3[1].变分法与Hamilton原理

0 Euler 方程
,
0，应视为独立的变分，得自然边界条
0,
0
(3) EULER方程的首次积分
①
, ，“百度文库义能量”
constant
②
, ，“广义动量” constant
③
, ，得代数方程 0，可直接解出 。
7 / 40
例 最速降线的另一种解法（沈 p219）设
，
有“广义能量积分”，……
(4) 多变量泛函的固定边界驻值
07-12-06, 09:55
第 3 章 变分法与HAMILTON原理
一、 泛函与变分
1. 泛函
普通函数 :
,
泛函是普通函数概念的推广，Φ: 集合
自变量的集合通常取为函数，Φ
。
例
2 是函数；Φ
1 是泛函，并且有
Φ sin sin 1 0.84, Φ exp e 2.718, Φ 3.
例Φ
，则
Φ1
0.864665;
,Φ
例 位移 , , , 。
. , , , ，虚位移
,
,
例 Φ, Φ, Φ
，（变分与积分可交换在后面证明）
,
Φ,
4. LAGRANGE变分基本引理
设 在区间 , 上连续， 及其 2 阶导数在 , 上连续，且在端点处
0。如果任意这样的函数 均满足
0，则必有
,,
0。
用反证法很容易证明：反设
,,
存在 点的邻域
下面来求
, 处的泛函导数，
1 2
1
1 2
2
21
1 21
1 21
0,
1
1 2
2
21
1 21
1 21
0.
1 21
所以有
1 21
2 12
1 0
21 1
1 1
arcsin
将 点坐标 0,0 代入得 0 0
0；另一个积分常数 2
1
arcsin
1
定出。右边只取正号的原因是：令
2 1
0可由
arcsin
1
2
1
sin cos
,
, ，在
,
0，不妨设
0。由于 连续，
上
0。现在构造 为
0,
,
;
0,
,
,
则
4
0
2
23
与
注：定理中 等等。
0矛盾，所以 0。
,,
0。再由函数的连续性，在端点上同样有
所需满足的条件可以更改为“连续”或者“1 阶导数连续”，“3 阶导数连续”
5. 泛函的导数
多变量函数的偏导数定义为
,,, 或者写成微分形式，
点为原点，设 0, 0。 , 两点之间用曲线
连接，一个质点被束缚在曲线上运
动，在重力作用下自由下降，初速为 0。什么样的曲线形状可以使质点从 到 所花的时间最少？
解 机械能守恒， 通过这段弧所需的时间为
2 ；弧长
1，
从 到 所花的时间为
1 2
1 2
取极值的必要条件为
,,
0.
5 / 40
注意上式无需对端点成立，因为端点处
例Φ ,
,, ，
Φ
,
Φ
Φ
2
9. 泛函的连续性
对于泛函Φ ，给定函数
，如果能够满足
0,
0，当|
|Φ Φ | ,
| ,|
| ,,
则称泛函Φ 在 处 阶接近的连续。
10. 泛函的极值
泛函Φ 取在 处取驻值的条件为
0，或等价地 Φ 0.
时，有
泛函取极值的条件除了 Φ 0外，还必须满足 Φ 0（取极大值）或 Φ 0（取极小值）。
1
1
2
1
1
0
注：沈 p220 例 2.64 遗漏了 Goldschmidt 解（Goldstein 3ed. P40），变分法 前面的因子如果不 连续，则不一定为 0（此时 Lagrange 变分引理的前提条件不成立）。
(2) 固定边界的积分型泛函驻值
Φ
,,
在边界条件
,
下的驻值条件为
0Φ
,,
如果没有指定边界处的函数值，则 件
有关。变分得驻值条件（边界条件为
,
, 1,2； ,
独立）
0,
0
虽然有两个方程，但是不可能由此解出
（能解出就奇怪了☺），这两个方程必然不
独立。选择其中一个方程和定义参数 的方程联立，即可以求解。
如果 是弧长参数，则定义参数 的方程为
1。
总之，在变分时，应该无视参数方程，把 , 当成独立的变分。
(8) 几何光学的FERMAT原理（变分法的先驱） 光线的真实路径满足
13 / 40
在微分方程中令
0
0
0
0
/2，得隐藏的另外一个边界条件，
2
0
2
2
0 2
其几何意义是，上表面正中间的点切面和水平面夹角为 0。
求解微分方程后，代入约束条件
cos
，可确定参数 λ 。
图 1 用 RUNGE‐KUTA 法做数值计算，求出的水银滴在水平玻璃上的形状。计算中取 水银与玻璃的接触角为 ，水银的质量为 0.1 克。左图中横轴 的单位是度，竖轴 的形状，单位是毫米。
.
,
.,
.，
的单位是毫米；右图是水银滴
这个微分方程可以用数值解法，结果见上图。也可以用级数解法：
由于水银与玻璃的接触角为 ，即 开为 Taylor 级数，
1
0
0
0
为了分析 在 0附近地渐近行为，将微分方程
sin 2
2 cos
cos 2
23
∞，有奇异性，不能简单地展
sin
2
0
√
的左边只保留到领头项（leading term），
左边
12
1 23
1 12
右边 0
设 0时，
,
0,1
,
1
14 / 40
代入上式得
1
1
0
考虑到左右对称，令
1
2
,
0.
2
1 2!
代入微分方程，并将微分方程左边按
1
⁄1
3!
4!
的级数展开，得
2
4
,
,
3
保留到 项，再由
23 3 3
13
,
4 12
5
103 16 48
,
45
5
2
2 2
2 2
2
2,
3
cos
0.0001
sin ,
2 22
sin
arcsin
1
0，又 0，所以只能取正号。曲线方程为
1
arcsin
1
这个曲线方程可以改成参数形式，arcsin
sin ，取
，
是摆线方程。
sin 1 cos
这里我们只验证了驻值条件，还需进一步验证是否有二次变分 0，
6 / 40
1
21
1
1
21
确实是极小值。
另一种解法是设
，见沈 p219.
解出 , ，得
⁄
0.562551 0.422487 π θ θ 0.211530 π θ θ 0.0604328 π θ θ
⁄
0.0173699 π θ θ 0.00202953 π θ θ
0.000561428 π θ θ
⁄
0.00164894 π θ θ
则水银的表面可以用广义坐标
描述，其中 是表面上的点 P 到原点的距离， 是 P 点与原
点的连线对桌面的夹角， 0, /2 。
按虚功原理，水银的形状应该使得势能最低，同时还必须满足体积为 的约束条件，
sin
2
势能分为重力势能和表面能两部分，
2
cos
3
cos
。重力势能为
sin
sin
1
2
sin cos
4
总表面能为液气表面积 和液固表面积 的表面能之和
1 绳长不变，得约束条件
0
1
由于有约束， 不独立。引进拉氏乘子，得 0
10 / 40
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1
01
0 1
可以直接求解方程，也可以利用“广义能量积分”，
1 1
1
,
1 1
1
ln cosh
3 个待定常数（2 个积分常数，1 个来自拉氏乘子）由代数方程
,
,
1
1 sinh
2 cosh
(1) 悬链线（自习） J.Bernoulli,1690. 金 p249, 沈 p220 的解法不严格。
不可伸长的柔性链，线密度为 ，长度为 ，两端挂在 A、B 两个固定点上。求绳子的形状。
解 AB 线段所在的垂直平面内，以水平方向为 轴，垂直向上为 轴，建立直角坐标系。平衡时，
链的形状
使得势能取极小。
2 sinh 2
确定。 注：将坐标原点平移，总可以把悬链线方程写成
cosh 。
沈、金教材上由于没有严格地按条件极值来处理，得到的是特解。如果以绳子中心点即最
低点为坐标原点，则绳子的形状为
cosh 1 ，显然没有包含于课本给出的解中。
此问题也可以用牛顿力学来解。设张力为 ，水平方向力的平衡：
0
1
；垂直方向力的平衡：
1
2
1 1
21
1
|
|
另一种计算方法：
12
Φ
12
1
1
2
1
2
1
3 / 40
2 例S
1 √1
,,
S
1
2
12
1 2
1
6. 变分的运算规则
与微分法则类似，可以证明，
ΦΦ
Φ
ΦΦ
Φ Φ Φ Φ,
Φ （线性）
Φ
Φ Φ ΦΦ
Φ
Φ
Φ
Φ Φ,
Φ , ,Φ
7. 变分可以与微分、积分交换次序
按定义，
Φ Φ
lim
lim
lim
lim
这一步交换求和顺序不严格，对病态函数可能不成立
因此对虚位移，
，在分析力学中称为等时变分或简单变分。
分析力学中还有其它方式定义的变分，一般说来等价于 与平移的混合运算，此时Δ
Δ。
对于积分，
lim
Δ
lim
Δ lim
Δ
lim
Δ 这一步交换求和顺序不严格，对某些病态函数可能不成立
8. 泛函的高阶变分
4 / 40
,,
,
0 其中
, 边界固定
,,
或者等价地
,,
,, ,
0.
,, ,,
9 / 40
0
0 0 0
上面的 3 个方程只有 2 个是独立的。
如果取弧长为参数，
,
,
1，方程成为
0,
0,
0
任选两个，并与
1联立可解。
补充作业： 设光线在 ‐ 平面传播，轨迹为
迹。
，折射率为
。利用 Fermat 原理，求光线轨
12. 泛函的条件极值
的极值。）。
sin 2
2 cos
cos 2
23
sin
2
0,
√
以及边界条件1
1 0 0的边界条件不对应能量极小，此时液滴和桌面接触只有一个点，压强无穷大。
的物理
意义是cos π φ ，φ为浸润角。在材料力学中，我们得到的边界条件被称为 Young 氏方程式，是通过分析 三相边界点处，表面张力的平衡条件得到的（T. Young, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1805,95,65）。
例Φ
sin Φ
0.337979.
1
泛函可类比于多变量函数，
,,, ~ ,,, ,
Φ~
的定义域 .
这里的 相当于前面多变量函数的自变量 ，
,
；泛函Φ 是以不可数无穷多个变
量,
, 作为自变量的函数。
例 复合函数可以看成是一族泛函，
,,
，其中 是参数。
2. 变分
泛函可类比于多变量函数，
多变量函数 , , , ，自变量的微分为 , , , ,
√
cos
sin
2
√
0
2
0
0
00
cos
sin
2
23
√
0
2
0
0
00
极值条件为
0
sin 2
2 cos
cos 2
0
2
0
0
于是得微分方程
23 00
sin 2
√
sin 2
2 cos
cos 2
23
sin
2
0
√
和边界条件
0
0
0
00
微分方程成立的一个可能是
0，但这不是物理解（
所以能量最低状态满足下面的微分方程
0给出的是泛函
1
。把第一式代入第二式，
1
sinh
sinh
.
,
cosh
;
cosh
,
,
11 / 40
(2) 水银滴的表面形状 一滴水银静止于水平桌面上，求它的表面形状。
设水银的密度为 ，体积为 ；水银与空气之间的表面张力系数为 ，水银与桌面间的表面 张力系数为 ，桌面与空气之间的表面张力系数为 。
由对称性，水银的表面旋转对称。取坐标原点为桌面上水银滴的中心点，桌面为 ‐ 平面，
；
泛函Φ 的自变量为
定义域 ，自变量的变分
,
数的无穷小改变。
，即函
小参量法的定义为
，其中 为任意无穷小量， 为任意连续有界函数。类似于数
学分析中的 ‐ 语言，这是严格的数学定义。下面的叙述我们不追求数学上的严格性。
3. 泛函的变分
函数的微分
,,,
,
,,
,,, .
泛函的变分 Φ
Φ
Φ.
1 / 40
例Φ
一般的含 阶导数的泛函
Φ
,, , ,
,
,
,,
,
Euler 方程为
自然边界条件
1
0
8 / 40
当
, 时，
1
0
1
0
0
(7) 用参数表示的固定边界泛函驻值
Φ
,,
把 的自变量写成参数形式，
，其中函数 ,
可任意变化，那么
⁄ ⁄
Φ, Φ
,, ⁄
,, ,
从上面的泛函定义来看，很显然，泛函的取值与参数化方案 无关，而只与
sin 2
2 cos
2
约束条件下的极值条件为δ 定常数。
cos 2 cos
0 0 0，其中 是 Lagrange 乘子，为待
sin 2
2 2 2
又
cos
2
00
√
cos 2
cos √ 00
cos
2
cos √
00 cos
2 √
12 / 40
cos
√
√
√ 得
12
2
2
cos
sin
√
cos
sin
√
cos
sin
Φ ,, ,
,, , ,, ,
,
，,
，
,
Euler 方程为
不指定边值时，自然边界条件为
0,
1,2, , .
(5) 多重积分型泛函的固定边界驻值
Φ
, , ,, ,
0
,
, 边界值
Euler 方程
已指定。
0
注意左边第二项 是对整个括号中式子求偏导数，
。
不指定边值，可得自然边界条件
0
,,
(6) 含高阶导数泛函的固定边界驻值 以 2 阶为例计算。……
11. 固定边界的泛函极值
在历史上，对最速降线问题（the brachistochrone problem）的分析导致了变分法（calculus of variation）的发明。（Fermat 原理比 Bernoulli 的最速降线更早了几十年）
(1) 最速降线
例 （J. Bernoulli, 1696 年）垂直平面上有两个固定的点 , 。以水平方向为 轴，向下方向为 轴，
, , Δ, , lim
Δ
, ,, ,
,, ,
泛函的导数定义为
Φ Φ
2 / 40
按习惯， 一般写成 。
例Φ
，Φ
Φ
Φ
，
Φ Φ
0
这里δ~ ，由 Lagrange 引理，
例Φ
，
Φ
例 Φ, Φ 0
Φ
其中 是阶跃函数（Heaviside function）。
例Φ
12
Φ
1
2
2 1
1
1 1 12
上面用了 函数的性质