二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区.
二次型化为标准形的几种方法
二次型化为标准形的几种方法2015届本科毕业论文题目：二次型化为标准型方法所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-2班学生姓名：赵江南指导教师：艾合买提答辩日期：2015年5月5日目录1 引言................................................ 错误!未定义书签。
2 关于二次型定义...................................... 错误!未定义书签。
3 二次型化为标准型的方法 (1)3.1 正交变换法 (1)3.2. 配方法 (3)3.3. 初等变换法 (5)3.4. 雅可比方法 (7)3.5. 偏导数法 (8)4. 小结 (12)参考文献 (13)致谢 (14)二次型化为标准形的几种方法摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。
这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。
正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。
其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。
关键词：正交变换法；配方法；初等变换法；雅可比方法；偏导数法Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observedto formula.Key words: orthogonal transform method ; match method ;elementary transformation; jacobian method ;partial derivative method易见矩阵的初等保号变换不改变二次型的正定性，负定性，半正定型，半负定性.引理1 非退化线性替换不改变实二次型的负定，正定，半正定，半负定，不定. 证明 设),,,(21n x x x g =AX X '是负定二次型，并且CY X = (0≠C ) 是非退化线性替换.),,,(21n x x x g =AX X '，BY Y y y y f n '=),,(21 )(AC C B '=，并且对任意nn R k k k ∈≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡021 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n k k k C c c c 2121，结果0),,,(),,(2121<=n n c c c g k k k f ，即),,(21n y y y f 是负定二次型.反之设),,(21n y y y f 是负定：AX X x x x g X C Y BY Y y y y f n n '=='=-),,(),,,(21121 其中011≠=-CC于是得到),,,(21n x x x g X AX '=是负定的，也就是非退化线性替换不会改变正定二次型的负定性. 同理，非退化线行替换不改变正定二次型的半负定、半正定性、和不定性。
二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别
二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别？首先要搞清两个概念：矩阵的相似和合同矩阵的相似： 设B A 、为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P 使B AP P =-1，则A 与B 相似。
相似的性质(相似的必要条件)：若~A B ,则 (1)A B =； (2) ()()r A r B =；(3)E A E B λλ-=-即有相同的特征值； (4) ii ii a b =∑∑。
矩阵的合同：A 和B 为两个n 阶对称矩阵,若存在n 阶可逆矩阵C 使B AC C T=，则称A 与B 合同。
例如：111,,,1412A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则有T C AC B =，显然两矩阵合同特征值未必相同！从而两矩阵合同未必相似！由实对称矩阵的性质实对称矩阵一定能相似对角化。
从而一定存在可逆阵P 使得1P AP -=Λ,特别地,必有正交矩阵Q （1TQ Q -=）使1123,,1,2,3T i Q AQ Q AQ i λλλλ-⎛⎫⎪==Λ== ⎪ ⎪⎝⎭为A 的特征值，故而任意一个实对称矩阵A ，一定存在正交矩阵Q ，使得A 不仅合同而且相似于一个对角阵。
下面看看什么叫可逆线性变化和正交变换？111213212223313233,0c c c C c c c C cc c ⎛⎫⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭,若C 为可逆矩阵，称x Cy =为可逆线性变换； 若C 是正交矩阵，称x Cy =为正交变换。
下面来看看对一个二次型施行可逆线性变换会带来什么？以三元二次型为例：(),123,,()()()x Cy C TT T T T f x x x x AxCy A Cy y C AC y y By ∃=====可逆,且()T T T T B C AC C AC B ===,故经可逆线性变换()123,,f x x x 仍为关于123,,y y y 的二次型，且原二次型矩阵A 和新二次型矩阵B 是合同的关系，若C 是正交矩阵,那么1T C C -=,1T B C AC C AC -==,所以,A B 不仅合同而且相似。
线性代数—二次型的标准形和规范形
x1 z1 z2 3z3
对应的线性变换为
x2
z1
z2
z3
.
x3
z3
9
2、用正交变换法化二次型为标准形 由上节定理可知，对实对称阵 A，总可找到正交
阵 P，使 P 1 AP 为对角阵，而由正交阵性质可知，
P 1 P T ，故 P 1 AP P T AP 。因此这样的正交
化为标准形，并求所作的正交变换。
解 二次型的矩阵
17 2 2
A 2 14 4
2 4 14
17 2
2
E A 2 14 4 ( 18)2( 9) ,
2
4 14
12
17 2
2
E A 2 14 4 ( 18)2( 9) ,
2
4 14
8 2 2 2 5 4
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2x3 )2 ,
5
f ( x1 x2 x3 )2 ( x2 2x3 )2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3
x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1
含有平方项
含有x1的项配方
解 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
x12
2x1 x2
2x1 x3
2
x
2 2
5
x
2 3
6x2 x3
( x1 x2 x3 )2 x22 x32 2x2 x3 2x22 5x32 6x2 x3
( x1 x2 x3 )2 x22 4x32 4去x2掉x3 配方后多出来的项
用正交变换化二次型为标准型
VS
通过正交变换将二次型化为标准型，以便更好地研究二次型的性质和应用。
意义
将二次型化为标准型有助于揭示二次型的内在结构，同时可以简化二次型的计算和分类过程。此外，标准型的求解对于解决实际问题也具有重要意义。
目的
目的和意义
二次型的定义及性质
THANKS
谢谢您的观看
通过一系列的线性变换，将矩阵A转换为一个对角矩阵D=[2, 0; 0, 3]，其中2和3是原二次型矩阵A的特征值，而[1; 1]和[1; -1]是对应的特征向量。
根据对角化矩阵D和原二次型矩阵A的关系，计算出原二次型矩阵A的系数为[2√2, 0; 0, 3√2]。
具体实例
结论与展望
05
研究结论
分析了正交变换在二次型标准型转化中的应用，并证明了其优越性。
2023-10-26
《用正交变换化二次型为标准型》
引言二次型的定义及性质正交变换用正交变换化二次型为标准型的方法结论与展望
contents
目录
引言
01
1
背景介绍
2
3
二次型是代数学中的重要研究对象，它具有广泛的应用背景，如物理学、工程学、经济学等。
二次型的标准型在研究二次型的性质、分类以及应用中具有非常重要的作用。
正交变换的性质
正交变换会保持向量的内积不变，即如果两个向量在变换前后的内积不同，则该变换不是正交变换。
正交变换会保持矩阵的行列式不变，即如果一个矩阵在经过正交变换后其行列式发生了改变，则该变换不是正交变换。
保持向量长度不变
保持向量内积不变
保持矩阵的行列式不变
用正交变换化二次型为标准型的方法
二次型标准化
二次型标准化在线性代数中，二次型是一种非常重要的数学概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
而在处理二次型的问题时，标准化是一个非常重要的步骤，它可以简化问题的求解过程，使得我们能够更加方便地分析和理解二次型的性质。
本文将介绍二次型标准化的相关知识，包括标准型的定义、标准化的方法和应用技巧等内容。
首先，我们来看一下什么是二次型的标准型。
对于一个n元二次型，其标准型是指通过合适的线性变换将其化为一种特殊的形式，使得二次型的系数矩阵中只有对角线上存在非零元素，而其它位置上均为零。
这种形式的二次型更容易进行分析和求解，因此标准化是非常有必要的。
接下来，我们将介绍二次型标准化的方法。
对于一个n元二次型f(x) = x^TAx，其中A是一个对称矩阵，我们可以通过以下步骤将其标准化。
首先，我们要找到A的n个特征值和对应的特征向量，然后构造正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵Λ，其中Λ的对角线上的元素就是A的特征值。
接着，我们进行线性变换y = Px，将原来的二次型化为g(y) = y^TΛy。
最后，我们再进行一次线性变换z = Cy，其中C是一个非奇异矩阵，将g(y)化为h(z) = z^TDz，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为1或-1。
这样，我们就得到了二次型的标准型。
在实际应用中，二次型标准化有着广泛的应用。
例如在矩阵的对角化问题中，我们可以通过对称矩阵的特征值分解来实现矩阵的对角化，从而简化矩阵的运算。
在最优化问题中，标准化后的二次型可以帮助我们更好地理解问题的性质，从而更加高效地求解最优化的目标函数。
此外，在统计学中，二次型标准化也可以帮助我们进行数据的降维和特征的提取，从而更好地进行数据分析和模式识别。
总之，二次型标准化是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们简化问题、提高求解的效率，并且有着广泛的应用前景。
通过本文的介绍，相信读者对于二次型标准化有了更加深入的理解，希望能够在实际问题中灵活运用这一知识，为自己的研究和工作带来更多的便利和收获。
线性代数第六章第二节二次型化为标准型的三种方法
问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标 准形？
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
用正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实 对称矩阵的性质，求出二次型 的特征值和规范正交的特征向量， 条件要求较强，当研究一般数域P上的二次型(包括实二次型) 的标准型时，可以用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征 值问题，只需反复利用以下两个初等公式
零多项式，故 可化为标准型.
含有平方项，这归结为情形1，
推论1 任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同. 证明 由定理4，存在非退化线性变换X=CY，使得
右端标准型的矩阵为
新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵 B合同.
3 初等变换法 根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.
只作列 变换
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
时,解方程组
得基础解系
当
时,解方程组
得基础解系
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵
由
构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面. 注意：化f为标准形的正交变换不唯一.
线性代数第六章二次型试题及答案
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii iij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。
线性代数第 六章二次型试题及答案
特征值相同的实对称矩阵A和B一定相似，因为实对称矩阵 都能相 似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵，根 据相似的传递性，A和B一定相似。
特征值相同的普通矩阵A和B可能相似，也可能不相似。 若A和B都能相似对角化，一定相似。 若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。 若都不能对角化，可能相似，也可能相似。 例题：已知矩阵A和B，判断能否相似，
Abj=0, j=1,2,…,s b1,b2,…,bs均为Ax=0的解(r(A)+r(B)≤n) 若bj≠0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值λj=0的特征向量 A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。
AB=CA(b1, b2,…, br)=(C1, C2,…, Cr)
Abj=Cj,j=1,2,…,r bj为Ax=Cj的解. C1, C2,…, Cr可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示.
因为（2，1，2）T是A的特征向量，所以，
，
二、化二次型为标准型
1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数， 然后写出其规范形。
（1）Leabharlann 解：先集中含有x1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x2的项，凑 成完全平方
=
设，， 标准型：，正惯性指数：，负惯性指数： 规范性：
(2) f(x1,x2,x3)= x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3. 解：f(x1,x2,x3)= （x12+2x1x2-2x1x3）+2x22+2x2x3= 设 ，，标准型： 正惯性指数：，负惯性指数：，规范性： (3) f(x1,x2,x3)= -2x1x2+2x1x3+2x2x3. 解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换： ，，， 设： ， 标准型：，规范性： 2.设二次型f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b>0)，其中A的特征 值之和 为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型。 解：二次型的矩阵：，因为， （2）
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧化二次型为标准形是线性代数中的一个重要问题，其结果对于矩阵的性质和应用具有重要的意义。
在实际应用中，常会遇到需要将二次型化为标准形的情况。
化二次型为标准形的方法有很多种，而每种方法都有其适用的范围和特点。
本文将对几种常见的方法进行比较及技巧的介绍，希望能够为读者加深对化二次型为标准形的理解和掌握提供帮助。
方法一：配方法配方法是化二次型为标准形的经典方法之一。
其基本思想是将二次型中的平方项进行配方，从而将二次型转化为标准形。
下面以一个简单的例子进行介绍。
假设有二次型Q(x1, x2) = 3x1^2 + 4x1x2 + 5x2^2，我们希望将其化为标准形。
我们可以将二次型写成矩阵的形式：Q(x) = x^TAX，其中A是一个对称矩阵，其元素为二次型的系数。
对于这个例子，A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}。
接下来，我们使用配方法，即将4x1x2进行配方处理。
我们可以观察到4x1x2 = 2(2x1x2) = 2(x1x2 + x1x2)，然后我们引入一个新的变量y = x1 + x2，并进行代换：3x1^2 + 4x1x2 + 5x2^2 = 3x1^2 + 2(x1x2 + x1x2) + 5x2^2 = 3x1^2 + 2yx + 2xy + 5x2^2进一步，我们可以将式子改写为：此时，我们可以观察到每一项都可以进行配方处理，从而得到标准形。
通过这个例子，我们可以看到，配方法的关键在于巧妙地利用代换和配方来将二次型化为标准形。
在实际应用中，配方法通常适用于对称矩阵，且二次型的系数较为简单的情况下。
读者在应用配方法时，需要灵活运用代换和配方的技巧，确定合适的替换变量，并进行得当的计算，从而将二次型化为标准形。
方法二：特征值分解接下来，我们对对称矩阵A进行特征值分解：A = PDP^-1，其中P是A的特征向量矩阵，D是A的特征值对角矩阵。
化二次型为标准型
化二次型为标准型二次型是代数学中一个重要的概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在矩阵理论中，我们经常需要将一个给定的二次型化为标准型，以便更好地进行计算和分析。
本文将介绍如何将一个二次型化为标准型的具体步骤和方法。
首先，我们来回顾一下什么是二次型。
在代数学中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，通常可以表示为一个对称矩阵的形式。
例如，对于n个变量x1, x2, ..., xn，一个二次型可以表示为以下形式：Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2(a12x1x2 + a13x1x3 + ... + ann-1,nxn-1xn)。
其中，aij表示对应的系数，对称矩阵的对角线上的元素为二次项的系数，非对角线上的元素为交叉项的系数的一半。
接下来，我们将介绍如何将一个二次型化为标准型。
要将一个二次型化为标准型，我们需要进行以下步骤：1. 对二次型进行配方法，即通过合适的线性变换将二次型化为平方项的和的形式。
2. 通过正交变换将平方项的和的形式化为标准型。
首先，我们来看第一步，即如何通过配方法将二次型化为平方项的和的形式。
对于一个n元二次型Q(x)，我们可以通过合适的线性变换将其化为以下形式：Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λnyn^2。
其中，λ1, λ2, ..., λn为二次型的特征值，y1, y2, ..., yn为相应的特征向量。
这个过程就是对二次型进行配方法，将其化为平方项的和的形式。
接下来，我们来看第二步，即如何通过正交变换将平方项的和的形式化为标准型。
对于一个平方项的和的形式，我们可以通过正交变换将其化为标准型。
具体来说，我们可以找到一个正交矩阵P，使得P^TQP为对角矩阵，即将二次型化为标准型。
通过以上两个步骤，我们就可以将一个给定的二次型化为标准型。
这样做的好处在于，标准型更容易进行计算和分析，可以更清晰地展现二次型的性质和特征。
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧二次型在数学中有着重要的地位，它在代数、几何、物理等领域都有广泛的应用。
对于一个二次型，我们希望能够将它化为标准形，简化计算和研究过程，因此研究如何将二次型化为标准形是很有必要的。
本文将介绍几种将二次型化为标准形的方法，并对它们进行比较和技巧的讲解。
一、矩阵的对角化方法矩阵的对角化方法是将二次型化为标准形的一种常见方法，其思路是通过矩阵的特征值和特征向量进行变换。
具体步骤如下：1. 将二次型的系数写成矩阵的形式，设为A。
2. 求出A的特征值λ1,λ2,…,λn以及对应的特征向量x1,x2,…,xn。
3. 构造线性变换T，T(x1)=e1,T(x2)=e2,…,T(xn)=en，其中e1,e2,…,en是标准基向量。
4. 令x'=Tx，将二次型转化为x'的形式，此时x'的系数矩阵为对角阵，即化为标准形。
这种方法的优点是直接使用了矩阵的特征值和特征向量进行变换，求解比较简单。
缺点是只有满秩矩阵才能进行对角化，如果矩阵不满秩，需要先进行配方法或者其他转化。
二、配方法2. 求出A的秩r，找到A的一个秩为r的子矩阵，对该子矩阵进行配方法，将二次型化为平方差的形式。
3. 利用正交变换将其余未配方法的部分归并。
4. 根据配方法的结论将二次型化为标准形。
这种方法的优点是适用范围广，只要矩阵是方阵即可。
缺点是存在配方法的不确定性，需要通过试错不断寻找适当的子矩阵进行配方法，求解过程比较繁琐。
三、同阶合同变换2. 利用初等行变换将矩阵A化为对称矩阵B。
这种方法的优点是变换只涉及初等变换，计算过程简单，求解相对容易。
缺点是初等变换时，需要注意保持同阶合同形式，变换的顺序也可能会影响结果。
综上所述，不同的二次型标准化方法各有优缺点，根据实际问题，选择相应的方法应考虑求解的复杂程度、计算的难易程度以及方法的理论基础等因素。
在计算过程中，需要遵循一些技巧，如合理运用矩阵等基本性质，避免计算错误等，以保证求解过程的正确性和高效性。
用可逆线性变换化二次型为标准形
用可逆线性变换化二次型为标准形课程中心：http://202.194.131.160/sunli.html 山东农业大学数学系孙莉 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是222ax bxy cy f ++=为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度 ，作转轴使得上式变为只含有平方项的标准方程。
用可逆线性变换化二次型为标准形的方法1. 配方法关键：消去交叉项，其要点是利用两数和的平方公式与两数平方差公式Case 1:二次型中含某变量i x 的平方项和交叉项，先集中i x 的交叉项，然后与i x 配方，化成完全平方，令新变量代替各个平方项中的变量，即可做出可逆的线性变换，同时立即写出它的逆变换（即用新变量表示旧变量），这样后面求总的线性变换就比较方便，每次只对一个变量配方，余下的项中不应再出现这个变量。
再对剩下的1n -个变量同样进行。
Case 2: 二次型中没有平方项，只有交叉项，先利用平方差构造可逆线性变换。
例如：12,f x x =令112212,,,1,2k k x y y x y y x y k =-=+=≠.2. 合同变换法（成对初等行列变换法）构造分块矩阵如下，对该分块矩阵进行一系列初等行变换和对应相同的列变换把A 换为对角矩阵B 的同时，其中相应的列变换将单位矩阵E 化成了合同变换矩阵C .,r c A B E C ⎛⎫⎛⎫−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 正交变换法Step 1. 写出二次型对应的系数矩阵A ；Step 2. 求出系数矩阵A 的特征值和特征向量；（因为实二次型的系数矩阵为实对称矩阵，有定理表明：n 阶实对称矩阵一定可以对角化，即实对称矩阵一定可以找到n 个线性无关的特征向量。
需要注意的是实二次型单根特征值只对应一个线性无关的特征向量，k 重根特征值，对应k 个线性无关的特征向量。
前面所说的线性无关的特征向量，是某个特征值对应的齐次线性方程组所求得的基础解系。
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧化二次型为标准形是线性代数中一个重要的应用问题。
在研究二次型的性质和应用时，将二次型化为标准形可以简化计算和分析的过程。
本文将介绍几种常见的方法，并比较它们的优缺点，同时分享一些处理二次型的技巧。
我们回顾一下二次型的定义。
对于给定的n元变量x=(x1,x2,...,xn)，n阶二次型可以表示为：Q(x) = x^T * A * xx^T表示x的转置，A是一个n×n的实对称矩阵。
下面是几种将二次型化为标准形的方法。
1. 完全平方项配方法这种方法适用于一类特殊的二次型，即能够通过完全平方项配方的方式将其化为标准形。
对于二次型Q(x) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以将其配方为Q(x) = (x+y)^2。
这个方法非常简单直观，但只适用于具有特定形式的二次型。
2. 正交变换法正交变换法是一种较为通用的方法，通过线性变换将二次型转化为标准形。
该方法的关键在于选择合适的变换矩阵P，使得矩阵P^T * A * P为对角矩阵。
一种常用的正交变换矩阵是特征向量矩阵，其中矩阵A的特征向量构成的矩阵的列向量就是特征向量矩阵。
3. 主元变换法主元变换法是将二次型通过主元的方式化为标准形。
该方法的步骤如下：a. 将二次型的矩阵A进行对角化，得到对角矩阵D。
b. 对角矩阵D中的元素进行主元变换，得到主元标准形。
c. 根据变换的规则，将变换应用于二次型的变量，得到转化后的二次型。
以上三种方法各有优缺点。
完全平方项配方法简单直观，但只适用于特定形式的二次型，适用范围有限。
正交变换法适用范围广，可以用于任意形式的二次型，但需要计算矩阵的特征值和特征向量，计算复杂度较高。
主元变换法比较灵活，可以根据实际问题的需要选择合适的主元，但需要进行多次变换的计算，计算量相对较大。
下面是一些处理二次型的技巧：1. 利用对称性质由于二次型的矩阵A是实对称矩阵，可以利用其对称性质简化计算。
二次型化标准形的方法探究
二次型化标准形的方法探究作者：韩建邦来源：《科技风》2024年第16期摘要：二次型是线性代数的重要组成部分，为了方便计算我们通常会把二次型转化成标准形.本文主要讲述了化二次型为标准型的几种方法：正交变换法、合同变换法、雅可比法、配方法.关键词：二次型；标准形；正交变换法；合同变换法；配方法1化二次型为标准形的基本方法本文主要分析了将二次型化为标准形的四种方法：正交变换法、合同变换法、雅可比法以及配方法.1.1正交变换法分析：运用正交变换X=CY，首先要注意C必须是一个正交矩阵，CTAC=B当中对称矩阵A与对角阵B是合同的，并且CT=C-1，这是因为不能直接合同对角化，需要利用相似对角化C-1AC=B来进行，这就要求C为正交矩阵，否则无法进行CTAC=C-1AC=B这一步骤.具体步骤：第一步先将二次型表示成矩阵表达式f=XTAX，求出矩阵A；接着根据公式λE-A=0求出A所有的特征值λ1，λ2，…，λn；然后求出对应于特征值的线性无关的特征向量ξ1，ξ2，…，ξn，并将这组特征向量正交化、单位化，就可以得到向量组η1，η2，…，ηn，记C=（η1，η2，…，ηn）；最后做正交变换X=CY，就可以得到要求的二次型的标准形。
1.2合同变换法分析：首先了解什么是合同变换，若对方阵A做一次初等行变换，接着对所得矩阵做一次同种的初等列变换，就称对A进行一次合同变换.初等变换法要求对初等变换的知识有深刻的了解而且能够熟练运用，对初等变换和初等阵之间的关系也需要掌握好，在进行初等变换时首先会进行非退化线性替换即X=CY，然后需要有可逆矩阵C，使得CTAC=B，A每进行一次列的初等变换就要同时进行行的初等变换，直到能把A变换成一个对角阵B。
但是要注意对矩阵E只做与A同样的列变换，行不变换，EC=C，然后就能直接得到标准形的系数矩阵B以及非退化线性变换的系数矩阵C.具体步骤：利用可逆的线性变换X=CY，把f=XTAX化为标准形，即f=XTAX=（CY）TACY=YTCTACY=YTBY.只需CTAC=B，又因C=（p1，p2，…，ps），其中p1，p2，…，ps均为初等方阵，所以（p1p2…ps）TAp1p2…ps=B，即psT…p2Tp1TAp1p2…ps=B.而psT…p2Tp1T=psT…p2Tp1TE=CT，結合这两个式子可将A化成对角形矩阵，同时求出可逆矩阵C.A做合同变换（A|E）E做行变换（B|CT），求出CT，做可逆线性变换X=CY，则该变换将f化为标准形：f=k1y21+k2y22+…+kry2r1.3雅可比法分析：雅可比法是借助对称双线性函数将二次型化为标准形，运用雅克比方法将二次型转化为标准形的前提条件是n元二次型的矩阵的前（n-1）阶顺序主子式都不为零，那么这个二次型一定能化为标准形.雅可比法化二次型为标准形的实质是找到满足条件的一组基η1，η2，…，ηn即可.具体步骤：首先讨论能否构造一组基η1，η2，…，ηn其中η1=ε1，η2=c12ε1+ε2，…ηn=c1nε1+c2nε2+…+cn-1，nεn-1+εn，使得f（ηi，…，ηj）=0，i≠j.接着可以用施密特正交法构造正交基η1，η2，…，ηn根据对称双线性函数有：b11=f（η1，η1）=f（ε1，ε1）=a11=Δ1b22=f（η2，η2）=f（c12ε1+ε2，η2）=c12f（ε1，η2）+f（ε2，η2）.接着又知道其中有b12=f（η1，η2）=f（ε1，c12ε1+ε2）=c12f（ε1，ε1）+f（ε1，ε2）=c12a11+a12=0.所以求得c12=-a12a11，并且b12=f（ε1，η2）=0.将上述结果代入b22中可以得到：b22=f（ε2，η2）=f（ε2，c12ε1+ε2）=c12a12+a22=a11a22-a212a11=Δ2Δ1.照这种方法计算可以得到bii，i=1，2，…，n.由于bji=f（ηj，ηi）=f（εj，ηi）=0，其中j小于i，所以能够得到线性方程组：c1ia11+c2ia12+…+ci-1，ia1，i-1+a1i=0，c1ia21+c2ia22+…+ci-1，ia2，i-1+a2i=0，…c1iai-1，1+c2iai-1，2+…+ci-1，iai-1，i-1+ai-1，i=0.即c1i=Ai1Δi-1，c2i=Ai2Δi-1，…ci-1，i=Ai，i-1Δi-1.其中Aij是元素aij的代数余子式，j小于i.则有bii=f（ηi，ηi）=f（εi，ηi）=f（εi，c1iε1+c2iε2+…+ci-1，iεi-1+εi）=c1iai1+c2iai2+…+ci-1，iai，i-1+aii=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ai，i-1Ai，i-1+aiiAiiΔi-1=ΔiΔi-1最后令C=（cij）n×n=1 (1)0 (1)然后可求得向量ηi，使它能够满足bij=f（ηi，ηj）=0，i≠j则对称双线性函数f（α，β）关于基η1，η2，...，ηn的矩阵为B=CTAC=b11 00…bnn即二次型XTAX经过非退化线性替换X=CZ转化为标准形ZTBZ=b11z21+…+bnnz2n.1.4配方法我们知道不是所有的二次型都含平方项，所以在運用配方法之前首先要构造平方项，即通过非退化线性替换化二次型为含平方项的二次型，通常采用Lagrange配方法.具体步骤：如果二次型中含有xi的平方项，就先把含有xi的乘积项集中，然后进行配方，再对剩下的变量进行同样操作，直到把它们都配成平方项的形式，再经过非退化线性变换就可以得到标准形.当二次型不含有平方项的时候，且aij≠0（i≠j），则需先做可逆的线性变换xm=ym-ynxn=ym+ynxr=yr（r=1，2，…，n且k≠m，n）化二次型为含有平方项的二次型，然后进行与含平方项的二次型同样的操作即可得标准形.2化二次型为标准形的方法应用2.1正交变换法解决问题正交变换得到的标准形是以二次型对应矩阵的特征值为系数的，且通过该种方法所得到的标准形是唯一的，此时X=DY中的矩阵D是正交矩阵.例：求正交变换法X=DY，将二次型f（x1，x2，x3）=x21-x22-x23+4x1x2-4x1x3化为标准形.解：二次型矩阵A=12-22-10-20-1，A的特征多项式为：-2λ+1020λ+1=λ-1-22-2λ+100λ+1λ+1=λ-1-42-2λ+100λ+1λ+1按第三行展开可得λE-A=λ2-9λ+1，即得A的特征值为λ=3，-3，-1，当λ1=3时，可得（3E-A）x=0，即：2-42-240004→2-42002004→2-42002000可得基础解系α1=（2，1，0）T，即为λ1=3的特征向量。
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧化二次型为标准形是线性代数中一个重要的概念，涉及到矩阵的变换和对称矩阵的特征分解。
在实际问题中，我们经常需要将二次型化为标准形来进行进一步的分析和求解。
本文将比较几种常见的方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握化二次型为标准形的过程。
一、使用正交变换一种常见的方法是利用正交变换将二次型化为标准形。
正交变换是指线性变换保持向量的长度和直角的性质，可以用正交矩阵来表示。
对于一个n阶实对称矩阵A，可以找到一个n阶正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵。
这个对角矩阵的对角线上的元素就是二次型的所有特征值，而P的列向量就是A的所有特征向量。
通过正交变换，可以将二次型A(x)化为标准形：A(x) = x^T Ax = (Px)^T (Px)这个过程是通过矩阵P的特征分解来实现的，可以利用各种线性代数工具和软件来进行计算和求解。
这种方法的优点是可以准确地求得二次型的特征值和特征向量，较为直观和简单，但是需要进行矩阵的特征分解和计算，对于大规模的问题可能比较耗时和复杂。
二、使用配方法另一种常见的方法是使用配方法将二次型化为标准形。
配方法是通过添加和减去一些适当的常数项，将二次型化为平方的和的形式。
具体来说，对于一个n元二次型：A(x) = a_11x_1^2 + a_22x_2^2 + ... + a_nnx_n^2 + 2a_12x_1x_2 + ... + 2a_n-1n x_n-1x_n可以通过一系列的配方法将它化为标准形：A(x) = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + ... + k_ny_n^2其中y_i = x_i + b_i，k_i和b_i是适当的常数。
这个过程可以通过利用二次型的配方法来实现，通过选取适当的参数k_i和b_i，将二次型化为标准形。
这种方法的优点是较为直接和可控，可以使用一些简单的代数技巧和变换来进行求解，适用于规模较小的问题。
但是在具体的应用中需要一定的经验和技巧，需要根据具体的二次型来选择合适的配方法。
线性代数 第六章第二节 二次型化为标准型的三种方法
拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
4、没有改变二次型的秩，事实上，二 次型的系数中正负项的个数也没有被 正交变换改变。
即：
求逆 矩阵
记Y=DZ
所用变换矩阵为
定理4 对于任一n元二次型 都存在非退化的线性变换X=CY，使之成为标准型（平方和） 证明 对变量个数进行归纳。
平方项的系数不全为零，不妨设
是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换
则非退化线性变换为
情形2
不含平方项，必有
是非退化的线性变换，使得
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
与上一 章化相 似标准 型的做 法基本 一致， 也可以 作组内 正交化
用正交变换将二次型化为标准形的方法 例1 求一个正交变换x=Ty,把二次型
化为标准形,并指出方程f =1表示何种二 次曲面.
解 写出 f 的系数矩阵A，求出A的特征 值和特征向量
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧化二次型为标准形是线性代数中的一个重要内容，也是数学中的一道经典问题。
在解决这个问题的过程中，有几种不同的方法和技巧可以选择。
本文将比较这些方法的优劣，并介绍一些化二次型为标准形的技巧。
一、使用矩阵的对角化方法对角化是一种将矩阵转化为对角矩阵的方法。
对于一个对称矩阵而言，可以使用特征值和特征向量来进行对角化。
化二次型为标准形的过程可以简化为矩阵的对角化问题，因此这是一种比较直接的方法。
优点：对角化方法在理论上比较成熟，其思路清晰，操作简单，容易理解。
对于特征值和特征向量的计算也有相应的算法和工具可供使用。
缺点：对角化方法的计算量比较大，特别是在特征值和特征向量的计算上。
尤其是在矩阵的阶数比较大的情况下，计算过程可能比较冗长，甚至在计算过程中会出现误差。
对角化方法对于非对称矩阵不适用。
二、使用正交变换的方法正交变换是一种保持向量长度和角度不变的线性变换。
对于二次型而言，可以通过正交变换来将其化为标准形。
正交变换方法比较灵活，可以适用于不同类型的二次型，而且在计算过程中不会引入额外的误差。
优点：正交变换方法适用范围比较广，可以处理非对称矩阵以及特殊形式的二次型。
其计算过程相对比较简单，且不容易出现误差。
正交变换方法的数学基础比较清晰，有助于深入理解二次型的性质。
缺点：正交变换方法的计算过程可能比较复杂，尤其是在处理高维矩阵的情况下。
需要通过熟练的数学技巧和逻辑推导来完成变换过程，对初学者来说可能有一定的难度。
三、使用配方法和配方法综合配方法是一种将二次型转化为完全平方的方法。
其基本思路是通过变量替换和配方公式，将原始的二次型变换为完全平方的形式，从而更容易进行处理。
在配方法的基础上，还可以借助线性代数中的基变换和合并平方项的技巧，将二次型化为标准形。
优点：配方法在实际计算中比较灵活，可以根据具体的二次型形式选择合适的变量替换和配方公式。
通过适当的配方法和配方法综合，可以有效地简化二次型的计算，使其更易于处理。
【指导】线性代数学习指导第六章二次型
【关键字】指导第八章二次型一．内容提要：1. 二次型及其标准形的概念定义1 包含个变量的二次齐次函数称为一个元二次型，简称二次型.若记，则二次型的矩阵形式为，其中A为n阶实对称矩阵，称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.2. 二次型的标准形和规范形定义2 经可逆线性变换所得的只含平方项的二次型称为原二次型的标准形定义3系数为1或0的标准形称为复二次型的规范形；系数为1、-1或0的标准形称为实二次型的规范形.3. 矩阵的合同定义4 设A ，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵C ，使得则称A与B合同矩阵合同具有以下性质：①反身性：n阶矩阵A与A合同；②对称性：若A与B合同，则B与A合同；③传递性：若A与B合同，B与C合同，则A与C合同4. 化二次型为标准形或规范形（1）经可逆线性变换，原二次型矩阵和新二次型的矩阵合同.（2）任意一个实二次型经可逆线性变换可化为标准形.即：任意一个实对角矩阵都与一个对角阵合同.（3）任意一个实二次型都可经过正交变换化为标准形.定理（惯性定理）任意一实二次型都可经过可逆线性变换化为规范形，且规范形唯一.5. 正定二次型和正定矩阵5.1正定二次型定义5 设为一个实二次型，若对任意一组不全为零的实数实二次型的值（8.19）则称为正定二次型，并称正定二次型的矩阵为正定矩阵.5.2二次型正定的充要条件设n元实二次型，则下列几个条件等价：（1）f为正定二次型；（2）A的特征值全为正；（3）f的正惯性指数为n ；（4）A合同于单位阵E ；（5）存在n阶非奇异矩阵C ，使得A =二． 重点难点1. 二次型及其矩阵表示2. 合同变换与合同矩阵3. 二次型的秩 惯性定理4. 二次型的标准形和规范形5. 用正交变换和配方法化二次型为标准形6. 二次型及其矩阵的正定性 三．学习要求1. 了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和合同矩阵的概念.2. 了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，掌握正 交变换和配方法化二次型为标准形的方法.3. 理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法. 四．典型题分析例1 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: ．解 二次型矩阵为 ，故的特征值为当时，可得单位特征向量， 当时，可得单位特征向量，当341λλ==时，可得单位特征向量300P⎪=⎪⎝⎭，400P ⎛⎫⎪= ⎪⎪．于是正交变换为且有222212343f y y y y =-+++．例2．判别下列二次型的正定性：(1)2221231213-2-6-422f x x x x x x x =++;(2)22221234121314243919-242-6f x x x x x x x x x x x x =+++++分析 可用顺序主子式方法判断 解(1) f 的矩阵为-2111-6010-4A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,11-20a =<，-211101-6=>，-2111-60-3801-4=<， 故f 为负定．(2) 1-121-130-3209-61-3-619A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1110a =>，1-140-13=>, 1-12-1306029=>,240A =>． 故f 为正定．例3 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .分析二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.解 因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2. 例4 设,A B 为n 阶正定阵，下列命题正确的是： （A ）若A 合同于B ，则A 相似于B（B ）若A 相似于B ，则A 合同于B (C ）若A 合同于B ，则A 与 B 等价 (D ）若A 与 B 等价，则A 合同于B解 由等价、相似、与合同的定义可知：若A 合同于B ，由于一般矩阵1T C C -≠，故不能推出A 相似于B.反之由A 相似于B ，也不能推出A 合同于B.但A 合同于B 时，则A 与 B 必等价，所以选(C).例5 设矩阵200030001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则A 合同于矩阵解：答案（C ）和矩阵200030001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值有相同正负个数，即由相同的惯性指数所以选(C)例6 对于二次型(),Tf X X AX =其中A 为n 阶实对称矩阵，下述结论中正确的是 （A ）化()f X 为标准形的可逆线性变换是唯一的 (B ）化()f X 为规范形的可逆线性变换是唯一的 (C ）()f X 的标准形是唯一的 (D ）()f X 的规范形是唯一的解 二次型()Tf X X AX =化为标准形或规范形有不同的方法，对应的可逆线性变换也不相同，但正、负惯性指数及非零平方项个数一定是唯一确定的，所以选(D ）例8 设矩阵010010000010012A y ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（1） 已知A 的一个特征值为3，试求y . （2） 求矩阵P ，使()()TAP AP 为对角阵.分析 （1）可将A 的一个特征值3代入方程即可求解y(2) 注意到A 是对称阵，所以2()()TTAP AP P A P =，求出2A 的标准形即可.解 （1）将特征值3代入矩阵A 的特征多项式1001000001012A E y λλλλλ---==--解得2y =(2) 由（1）结果可知因为TA A =，所以2()()TTAP AP P A P =对应于2A 的二次型为 作线性变换：11223344445y x y x y x x y x =⎧⎪=⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎩ 即：1122334410000100400150001x y x y X PY x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将X PY =代入二次型2T X A X ，得 即 矩阵P ，使得例9设n 阶矩阵A 为正定矩阵，试证1A -也是正定矩阵 证明 因A 为正定矩阵，故存在可逆矩阵C ，使得 且1A -依然为对称矩阵，所以1A -也是正定矩阵.五．习题解析习题8.11．写出下列二次型的矩阵.（1）222123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++（2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =-（3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解1．（1） 111221112211122⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（2） 10002110022100020000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（3） 51625472675⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解答略2．将二次型表成矩阵形式，并求该二次型的秩.解所以该矩阵的秩为3，也即二次型的秩为3 3．设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321000000a a a ， B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13200000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得 B = T C A C ． 证明4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同. 证明 n 阶实对称矩阵A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P ，使T P AP B = C 与D 合同，所以存在可逆矩阵Q ，使TQ CQ D = 故：A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同 习题8.21．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.（1）22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++解（1）200032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭解得对应于11λ=的特征向量：1011p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭当22λ=，代入：解得对应的特征向量：2100p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭当35λ=解得对应的特征向量：3011p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭再分别单位化，得正交阵：令,X QY =得标准形为22212325,f y y y =++（2）12341234(,,,)22f x x x x x x x x =- 解得特征值12341,1λλλλ====- 当1λ=解得特征向量：121010,0101p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1λ=-解得特征向量：341010,0101p p -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将34,p p 分别正交化、单位化得正交变换矩阵：0000000Q ⎫⎪⎪⎪⎪⎪= ⎝经正交变换X QY =后得 标准形：22221234f y y y y =+--（3）222123123121323(,,)44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-解得特征值1230,9λλλ===当0λ=解得对应的特征向量：12221,001p p -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将12,p p正交化、单位化得12,0ηη⎛⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入39λ=解得对应的特征向量：3122p ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭单位化得：3132323η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：经正交变换X QY =得标准形：239f y =2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2.(1) 求c;(2) 求一正交变换化二次型为标准形. 解 （1） 代入A满足()2R A =， 解 （2）得特征值 1232,0λλλ=== 当2λ=解得对应的特征向量：12100,101p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0λ=解得对应的特征向量：311p ⎪=- ⎪⎪⎝⎭将3p单位化得0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，最后得 正交变换矩阵：3．已知二次型2212323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形解由题意：A 与B 正交相似，有trA trB = 即：解得：12102,3a a ==-当0222,244243a A -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭代入11λ=解得对应的特征向量：1201p -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭代入26λ=解得对应的特征向量：212521p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭代入36λ=-解得对应的特征向量：32121p ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：代入103a =-1不是A 的特征值，故103a =-舍去 注 本题也可利用A 与B 的特征多项式相等，从而同次项系数相等来确定参数.22224. 222444,,.x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面方程求的值与正交矩阵解由题意：A 与B 正交相似，有trA trB = 即：解得：3,1a b == 当10λ=解得对应的特征向量：1101p -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭当21λ=解得对应的特征向量：2111p ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭当34λ=解得对应的特征向量：3121p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭将特征向量分别单位化得正交变换矩阵：5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.（1）222123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++解最后得标准形：2221235f y y y =+-可逆变换：（2）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =-+ 解 令11221233x y y x y y x y =+=-= 代回二次型 得标准形2221235f z z z =-+可逆变换112233*********x z x z x z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）222123123121323(,,)55428f x x x x x x x x x x x x =+++-+解 2212123,,012001f y y X CY C --⎛⎫ ⎪=+== ⎪ ⎪⎝⎭其中解答同（1），略6．在二次型 f （ x 1 ，x 2 ，x 3 ）= 213232221)()()(x x x x x x -+-+- 中，令得 f = 232221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定 f 的秩. 解11011=011---变换矩阵行列式，变换不可逆，所以不能认为上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3因为二次型222123122313222222f x x x x x x x x x =++---，用配方法：令：11232231()2y x x x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 得 本题的另一种解法如下：因为二次型222123122313222222f x x x x x x x x x =++---，其矩阵得特征值1233,0λλλ∴=== 代入123λλ==解得对应的特征向量：12110,110p p --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正交化得：121120,1112ζζ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭代入0λ=解得对应的特征向量：1111p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：标准形：221233f y y =+注意：这两种解法看似答案不一样，但有相同的规范形，所以都正确.7．判断矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与是否合同.解 矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与所对应的二次型具有相同的规范形，合同.习题8.31．判定下列实二次型的正定性.（1）2221231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+（3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+nj i jini ixx x112解 （1）231014A ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭各阶顺序主子式为：该实二次型正定（2）解答同理，略 （3） 解答同理 解 （4） 二次型矩阵故A 的特征值全为正，所以A 正定2． a 为何值时， 实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定的.解 运用顺序主子式法判定 解（1）2101020123(2)101A E c +c +c λλλλλλ--=---- 解得特征值：12302λλλ∴===， （2） 可求得B 的特征值：22,(2)k k +由于当B 的特征值都大于0时正定，所以02k k ≠≠-且时，B 正定.习题八 (A)一、填空题1．二次型222123123121323(,,)23246f x x x x x x x x x x x x =+-+-+的矩阵为 .解 易得：A =212113233-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭2．2123123(,,)()f x x x ax bx cx =++二次型的矩阵为 .解 易得：A=22ab bbc ac bc c ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3．已知二次型的矩阵为124214447-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，则该二次型为 . 解 该二次型为：122212321231213233124(,,)2147488447x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=+++-- ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭4．二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .解因线性变换112223313y x x y x x y x x=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩ 不可逆，故222222123122331123121323(,,)()()()222222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++-++=++++-得二次型的矩阵为：A =211121121011()2112000R A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭5．化二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-为规范形 ，所用的可逆线性变换矩阵为 .解 令1122332y x y x y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 得二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-的规范形222123y y y +-，所用的可逆线性变换矩阵为112⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝6．二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的规范形为 . 解 二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的矩阵为：A =022*********2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求其特征值得：所以规范形为：222123y y y --7．已知实对称矩阵A 与矩阵100012022T X AX ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型的规范形为 .解 由于实对称矩阵A 与矩阵100012022⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则对应的二次型有相同的规范形先求实对称矩阵A 与矩阵100012022⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值：故：12313,2λλλ===-， 所以规范形为：222123y y y +-8．已知2221231231223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++正定，则a = .解9．当t 满足 , 2221231231213(,,)4242f x x x x x x tx x x x =---++是负定的.解10．已知二次型222123123121323(,,)222f x x x x ax x x x ax x x x =+++--的正、负惯性指数均为1，则a = . 解由于二次型的正负惯性指数均为1，故f 的秩为2，于是A 的秩也为2，所以0A = 解得：1221a a =-=， 代入 当12a ∴=- 求其特征值得：所以规范形为：2213y y -符合题意，故12a =-2不合题意，故舍去21a =二、单项选择题1. 已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2,则a =( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3解 11022211011011000100200200a a A a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+-→+-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴=选(A)2. 设100020005A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则下列矩阵中与A 合同的矩阵是( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001 (B)100020001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500010002 (D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300010002 解 A 的特征值两正一负，只有(A)符合题意(A) A 与B 合同 (B) A 与B 等价 (C) A 与B 相似 (D) A 与B 的秩相等 解 根据合同的定义及性质，可知(A),(B),(D)正确，由相似的定义知(C)不正确. 4. 设A, B 都是正定阵, 则( ).(A) AB, A + B 一定都是正定阵 (B) AB 是正定阵, A + B 不是正定阵 (C) AB 不一定是正定阵, A + B 是正定阵 (D) AB, A + B 都不是正定阵 解 选（C ），因为AB 不一定是对称阵5. 下列条件不能保证n 阶实对称矩阵A 为正定的是( ). (A) 1A -正定(B) 二次型f=X T AX 的负惯性指数为零 (C) 二次型f=X T AX 的正惯性指数为n(D) A 合同于单位矩阵解 选(B)，负惯性指数为零也可能是半正定.解 由22212312323123(,,)(2)(23)(3)f x x x x ax x x x x x ax =+-+++++二次型知： 线性变换矩阵的秩为3 选（C ）7. 已知实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O ,则A ( ).(A) 正定 (B) 半正定 (C) 负定 (D) 不定 解 由实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O 两边同乘以特征向量X,得A 的特征值为2或3 ，故选(A)8. 已知二次型222123123121323(,,)22248f x x x x x x ax x x x x x =--+++经正交变换化为 222123227f y y y =+-,则a =( ).(A)1 (B) -1 (C) 2 (D) -2 解 由题意可知： 故选(D)9. 下列矩阵合同于单位矩阵的是( ).(A) 121242363⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (B)101040101-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛811172121 (D)212134244--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭解 通过计算可知选（C ）10. 设矩阵211112111120A B A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭与矩阵，则与( ).(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似(C) 不合同但相似 (D) 既不合同也不相似 解 根据合同与相似的定义可知选(B)(B)1．已知22082006B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于对角阵.（1）求a 的值；（2）求正交变换使二次型X T BX 为标准形.解 先求22082006B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值：代入二重特征值6λ=解得 0a = 220820006B ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭代入12λ=-解得对应的特征向量：1120p -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭代入236λλ==解得对应的特征向量：12102,001p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已 正交，将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：标准形： 222123266y y y -++解 （1）先写出222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-二次型的矩阵：513153153~0126330129()2,3A c c R A c ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭=∴= 代入A 解得：1230,4,9λλλ===（2）标准形： 22491y z +=表示椭圆柱面.3. 已知实二次型f=X T AX 中矩阵A 的特征值为1，2，5，A 属于特征值1与2的特征向量分别为12(0,1,1),(1,0,0),TTαα=-=求该二次型.解法1 设A 属于特征值5的特征向量为1323x x x α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，因A 为实对称阵，故13230,0T Tαααα==，即2310x x x -=⎧⎨=⎩，取 3301,11x α⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，构成可逆矩阵()123010,,101101P ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭计算得：10111200.2011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因1125P AP -⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，故 解法2 设111213122223132333a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由题意：AX X λ= 得 ：1112131213222323332,0011a a a a a a a a a ===-=-=-=- 令 33a a = 可得200101~2015A a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭由 相似矩阵迹相同得：2283a a +=⇒= 4．设二次型123(,,)f x x x 经正交变换 解 由题意412TA Q Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭=220212020-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭5．设A 是n 阶对称矩阵，如果对任一n 维向量X ，都有f=X T AX=0,证明A=O .证明 设()111212122212n n ij n n nn a a a a a a A a a a a ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭，由于A 对称，故ij ji a a = 取()0,1,0,0,(1,2,,)i X i n ε===则0,(1,2,)Ti i ii A a i n εε===再取(0,,0,1,0,,0,1,0,,0)jii j X εε=+=则20Tii ij ji jj ij ji ij X AX a a a a a a a =+++=+== 推出 0ij a =，于是A =O6．设f = T X A X 为n 元实二次型 ，λ与μ 分别为其矩阵A 的最大特征值与最小特征值，证明对任一实n 维向量X ，总有 μT X X ≤T X A X ≤ λT X X ．证明 f = T X A X μT X X =TX EX μ要证对任一实n 维向量X ，总有 μT X X ≤TX A X只需证明对任一实n 维向量X ，()0TX A E X μ-≥ 即 A E μ-半正定 由于存在正交相似变换矩阵Q ，使1111()T T T T n n Q AQ Q A E Q Q AQ Q EQ λλμμμμμμμμμ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⇒-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭显然：11n λμμμμμ--⎛⎫⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭半正定，所以A 与半正定阵合同，故 ()0T X A E X μ-≥ 即对任一实n 维向量X ，总有 μT X X ≤T X A X对任一实n 维向量X ，TX A X ≤λT X X 的情形同理可证7．试证：若A 是n 阶方阵，则 TA A 是半正定矩阵． 证明()0T T T X A AX AX AX =≥TA A ∴是半正定矩阵8．设A 为n 阶实对称矩阵且满足 A A A ++23 = 3 E ，证明A 是正定矩阵．证明 3230A A A E ++-=两边同乘A 的特征向量X, 32(3)0A A A E X ++-=文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.21文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 由于特征向量非零，所以：3230λλλ++-= 即因为A 为n 阶实对称矩阵，所以其特征值只有实数，故只有1是其特征值，因此A 的特征值都为正，所以A 是正定矩阵.9．设实对称矩阵A 与B 合同，若A 是正定矩阵，证明B 是正定矩阵.证明 因为实对称矩阵A 与B 合同，A 是正定矩阵，所以A 与E 合同,由合同的传递性知，E 与B 合同，所以B 是正定矩阵10．设A 是实对称矩阵．证明：当实数t 充分大时，t E ＋ A 是正定矩阵.证法1 显然 A 是对称矩阵.故存在正交阵Q ，有T Q AQ =Λ 对任意的列向量Y ,有：显然当t 充分大时，()T Y tE Y +Λ为正，即t E ＋ A 与正定矩阵合同，t E ＋ A 是正定矩阵.证法2 设A 的特征值为12,,,n λλλ.因A 是实对称阵，故i λ为实数(1,2,)i n = 取 max{}i i t λ>，则tE A +的特征值(1,2,,)i t i n λ+=全大于0，于是t E ＋ A 是正定矩阵.11．设B 为可逆矩阵，A =B T B , 证明f = T X A X 为正定二次型.证明 f = T X A X =T X B T B X =()TBX BX 又B 为可逆矩阵，,X BX θθ∴∀≠≠有，故f = T X A X ＞0，故f = T X A X 为正定二次型.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧化二次型为标准形是线性代数中的重要问题，通常有几种方法可以实现这个目标。
在本文中，我们将探讨这些方法的比较以及一些技巧，以便读者更好地理解和应用这些方法。
一、化二次型为标准型的基本概念和方法在线性代数中，二次型是一个关于变量的二次多项式表达式，通常可以表示为以下形式：Q(x) = x^T A xx 是一个 n 维向量，A 是一个n×n 的对称矩阵。
化二次型为标准形的问题，就是要找到一些变换，将原始的二次型转化为一个更简单的形式，便于进一步的讨论和计算。
常见的标准形有以下几种：1. 标准型一：对角型如果存在一个非奇异矩阵 P，使得 P^TAP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则原始二次型可以化为对角型。
1. 特征值分解法对于对称矩阵 A，我们可以通过特征值分解来化二次型为标准型。
特征值分解的具体步骤如下：Step 1: 求出对称矩阵 A 的特征值和对应的特征向量。
Step 2: 将特征向量构成的矩阵 P 与特征值构成的对角矩阵 D 相乘，即可得到P^TAP = D。
2. 正交相似变换法Step 3: 利用正交矩阵 Q，将原始二次型进行正交相似变换，即可得到 P^TAP = I。
通过正交相似变换，我们可以将二次型化为规范型，即得到规范化的标准形。
3. 秩-零空间法Step 2: 构造一个非奇异矩阵 P，使得 P^TAP = diag{I_r,-I_s,0}。
三、技巧和注意事项1. 特征值分解时，需要注意对称矩阵 A 是否具有 n 个线性无关的特征向量。
如果不是，则需要进行相似变换或者扩展特征向量的方法来满足这一条件。
2. 正交相似变换时，需要注意构造正交矩阵 Q 的方法。
常用的方法包括施密特正交化和 Givens 变换等。
3. 使用秩-零空间法时，需要注意对称矩阵 A 的秩和零空间的维数。
通常情况下，我们可以利用矩阵的秩和零空间的维数的关系来构造非奇异矩阵 P。
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二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别？
首先要搞清两个概念：矩阵的相似和合同
矩阵的相似： 设B A 、为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P 使B AP P =-1，则A 与B 相似。
相似的性质(相似的必要条件)：若~A B ,则
(1)A B =； (2) ()()r A r B =；
(3)
E A E B λλ-=-即有相同的特征值； (4) ii ii a b =∑∑。
矩阵的合同：A 和B 为两个n 阶对称矩阵,若存在n 阶可逆矩阵C 使B AC C T
=，则称A 与B 合同。
例如：1
11,,,1412A B C ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪
=== ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭
则有T C AC B =，显然两矩阵合同特征值未必相同！从而两矩阵合同未必相似！
由实对称矩阵的性质实对称矩阵一定能相似对角化。
从而一定存在可逆阵P 使得1
P AP -=Λ,特别地,
必有正交矩阵Q （1T
Q Q -=）使1123,,1,2,3T i Q AQ Q AQ i λλλλ-⎛⎫
⎪==Λ== ⎪ ⎪⎝⎭
为A 的特征值，故而任意一个实对称矩阵A ，一定存在正交矩阵Q ，使得A 不仅合同而且相似于一个对角阵。
下面看看什么叫可逆线性变化和正交变换？
1112132122
23313233,0c c c C c c c C c
c c ⎛⎫
⎪
=≠ ⎪ ⎪⎝⎭
,若C 为可逆矩阵，称x Cy =为可逆线性变换； 若C 是正交矩阵，称x Cy =为正交变换。
下面来看看对一个二次型施行可逆线性变换会带来什么？
以三元二次型为例：
(),123,,()()()x Cy C T
T T T T f x x x x Ax
Cy A Cy y C AC y y By ∃=====
可逆
,且()T T T T B C AC C AC B ===,
故经可逆线性变换()123,,f x x x 仍为关于123,,y y y 的二次型，且原二次型矩阵A 和新二次型矩阵B 是合同的关系，若C 是正交矩阵,那么1T C C -=,1
T B C AC C AC -==,所以,A B 不仅合同而且相似。
对于任意一个实对称矩阵A ，一定存在正交矩阵Q （1
T Q
Q -=）使得
1
12
3,,1,2,3T i Q AQ Q AQ i λλλλ-⎛⎫
⎪
==Λ== ⎪ ⎪⎝
⎭
为A 的特征值， 因此若用正交变换x Qy =,222112233x Qy
T
T x Ax
y y y y y λλλ∃=∧=++=
(标准形)即A 与∧合同且A 与∧相似,
其中∧的对角线123,,λλλ为A 的特征值。
所以只有用正交变换化二次型为标准形时,标准形平方项的系数才是A 的特征值。
而经一般的可逆线性变换（如配方法）化二次型为标准形，标准形平方项的系数未必为A 的特征值。
下面来看一个具体的例子：
二次型 123(,,)f x x x =222
12312135524x x x x x x x +++-，二次型的矩阵112150205A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，
32231
121
121521
5
21
5021
5
2
5
2(5)50
5
E A r r c c λλλλλλλλλλλ-------=--+---------
1
5
(5)
(5)(6)1
5
λλλλλλ--=-=----，A 的特征值为5,6,0，求出A 的特征向量再单位化可以组成正
交矩阵Q ，123(,,)f x x x =22212312135524x x x x x x x +++-经正交变换x Qy =化为222
123560y y y ++，
下面再看配方法：
123(,,)f x x x =222222221231213112323232355242(2)(2)(2)55x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-=+-+---++
22222123223312323(2)44(2)(2)x x x x x x x x x x x x =+-+++=+-++，经可逆线性变换1123
2233
322y x x x y x x y x =+-⎧⎪
=
+⎨⎪=⎩化二次型为标准形22
12y y +。
可见1,1,0并不是二次型矩阵A 的特征值！。