
A各向同性材料的⼴义虎克定律表达式（见表3-3 ⼴义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应⼒公式中的x 、y、z分别⽤r、θ、z和r、θ、φ代替。
对于平⾯极坐标，表中平⾯应⼒和平⾯应变公式中的x、y、z⽤r、θ、z代替。
B⽤偏量形式和体积弹性定律表⽰的⼴义虎克定律应⼒和应变量分解为球量和偏量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即体积弹性定律应⼒偏量与应变偏量关系式在直⾓坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性⼒学基本⽅程及其解法弹性⼒学基本⽅程|| 边界条件|| 按位移求解的弹性⼒学基本⽅法|| 按应⼒求解的弹性⼒学基本⽅程|| 平⾯问题的基本⽅程|| 基本⽅程的解法|| ⼆维和三维问题常⽤的应⼒、位移公式1.弹性⼒学基本⽅程在弹性⼒学⼀般问题中，需要确定15个未知量，即6个应⼒分量，6个应变分量和3个位移分量。
这15个未知量可由15个线性⽅程确定，即(1)3个平衡⽅程[式（2-1-22）]，或⽤脚标形式简写为(2)6个变形⼏何⽅程[式（2-1-29）]，或简写为(3)6个物性⽅程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为或2.边界条件弹性⼒学⼀般问题的解，在物体部满⾜上述线性⽅程组，在边界上必须满⾜给定的边界条件。
弹塑性力学 第09章弹性力学的能量原理
§9-2 贝蒂互换定理
设同一弹性体在两种不同受力和变形状态下，体力、面 力、应力、应变和位移分别为 第一状态 第二状态
(1) Fbi , ( 2) Fbi ,
f Hale Waihona Puke i(1) , f si( 2 ) ,
ui(1) , ui( 2 ) ,
(1) σ ij , ( 2) σ ij ,
(1) ε ij , ( 2) ε ij ,
对应的应变
k ε ij
s 和几何可能位移 ij
u
k i
及其
，可以是同一弹性体的两种不同的受力状态和
变形状态，二者彼此独立而无任何的关系。但当静力可能应
s k σ ε 力 ij 和几何可能应变 ij 服从物理方程时，为真实的应力、 s k k σ = σ ε = ε 应变和位移，即 ， ， 。此时，虚 u ij ij ij ij i = ui
这就证明了弹性体的虚功原理。
需要指出的是
¾在小变形的前提下，这个原理适用于任何材料。 ¾上面从平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和位移边界
条件出发，证明了虚功原理的成立，反之，也可利用虚功原理 推导出平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和位移边界条 件。其步骤与上述相反。
¾虚功原理式中的静力可能应力 σ
同理，把第二状态的应力取为静力可能的应力，而把第一 状态的位移和应变取为几何可能的位移和应变，于是由虚功原 理得
∫ ∫
V
( 2 ) (1) ( 2 ) (1) Fbi ui dV + ∫ f si( 2 )ui(1) dS = ∫ σ ij ε ij dV S V ( 2 ) (1) ( 2) ( 2) )ε ij(1)dV σ ij ε ij dV = ∫ (λε kk δ ij + 2Gε ij
弹塑性力学总复习
《弹塑性力学》课程第一篇 基础理论部分第一章 应力状态理论1.1 基本概念1． 应力的概念应力：微分面上内力的分布集度。
从数学上看，应力sPF s ∆∆=→∆0lim ν由于微分面上的应力是一个矢量，因此，它可以分解成微分面法线方向的正应力νσ和微分面上的剪应力ντ。
注意弹塑性力学中正应力和剪应力的正负号规定。
2． 一点的应力状态（1）一点的应力状态概念凡提到应力，必须同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面。
物体内同一点各微分面上的应力情况，称为该点的应力状态。
（2）应力张量物体内任一点不同微分面上的应力情况一般是不同的，这就产生了一个如何描绘一点的应力状态的问题。
应力张量概念的提出，就是为了解决这个问题。
在直角坐标系里，一点的应力张量可表示为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=z zy zx yz yyx xz xy x ij στττστττσσ若已知一点的应力张量，则过该点任意微分面ν上的应力矢量p就可以由以下公式求出：n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++=（1-1’b ）n m l p z zy zx z σττν++=（1-1’c ）由式（1-1），还可进一步求出该微分面上的总应力p 、正应力νσ和剪应力v τ： 222z y x p p p p ++=（1-2a ）nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++=（1-2b ）22ννστ-=p（1-2c ）（3）主平面、主方向与主应力由一点的应力状态概念可知，通过物体内任一点都可能存在这样的微分面：在该微分面上，只有正应力，而剪应力为零。
这样的微分面即称为主平面，该面的法线方向即称为主方向，相应的正应力称为主应力。
主应力、主方向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：}{}]{[i n i ij n n σσ=（1-3）式中，][ij σ为该点应力张量分量构成的矩阵，n σ为主应力，}{i n 为主方向矢量。
弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题弹塑性力学简答题第一章 应力1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。
2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。
3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？相同。
110220330S S S σσσσσσ=+=+=+。
4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。
5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。
固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章 应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。
从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。
从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。
2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。
应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。
3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以。
保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∫+∫=∫
(σε
2)(1)(2)(1)(2)(1)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
σij=λεδ+2Gε
kkij
ij
()
∫=∫+
σ(ελεδεε
2)(1)(2)(2)(1)
VijijdV2GdV
Vkkijijij
()
λε(2)ε(1)ε(2)ε(1)
∫+
=
Vkkss2GijijdV
σ(ελεδεε
1)(2)(1)(1)(2)
()
∫=∫+
VijijdV2GdV
Vkkijijij
=()
∫+
λε1)((1)2
(ε2)εε()
Vkkss2GijijdV
相
等
∫+∫=∫
(σε
1)(2)(1)(2)(1)(2)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
∫+∫=∫
(2)(1)(2)(1)σ(2)ε(1)
iuuijijii
σ=取真实的应力作为静力可能的应力
isjσ
ij
∫+∫=∫
Fkddσεd
biuVfuSV
sksk isiiijij
VSV
∫∫
()()
FuudVfuudS
+δ++δ
VbiiiSsiii
σ
()
∫
σε+δε
dV
Vijijij
+
∫
σ
nudS
Sijji
u
=
∫+∫+∫=∫
VFbiuidVfudSnudVdV
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
∫=∫
σ(1)ε(2)σ(2)ε(1)
VijijdVdV
Vijij
∫(+∫
1)(2)(1)(2)
FudVfudS
VbiSsi
ii
∫(+∫
=2(1)
FudVfu
)(1)(2)
Vbiii
Ssi
dS
这就是贝蒂互换定理（功的互等定理）：作用在弹性体上
第一状态的外力在第二状态位移上所作的功，等于第二状态的
u
indSudV
kσkσ
VSijjiij
,j
=
∫+∫
skk
fsiudSFudV
ibii
SV
这就证明了弹性体的虚功原理。
需要指出的是
¾在小变形的前提下，这个原理适用于任何材料。
¾上面从平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和位移边界
条件出发，证明了虚功原理的成立，反之，也可利用虚功原理
推导出平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和位移边界条
极值（或驻值）问题又进而变成函数的极值（或驻值）问
题。从而最后把问题归结为求解线性方程组。是有限元等数
值计算方法和半解析法的理论基础。
§9-1弹性体的虚功原理
满足
σ+=0
⎧F
⎪
ij,jbi
⎨
=σ
⎪fn
⎩
siijj
（在体内）
（在已知应力边界Sσ上）
σ
的应力分量，称为静力可能的应力。静力可能的应力未必
ij
加适当的约束，使梁不能产生整体的刚性位移，或者作用适
当的剪力和弯矩，
使梁保持平衡。
现在，利用最小
势能原理推导用
梁的挠度表示的
平衡微分方程和
应力边界条件。
采用材料力学的简化模型
根据平截面假设，梁
的任一横截面x上与中性
层相距为z的点的位移为
dw
()
w==−
wx,uz
dx
其中w(x)为梁的轴线的挠度。由几何方程，有
是真实的应力，因为真实的应力在体内还须满足以应力表示的
S应变协调方程，而对应的位移还须满足上的位移边界条
u
件。但反之，真实的应力必然是静力可能的应力。为了区别真
σs
实的应力，用表示静力可能的应力。
ij
⎧1
满足()
ε=+
u
⎪u
iji,jj,i
⎨2
⎪
uu
=
⎩
ii
（在体内）
S
（在已知位移边界上）
u
u
的位移分量，称为几何可能的位移。几何可能的位移未必
移过程中外力保持不变，并注意到变分和积分两种运算可交换
次序，于是上式又可写为
δ
⎛∫−∫−∫
⎞
⎜
vVFudVfudS
d⎟=
⎝Vbii
ε
Ssii⎠
V
σ
0
令=∫−∫−∫
EPvdVFudVfudS
εVbiiSsii
V
σ
δ
E
P
=
0
δ
E
P
=
0
E
称为总势能，它是应变分量和位移分量
P
的泛函。因应变分量能通过几何方程用位移表
σσε
SsiiSijjiVijij
σu
∫∫
()()
FuudVfuudS
+δ++δ
VbiiiSsiii
σ
()
∫
σε+δε
dV
Vijijij
+
∫
σ
nu
Sijji
ubiδuidVfδudSσδεdV
SsiiVijij
σ
上式称为位移变分方程，又称虚位移方程。它表示外力在虚位
移上作的虚功，等于弹性体的真实内力在相应虚位移上作的虚
位移使总势能取最小值。
最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移
表示的应力边界条件。
§9-4最小势能原理的应用
对于一些按实际情况简化了的弹性力学问题，可以通过最
小势能原理导出其必须适合的微分方程和边界条件。
例图示为一直梁，其横截面有一铅直的对称轴，分布
载荷q(x)就作用在包含该轴的铅直平面内。在梁两端上，施
对应的应变上所作的功。
下面证明上述虚功原理
1σσσ
11
σ=+=+
sε
kskksksk
iju,u,u,u,
ijijijjiijijjiji
222
=σ=−
skks
ijuuu,
,σskσ
()
ijijiiijj
,j
()∫
∫=∫−
σεσ,σ
ijijiiijj
skskks
ijdVudVu,dV
VV
Vj
=
∫−∫
ss
件。其步骤与上述相反。
k
u
σs
¾虚功原理式中的静力可能应力和几何可能位移及其
i
ij
εk
对应的应变，可以是同一弹性体的两种不同的受力状态和
ij
变形状态，二者彼此独立而无任何的关系。但当静力可能应
σεk
s
力和几何可能应变服从物理方程时，为真实的应力、
ijij
σ=
isjσ
εikj=ε
u=
k
iu应变和位移，即，，。此时，虚
第九章
弹性力学的能量原理
§9-1弹性体的虚功原理
§9-2贝蒂互换定理
§9-3位移变分方程·最小势能原理
§9-4最小势能原理的应用
§9-5基于最小势能原理的近似计算方法
§9-6应力变分方程·最小余能原理
能量法，是要把弹性力学基本方程的定解问题，变为求
泛函的极值（或驻值）问题。在求问题的近似解时，泛函的
现在把第一状态的应力取为静力可能的应力，而把第二状
态的位移和应变取为几何可能的位移和应变，于是由虚功原理
得
∫+∫=∫
(1)2)σ(1)ε
(2)(1)((2)
VFbiuidVfudSdV
SsiiVijij
同理，把第二状态的应力取为静力可能的应力，而把第一
状态的位移和应变取为几何可能的位移和应变，于是由虚功原
ε
∂
u
x==−
z
∂
x
2
dw
2
dx
再由梁的纵向纤维间无挤压的假设，可认为梁处于单向应力状
态，于是应变能密度为
v
ε
=
1
2
σ
1
xεε
=E
E
x
2
2
x
=
1
2
Ez
2
⎛
⎜
⎜
⎝
2
d
w
2
dx
2
⎞
⎟
⎟
⎠
vε
=
将此对全梁积分，得梁的总应变能为
⎡
1
L
∫∫∫∫∫∫
vdxdydz
=⎢
ε
2
⎢
0R
⎣
2
⎛⎞
2
1dw
L
∫⎟
⎜
EId
yx
⎜
2
2dx
0⎝⎠
V
ε
=
=
z
⎤
2
⎛⎞
2
dw
⎜⎟⎥
2ddd
yzx
⎜⎟
2
dx⎥
⎝⎠
⎦
1
2
Ez
2
⎛
⎜
⎜
⎝
2
d
w
2
dx
2
⎞
⎟
⎟
⎠
这里R为梁横截面组成的区域，Iy为横截面对中性轴y的惯
性矩，即
∫∫