二面角及其平面角

二面角及其平面角

[引言]

二面角相关问题的求解是必修二立体几何中的难点，也是许多同学较为头疼的问题.本文则主要讲解二面角类问题的常用解法.

[概念]

由一条直线出发的两个半平面组成的图形（或：一个半平面以其边界为轴旋转而成为图形）叫做二面角.直线叫做二面角的棱，半平面叫做二面角的面.

图1 二面角ɑ-l-β由半平面ɑ-直线l-半平面β构成

[二面角的度量]

以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

二面角的平面角的三个特征：1、点在棱上2、线在面内3、与棱垂直

二面角的平面角的大小范围：0°≤θ≤180°平面角是90°的二面角叫做直二面角

[二面角的平面角作法]

做出二面角的平面角是运用几何方法求解二面角问题的关键，这里笔者提供找平面角的三种方法供同学们参考

1、定义法：此法适用于过棱上一点找平面角.过二面角棱上一点P作平面ɑ内一条直线AP与平面β内一条直线BP分别与棱l垂直，则∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角.

2、三垂线（逆）定理法：此法适用于过面上一点找平面角.过平面β上一点P作PA⊥ɑ于A，再过A作AB⊥棱l于B，连接BP.易证平面ABP⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角

3、垂面法：此法适用于过二面角内一点找平面角.过二面角内一点P分别作平面ɑ、β的垂线PA、PB，连接B、O、A.易证平面PBOA⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角

图2 二面角的平面角的三种作法

[例题1]

已知锐二面角ɑ-l-β，A为ɑ内一点，A到β的距离为2√3，到l距离为4，求二面角ɑ-l-β的大小

此例题较简单，通过这个题我们可以将二面角的求法可以归纳为以下三步：

1、找到或作出题目中二面角的平面角

2、证明1中的角为所求二面角

3、计算出角的大小

一“作”二“证”三“计算”

下面给出参考解法

解：过A作AO⊥ɑ于O，过O作OD⊥l于D，连结AD.（对应1）

由三垂线定理得AD⊥l

∴∠ADO即为二面角ɑ-l-β的平面角（对应2）

∵AO为A到β的距离，AD为A到l的距离

∴AO=2√3，AD=4

在Rt△ADO中

∴sin∠ADO=√3/2

∵二面角的范围是[0,π]

故∠ADO=60°

即二面角ɑ-l-β的大小为60°（对应3）

需要注意的是，有时题目中并不直接给出点到平面的距离，此时点到平面的距离通常要用到简单几何体的体积或勾股定理求出.

[思考]

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥

平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.若PA=1，AD=2，试求二面角B-PC-A的正切值. 点拨：不妨证明BD⊥平面PAC，或利用面积法求出点到平面的距离.

[拓展延伸]

以下内容供有余力的同学参考

面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面

所夹角的余弦.”

S射影面积＝S原图形面积×cosθ

即cosθ=S射影图/S原图

(平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ)

证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放,所以宽度是不变的,又因为平面多边形的面积比=边长的平方比.所以就是图形的长度（三角形中称高）的比.那么这个比值应该是平面所成角的余弦值.在两平面中作一直角三角形,并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线）,那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比,即为平面多边形的面积比,而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可.

运用这一方法可以解决求无棱二面角的大小问题,关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影（即找到从一个面内一点向另一面的垂线）通常求两个面内的三角形的面积比较容易.