导波光学 第4讲
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作业：2，3，4，5，6
▲ 不同模式场场分布的特点
芯区: 对于m阶模，会出现m＋1个极大值，出现 m个节点。
衬底和包层: 从后面的分析我们会得到，阶次m 越大， 值越小，P，q越小，从而使场延伸到衬 底和包层的距离越长。
●
模截止及波导中的传输模式数
▲ 本征值方程的解 若把TE，TM模的本征方程写成一个统一的式子， 则本征值方程可写为
1
截止厚度的意义：当波导芯区的厚度小于某模式的截 止厚度时，此导模及阶数高于此导模的模式是不存在 的。
（1）wc随m的增大而增大。
（2）若入射光的频率增大，则wc变小，这说明对 某一频率光波导不存在的模式，对其它光波，即比 此频率高的光波，这种模式可能存在。 （3）TM模的截止厚度大于同阶TE模的截止厚度。
(n n ) /(n n )
2 2 2 3 2 1 2 2
这样，可以得到TE模归一化的本征值方程
V 1 P 2 m tan 1 P 2 /(1 P 2 ) tan 1 ( P 2 ) /(1 P 2 )
可见，若已知，可以根据此方程画出P2~V的关 系曲线。若几个不同波导结构的非对称参量值 相等，它们的P2~V的关系曲线完全一致。就等于 一条曲线曲线可以代表相同的一类波导。这就 是归一化的好处。
◆ 三层均匀平面波导的电磁场分析法
● 一般平面波导中模式的种类
● ●
●
三层均匀平面波导中模式场的
场分布与本征值方程
模截止及波导中的传输模式数
归一化参量
●
平面波导中模式的种类
平面波导在y方向折射率不发生变化，所以模式场只是x 的函数，模式场的横向与纵向分量也只是x的函数，这 样由模式场横向分量与纵向分量的方程可以推出
1 2 2
P ( 2 -k02n2 )
1 2 2
d 2 Ey dx 2 d Ey
2
Ey 0
2
（芯区）
dx
2
2
P Ey 0
2
（衬底）
d Ey dx
2
q Ey 0
2
（包层）
上面三个微分方程的通解分别为
E y A1 cos( x )
E y A2 e
P( xw )
▲ TE模模式场分量之间的关系
Hx Ey 0
i dE y Hz 0 dx
对于TE模只要求出Ey即可求出其它的分量
▲ TM模模式场分量之间的关系
Ex Hy
i dH y Ez dx
对于TM模只要求Hy出即可求出其它分量。
● 三层均匀平面波导中模式场的场分布与本征值 方程
由于TE模电场只有分量Ey ，所以上式可以写成
d Ey dx
2
2
k n
2 0 2
2
E
y
0
n3
x
包层
对右图所示平面波导的三 个不同区域上式可以分别 写为
z
n1
n2
薄膜（芯区）
衬底
d Ey dx d 2 Ey
2
2
k02 n12 2 E y 0
2 k02 n2 2 Ey 0
（芯区）
dx
2
2
（衬底）
d Ey dx
2
(k0 n3 ) E y 0
2 2 2
（包层）
对于导模，芯区是振荡场，包层和衬底为衰减场 即
k0 n k0 n
2 2 2 2 2
2 1
令
(k02n12 )
上面的微分方程变为
1 2 2
q ( 2 k02 n3 )
0 0
或
c (T M ) c (TE )
0 0
应该说明的是：实际光波导的 折射率相差不大因而 TE0和TM0模的截止厚度、截止频率和截止波长都 相差不大，为此在实际工程中，认为TE0和TM0模 的截止厚度等近似相等，而将单模传输条件放宽到
wc (TE 0 ) w wc (T E )
2 2 2 1 n 1 3 k0 2 tan [c13 ( 2 2 ) ] 2 n1 k0
或
n
2 1
N
2 1/ 2
2 2 1 2 2 N n N n 1 3 2 1/ 2 2 k0 w m tan 1[c12 ( 2 ) ] tan [ c ( ) ] 13 2 2 2 n1 N n1 N
dE y
dx dx dEz i Ex i0 H y dx
i0 H z
dH y
i Ez
i E y i0 H x
i H y i Ex
dH z i H x i E y dx
模式场的六个分量，可以化成独立的两组。这两 组模式场分量（Ey，Hx，Hz）和（Hy，Ex，Ez） 分别表示了TE、TM两种模的场，因此在平面波 导中只存在TE、TM两种模。
E y A3e
由边界条件
qx
这里A1，A2，A3和 是待定常数
x 0, x w
1
时
Ey 和
q
dE y dx
连续
可以得到本征值方程为
w m tan ( ) tan ( )
1
P
式中m = 0，1，2，…
由此可见，此方程与上节用射线分析法得到的方程 是完全一样的。通过求解它就可以得到在给定入射 光与波导参数情况下的不同模式（不同m）的传播 常数值，从而进一步求出模场分布Ey，Hx和Hz。
2w
1 2 2
1
M TM
n n2 n3 Int{ (n n2 ) tan [ ( 2 ) ] 1} 2 n n1 n2 2w
2 1 1 2 2
1
1
2 1 2 3
2
2
1 2
式中Int表示只取整数部分。波导中能够传输模式的 总数量为
M M TE M TM
●
归一化参量
（4）当 n2 = n3 时(称为三层对称平面波导)，有
wc
m
k0 (n n2 )
2 1
1 2 2
对零阶模有 wc=0 ，所以三层对称平面波导 的零阶模永远不会截止。
截止频率：当N = n2时，入射光的频率称为截止频率。
c
c (n12 n2 )
1 2 2
n2 n3 1 1 {m tan [c13 ( 2 ) ]} 2 w n1 n2
2 2 1 2
若波导中只能传输一种模式，（对平面波导这种模 式即为TE0模）的情况，称为单模传输。我们可以 推出给定入射光的频率，波导折射率时，单模传输 条件为 ：
wc (TE 0 ) w wc (T M 0 )
给定波导参数时，单模传输的条件为
c (TE ) c (T M )
为了方便，常常进行波导的归一化计算。 几个无量纲归一化的参量定义
归一化厚度(或 归一化频率) 归一化波导折 射率(或归一 化传播常数)
波导结构非 对称的参量
2
V k0 w n n
2 1
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
( / k0 ) n N n P 2 2 2 n1 n n1 n2
对均匀平面波导，模式场的亥姆霍兹方程
t E ( x, y ) ( k 0 n ) E ( x, y ) t [ E ( x, y )
2 2 2 2
t
]
i [ E ( x, y )
t
ˆ0 ]z
可以写为
d 2E 2 2 2 k n E 0 0 2 dx
1
c (TE ) c (T E )
0
1
c (T E ) c (TE )
1 0
▲ 传输模式数
若已知波导参数和入射光的波长，可以求出波导 中能够传输TE、TM模式的数量分别为
M TE
2 2 1 n n 3 2 Int[ (n12 n2 ) tan 1 ( 22 ) 1] 2 n1 n2
平板波导的有效折射率N随波导芯区厚度w的变化关系曲 线 实线和虚线分别对应着为m=0，1，2三个TE和TM 导模, wc0，wc1，wc2分别为TE0、TE1和TE2的截止厚度
பைடு நூலகம்
平板波导传播常数随入射光频率变化关系曲线 其中c0, c1, c2分别为TE0、TE1和TE2模的截止 频率
▲ 模截止 截止厚度 截止频率
w m tan (c12
1
P
) tan (c13 )
1
q
其中
c12 c13 1
（对TE模）
n1 2 c12 ( ) n2
n1 2 c13 ( ) （对TM模） n3
即
2 2 n 1 k0 2 1/ 2
2 2 2 n 1 2 k0 1/ 2 w m tan [c12 ( 2 2 ) ] 2 n1 k0
模截止：给定的波导参数和入射光的频率，若某个 导模模式传播常数的解不存在，则称这个导模模式 处于截止状态。 截止厚度：当N = n2时，薄膜的厚度称为截止厚度。
2 2 1 n n 1 2 3 2 wc { m tan [ c ( ) ]} 13 1 2 2 n1 n2 2 2 2 k0(n1 - n2 )
▲ 不同模式场场分布的特点
芯区: 对于m阶模，会出现m＋1个极大值，出现 m个节点。
衬底和包层: 从后面的分析我们会得到，阶次m 越大， 值越小，P，q越小，从而使场延伸到衬 底和包层的距离越长。
●
模截止及波导中的传输模式数
▲ 本征值方程的解 若把TE，TM模的本征方程写成一个统一的式子， 则本征值方程可写为
1
截止厚度的意义：当波导芯区的厚度小于某模式的截 止厚度时，此导模及阶数高于此导模的模式是不存在 的。
（1）wc随m的增大而增大。
（2）若入射光的频率增大，则wc变小，这说明对 某一频率光波导不存在的模式，对其它光波，即比 此频率高的光波，这种模式可能存在。 （3）TM模的截止厚度大于同阶TE模的截止厚度。
(n n ) /(n n )
2 2 2 3 2 1 2 2
这样，可以得到TE模归一化的本征值方程
V 1 P 2 m tan 1 P 2 /(1 P 2 ) tan 1 ( P 2 ) /(1 P 2 )
可见，若已知，可以根据此方程画出P2~V的关 系曲线。若几个不同波导结构的非对称参量值 相等，它们的P2~V的关系曲线完全一致。就等于 一条曲线曲线可以代表相同的一类波导。这就 是归一化的好处。
◆ 三层均匀平面波导的电磁场分析法
● 一般平面波导中模式的种类
● ●
●
三层均匀平面波导中模式场的
场分布与本征值方程
模截止及波导中的传输模式数
归一化参量
●
平面波导中模式的种类
平面波导在y方向折射率不发生变化，所以模式场只是x 的函数，模式场的横向与纵向分量也只是x的函数，这 样由模式场横向分量与纵向分量的方程可以推出
1 2 2
P ( 2 -k02n2 )
1 2 2
d 2 Ey dx 2 d Ey
2
Ey 0
2
（芯区）
dx
2
2
P Ey 0
2
（衬底）
d Ey dx
2
q Ey 0
2
（包层）
上面三个微分方程的通解分别为
E y A1 cos( x )
E y A2 e
P( xw )
▲ TE模模式场分量之间的关系
Hx Ey 0
i dE y Hz 0 dx
对于TE模只要求出Ey即可求出其它的分量
▲ TM模模式场分量之间的关系
Ex Hy
i dH y Ez dx
对于TM模只要求Hy出即可求出其它分量。
● 三层均匀平面波导中模式场的场分布与本征值 方程
由于TE模电场只有分量Ey ，所以上式可以写成
d Ey dx
2
2
k n
2 0 2
2
E
y
0
n3
x
包层
对右图所示平面波导的三 个不同区域上式可以分别 写为
z
n1
n2
薄膜（芯区）
衬底
d Ey dx d 2 Ey
2
2
k02 n12 2 E y 0
2 k02 n2 2 Ey 0
（芯区）
dx
2
2
（衬底）
d Ey dx
2
(k0 n3 ) E y 0
2 2 2
（包层）
对于导模，芯区是振荡场，包层和衬底为衰减场 即
k0 n k0 n
2 2 2 2 2
2 1
令
(k02n12 )
上面的微分方程变为
1 2 2
q ( 2 k02 n3 )
0 0
或
c (T M ) c (TE )
0 0
应该说明的是：实际光波导的 折射率相差不大因而 TE0和TM0模的截止厚度、截止频率和截止波长都 相差不大，为此在实际工程中，认为TE0和TM0模 的截止厚度等近似相等，而将单模传输条件放宽到
wc (TE 0 ) w wc (T E )
2 2 2 1 n 1 3 k0 2 tan [c13 ( 2 2 ) ] 2 n1 k0
或
n
2 1
N
2 1/ 2
2 2 1 2 2 N n N n 1 3 2 1/ 2 2 k0 w m tan 1[c12 ( 2 ) ] tan [ c ( ) ] 13 2 2 2 n1 N n1 N
dE y
dx dx dEz i Ex i0 H y dx
i0 H z
dH y
i Ez
i E y i0 H x
i H y i Ex
dH z i H x i E y dx
模式场的六个分量，可以化成独立的两组。这两 组模式场分量（Ey，Hx，Hz）和（Hy，Ex，Ez） 分别表示了TE、TM两种模的场，因此在平面波 导中只存在TE、TM两种模。
E y A3e
由边界条件
qx
这里A1，A2，A3和 是待定常数
x 0, x w
1
时
Ey 和
q
dE y dx
连续
可以得到本征值方程为
w m tan ( ) tan ( )
1
P
式中m = 0，1，2，…
由此可见，此方程与上节用射线分析法得到的方程 是完全一样的。通过求解它就可以得到在给定入射 光与波导参数情况下的不同模式（不同m）的传播 常数值，从而进一步求出模场分布Ey，Hx和Hz。
2w
1 2 2
1
M TM
n n2 n3 Int{ (n n2 ) tan [ ( 2 ) ] 1} 2 n n1 n2 2w
2 1 1 2 2
1
1
2 1 2 3
2
2
1 2
式中Int表示只取整数部分。波导中能够传输模式的 总数量为
M M TE M TM
●
归一化参量
（4）当 n2 = n3 时(称为三层对称平面波导)，有
wc
m
k0 (n n2 )
2 1
1 2 2
对零阶模有 wc=0 ，所以三层对称平面波导 的零阶模永远不会截止。
截止频率：当N = n2时，入射光的频率称为截止频率。
c
c (n12 n2 )
1 2 2
n2 n3 1 1 {m tan [c13 ( 2 ) ]} 2 w n1 n2
2 2 1 2
若波导中只能传输一种模式，（对平面波导这种模 式即为TE0模）的情况，称为单模传输。我们可以 推出给定入射光的频率，波导折射率时，单模传输 条件为 ：
wc (TE 0 ) w wc (T M 0 )
给定波导参数时，单模传输的条件为
c (TE ) c (T M )
为了方便，常常进行波导的归一化计算。 几个无量纲归一化的参量定义
归一化厚度(或 归一化频率) 归一化波导折 射率(或归一 化传播常数)
波导结构非 对称的参量
2
V k0 w n n
2 1
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
( / k0 ) n N n P 2 2 2 n1 n n1 n2
对均匀平面波导，模式场的亥姆霍兹方程
t E ( x, y ) ( k 0 n ) E ( x, y ) t [ E ( x, y )
2 2 2 2
t
]
i [ E ( x, y )
t
ˆ0 ]z
可以写为
d 2E 2 2 2 k n E 0 0 2 dx
1
c (TE ) c (T E )
0
1
c (T E ) c (TE )
1 0
▲ 传输模式数
若已知波导参数和入射光的波长，可以求出波导 中能够传输TE、TM模式的数量分别为
M TE
2 2 1 n n 3 2 Int[ (n12 n2 ) tan 1 ( 22 ) 1] 2 n1 n2
平板波导的有效折射率N随波导芯区厚度w的变化关系曲 线 实线和虚线分别对应着为m=0，1，2三个TE和TM 导模, wc0，wc1，wc2分别为TE0、TE1和TE2的截止厚度
பைடு நூலகம்
平板波导传播常数随入射光频率变化关系曲线 其中c0, c1, c2分别为TE0、TE1和TE2模的截止 频率
▲ 模截止 截止厚度 截止频率
w m tan (c12
1
P
) tan (c13 )
1
q
其中
c12 c13 1
（对TE模）
n1 2 c12 ( ) n2
n1 2 c13 ( ) （对TM模） n3
即
2 2 n 1 k0 2 1/ 2
2 2 2 n 1 2 k0 1/ 2 w m tan [c12 ( 2 2 ) ] 2 n1 k0
模截止：给定的波导参数和入射光的频率，若某个 导模模式传播常数的解不存在，则称这个导模模式 处于截止状态。 截止厚度：当N = n2时，薄膜的厚度称为截止厚度。
2 2 1 n n 1 2 3 2 wc { m tan [ c ( ) ]} 13 1 2 2 n1 n2 2 2 2 k0(n1 - n2 )