2019初中数学因式分解的应用拓展创新题型专项训练八(附答案详解)

2019初中数学因式分解的应用拓展创新题型专项训练八（附答案详解）1．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．

例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；例如求代数式2x2+4x-6的最小值，2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8，可知当时，

有最小值，最小值是．

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）分解因式：m2-4m-5= ．

（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2-4+6b+18有最小值，并求出这个最小值．

（3）当a，b为何值时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+27有最小值，并求出这个最小值．

2．仔细阅读下面例题：

例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式x+n，得x2+5x+m＝（x+2）（x+n），

则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，

∴n+2＝5，m＝2n，

解得n＝3，m＝6，

∴另一个因式为x+3，m的值为6．

依照以上方法解答下面问题：

（1）若二次三项式x2﹣7x+12可分解为（x﹣3）（x+a），则a＝．

（2）若二次三项式2x2+bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝．

（3）已知二次三项式2x2+9x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．

3．阅读下列材料，然后解答问题：

分解因式：x3＋3x2－4.

解答：把x＝1代入多项式x3＋3x2－4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3＋3x2－4中有因式(x－1)，于是可设x3＋3x2－4＝(x－1)(x2＋mx＋n)，分别求出m，n的值，再代入x3＋3x2－4＝(x－1)(x2＋mx＋n)，就容易分解多项式x3＋3x2－4.这种分解因式的方法叫“试根法”．

(1)求上述式子中m，n的值；

(2)请你用“试根法”分解因式：x3＋x2－16x－16.

4．将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列（含n本身）后，得到新的三位数（a ＜c），在所有重新排列大的数中，当|a+c﹣2b|最小时，我们称是n的“天时数”，并规定F （n）=b2﹣ac．当|a+c﹣2b|最大时，我们称是n的“地利数”，并规定G（n）=ac﹣b2．并规定M（n）=是n的“人和数”，例如：215可以重新排列为125，152，215，因为|1+5﹣2×2|=2，|1+2﹣2×5|=7，|2+5﹣2×1|=5，且2＜5＜7，所以125是215的“天时数”F（125）=22﹣1×5=﹣1，152是215的“地利数”，G（152）=1×2﹣52=﹣23，M（215）=．（1）计算：F（168），G（168）；

（2）设三位自然数s=100x+50+y（1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y均为正整数），交换其个位上的数字与百位上的数字得到t，若s﹣t=693，那么我们称s为“厚积薄发数”；请求出所有“厚积薄发数”中M（s）的最大值．

5．(10分)先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.

解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则

原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.

再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；

(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；

(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．

6．如图，有若干个长方形和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a2+3ab+b2

（1）则需要A类卡片多少张，B类卡片多少张，C类卡片多少张；

（2）画出你所拼成的图形，并且请你用不同于2a2+3ab+b2的形式表示出所拼图形的面积；（3）根据你拼成的图形把多项式2a2+3ab+b2分解因式．

答案：

1．（1）(m-5)(m+1)（2）2,-3,5；（3）4，3，17.

解：（1）m2﹣4m﹣5

=m2﹣4m+4﹣9

=（m﹣2）2﹣9

=（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）

=（m+1）（m﹣5）．

故答案为：（m+1）（m﹣5）；

（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18=（a﹣2）2+（b+3）2+5，

∴当a=2，b=﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；

（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27

=a2﹣2a（b+1）+（b+1）2+（b﹣3）2+17

=（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，

∴当a=4，b=3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值17．2.（1）－4；（2）－1；（3）另一个因式为x+5，k的值为5

解：（1）∵（x﹣3）（x+a）＝x2+（a﹣3）x﹣3a＝x2﹣7x+12，

∴a﹣3＝﹣7，

解得：a＝﹣4；

故答案是：﹣4

（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6，

∴b＝﹣1．

故答案是：﹣1．

（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），

则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，

∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，

解得n＝5，k＝5，

∴另一个因式为x+5，k的值为5．

3．（1）m=4，n=4；（2）(x＋1)(x＋4)(x－4)．

解：（1）原式＝(x－1)(x2＋mx＋n)

＝x3＋mx2＋nx－x2－mx－n

＝x3＋(m－1)x2＋(n－m)x－n，

根据题意得解得；

（2）把x＝－1代入，发现多项式的值为0，