空间几何体的表面积和体积(上)

小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键；
2、对应的面积公式
S三棱锥 ＝12 ch'
S圆锥侧= πrl
C’=0
r1=0
S正 棱 ＝ 台 1 2（c＋c')h' S圆台侧=π（r1+r2)l
C’=C
r1=r2
S直棱＝ 柱 ch'ch S圆柱侧= 2πrl
例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的 正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 ______;
扇环
r1
l
r2
S 圆＝ 台 S 扇 侧 ＝ 环 （ r1 r2)l
例1：一个正三棱台的上、下底面边长
分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱
台的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
例3：圆台的上、下底面半径分别为2
和4，高为 2 3 ，求其侧面展开图扇环
h' h'
S正棱锥＝ 侧 12ch'
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线
展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
扇形
R扇＝ l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆锥 ＝ S 侧 扇 ＝ n 3l6 201 2l扇 lrl
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周 长分别为c′、c，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公
式：S正棱台侧＝ 1∕2(c＋c.′)h′
②圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为
r′、r，母线长为l，则S圆台侧＝ πl(r′＋． r)
注：表面积＝侧面积＋底面积．
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h'
h'
S正 棱 台 ＝侧 12（cc')h'
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
3．几何体的表面积应注意重合部分的处理．
知识点二．柱、锥、台、球的体积
(1)长方体的体积 V长方体＝abc＝ Sh. (其中a、b、c为长、宽、高，S为底面 积，h为高) (2)柱体(圆柱和棱柱)的体积 V柱体＝Sh. 其中，V圆柱＝πr2h(其中r为底面半径)．
1＋x42＝ 3，
解得 x＝2 2.即正三棱柱的侧棱长为 2 2.
(2)S＝S 侧＋S 底， S 侧＝3×2×2 2＝12 2， S 底＝12× 3×2×2＝2 3， ∴S＝S 侧＋S 底＝12 2＋2 3.
【点评】 求表面积应分别求各部分面的面积，所以 应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形 可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几 部分来求．
1.3 简单几何体的表面积和体积
三都民族中学 高一数学组
回忆复习有关概念 1、直棱柱： 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱 2、正棱柱： 直 底面是正多边形的 棱柱叫正棱柱 3、正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心
的棱锥
4、正棱台： 正棱锥被平行于底面的平面所截， 截面和底面之间的部分叫正棱台
【思路点拨】 (1)证明△AED为直 角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出 侧面积与底面积．
【解】 (1)设正三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长
为 x.
∵△ABC 是正三角形，
∴AE⊥BC.
又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C，且交线为 BC，
∴AE⊥侧面 BB1C1C， 在 Rt△AED 中，由 AE＝DE，得
所对的圆心角
答：1800 分析：抓住相似三角形中的相似比是解 题的关键
小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好 相应的计算公式，注意逆向用公式；
2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆 锥中解决圆台问题，注意相似比.
例：圆台的上、下底半径分别是10cm和 20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果 中保留π）
r
l
长方形
宽＝ l
长＝ 2r
S 圆柱 S 侧 长方 ＝ 2 形 rl
(2)锥体的侧面积
①正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜 高为h′，则
S正棱锥侧＝ ½ch.′
②圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那 么
S圆锥侧＝πrl .
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
A
因为BC=a，SDSBsin60 3a
2
BD
C
所以：S ABC 1 2BC SD 1 2a2 3a4 3a2
因此，四面体S-ABC 的表面积．
例4(2010年广东省惠州市高三调研)如图，已 知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D，E是 CC1，BC的中点，AE＝DE.
(1)求此正三棱柱的侧棱长； (2)正三棱柱ABC－A1B1C1的表面积．
答：60
例2：正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中 截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台， 求棱台的侧面积
答：9 7
例3 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成．
S 解：先求ABC的面积，过点S作 SDBC ，
交BC于点D．
斜高的概念
作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出 斜高
C1
P
A1
B1
A1
C1
C A
B1 D1
A
C
B
O
D
B
C O
D
B
A
2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴
A
A
B
A
B
C
DB
CC
D
分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形.
矩形
等腰三角形
等腰梯形
知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积 (1)柱体的侧面积
①直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c， 则
S直棱柱侧＝ ch.
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ 2πr. l
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h
cb
a
Leabharlann Baidu
h
a
h
bc
S 直 棱 ＝ 拄 a （ 侧 bc)hch
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
思考：怎样求斜棱柱的侧面积？ 1）侧面展开图是—— 平行四边形 2）S斜棱柱侧=直截面周长×侧棱长 3） S侧=所有侧面面积之和
几何体的表面积问题小结
1．高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中， 借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体 的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和．圆柱、 圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个 曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆 的面积之和．