复习专题：等腰三角形中的分类讨论

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等腰三角形中的分类讨论

等腰三角形中的分类讨论一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，也就是说，等腰三角形的两条边边长相等，而另一条边则较短。

等腰三角形可以有不同的形状和性质，下面将对等腰三角形进行分类讨论。

二、等腰三角形的分类1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的一个内角为直角（即90度）。

在等腰直角三角形中，另外两个内角相等，均为45度。

根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系为：斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2。

2. 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指两个等腰三角形的顶点角小于90度的三角形。

在等腰锐角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则小于90度。

等腰锐角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。

3. 等腰钝角三角形等腰钝角三角形是指两个等腰三角形的顶点角大于90度的三角形。

在等腰钝角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则大于90度。

等腰钝角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。

4. 等腰等边三角形等腰等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的三个边全都相等。

等腰等边三角形的三个内角均为60度。

等腰等边三角形具有许多特殊性质，例如：它的三条高线、中线、角平分线和垂直平分线都重合于同一个点；它的外接圆和内切圆都与三个顶点相切。

三、等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，根据顶点角的大小和不同属性，可以进一步分类为等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰等边三角形。

每种分类的等腰三角形都有其特殊的性质和关系，值得我们深入学习和研究。

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2020年中考数学专题训练(四)等腰三角形中的分类讨论思想

专题训练(四)等腰三角形中的分类讨论思想类型一腰与底不明或顶角与底角不明时需分类讨论解题策略:先分不同情况画出图形,再进行计算.当不明确腰和底时,还要利用三角形三边关系进行检验.1.(1)等腰三角形的两边长分别为2和5,则其周长为.(2)等腰三角形的两边长分别为2,3,则其周长为;(3)等腰三角形的两边长分别为2,4,则其周长为.2.若等腰三角形的一个角为80°,则顶角为.3.若等腰三角形的一个角为110°,则顶角为.4.若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍,则其底角为.类型二锐角与钝角不明时需分类讨论解题策略:此类题目一般与三角形的高相联系,主要的讨论点在于三角形的形状不同,高的位置不同.5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,求这个三角形的底角的度数.6.已知△ABC中,CA=CB,AD⊥BC于点D,∠CAD=50°,求∠B的度数.7.已知△ABC的高AD,BE所在的直线交于点F,若BF=AC,求∠ABC的度数.类型三画等腰三角形时的分类讨论解题策略:在平面直角坐标系中找一个点,使它与另两个定点构成一个等腰三角形的基本方法有两种:(1)以两定点中的一个为圆心,以两点之间的距离为半径作圆;(2)连接两定点,作线段的垂直平分线.8.在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C(原点除外),使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C有个.9.在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有个.10.已知点A和B,以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形,一共可以作出个.教师详解详析例112[解析] 本题在解答过程中,要分两种情况:①当2为腰长时,三角形的三边长为2,2,5,显然不能构成三角形;②当5为腰长时,三角形的三边长为5,5,2,能构成三角形,所以其周长为12.1.(1)7或8(2)102.20°或80°3.110°4.45°或72°例2(1)如图①,当△ABC是锐角三角形时,作BD⊥AC于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=45°.由三角形的内角和定理可得∠C=67.5°.(2)如图②,当△ABC是钝角三角形时,作BD⊥AC交CA的延长线于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=135°.由三角形的内角和定理可得∠C=22.5°.综上,这个三角形的底角的度数为67.5°或22.5°.5.解:当∠C为锐角时,∠B=70°;当∠C为钝角时,∠B=20°.6.解:先证△BDF≌△ADC,①当∠ABC为锐角时,∠ABC=45°;②当∠ABC为钝角时,∠ABC=135°.故∠ABC的度数为45°或135°.例34[解析] 如图,共4个点.7.88.6。

等腰三角形性质复习之分类讨论

12攀枝花）已知实数x，y满足
分析：两边长
（不确定）
4是底边 8是腰 4是腰 8是底边
（不可能）另一腰是8
另一腰是4
周长是20
练习（关于边的分类）
等腰三角形一腰上的中线把周长分成 27和9两部分，则它的底边长等于
27
9
9
27
例题精练（关于形的分类）
一个等腰三角形的一腰上的高线和另一腰的夹角为 50度，则等腰三角形的底角为。分析：
条件确定
关于分类讨论
分类讨论的定义：当数学问题中的条件、结论不确定时，就应分类讨论。分类讨论思想是指在解决一个问题时，将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想。分类讨论解题的实质：是将整体问题化为部分问题来解决。
分类讨论的原则：是不重复、不遗漏。讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。
巩固练习
4、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°， ∠BOC=α ．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
提高练习
1、已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，P是AB的中点，（1）如图1，如果点D，点E分别在边AC，BC上移动，在移动过程中保持 CD=BE, 请判断△PDE的形状（无需说明理由）（2）如图2，如果点D,点E分别在AC，CB的延长线上移动，在移动过程中仍保持CD=BE，请问：（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（3）如图3，将一块与△ABC全等的三角板如图放置（DE边与 CB边重合），现将三角板绕点C顺时针旋转，当DF边与CA边重合时停止，不考虑起始和结束时情形，设DE，DF （或它们的延长线）分别交AB（或它的延长线）于G，H点（可参考图4），问BG长为多少时，△CGH是等腰三角形？（只需直接写出BG值）

八年级等腰三角形的分类讨论专题

专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。

2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。

3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。

8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。

专题训练等腰三角形中的分类讨论

专题复习——等腰三角形中的分类讨论例1. 已知等腰△ABC中，有一个内角为40o，则另两个内角分别为________________．例2. 在△ABC中，∠A的外角等于110°，△ABC是等腰三角形，那么∠B＝。

例3．等腰三角形两内角的度数比为2∶1，则顶角为。

例1.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是例2. 等腰三角形的周长为22 cm,其中一边的长是8 cm,则其余两边长分别为_________.例3. 一等腰三角形的周长是25cm，作某一腰上的中线分得两个三角形的周长一个比另一个长5cm，则腰长是例1. 等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,它的底角为例2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于20 ,则等腰三角形的顶角度数为例1. 如图，点B在直线L上，点A在直线L外，在直线L上找点C，使得△ABC为等腰三角形。

（要求保留作图痕迹，写清点C的个数）LB例2．在直角坐标系中，O点为坐标原点，A（2，-4），动点B在坐标轴上。

则满足△OAB为等腰三角形的有B点共有个例3. P为直线1:32l y x A=-上一点，（2，0），求使△PAO为等腰三角形的点P的坐标.等腰三角形中的分类讨论练习姓名：日期：指导老师：侯尧等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的基本性质以外，还具有许多独特的性质，最主要的体现就是它的两底角相等，两腰相等，正是由于具有这两个相等，所以在解等腰三角形的有关题目时必须全面思考，分类讨论，以防漏解。

下面就常见题型举例说明如下：一、角不确定时需分类讨论1、若等腰三角形的一个角为40°，则其他两个角分别为若等腰三角形的一个角为100°，则其他两个角分别为二、边不确定时需分类讨论2、等腰三角形一边长是10cm，另一边长是6cm，则它的周长是等腰三角形的两边长分别是9cm和4cm，则它的周长是等腰三角形周长是20cm，一边长为8cm，则其他两边长分别是等腰三角形周长是20cm，一边长为4cm，则其他两边长分别是等腰三角形周长是13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为三、高不确定时需分类讨论3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为30°，则顶角的度数为等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角的度数为四、其它（1）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长（2）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求三角形的三边长（3）一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长5、已知点A和点B，以点A和点B为其中两个点作位置不同的等腰三角形，一共可以作个6、有一个等腰三角形，三边分别是3x-2,4x-3,6-2x,求等腰三角形的周长7、如图，在等边ΔABC所在的平面内求一点P，使ΔPAB、ΔPBC、ΔPAC都是等腰三角形，你能找到几个这样的点？画图描述他们的位置。

等腰三角形的分类讨论

等腰三角形的分类讨论关键信息项1、等腰三角形的定义和性质定义：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

性质：两腰相等；两底角相等；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

2、等腰三角形的分类依据边的长度：分为等边三角形（三边相等）和一般等腰三角形（只有两边相等）。

角的大小：锐角等腰三角形、直角等腰三角形、钝角等腰三角形。

3、分类讨论的情况已知三角形的两边长度，求第三边长度时，需分情况讨论。

已知三角形的一个角的度数，求其他角的度数时，需分情况讨论。

已知三角形的周长和边的关系，求边长时，需分情况讨论。

11 等腰三角形的定义和性质的详细说明等腰三角形是一种特殊的三角形，其定义为至少有两边相等的三角形。

这一特征使得等腰三角形具有独特的性质。

首先，两腰长度相等，这是等腰三角形的最基本特征。

其次，两底角（即两腰所对的角）相等。

这一性质在解决与角度相关的问题时经常被用到。

再者，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这条性质被称为“三线合一”，它为证明线段相等、角相等以及解决相关几何问题提供了重要的依据。

111 等腰三角形性质的应用在实际解题中，等腰三角形的性质经常被用于构建等式、求解未知量。

例如，已知一个等腰三角形的顶角为 80 度，由于两底角相等，根据三角形内角和为 180 度，可以计算出底角的度数为（180 80）÷ 2 ＝50 度。

12 等腰三角形的分类依据121 边的长度分类从边的长度来看，等腰三角形可以分为等边三角形和一般等腰三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形，其三条边长度均相等。

一般等腰三角形则只有两条边长度相等。

122 角的大小分类根据角的大小，等腰三角形可分为锐角等腰三角形（三个角均为锐角）、直角等腰三角形（其中一个角为直角）和钝角等腰三角形（其中一个角为钝角）。

13 分类讨论的情况131 已知两边长度求第三边当已知等腰三角形的两边长度时，求第三边的长度需要分情况讨论。

专题08 等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)

专题08等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。

1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。

2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）例1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）ABC 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC 的周长为（）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC 的腰为5时，ABC 的周长55717++=；当ABC 的腰为7时，ABC 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．例2．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为32cm ，一边长为8cm ，则其它两边长是（）∴150∠=︒，即顶角为150︒；故答案为：30︒或150︒．BAC【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．例5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．例6．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ 为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE ′F ′=∠CQP +∠QDE ′，∴∠QDE ′=∠DE ′F ′-∠CQP =60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP 为顶角时，∠CPQ =∠PCQ =45°，∴∠CQP =90°，∴∠QDF ′=90°-∠DF ′E ′=60°，∴∠QDE ′=∠E ′DF ′-∠QDF ′=30°，∴α=∠EDE ′=∠EDQ +∠QDE ′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．例7．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，70AOB ∠=︒，点C 是边OB 上的一个定点，点P 在角的另一边OA 上运动，当COP 是等腰三角形，OCP ∠=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC PC =，②当PO PC =，③当OP OC =，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，(1)若点P在BC上，且满足PA PB=，求此时(3)在运动过程中，当t为何值时，ACP△【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或90ACB∠=︒，5cmAB=在Rt ACP中，由勾股定理得()22234x x∴+-=，解得BP 平分ABC ∠，C ∠在BCP 与BDP △中，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴=．②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==．③如图，当P 在AB 上且(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =-+-，，(2)()33242y m m =+-<<，的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练A．120︒B．75︒【答案】C【答案】D【分析】分为AB AC =、BC BA =，CB CA =三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB AC =时，符合条件的点有2个；当BC BA =时，符合条件的点有1个；当CB CA =，即当点C 在AB 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C 共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，则满足条件的格点C 有()A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，∴满足条件的格点C 有4个，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键A．3【答案】D故选：满足条件的点M 的个数为2．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，8BC =，6AC =．若点P 为直线BC 上一点，且ABP △为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,1，在x 轴上确定点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，22112OA=+=，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣2，0），P3（2，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵ABD ∠11【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是1293-=，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：1293-=，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为3x +，由题意可得，32129x x ++=+，解得：6x =，3639x +=+=，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为3x -，由题意可得，32129x x -+=+，解得：8x =，3835x -=-=，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1，2），在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有____个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点（O 除外）；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm AC =，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A C B A ---运动，设运动时间为t 秒()0t >，当点P 在边AB 上，【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵90ACB ∠=当P 在BA 上时，①②当6cm BC CP ==时，过CD PB ⊥于点D ，如图，∴12BD DP BP ==，∵12ABC S AC BC CD ==V g g ，∴ 4.8AC BC CD AB == ，在Rt CBD △中，由勾股定理得：()2226 4.8 3.6cm BD BC CD =--=，∴)22 3.6cm BP BD ==⨯=，∴(()867.221.2s t =++，【答案】5或8【分析】ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt ABC △中，∠②当AB AP =时，28cm 8BP BC t ===，故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．15．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD BD =，点E 是线段AB 上的动点（与A 、B 不重合），连接DE ，当BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为___________．【答案】4或4【分析】现根据已知条件得出30CBD ABD BAD ∠=∠=∠=︒，再根据BC =6，分别求出AB 、AC 、BD 、AD 、（2）当BE =DE ，如图：∵BE =DE ∠EDB =∠ABD =30°，∴∠AED =∠EDB ∴∠ADE =180°-∠AED -∠A =180°-60°-30°=90°，∴ ADE 为直角三角形，又∵30A ∠=︒且AD =43，∴DE ，∴BE =4；（3）当BD =DE ，时，点E 与A 重合，不符合题意；综上所述，BE 为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A ＝30°，点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个动点，分别连接BP 和PQ ，把△ABC 分割成三个三角形△ABP ，△BPQ ，△PQC ，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C 有可能的值有________个．【答案】7【分析】①当AB=AP ，BQ=PQ ，CP=CQ 时；②当AB=AP ，BP=BQ ，PQ=QC 时；③当APB ，PB=BQ ，PQ=CQ 时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点1P、2P、3P即为所求．△是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意ACP18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2个B．6个C．10个D．12个【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．19．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，()2-+-=．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为24OA OB6805，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A （0，6），B （8，0）；(2)AB =10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非负数的性质知OA =6，OB =8，据此可得点A 和点B 的坐标；（2）根据1122OAB S AB d OA OB == △求解可得；（3）先设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，，再分PA =AB 和AB =PB 两种情况分别求解可得．(1)()2680OA OB -+-= ∴O −6=0O −8=068OA OB ∴==则A 点的坐标为A （0，6），B 点的坐标为（8，0）(2)1122OAB S AB d OA OB == △，245d =6810245OA OB AB d ⨯∴=== (3)存在点P ，使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，①若PA =AB ，则22PA AB =，即226100a +=，解得a =8(舍)或a =−8，此时点P (−8，0)；②若AB =PB ，即22AB PB =，即()21008a =-解得a =18或a =−2，此时点P (18，0)或(−2，0)；综上，存在点P ，使△ABP 使以AB 为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形OABC 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O 与坐标原点重合，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为()3,4，D 的坐标为()2,4，现将纸片沿过D 点的直线折叠，使顶点C 落在线段AB 上的点F 处，折痕与y 轴的交点记为E ．。

【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：等腰三角形中的分类讨论(解析版)

【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：等腰三角形中的分类讨论【知识点睛】❖ 在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形；❖ 没有明确指明角是顶角或底角时，也要进行分类讨论设等腰三角形中有一个角为α时对应结论当α为顶角时底角=α2190-︒当α为直角或钝角时不需要分类讨论，该角必为顶角当α为锐角时α可以为顶角；也可以为底角当等腰三角形的一个外角为α时对应结论若α为锐角、直角 α必为顶角的外角若α为钝角α可以是顶角的外角，也可以是底角的外角❖ 动态环境下的等腰三角形存在性问题【类题训练】1．△ABC 中，AB ＝AC ，一腰上的中线BD 把三角形的周长分为9cm 和12cm 两部分，则此三角形的腰长是 8cm 或6cm ．【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12厘米和18厘米两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是9cm ，哪个是12cm ，因此，有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：根据题意画出图形，如图，设等腰三角形的腰长AB ＝AC ＝2x ，BC ＝y ， ∵BD 是腰上的中线， ∴AD ＝DC ＝x ，若AB +AD 的长为12，则2x +x ＝12，解得x ＝4cm ，则x +y ＝9，即4+y ＝9，解得y ＝5cm ；若AB +AD 的长为9，则2x +x ＝9，解得x ＝3cm ，则x+y＝12，即3+y＝12，解得y＝9cm；所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm．故答案为：8cm或6cm．2．（1）等腰三角形中有一个角是70°，则它的顶角是70°或40°．（2）等腰三角形中有一个角是100°，则它的另两个角是40°，40°．（3）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°．【分析】（1）等腰三角形一内角为70°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．（2）由于等腰三角形的两底角相等，所以100°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角．（3）题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．【解答】解：（1）①当70°角为顶角，顶角度数即为70°；②当70°为底角时，顶角＝180°﹣2×70°＝40°．（2）∵等腰三角形的两底角相等∴两底角的和为180°﹣100°＝80°∴两个底角分别为40°，40°．（3）①当∠A＝70°时，则∠ABC＝∠C＝55°，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣55°＝35°；②当∠C＝70°时，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣70°＝20°故答案为：70°或40°；40°，40°；35°或20°．3．如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是9cm或cm．【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为xcm，则底边长为（19﹣2x）cm，再根据两个三角形的周长差是4cm求出x的值即可．【解答】解：如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，设AB＝AC＝xcm，∵点D为AC的中点，∴AD＝CD＝，BC＝25﹣（AB+AC）＝35﹣2x，当△ABD的周长大于△BCD的周长时，AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）＝4，即x+﹣（35﹣2x）﹣＝4，解得x＝13，底边长为35﹣13×2＝9（cm）；当△BCD的周长大于△ABD的周长时，则BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）＝4，即35﹣2x+﹣（x+）＝4，解得x＝，底边长为35﹣×2＝（cm）．综上所述，这个等腰三角形的底边长为9cm或cm．故答案为：9cm或cm．4．已知△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC于D，∠CAD＝50°，则∠B＝70°或20°．【分析】利用直角三角形两锐角互余可求得∠C，再利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求得∠B．【解答】解：若△ACB是锐角三角形，如图1．∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，∴∠C＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB，且2∠B+∠C＝180°，∴∠B＝70°，若△ACB是钝角三角形，如图2．∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，∴∠DCA＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB，且∠DCA＝∠B+∠CAB∴∠B＝20°故答案为：70°或20°．5．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA＝AP；第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB＝PB；第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝PB；第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB＝P A；第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝AP；第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA＝∠P AB；∴符合条件的点P有6个点．故选：B．6．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（）A．5B．6C．7D．8【分析】设等腰三角形的腰为x，底边为y，根据三角形的周长求出y＝21﹣2x，根据三角形三边关系定理得出x+x＞y，求出x+y＞21﹣2x，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：设等腰三角形的腰为x，底边为y，则x＞0，y＞0，x+x＞y，则x+x+y＝21，即①y＝21﹣2x＞0，所以②x+x＞21﹣2x，解①②得：5＜x＜10.5，所以整数x可以为6，7，8，9，10，共5种，故选：A．7．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°．【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案为：120°或75°或30°．8．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝4或12s时，△POQ是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣2t＝t，解得，t＝4s；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣6）＝t，解得，t＝12s故答案为4s或12s．9．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可．【解答】解：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形；C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；故选：B．10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．11．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为75°或120°或15°．【分析】分三种情形分别求解即可．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ADC＝＝75°．②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．③当AC＝AD″时，∠AD″C＝＝15°，故答案为：75°或120°或15°．12．如图，等边△ABC的边长为6，点P沿△ABC的边从A→B→C运动，以AP为边作等边△APQ，且点Q在直线AB下方，当点P、Q运动到使△BPQ是等腰三角形时，点Q运动路线的长为3或9．【分析】如图，连接CP，BQ，由“SAS”可证△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得点Q运动轨迹是A→H→B，分两种情况讨论，即可求解．【解答】解：如图，连接CP，BQ，∵△ABC，△APQ是等边三角形，∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，∴△ACP≌△ABQ（SAS）∴BQ＝CP，∴当点P运动到点B时，点Q运动到点H，且BH＝BC＝6，∴当点P在AB上运动时，点Q在AH上运动，∵△BPQ是等腰三角形，∴PQ＝PB，∴AP＝PB＝3＝AQ，∴点Q运动路线的长为3，当点P在BC上运动时，点Q在BH上运动，∵△BPQ是等腰三角形，∴BQ＝PB，∴BP＝BQ＝3，∴点Q运动路线的长为3+6＝9，故答案为：3或9．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为45°或36°或或．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，①如图1，∵∠ACB＝2∠A，∴AD＝DC＝BD，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝45°；②如图2，AD＝DC＝BC，∴∠A＝∠ACD，∠BDC＝∠B，∴∠BDC＝2∠A，∴∠A＝36°，③AD＝DC，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，∠A＝∠ACD，∴∠BCD＝∠BDC＝2∠A，∴∠BCD＝2∠A，∵∠ACB＝2∠A，故这种情况不存在．④如图3，AD＝AC，BD＝CD，∴∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BCD，设∠B＝∠BCD＝α，∴∠ADC＝∠ACD＝2α，∴∠ACB＝3α，∴∠A＝α，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴α+α+3α＝180°，∴α＝，∴∠A＝，⑤如图4，AC＝CD＝DB，∴∠A＝∠CDA，∠B＝∠DCB，∵∠CDB＝180°﹣∠CDA＝180°﹣∠A，∴∠B＝∠DCB＝＝，∴∠ACB＝∠A＝180°﹣，∵∠ACB＝2∠A，∴180°﹣＝2∠A，∴综上所述，∠A的度数为45°或36°或或．故答案为：45°或36°或或．14．已知等边△ABC的边长为3，点E在直线AB上，点D在直线CB上，且ED＝EC，若AE＝6，则CD的长为3或9．【分析】①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，②当E在线段AB的延长线时，过E点作EF ⊥CD于F，根据等边三角形的性质求出BE长和∠ABC＝60°，解直角三角形求出BF，求出CF，即可求出答案．【解答】解：点E在直线AB上，AE＝6，点E位置有两种情况：①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，∴BE＝6﹣3＝3，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝BE＝，∴CF＝+3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝9；②如图2，当E在线段AB的延长线时，过E点作EF⊥CD于F，∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，∴BE＝6+3＝9，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝AE＝，∴CF＝﹣3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝3；即C＝9或3，故答案为：3或9．15．△ABC的高AD、BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．【分析】分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，由AD垂直于BC，BE垂直于AC，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，得到∠CAD＝∠MBD，根据一对直角相等，再由BM＝AC，利用AAS得出三角形BMD与三角形ACD全等，由全等三角形对应边相等得到AD＝BD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，可得出∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如图2所示，同理利用AAS得出三角形ADC与三角形DBM全等，由全等三角形对应边相等得到AD＝BD，得出三角形ABD为等腰直角三角形，求出∠ABD＝45°，利用邻补角定义即可求出∠ABC＝135°．【解答】解：分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，∵AD⊥DB，BE⊥AC，∴∠MDB＝∠AEM＝90°，∵∠AME＝∠BMD，∴∠CAD＝∠MBD，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如图2所示，∵BD⊥AM，BE⊥AC，∴∠BDM＝∠BEC＝90°，∵∠DBM＝∠EBC，∴∠M＝∠C，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45゜，则∠ABC＝135゜．16．已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，P A⊥PB，且P A＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4．求CB的长．【分析】根据全等三角形的判定得出△PMB≌△PNA，进而分类讨论得出答案即可．【解答】解：此题分以下两种情况：①如图1，过P作PN⊥CA于N，∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NP A＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝3，∴BC＝7；②如图2，过P作PN⊥CA于N，∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NP A＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝5，可得BC＝9．综合上述CB＝7或9．17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝110°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝75°﹣18°＝57°，于是得到结论；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β，①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，∵∠BAD＝80°，∴∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，∴∠E＝75°﹣18°＝57°，∴∠ADE＝∠AED＝57°，∴∠ADC＝39°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，∴∠BAD＝36°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，∴，（2）﹣（1）得α＝β﹣α，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．18.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为．【分析】（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线即可；（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线即可；（3）分两种情况：AD为等腰三角形的腰或底作图即可得结论．【解答】解：（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线；（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线．每个等腰三角形顶角的度数为：90°、135°、45°．故答案为：90°、135°、45°．（3）如下图作△ABC，①如图1：当AD＝AE时，∵2x+x＝30+30，∴x＝20．②如图2：当AD＝DE时，∵2x+x+30+30＝180．∴x＝40．所以x的所有可能的值为20°或40°．故答案为20°或40°．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点．（1）求证：点P也是BC的中点；（2）若CB⊥AB，且DP＝，CD＝，AB＝4，求AP的长；（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得△ABQ是等腰三角形，求AQ的长．【分析】（1）由平行线的性质得出∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，由点P为AE的中点，得出PE＝P A，由AAS证得△CEP≌△BAP，即可得出结论；（2）由CB⊥AB，AB∥CD，得出∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝3，由（1）得CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝5；（3）①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，则AN＝NQ，由S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，求出BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝，则AQ＝2AN＝；③当AQ＝QB时，证明QB＝AQ＝QP，则AQ＝AP＝．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，∵点P为AE的中点，∴PE＝P A，在△CEP和△BAP中，，∴△CEP≌△BAP（AAS），∴PC＝PB，∴点P也是BC的中点；（2）解：∵CB⊥AB，AB∥CD，∴∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝＝3，由（1）得：CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝＝5；（3）解：①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，如图1所示：则AN＝NQ，S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，即4×3＝5BN，∴BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝＝，∴AQ＝2AN＝；③当AQ＝QB时，如图2所示：∵AQ＝QB，∴∠QAB＝∠QBA，∵∠QAB+∠QPB＝90°，∠QBA+∠QBP＝90°，∴∠QPB＝∠QBP，∴QB＝QP，∴QB＝AQ＝QP，∴AQ＝AP＝；综上所述，△ABQ是等腰三角形，AQ的长为4或或．。

等腰三角形中的分类讨论(含答案)

等腰三角形中的分类讨论
类型1对顶角和底角的分类讨论
对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．
1．等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？
解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；
②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.
故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.
类型2对腰长和底长的分类讨论
在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．
2．(1)已知等腰三角形的一边长等于6 cm，一边长等于7 cm，求它的周长；
(2)等腰三角形的一边长等于8 cm，周长等于30 cm，求其他两边的长．
解：(1)周长为19 cm或20 cm.
(2)其他两边的长为8 cm，14 cm或11 cm，11 cm.
1。

关于等腰三角形的分类讨论

关于等腰三角形的分类讨论一、形边的分类例如，已知等腰三角形的周长为15，其中一个边长为6，那么它的底边长多少？在解答这个问题的时候，题目当中的关键信息是边长为6的边不确定是腰还是底，这时分类讨论的两种情况分别是：第一种情况是设长为6的边为腰，则另两条边为6，3；第二种情况是设长为6的边为底，则另两条边是4.5，4.5.这时，要验证这样两组边长能不能组成一个三角形，也就是满不满足三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

经验证满足三角形的三边关系定理，所以等腰三角形的底边为6或4.5.例如，当已知等腰三角形的两个边的边长：一边长是6，另一边长是17，求这个三角形的周长时。

很多学生会想到应该分类讨论：第一种情况是设腰为6，底为17时，则三角形的三个边分别是6，6，17，这时要根据三角形的性质进行验证，因为6+6小于17，不符合三角形的性质，这样的三个边组不成三角形，所以这种假设是不成立的。

第二种情况是设腰为17，底为6，则三角形的三个边分别是17，17，6，根据三角形的性质进行验证，经验证符合三角形的性质，所以这个三角形是成立的，则其周长为17+17+6=40.二、形角的分类例如，已知等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，求这个等腰三角形的三个内角大小时。

设一个角是x，另一个角就是2x，这时就要分情况进行讨论了。

第一种情况是x为顶角，则另两个角都是2x，根据三角之和为180°，得x+2x+2x=180°，解得x=36°，则这个等腰三角形的三个内角分别是36°，72°，72°。

第二种情况是当x为底角时，则另两个角是x，2x，得x+2x+x=180°，解得x=45°，则这个等腰三角形三个内角分别是45°，45°，90°。

所以这个等腰三角形的三个内角大小是36°，72°，72°或90°，45°，45°。

等腰三角形中的分类讨论

等腰三角形中的分类讨论在等腰三角形中有很多需要分类讨论的问题。

分类讨论最关键的是要做到不重不漏，难点在于如何确定分类标准。

一般地，我们可以有两种思路对等腰三角形进行分类讨论：一种思路是按等腰三角形的顶角的顶点进行分类讨论，一种思路是按照等腰三角形的腰进行分类讨论。

一、求等腰三角形的边长或周长问题例1. 已知等腰三角形的两边长为7和3，则它的周长为.【解析】本题按照腰进行分类讨论即可，7和3都有可能是等腰三角形的腰，但由三角形三边关系可知，排除了3为腰长的可能。

但需注意的是，虽然本题答案只有一个，但过程中得要有分类讨论。

【答案】17二、求等腰三角形的角度例2. 已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角度数. 【解析】由于本题没有给出图形，所以题中腰上的高需要分类讨论，当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部，此时顶角是30°；当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形的外部，此时顶角为150°.【答案】30°或150°三、在平面直角坐标系中求等腰三角形顶点坐标例3. 在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求点P的坐标.【解析】由于题目中没有明确等腰三角形的顶角顶点，所以需要对此进行分类讨论。

点A、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。

按此分类讨论，若点A为顶点，则点P坐标为（0，-4）；若点O为顶点，则点P坐标为（0，2-），或（0，222）；若点P为顶点，此时，OA为底边，点P在线段OA的中垂线上，则点P坐标为（0，-2）.【答案】（0，-4），（0，2-），（0，222），（0，-2）例4. 如图，在平面直角坐标系中，OABC是矩形，点A、C坐标分别为A（10,0），C（0,4），D是OA的中点，P在BC边上运动，当△ODP多少？【解析】由于题目只是给出△ODP是腰长为5的等腰三角形，所以需要对等腰三角形的腰进行分类讨论。

复习专题：等腰三角形中的分类讨论

40°
40°
六、遇动点动角需讨论
1、已知C、D两点为线段AB的中垂线上的两动点，且∠ACB=500，∠ADB=800，求 ∠CAD的度数。
C
C
D
A
E
B
A
E
B
D
几何图形之间的位置关系不明确导致需分类讨论
六、遇动点动角需讨论
3、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点E作射线EF 交AC于点F, 使∠AEF=∠B=β.
• （1）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；
• （2）当△AEF为
的大小. A
时，求∠BEA
A
B
E
F
B
C
C
备用图
探究变式：
若将（2）中的△AEF为“等腰三角ห้องสมุดไป่ตู้”改为“
系。
”时，∠BAE=α，求α与β之间的数量关
A
A
F
B
E
CB
C
备用图
解：
（3）如图1，当∠AFE=90°时， ∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF， ∠B=∠AEF=∠C， ∴∠BAE=∠CEF， ∵∠C+∠CEF=90°，
故∠DCE的度数为200或1100或700。
E
A
D’
C
B
2.在网格中，网格线的交点称为格点。已知A， B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数（）C
A.6 B.7
C.8 D.9
B A
∵BE=BC，∴∠BEC=（1800-∠ABC）÷2， ∴
DCE 1800 DEC EDC 1800 BEC ADC

北师大版八年级数学下册期末复习专题训练(二) 分类讨论在等腰三角形中的五种思路

8．如图2－ZT－1，直线m与直线n交于点B，m，n所夹锐角为 50°，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有___4_角形时分三种情况讨论：①若点C是顶角的顶点，则有BC＝AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，即点C为线段AB的垂直平分线与直线n的交点，只有一个；②若点A是顶角的顶点，则有AC ＝AB，由两直线所夹锐角为50°，可知此时点C在直线n上，只有一个； ③若点B是顶角的顶点，则有AB＝CB，此时点C在直线n上，有两个．综上可知，满足条件的点C有4个．故答案为4.
专题训练(二)
分类讨论在等腰三角形中的五种思路
思路一关于边长不确定的讨论
1．等腰三角形两边的长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为( C )
A．16 cm
B．17 cm
C．20 cm
D．16 cm或20 cm
[解析] C 已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，若腰长是4 cm，则三角形的三边长分别是4 cm，4 cm，8 cm，4＋4＝8(cm)，不满足三角形的三边关系，舍去；若腰长是8 cm，则三角形的三边长分别是8 cm，8 cm，4 cm，此时满足三角形的三边关系，三角形的周长是20 cm.故选C.
思路四关于中线的位置不确定的讨论
11．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和 15两部分，求这个三角形的三边长．解：如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 AD＝BD.设 AB＝x，BC＝y， (1)若 AC＋AD＝15，BC＋BD＝12， (2)则x2x2＋＋xy＝＝1125，，解得xy＝＝71.0，
3．已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则另外两边的
长度分别是( C )

等腰三角形分类讨论专题复习

等腰三角形分类讨论专题复习等腰三角形分类讨论一、等腰三角形的分类等腰三角形可以按照边、角、外角、高、中线等方式进行分类。

具体分类如下：1.边分类：指等腰三角形两边的长度是否相等，分为等腰三角形和非等腰三角形。

2.角分类：指等腰三角形两个底角是否相等，分为等腰三角形和非等腰三角形。

3.外角分类：指等腰三角形外角的大小是否相等，分为等腰三角形和非等腰三角形。

4.高分类：指等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角，分为等腰三角形和非等腰三角形。

5.中线分类：指等腰三角形的一腰上的中线分三角形的周长为两部分，分为等腰三角形和非等腰三角形。

6.中垂线分类：指等腰三角形的一腰上的中垂线与另一腰的夹角，分为等腰三角形和非等腰三角形。

思考题：在ABC三边所在的直线上找一点D，使得ABD 为等腰三角形，画图说明点D所在的位置。

二、练1.若一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是多少？2.已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于多少？3.已知等腰三角形的一边等于5，周长为12，则一边等于多少？4.已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为多少？5.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长。

6.在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为多少？7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为多少？8.等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是多少？9.若一个等腰三角形有一个角为100°，则另两个角为多少？10.一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长。

11.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数。

【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版) 等腰三角形中的分类讨论(解析版)

等腰三角形中的分类讨论1．已知等腰三角形的两边长分别为a b且a b b﹣4|＝0 则此等腰三角形的周长为（）A．7B．10C．11D．10或11【答案】D【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得a-3=0 b-4=0解得a=3 b=4①4是腰长时三角形的三边分别为4、4、3∵4+4＞3∴能组成三角形4+4+3=11②4是底边时三角形的三边分别为3、3、4能组成三角形周长=3+3+4=10所以三角形的周长为11或10．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质绝对值非负数偶次方非负数的性质根据几个非负数的和等于0 则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．2．已知a b是等腰三角形的两边长且a b()2+-=则此等腰三角23130a b形的周长为（）．A．8B．6或8C．7D．7或8【答案】D【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．()223130a b+-=∴23+5023130a ba b-⎧⎨+-⎩＝＝解得23ab⎧⎨⎩＝＝①2是腰长时三角形的三边分别为2、2、3 能组成三角形周长=2+2+3=7；②2是底边时三角形的三边分别为2、3、3 能组成三角形周长=2+3+3=8所以该等腰三角形的周长为7或8．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质绝对值与算术平方根的非负性根据几个非负数的和等于0 则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．3．等腰三角形的一个角是70︒则它顶角的度数是（）A．70︒B．70︒或40︒C．70︒或55︒D．40︒【答案】B【解析】【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角所以要分两种情况进行分析．【详解】解：①若70°是底角则顶角为：180°-70°×2=40°；②若70°为顶角则顶角的度数是70°；综上所述顶角的度数为40°或70°．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数做题时要注意分情况进行讨论这是十分重要的也是解答问题的关键．4．等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是()A．70︒B．70︒或40︒C．70︒或50︒D．40︒【答案】B【分析】首先要进行分析题意“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角所以要分两种情况进行讨论．【详解】解：本题可分两种情况：︒-⨯︒=︒；①当70︒角为底角时顶角为18027040②70︒角为等腰三角形的顶角；因此这个等腰三角形的顶角为40︒或70︒．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数做题时要注意分情况进行讨论这是十分重要的也是解答问题的关键．5．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度则等腰三角形顶角的度数是（）A．140B．20或80C．44或80D．140或44或80【答案】D【解析】【分析】设另一个角是x 表示出一个角是2x-20° 然后分①x是顶角2x-20°是底角②x是底角2x-20°是顶角③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】设另一个角是x 表示出一个角是2x-20°①x是顶角2x-20°是底角时x+2（2x-20°）=180°解得x=44°∴顶角是44°；②x是底角2x-20°是顶角时2x+（2x-20°）=180°解得x=50°∴顶角是2×50°-20°=80°；③x与2x-20°都是底角时x=2x-20°解得x=20°∴顶角是180°-20°×2=140°；综上所述这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：D．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质三角形的内角和定理难点在于分情况讨论特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．6．若等腰三角形的一个角是80° 则它的底角是（）A．50°B．80°C．40°或80°D．50°或80°【答案】D【解析】【分析】分情况讨论：当这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可；【详解】当80°为底角时则底角为80°当80°为顶角时则底角为：18080=502︒-︒︒故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质本题有两种情况注意不要漏掉；7．若等腰三角形的一个角是80° 则此等腰三角形的顶角为（）A．80°B．20°C．80°或20°D．40°【答案】C【解析】【分析】可分两种情况：当80︒角为顶角时；当80︒角为底角时结合等腰三角形的性质利用三角形的内角和定理分别求解即可．【详解】解：当80︒角为顶角时则等腰三角形的顶角为80︒；当80︒角为底角时等腰三角形的顶角为180808020︒-︒-︒=︒即此等腰三角形的顶角为80︒或20︒．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键．8．在ABC中AB AC=AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50︒则B的度数为（）A．20︒B．70︒C．70︒或20︒D．无法确定【答案】C【解析】【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况画出相应图形求出∠BAC的度数进而根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：如图1 当∠A为锐角时∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°∴∠A＝40°又∵AB AC=∴∠B＝1802A︒-∠＝180402︒-︒＝70°；如图2 当∠A为钝角时∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50° ∴∠NAB＝40°∴∠BAC＝140°又∵AB AC =∴∠B ＝∠C ＝1801402︒-︒＝20°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形性质三角形内角和定理线段垂直平分线的应用关键是运用分类讨论思想画出图形求出∠BAC 的度数．9．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50° 则该三角形底角的度数为（） A ．20°B ．20°或70°C ．70°D ．无法确定【答案】B【解析】【分析】分两种情况讨论：①若90A ∠<︒；②若90A ∠>︒；先求出顶角BAC ∠ 即可求出底角的度数．【详解】解：分两种情况讨论：①若90A ∠<︒ 如图1所示：BD AC ⊥90A ABD ∴∠+∠=︒50ABD ∠=︒905040A ∴∠=︒-︒=︒AB AC =1(18040)702ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒； ②若90A ∠>︒ 如图2所示：同①可得：905040DAB ∠=︒-︒=︒18040140BAC ∴∠=︒-︒=︒AB AC =1(180140)202ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒；综上所述：等腰三角形底角的度数为70︒或20︒故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义解题的关键是注意分类讨论方法的运用避免漏解．10．等腰三角形的一个内角是50度它的一腰上的高与底边的夹角是（）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40【答案】C【解析】【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60° 则其顶角度数为（）．A ．60°或120°B ．30°或150°C ．30°D ．60° 【答案】B【解析】根据等腰三角形、直角三角形两锐角互余的性质分析即可得到答案．【详解】分两种情况讨论；如下图过点B 作BD AC ⊥交AC 于点D∴90ADB ∠=︒根据题意得：60ABD ∠=︒∴9030A ABD ∠=︒-∠=︒如下图过点B 作BD AC ⊥交CA 延长线于点D∴90ADB ∠=︒根据题意得：60ABD ∠=︒∴9030DAB ABD ∠=︒-∠=︒∴180150BAC DAB ∠=︒-∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、直角三角形两锐角互余的性质从而完成求解．12．在△ABC 中 AB AC 的垂直平分线相交于点O 如果∠BOC=100° 则∠A 等于（） A ．50°或120°B ．60°或130°C ．60°或120°D ．50°或130°【答案】D【分析】画出符合条件的两种情况根据线段垂直平分线性质得出AO＝BO、AO＝OC推出∠BAO＝∠ABO∠CAO＝∠ACO根据三角形内角和定理和四边形内角和定理求出即可．【详解】解：分为两种情况：如图1 当∠BAC为锐角时连接AO∵在ABC中AB AC的垂直平分线相交于点O∴AO＝BO CO＝AO∴∠BAO＝∠ABO∠CAO＝∠ACO∵∠BOC＝100°∴∠OBC＋∠OCB＝180°－100°＝80°∵∠BOC＝100° ∠BAC＝∠BAO＋∠CAO∠BAO＋∠CAO＋∠ACO＋∠OCB＋∠OBC＋∠ABO ＝180°∴2∠BAC＝180°－80°＝100°∴∠BAC＝50°；如图2 当∠BAC为钝角时同理2∠BAC＝360°－∠BOC＝360°－100°＝260°∴∠BAC＝130°；即∠BAC＝50°或130°故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质等腰三角形性质多边形的内角和定理的应用注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．13．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角45° 那么这个等腰三角形的底角为（）A．67°50′B．22°C．67.5°D．22.5°或67.5°【解析】【分析】先知三角形有两种情况（1）（2）求出每种情况的顶角的度数再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理即可求出底角的度数．【详解】有两种情况；（1）如图当△ABC是锐角三角形时BD⊥AC于D则∠ADB=90°已知∠ABD=45°∴∠A=90°-45°=45°∵AB=AC×（180°-45°）=67.5°；∴∠ABC=∠C=12（2）如图当△EFG是钝角三角形时FH⊥EG于H则∠FHE=90°已知∠HFE=45°∴∠HEF=90°-45°=45°∴∠FEG=180°-45°=135°∵EF=EG×（180°-135°）=22.5°∴∠EFG=∠G=12综合（1）（2）得：等腰三角形的底角是67.5°或22.5°故选D．本题考查了等腰三角形的性质三角形的高三角形内角和定理等解题的关键是能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质知三角形的一个角能否求其它两角．14．在等腰△ABC 中 AB ＝AC 一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分则这个等腰三角形的底边长为（）A ．7B ．7或11C ．11D ．7或10【答案】B【解析】【分析】题中给出了周长关系要求底边长首先应先想到等腰三角形的两腰相等寻找问题中的等量关系列方程求解然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】解：设这个等腰三角形的腰长为a 底边长为b ．∵D 为AC 的中点∴AD ＝DC ＝12AC ＝12a ．根据题意得31521122a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或31221152a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得107a b =⎧⎨=⎩或811a b =⎧⎨=⎩ 又∵三边长为10 10 7和8 8 11均可以构成三角形．∴这个等腰三角形的底边长为7或11．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时有的同学会审题错误以为15 12中包含着中线BD 的长从而无法解决问题有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况．注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．15．等腰三角形ABC 中 ,AB AC AB =边上的垂直平分线与AC 边所在的直线相交所得的锐角为40︒ 则A ∠的度数为（）A ．140B ．50C ．40或150 D ．50或130【答案】D【解析】当△ABC为锐角三角形时在Rt△ADE中可求得∠A,再由三角形内角和定理可求得∠A;当△ABC为钝角三角形时求得△BAC的外角利用外角的性质求得∠A.【详解】解:当△ABC为锐角三角形时如图,设AB的垂直平分线交线段AC于点D,交AB于点E,∵∠ADE=40°, DE⊥AB,∴∠A=90°-40°=50°当△ABC为钝角三角形时如图设AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,∵∠ADE=40° DE⊥AB,∴∠DAB=50°,∴∠BAC=180°-∠DAB=130°故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键.16．在平面直角坐标系中A（2 3）O为原点若点B为坐标轴上一点且△AOB为等腰三角形则这样的B点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解析】【分析】分别以O、A为圆心以OA长为半径作圆与坐标轴交点即为所求点B再作线段OA的垂直平分线与坐标轴的交点也是所求的点B作出图形利用数形结合求解即可．【详解】解：如图满足条件的点B有8个故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定对于底和腰不等的等腰三角形若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．17．已知等腰ABC中AD BC⊥于点D且12AD BC=则ABC底角的度数为（）A．30°或45°B．30°或45°或75°C．15°或45°或75°D．45°或75°【答案】C【解析】【分析】分三种情况讨论①当AB=AC时根据已知条件得出AD=BD=CD从而得出△ABC底角的度数；②当AB=BC∠B为锐角时先求出∠ABD的度数再根据AB=BC求出底角的度数；③当AB=BC∠CBA为钝角时根据AD12=BC AB=BC得出∠DBA=30° 从而得出底角的度数．【详解】①如图1 当AB=AC时．∵AD⊥BC∴BD=CD．∵AD12=BC∴AD=BD=CD ∴底角为45°；②如图2 当AB=BC∠B为锐角时．∵AD12=BC∴AD12=AB∴∠ABD=30°∴∠BAC=∠BCA=75°∴底角为75°．③如图3 当AB=BC∠CBA为钝角时．∵AD12=BC AB=BC∴AD12=AB∴∠DBA=30°∴∠BAC=∠BCA=15°∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°．故选：C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质关键是根据题意画出图形注意不要漏解．18．在△ABC中AB=AC若过△ABC的一个顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形则∠BAC的度数为（）A．90°或108°或36°或1807︒B．90°或108°或36°C．90°或54°或36°或5407︒D．90°或54°或36°【答案】A【解析】【分析】分别以点A、点B、点C为顶点做直线将△ABC分成两个等腰三角形由于AB=AC故以点B和以点C 为顶点作的等腰三角形结果是一样的所以讨论点A 、点B 为顶点的情况根据等腰三角形的性质找出角的关系由三角形外角以及三角形内角和定理即可求解．【详解】如图1 当过点A 的直线交BC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形使AD BD CD == 设B x ∠=AB AC =C B x ∴∠=∠=AD BD CD ==BAD B x ∴∠=∠= CAD C x ∠=∠=2BAC x ∴∠=在ABC 中 180B BAC C ∠+∠+∠=︒2180x x x ∴++=︒解得：45x =︒90BAC ∴∠=︒；如图2 当过点A 的直线交BC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形使AD BD = AC CD = 设B x ∠=AB AC =C B x ∴∠=∠=AD BD =BAD B x ∴∠=∠=2ADB B BAD x ∴∠=∠+∠=AC CD =2DAC ADB x ∴∠=∠=23BAC x x x ∴∠=+=在ABC 中 180B BAC C ∠+∠+∠=︒3180x x x ∴++=︒解得：36x =︒108BAC ∴∠=︒；如图3 当过点B 的直线交AC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形使AD BD BC ==设BAC x ∠=AD BD =ABD BAC x ∴∠=∠=2BDC ABD BAD x ∴∠=∠+∠=BD BC =2C BDC x ∴∠=∠=AB AC =2ABC C x ∴∠=∠=在ABC 中 180ABC BAC C ∠+∠+∠=︒22180x x x ∴++=︒解得：36x =︒36BAC ∴∠=︒；如图4 当过点B 的直线交AC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形使AD BD = BC CD = 设BAC x ∠=AD BD =ABD BAC x ∴∠=∠=2BDC ABD BAD x ∴∠=∠+∠=BC CD =2CBD BDC x ∴∠=∠=23ABC x x x ∴∠=+=AB AC =3C ABC x ∴∠=∠=在ABC 中 180ABC BAC C ∠+∠+∠=︒33180x x x ∴++=︒ 解得：180()7x =︒ 180()7BAC ∴∠=︒ 综上 BAC ∠可为90°或108°或36°或1807︒．故选：A ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定、三角形内角和定理画出符合条件的图形根据等腰三角形的判定以及三角形内角和定理找出角的关系是解题的关键．。

人教版初中数学八上小专题(十三) 等腰三角形中的分类讨论

第7题图
8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），在 y轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 4 个.
第8题图
图1
（2）当MN与CA的延长线相交，交点为D时，如图2，∠ADN＝40°，则∠DAB＝ 90°－40°＝50°. 综上所述，∠B的度数为65°或25°.
图2
类型三已知等腰三角形的一边确定另一个顶点时需分类讨论 7.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，若C也
是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C有 8 个.
类型二当三角形的形状不确定时需分类讨论 5.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则该等腰三角形顶角的度数
为 65°或115° . 6.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN与AC所在直线相交所得的锐角度数为
40°，求∠B的度数. 解：分两种情况讨论：（1）当MN与AC相交，交点为D时，如图1，∠ADM＝40°，则∠A＝90°－40° ＝50°.
D.56°或68°
3.在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为 45°或72° .
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝25°，∠BAC＝100°，点P在△ABC的三边上运动.当△PAC为等腰三角形时，求其顶角的度数. 解：∵∠ABC＝25°， ∠BAC＝100°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝55°. 分四种情况讨论：（1）如图1，当点P在AB上，且AP＝AC时，顶角为∠A＝100°；
图1
（2）如图2，当点P在BC上，且AC＝PC时，顶角为∠C＝55°；
图2 （3）如图3，当点P在BC上，且AC＝AP时，顶角为∠CAP＝180°－2∠C＝ 70°；

等腰三角形中的分类讨论问题归类

等腰三角形中的分类讨论问题归类等腰三角形是高中几何学中的重要概念之一，它具有一些特殊的性质和分类方法。

本文将对等腰三角形进行分类讨论，并归类相关问题。

通过对等腰三角形的深入了解，我们能够更全面地掌握它的性质和应用。

一、定义与性质等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。

根据这个定义，我们可以推导出等腰三角形的一些性质。

首先，等腰三角形的底角（底边所对的角）是两条边所对应的顶角的一半。

其次，等腰三角形的高线（从顶点到底边之间的线段）也是它的中线和中线所在的高线相等。

此外，等腰三角形的角平分线也是高线和中线。

这些性质在解决等腰三角形相关问题时非常有用。

二、基于边长的分类根据等腰三角形底边和两边的长度关系，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。

1. 等腰锐角三角形：当两边的长度小于底边时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。

在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。

2. 等腰直角三角形：当两边的长度等于底边时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。

在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。

3. 等腰钝角三角形：当两边的长度大于底边时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。

在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。

三、基于角度的分类根据等腰三角形底边所对应的顶角的大小，我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。

1. 等腰锐角三角形：当底角小于90度时，所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。

在这种情况下，底边所对应的顶角是一个锐角。

2. 等腰直角三角形：当底角等于90度时，所形成的等腰三角形是一个直角三角形。

在这种情况下，底边所对应的顶角是一个直角。

3. 等腰钝角三角形：当底角大于90度时，所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。

在这种情况下，底边所对应的顶角是一个钝角。

四、应用与推广了解等腰三角形的分类讨论有助于我们在解决相关几何问题时快速准确地判断和运用。

例如，当我们需要证明一个三角形是等腰三角形时，可以根据其边长关系或角度关系进行分类讨论。

人教版八年级数学上册专题训练(四) 等腰三角形问题中的分类讨论思想

第十三章轴对称
专题训练(四) 等腰三角形问题中的分类讨论思想
专题训练(四) 等腰三角形问题中的分类讨论思想
类型一当顶角或底角不确定时，分类讨论
1．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为
( )C
A．50°
B．80°
C．50°或80° D．40°或65°
2．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应
∴∠B＝∠C＝21∠DAB＝25°
8．等腰三角形底边长为5 cm，一腰上的中线把其周长分为差为3 cm的两部分，求腰长．
解：设腰长为2x，一腰的中线为y，则(2x＋x)－(5＋x)＝3或(5＋x)－ (2x＋x)＝3，解得：x＝4或x＝1，∴2x＝8或2，①三角形ABC三边长为8， 8，5，符合三角形三边关系定理；②三角形ABC三边是2，2，5，2＋2 ＜5，不符合三角形三边关系定理；故腰长为8 cm
该为
70°，55°，5西州)一个等腰三角形一边长为 4 cm，另一边长为 5 cm，那么这个等腰三角形的周长是( C )
A．13 cm B．14 cm C．13 cm 或 14cm D．以上都不对
4．(2016·安顺)实数 x，y 满足|x－4|＋ y－8＝0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( B )
9．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(2，2)，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有( ) A
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或 AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P的个数为( )B A．5个 B．6个 C．4个 D．3个

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