2019-2020年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式1课时训练含解析新人教A版必修

2019-2020年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式1课时训
练含解析新人教A 版必修
课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．
1．设α为任意角，则π.
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2k π)＝__________，cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z .
(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________. (3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.
(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.
一、选择题
1．sin 585°的值为( )
A ．－22 B.22 C ．－32 D.3
2
2．若n 为整数，则代数式n π＋α
n π＋α
的化简结果是( )
A ．±tan α
B ．－tan α
C ．tan α D.1
2tan α
3．若cos(π＋α)＝－12，3
2
π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A.12 B ．±32 C.32 D ．－32
4．tan(5π＋α)＝m ，则α－3π＋π－α
－α－π＋α
的值为( )
A.m ＋1m －1
B.m －1m ＋1
C ．－1
D ．1 5．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )
A.1－k 2k B ．－1－k 2
k C.k 1－k 2 D ．－k 1－k
2
6．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( )
A.
53 B ．－53 C ．±
5
3
D ．以上都不对
二、填空题
7．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π
6
－θ)＝________.
8．三角函数式α＋π2
α＋3π
α＋π3
－α－π
的化简结果是______. 9．代数式
1＋2sin 290°cos 430°
sin 250°＋cos 790°
的化简结果是______．
10．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 009)＝1，则f (2 010)＝____.
三、解答题
11．若cos(α－π)＝－23，求α－2π＋－α－3πα－3π
π－α－－π－αα－4π
的值．
12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.
能力提升
13．化简：k ＋π＋θk ＋π－θ]
k
π－θk π＋θ
(其中k ∈Z )．
14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．
1
2.
这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
§1.3三角函数的诱导公式(一)
答案
知识梳理
1．原点x轴y轴
2．(1)sin αcos αtan α(2)－sin α－cos αtan α(3)－sin αcos α－tan α(4)sin α－cos α－tan α
作业设计
1．A 2.C
3．D [由cos(π＋α)＝－1
2
，得cos α＝
1
2
，
∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2
α＝－
3
2
(α为第四象限角)．] 4．A [原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1
m －1
.]
5．B [∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，
∴sin 80°＝1－k 2
.∴tan 80°＝1－k 2
k
. ∴tan 100°＝－tan 80°＝－
1－k
2
k
.]
6．B [∵sin(π－α)＝sin α＝log 2 2－23＝－23，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2
α＝－1－49＝－53
.] 7．－
3
3 8．tan α 解析 原式＝－cos α·sin 2
α
tan α·cos 3
α＋π
＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α＝cos α·sin 2
αsin α·cos 2
α＝sin α
cos α
＝tan α. 9．－1
解析 原式＝
1＋＋
360°＋＋＋
＋
＝
1－2sin 110°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝1－2sin 70°cos 70°
cos 70°－sin 70°
＝|sin 70°－cos 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 10．3
解析 f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)＋2 ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2 ＝2－(a sin α＋b cos β)＝1， ∴a sin α＋b cos β＝1，
f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β)＋2 ＝a sin α＋b cos β＋2＝3.
11．解 原式＝
－π－α－π＋απ－α
－cos α－－cos αα
＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2
α
＝sin α－cos α
－cos α－cos α ＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－2
3
，
∴cos α＝2
3
.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝2
3，
sin α＝1－cos 2
α＝
53，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52
.
当α为第四象限角时，cos α＝2
3，
sin α＝－1－cos 2
α＝－53，∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52
. 综上，原式＝±
5
2
. 12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，
∴α＋β＝2k π＋π
2 (k ∈Z )，
∴α＝2k π＋π
2
－β (k ∈Z )．
tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0， ∴原式成立．
13．解 当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则
原式＝n ＋π＋θ]·n ＋π－θ]n
π－θn π＋θ＝
π＋θπ－θ
－sin θ·cos θ
＝－sin θ－cos θ－sin θ·cos θ
＝－1.
当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则
原式＝n ＋π＋θn ＋π－θ]
n ＋π－θn ＋π＋θ]
＝n ＋π＋θn ＋π－θ]
π－θπ＋θ
＝sin θ·cos θsin θ－cos θ＝－1. ∴上式的值为－1.
14．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，
平方相加得2cos 2
A ＝1，cos A ＝±22
，
又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或3
4
π.
当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．
∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝7
12π.。