2017-2018年江苏省镇江市丹阳高级中学创新班高一(上)数学期中试卷和答案

2017-2018学年江苏省镇江市丹阳高级中学创新班高一（上）期

中数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应位置）

1．（5分）函数f（x）=cos4x﹣sin4x的最小正周期是．

2．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=．

3．（5分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1）．若（+λ）⊥，则实数λ=．4．（5分）在等差数列{a n}中，a6=10，s5=5，求a n=．

5．（5分）△ABC中，已知a=5，c=10，∠A=30°，则∠B等于．6．（5分）若sin（α﹣π）=2cos（π+α），则=．

7．（5分）一扇形的周长为6，当扇形的弧长为时，它有最大面积？8．（5分）

9．（5分），tanα=．

10．（5分）函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB．

11．（5分）5cos2θ=cos2，则tan（θ+1）tan（θ﹣1）的值为．

12．（5分）等差数列{a n}中，公差d≠0，a32=a1a13，若a1，a3，…，a kn，…成等比数列，则k n=．

13．（5分）“无字证明”，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用图1、图2中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：．

14．（5分）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则||的最小值为

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（14分）（1）已知=（3，﹣3），=（cosθ，sinθ）（），求

的取值范围；

（2）已知和互相垂直，且，求向量与的夹角的余弦值．

16．（14分）在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心作一个单位圆，角α和角β

的终边与单位圆分别交于A、B两点，且||=．若0＜α＜，﹣＜β＜0，sinβ=﹣．

（1）求△AOB的面积；

（2）求sinα的值．

17．（14分）如图，在△ABC中，||=3，||=1，l为BC的垂直平分线且交BC于点D，E为l上异于D的任意一点，F为线段AD上的任意一点．

（1）求•（﹣）的值；

（2）判断•（﹣）的值是否为一常数，并说明理由；

（3）若AC⊥BC，求•（+）的最大值．

18．（16分）已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a n =S n •S n ﹣1（n ≥2，S n ≠0），a 1=． （1）求证：{

}为等差数列；

（2）求数列{a n }的通项公式． （3）设b n =

，是否存在正整数m ，n （m ＞n ），使得b m •b n =﹣27成立，若存

在求出m ，n ，若不存在，说明理由．

19．（16分）已知一列非零向量

满足：，

（1）证明是等比数列 （2）求向量

的夹角

（2）设向量

，将

中所有与

共线的向量取出来，按

原来的顺序排成一列，组成新的数列，

，O 为坐标原点，

求B n 的坐标．

20．（16分）已知函数g （x ）=ax 2﹣2ax +1+b （a ≠0，b ＜1）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设．

（1）求a ，b 的值；

（2）不等式f （sinθ+cosθ）﹣2ksinθcosθ≤0在上恒成立，求实数

k 的取值范围； （3）方程

，

有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．

2017-2018学年江苏省镇江市丹阳高级中学创新班高一

（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应位置）

1．（5分）函数f（x）=cos4x﹣sin4x的最小正周期是π．

【解答】解：∵f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2﹣sin2x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴f（x）的最小正周期是T==π

故答案为：π

2．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．

【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，

则a2+a3=15．

故答案为：15．

3．（5分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1）．若（+λ）⊥，则实数λ=5．【解答】解：∵向量=（2，1），=（0，﹣1），

∴．

∵（+λ）⊥，

∴2×2+1×（1﹣λ）=0，

λ=5．

故答案为：5．

4．（5分）在等差数列{a n}中，a6=10，s5=5，求a n=3n﹣8．

【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，a6=10，s5=5，

可得a1+5d=10，5a1+×5×4d=5，

解得d=3，a1=﹣5，

则a n=a1+（n﹣1）d=﹣5+3（n﹣1）=3n﹣8．

故答案为：3n﹣8．

5．（5分）△ABC中，已知a=5，c=10，∠A=30°，则∠B等于105°或15°．【解答】解：∵a=5，c=10，A=30°

∴根据正弦定理，得到=，

可得sinC===

∴结合0°≤C≤180°，可得C=45°或135°

∵A+B+C=180°，A=30°，

∴B=105°或15°

故答案为：105°或15°

6．（5分）若sin（α﹣π）=2cos（π+α），则=．

【解答】解：∵sin（α﹣π）=2cos（π+α），

∴sinα=2cosα．

∴==．

故答案为：．

7．（5分）一扇形的周长为6，当扇形的弧长为3时，它有最大面积？

【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为L，

则周长2R+L=6，解得R=3﹣，

∴扇形的面积为S=RL=（3﹣）L=﹣L2+L，

∴当L=﹣=3时，扇形的面积S有最大值．

故答案为：3．