圆的性质和定理
圆的性质与定理
圆的性质与定理圆是几何学中的重要概念之一，具有许多独特的性质与定理。
本文将探讨圆的性质与定理，帮助读者更好地理解和应用圆的相关知识。
一、圆的定义圆是由平面上所有到一个固定点距离相等的点构成的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心距离相等的线段称为半径。
用符号"O"表示圆心，符号"r"表示半径，圆的表示方法为“⭕O(r)”。
二、圆的基本性质1. 圆的任意两点与圆心的距离相等。
2. 圆的半径是其上任意一条线段的长度。
三、圆的定理1. 切线定理在圆上，从圆外一点引一条切线，切点与切线上这个点连线构成的角为直角。
2. 弧与角定理圆上的弧都对应着一定的角度，且弧度与弧长之间存在以下关系：弧长 = 半径 ×弧度。
3. 弧的夹角定理两条弧的夹角等于它们所对应的圆心角的一半。
4. 弧的角度定理圆的一周对应的弧长为360度。
5. 弦定理在圆上，连接两点形成的线段叫做弦。
当两条弦的交点在圆内时，交点两侧弦的长度之积等于交点所在的直径的长度之积。
6. 弧的角平分线定理一条弧的角平分线等于它所对应的圆心角的一半。
7. 弦切定理在圆上，连接圆内一点与该点和圆心之间交点形成的弦，与从该点引出的切线垂直。
8. 弧切定理在圆上，连接圆内一点与该点所在的弧上两点形成的弦，与从该点引出的切线垂直。
9. 弧线辅助角定理圆上两点和圆心连线形成的角等于这两点所对应的圆弧的一半。
10. 垂径定理在圆上，从圆心引一条与弦垂直的线段，该线段叫做垂径。
垂径恰好平分弦。
11. 弦心角定理弦心角等于它所对应的弧的一半。
12. 圆的对称性圆具有无穷多个对称轴，其中最重要的是直径，即通过圆心且与圆上两点相连形成的线段。
综上所述，圆是由所有到圆心距离相等的点构成的集合，它具有许多独特的性质与定理。
通过了解和应用这些性质与定理，我们可以更好地理解圆的特点，解决与圆相关的几何问题。
无论是平面几何还是立体几何等领域，圆的性质与定理都是基础且重要的知识点。
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的基本图形之一，它具有许多独特的性质和定理。
在本文中，我们将探讨圆的性质以及与之相关的一些定理。
一、圆的定义与基本性质圆可以被定义为平面上所有到一个给定点距离相等的点的集合。
这个给定点被称为圆心，而到圆心的距离被称为半径。
圆的基本性质包括以下几点：1. 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上。
直径的长度是半径长度的两倍。
2. 圆的周长是圆上任意两点之间的弧长，它等于圆的直径乘以π（pi）。
周长也可以被称为圆的周长。
3. 圆的面积是圆内部所有点的集合。
圆的面积等于半径的平方乘以π。
二、圆的相关定理在圆的研究中，有一些重要的定理被广泛应用。
下面我们将介绍其中几个。
1. 弧长定理弧长定理指出，在同一个圆上，两个弧所对应的圆心角相等时，它们的弧长也相等。
这个定理可以用来求解弧长，也可以用来证明一些与圆有关的性质。
2. 弧度制与角度制弧度制是一种用弧长来度量角度大小的方法。
在弧度制中，一个圆的周长被定义为2π弧度。
而角度制是我们常用的度量角度大小的方法。
两者之间可以通过一定的换算关系进行转换。
3. 切线定理切线定理是指与圆相切的直线与半径所构成的角是直角。
这个定理在解决与圆相关的几何问题时非常有用，可以帮助我们确定切线的位置和方向。
4. 正切定理正切定理指出，与圆相切的半径与切线所构成的角的正切值等于切线上相应弧所对应的角的正切值。
这个定理可以用来求解与切线相关的角度问题。
5. 弦切角定理弦切角定理是指，当一个弦与切线相交时，切线与弦所夹的角等于弦上所对应的弧所对应的角的一半。
这个定理可以用来求解与弦和切线相关的角度问题。
三、圆的应用圆的性质和定理在实际生活中有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 圆的运动轨迹当一个点以固定的速度绕着另一个点旋转时，它的轨迹是一个圆。
这个性质被广泛应用在天文学中，用来描述行星、卫星等天体的运动。
2. 圆形建筑与设计圆形建筑具有独特的美学效果和结构稳定性。
几何中的圆相关定理
几何中的圆相关定理圆是几何中的一个基本形状，而圆相关的定理在数学中有着重要的地位。
本文将对几何中的圆相关定理进行论述和解释，以帮助读者更好地理解和应用这些定理。
一、圆的定义和性质圆是一个平面上所有点到中心点的距离都相等的闭合曲线。
圆的性质包括以下几个方面：1. 圆心：圆的中心点称为圆心，通常用字母O表示。
2. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径，通常用字母r 表示。
3. 直径：通过圆心，并且两端点都在圆上的线段称为直径，直径的长度等于半径的两倍。
4. 弧长：圆周上任意两点之间的弧长等于圆心角所对的弧长。
5. 弦：圆上任意两点之间的线段称为弦。
二、圆的相关定理在几何中，与圆相关的定理有很多，下面将介绍几个常见的定理。
1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么切线的斜率等于圆心到切点的半径的斜率的负倒数。
2. 切点定理：如果两条切线分别与圆相交于A、B两点，那么这两条切线的交点与圆心之间的连线AB必然经过切点。
3. 弧长定理：圆周上的弧长等于圆心角所对的弧长等于半径所对的圆心角的弧长的一半。
4. 切角定理：两条切线相交的角等于两条切线所对的弧所对的圆心角的一半。
5. 正弦定理：在任意三角形中，三边的长度与其对应的正弦值成比例。
6. 弦切角定理：一个角的顶点位于圆上，且该角的两条边分别为半径和切线时，这两条边之间的夹角等于其对应的弧所对的圆心角的一半。
7. 弦弧定理：圆上的弦所对的弧与其它与这条弦相交的弦所对的弧的乘积等于它们所对的圆心角的乘积。
8. 切弦定理：一条切线和与之相交的弦所对的弧长的乘积等于切点到切弦上一定点的线段的长度的平方。
三、应用举例下面通过具体的例子来展示圆相关定理的应用。
例题1：一条切线与圆相交于点A，切点为B。
已知AB的长度为3cm，圆的半径为5cm，求切线与圆心的距离。
解析：根据切弦定理可得，AB的长度乘以切点到切弦上一定点的线段的长度等于切线和与之相交的弦所对的弧长的乘积。
圆的性质知识点总结
圆的性质知识点总结圆是数学中一个非常重要的几何图形，它具有许多独特而有趣的性质。
下面我们就来详细总结一下圆的性质知识点。
一、圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
二、圆的相关元素1、圆心圆心是圆的中心，用字母“O”表示。
2、半径连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母“r”表示。
在同一个圆中，半径都相等。
3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母“d”表示。
直径是圆中最长的弦，且直径等于半径的 2 倍，即 d ＝ 2r 。
4、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
5、弧圆上任意两点间的部分叫做弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
6、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
7、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
三、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
5、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补。
四、圆的周长和面积1、圆的周长圆的周长 C ＝2πr 或 C ＝πd ，其中π是圆周率，约等于 314 。
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
圆的性质与定理
圆的性质与定理圆是一种具有特殊几何性质的几何图形，它由一条曲线组成，这条曲线上的每一点到圆心的距离都相等。
在数学中，关于圆的性质和定理有很多，它们帮助我们深入理解圆的特点和应用。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：圆心是圆上所有点的中心，用字母O表示。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
2. 直径和周长：直径是穿过圆心的两个点之间的距离，等于半径的两倍。
周长是圆的边界长度，等于直径乘以π（圆周率）。
二、圆的重要定理1. 同圆弧定理：如果两条弧所对应的圆心角相等，则这两条弧是同圆弧。
2. 同弦定理：如果两条弦所对应的圆心角相等，则这两条弦是同弦。
3. 弧长定理：圆内任意一段圆弧的长度等于这段圆弧所对应的圆心角的弧度数乘以半径的长度。
即弧长 = 圆心角的弧度数 ×半径。
4. 切线定理：切线与半径垂直。
5. 相切弦定理：从外部一定点引圆的两条切线，这两条切线所夹的弦的长度相等。
6. 弦切角定理：圆内的弦所夹的角等于这条弦所对应的圆心角的一半。
7. 弧切角定理：圆内一条弧与这条弧所对应的切线所夹的角等于这段弧所对应的圆心角的一半。
三、圆的应用1. 圆周率π的计算：π是无理数，它代表了圆的周长与直径的比值。
在计算中常用3.14或22/7作为π的近似值。
2. 圆的面积计算：圆的面积等于半径的平方乘以π。
即面积= π ×半径的平方。
3. 圆的几何画图：在平面几何中，圆的几何画图是重要的基础知识，它包括圆的作图、切线的作图等。
4. 圆与三角形的关系：圆与三角形之间存在着多个重要的性质和定理，如圆内切等著名定理。
综上所述，圆的性质与定理是数学中重要的内容，它们帮助我们更深入地了解圆的特点与应用。
通过学习圆的性质与定理，我们可以解决与圆相关的问题，同时也为进一步学习几何学奠定了坚实基础。
圆的所有定理公式大全
圆的所有定理公式大全圆是几何学中一个重要的基本图形，它具有许多特殊的性质和定理。
在这篇文章中，我们将介绍一些圆的定理和公式，帮助读者更好地理解圆的性质和应用。
1. 圆的基本性质：- 圆是一个平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
- 圆心到圆上任意一点的距离称为半径（r）。
- 圆的直径（d）是通过圆心的一条线段，它等于半径的两倍。
2. 圆的周长和面积：- 圆的周长（C）等于圆的直径（d）乘以π（圆周率）。
C = πd 或C = 2πr- 圆的面积（A）等于半径（r）的平方乘以π（圆周率）。
A = πr²3. 弧长和扇形面积：- 弧长（L）是圆的一部分的弧长。
它等于弧度（θ）乘以半径（r）。
L = θr （其中θ 的单位为弧度）- 扇形面积（A）等于角度（θ）比上360度再乘以圆的面积。
A = (θ/360)πr² （其中θ 的单位为角度）4. 圆的相交性质：- 弦：圆上连接两个点的线段称为弦。
如果一个弦通过圆心，它称为直径。
- 弦切角：如果两个弦的端点相连成一个角，则这个角叫做弦切角。
- 切线：与圆相切且与半径垂直的线段称为切线。
切线与半径的交点称为切点。
- 切线切割定理：一个切点与切点外的任意一点相连，此线段与切线的交点与切点相连的线段平方等于此直线与切线相交的两条弦构成的弧的两个弧度之积。
5. 圆的角度定理：- 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于所对弧所对应的圆周角度数。
- 直径角：直径所对的角称为直径角，它的度数为 180 度。
- 弧角定理：圆上的两条弦所对的圆心角等于它们所对弧所对应的圆周角的一半。
6. 圆的判定定理：- 定理 1：如果一个点到圆心的距离等于圆的半径，那么这个点在圆上。
- 定理 2：如果一个点在圆上，那么它到圆心的距离等于圆的半径。
7. 圆的位置关系：- 外切圆：与一个三角形的三边都相切的圆，叫做该三角形的外切圆。
- 内切圆：与一个三角形的三条边都相切于一个点的圆，叫做该三角形的内切圆。
圆的基本性质与定理
[圆的基本性质与定理]1定理: 不在同一直线上的三点确定一个圆。
(圆的确定）2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形[有关圆周角和圆心角的性质和定理]1定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形的性质与定理]1定理圆的内接四边形的对角互补2定理并且任何一个外角都等于它的内对角3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆[有关切线的性质和定理]1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 ：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心[圆的其他性质定理]1弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等2①直线L和⊙O相交d＜r ②直线L和⊙O相切d=r ③直线L和⊙O相离d＞r3圆的外切四边形的两组对边的和相等[圆与圆]1如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上2①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r ③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)3定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦4定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形（有关外接圆和内切圆的性质和定理）5定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆6一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
圆的性质及各种定理
圆的性质及各种定理圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。
圆与直线相切圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
有关外接圆和内切圆的性质和定理1、一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等。
2、内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
3、R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）4、两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）5、圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC 分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
〖有关切线的性质和定理〗圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
圆的性质与相关定理解析
圆的性质与相关定理解析圆是几何学中一个重要的概念，它具有许多特殊的性质和定理。
本文将对圆的性质和相关的定理进行解析，并探讨它们在几何学中的应用。
一、圆的性质1. 圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
2. 圆的元素：圆心、半径与直径。
圆心是到圆上所有点的距离相等的点；半径是圆心到圆上任意一点的距离；直径是穿过圆心且两端在圆上的线段，它的长度等于两倍的半径。
3. 圆的直径与半径的关系：直径是半径的两倍。
4. 圆的内部与外部：圆内的点与圆心的距离小于半径，而圆外的点与圆心的距离大于半径。
二、圆的定理1. 圆的周长公式：圆的周长等于2π乘以半径（C=2πr）。
2. 圆的面积公式：圆的面积等于π乘以半径的平方（A=πr²）。
3. 弧长定理：在同一个圆中，相同角度的圆心角所对的弧长相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆中，圆心角所对的弧长与圆半径的乘积相等。
5. 切线定理：从圆外一点引圆的切线，切线与半径的乘积等于切点与圆心连线的平方。
三、圆的应用1. 圆的建筑应用：圆形建筑物如圆形体育馆、圆形剧场等在设计中能够提供更好的视觉效果和声音传播效果。
2. 圆的导向标识：圆形导向标识常用于道路交通和公共场所，因为圆形具有无起点和终点的特点，能够引导人们快速找到自己的目标位置。
3. 圆的旋转面积：通过将圆绕着轴旋转，可以得到旋转体的体积和表面积。
4. 圆的测量工具：利用圆的性质，我们可以设计制作圆规、圆形罗盘等测量工具。
5. 圆的几何证明：通过应用圆的定理，可以进行各种形式的几何证明，进一步推动几何学的发展。
综上所述，圆具有独特的性质和定理，其在几何学中具有广泛的应用价值。
通过了解和掌握这些性质和定理，我们能够更好地理解和应用圆的相关概念，并将其运用到实际问题中。
在学习和工作中，我们可以通过圆的性质和定理，提高解决问题的能力和几何思维能力。
初三数学 圆的性质定理
初三数学圆的性质定理1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4、垂径定理的应用：①用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.例1、如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AD交小圆于B、C.(1)求证：AB=CD(2)如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.②半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4．圆的内接四边形：①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.例2、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D.若BC=8，ED=2，求⊙O的半径.1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O的半径是（）2、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm3、如下图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．平分D．随点C的移动而移动4、如上中图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）A．∠ABD=∠ACD B．C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC5、如上右图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°6、如下图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．7、如上左二图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A 、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．9、如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．10、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．11、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．13、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．一、确定圆的条件(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．过不在同一条直线上的三点确定一个圆2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆例1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？（1）（2）（3）例3、如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．1、下列关于外心的说法正确的是（）A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点2、下列条件中不能确定一个圆的是（）A．圆心和半径B．直径 C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点3、三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等 C．外心在三角形外D．外心在三角形内4、等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（）A．重心B．垂心 C．外心D．无法确定5、如图所示，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M6、如图，是△ABC的外接圆，∠BAC=30°，BC=2 cm ，则△OBC的面积是_______.7、直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______．8、如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观，为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎么样找到圆心和半径？。
初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧
初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧1. 圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.2. 垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.3. 圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 同样还可以得到：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 4. 圆周角定理及推论圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.5. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.初中数学常见题型解题技巧一、选择题的解法1.直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，最后得到题目的所求。
2.特殊值法：（特殊值淘汰法）有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关。
在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。
3.淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。
4.逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略。
每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。
5.数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
二、常用的数学思想方法1.数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义。
圆的性质和定理
圆的性质和定理圆是几何中的重要概念之一，它具有许多独特的性质和定理。
在本文中，我们将探讨圆的基本性质以及一些与圆相关的重要定理。
一、圆的性质1. 定义：圆是由平面上与一定点的距离相等的所有点组成的集合。
圆心是圆上所有点的中心，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆周率：圆的周长与直径的比值被定义为圆周率π（pi），它是一个无理数，约等于3.14159。
根据这个定义，圆的周长C可以表示为C = 2πr，其中r是圆的半径。
3. 直径和半径的关系：直径是一条通过圆心的线段，它的长度等于半径的两倍。
换句话说，d = 2r，其中d代表直径，r代表半径。
4. 弧和弦：在圆上，弧是圆上的一段弯曲的部分，而弦则是连接圆上两个点的线段。
任何一条弦对应的弧都是唯一确定的，且弦总是小于或等于圆的直径。
5. 弦的性质：如果两条弦互相垂直，则它们所对应的弧互补。
二、圆的定理1. 弧度制和角度制：在计量角度时，常见的有两种制度，一种是弧度制，另一种是角度制。
弧度制是以圆的半径为单位，角度制是以度为单位。
两者之间的转换关系是2π弧度等于360度。
2. 弧度与圆周角的关系：一条弧所对应的圆周角的弧度数等于这条弧所对应的圆心角的弧度数。
这个定理揭示了圆弧度的重要性，为许多相关问题的解决提供了便利。
3. 切线定理：与圆相切的直线（切线）与半径的相交点处的角是一个直角。
4. 弧长和扇形面积：弧长是弧上的一部分的长度，可以由弧度数乘以半径得到。
扇形面积是由相邻两条半径和其所夹的弧组成的图形的面积，它可以通过半径和所夹的圆心角的弧度数计算得出。
5. 割线定理：在与圆相交的直线上，两个相交点分割的弦的乘积等于这条直线外部线段与这条直线在圆上的切点分割的弦的乘积。
总结：圆具有许多独特的性质和定理，对于几何学的研究和应用有着重要的意义。
掌握了圆的性质和定理，我们可以更好地理解和解决与圆相关的问题。
在实际应用中，圆的性质和定理也被广泛应用于建筑、机械、地理等领域，为问题的解决提供了有效的方法和准确的计算依据。
圆的基本性质
圆的定义：几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心。
定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心。
一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周。
简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
有关圆的基本性质与定理：圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性质：圆是轴对称图形。
其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形。
其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦。
并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦。
并且平分弦所对的弧。
有关圆周角和圆心角的性质和定理：在同圆或等圆中。
如果两个圆心角。
两个圆周角。
两条弧。
两条弦中有一组量相等。
那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
有关外接圆和内切圆的性质和定理：一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点。
到三角形三个顶点距离相等,内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点。
到三角形三边距离相等。
有关切线的性质和定理：圆的切线垂直于过切点的直径,经过直径的一端。
并且垂直于这条直径的直线。
是这个圆的切线。
切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：(1)经过圆心垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。
圆与点、线、圆之间的位置关系：其相对位置关系主要是依据其圆心到各点、线、圆之间的距离与半径的大小来判断。
圆是平面几何的重要内容之一，圆的基本性质具有非常广泛的应用，因此，它也是数学竞赛命题的热点。
而由于圆的问题知识容量大，综合性强，方法涉及面广，因而在处理有关圆的问题时，常常要构造直角三角形和寻找相似三角形，利用勾股定理和相似三角形的性质来解决。
圆的基本概念与性质知识点总结
圆的基本概念与性质知识点总结圆是几何学中的一个基本概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
它具有许多独特的性质和特点，本文将为你总结圆的基本概念以及其相关的性质知识点。
1. 圆的定义圆是平面上一组距离相等的点的集合。
其中，距离相等的点叫做圆心；与圆心距离相等的线段叫做半径；连接圆上任意两点的线段叫做弦；通过圆心并且连接圆上某一点的线段叫做半径。
2. 圆的性质2.1 圆的半径性质- 圆上任意两点间的弦相等，并且等于半径的长度。
- 半径垂直于弦，并且平分弦。
- 圆上相等弧所对的弦相等。
- 以圆心为端点的弧叫做半圆，圆心角为180°。
2.2 圆的直径性质- 直径是圆上任意两点间的最长弦，等于半径的两倍。
- 直径的中点即为圆心。
- 圆上的半径与直径垂直，并且被直径平分。
2.3 圆的面积性质- 圆的面积公式为：A = πr²（其中，A表示面积，r表示半径）。
- 圆的面积只与半径有关，与圆心角和弦长无关。
2.4 圆的弧长性质- 弧长公式为：L = 2πr（其中，L表示弧长，r表示半径）。
- 弧长与圆心角成正比，即弧长等于圆心角度数与周长的比值。
3. 圆的相关定理3.1 切线定理- 切线是与圆相切的直线，切点在圆上。
- 切线与半径垂直。
3.2 弧度制与度制的转换- 弧度制是以半径等于1的圆的圆心角作为单位，记作rad。
- 度制是以圆心角为单位，记作°。
- 弧度制与度制的转换关系为：1° = π/180 rad。
4. 圆的应用领域- 在几何学中，圆被广泛运用于计算圆的面积、周长和弧长等。
- 在物理学中，圆被用于描述物体的运动轨迹和行星的绕轨道运动等。
- 在工程学中，圆被应用于建筑设计、机械制造和电路设计等。
综上所述，圆作为几何学中的基本概念，具有独特的性质和特点。
了解圆的基本概念和性质对于深入理解几何学、物理学和工程学等领域的知识有着重要的意义。
同时，圆的应用广泛，为我们解决问题和进行实践提供了重要的工具。
初二圆的性质及相关定理
初二圆的性质及相关定理圆是几何学中最基本的图形之一，也是初中数学学习的重要内容之一。
在初二阶段，学生们需要学习圆的性质和相关定理，掌握圆的基本概念和运用技巧。
本文将介绍初二圆的性质及相关定理，帮助学生们更好地理解和掌握这一部分知识。
一、圆的定义和基本性质1. 定义圆是由平面上的一点到另一点距离不变的所有点的集合。
该固定距离称为半径，圆心是指距离各点的距离相等的那一点。
2. 基本性质（1）圆上任意两点可以确定一条弦；（2）圆上任意两点与圆心构成的线段称为半径，任意两条半径的长度相等；（3）圆上任意一点与圆心构成的线段称为半径，圆心到弦的垂直线段称为弦的垂直线段；（4）圆上任意一点到圆心的距离等于半径的长度。
二、切线和切点1. 切线的定义和特性（1）定义：切线是与圆相切于圆上一点并且与该点所在的切点垂直的直线。
（2）性质：切线与半径的位置关系是相互垂直，并且切线在切点处与半径构成的角是直角。
2. 切点的性质（1）切点在圆上；（2）切点与圆心构成的半径垂直于切线。
三、圆的弧和圆心角1. 圆的弧（1）弧的定义：圆上两点之间的弦所对应的圆周部分称为弧。
简单来说，圆的一部分叫做弧，两个端点是弦。
（2）弧的度数：圆的周长为360度，当弧所占的圆周长度为整个圆周长度的一部分时，可以用角度来表示。
2. 圆心角的定义和性质（1）定义：圆心角是以圆心为顶点的角，其两边分别是两条弧。
（2）性质：圆心角的度数等于所对应的弧的度数。
四、圆内接四边形性质1. 定义和性质（1）定义：圆内接四边形是指其四个顶点均位于同一个圆上的四边形。
（2）性质：圆内接四边形的对角线互相垂直，并且交于同一点（圆的正中心）。
五、圆的切割和切割定理1. 切割定义和性质（1）定义：给定的圆被直线或线段分割成的两个或多个部分称为圆的切割。
（2）性质：圆的切割部分的角度之和等于圆周角，即360度。
2. 切割定理（1）定理1：同弧切割相等的圆周角。
（2）定理2：同心圆上的切割所得圆周角相等。
圆的性质及相关定理在几何问题中的应用
圆的性质及相关定理在几何问题中的应用圆是几何学中的基本图形之一，具有许多独特的性质和定理。
本文将介绍圆的性质，并探讨圆的相关定理在几何问题中的应用。
一、圆的性质1. 定义：圆是由平面上与一个固定点的距离相等于定值的所有点组成的集合。
2. 圆心：固定点称为圆心，通常用字母O表示。
3. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，常用字母r表示。
4. 直径：穿过圆心且两端点在圆上的线段称为直径，常用字母d表示，直径是半径的两倍。
二、圆的相关定理1. 垂径定理：直径垂直于其所在的弦，反之亦成立。
2. 弧与角的关系：圆心角的度数等于对应的弧度，且弧度等于半径所对应的弧长。
3. 弧长定理：弧长等于圆心角的弧度数除以360度乘以圆周长。
4. 切线定理：切线与半径垂直，且切点在半径的延长线上。
5. 弦切角定理：弦切角等于其所对应的弧切角。
三、圆的应用圆的性质和相关定理在几何问题中有广泛的应用，以下是一些例子。
1. 圆的面积和周长计算：利用圆的面积公式S = πr^2和周长公式C = 2πr，可以计算出给定半径的圆的面积和周长。
这在日常生活中的建筑、工程等方面应用广泛。
2. 圆锥体的体积和表面积计算：圆锥体是由一个圆形底面和一个顶点连接而成的立体，利用圆的面积和周长公式，可以计算出圆锥体的体积和表面积，为工程设计和物体测量提供重要的数据。
3. 圆的旋转体积计算：当一个平面图形绕着某条轴线旋转一周，所形成的立体称为旋转体。
圆的旋转体即圆锥体和圆柱体。
在计算机图形学、模型制作、建筑设计等领域，圆的旋转体积计算是一个重要的问题。
4. 圆的几何投影：在工程制图和建筑设计中，常常需要将三维物体的形状投影到平面上。
圆的几何投影可以通过圆的性质和相关定理来计算，为几何图形的绘制和测量提供便利。
总结：圆的性质和相关定理在几何问题中具有重要的应用，涵盖了面积计算、周长计算、体积计算、几何投影等多个方面。
深入理解圆的性质和相关定理，可以更好地应用于实际问题中，为几何学和工程学的发展贡献力量。
圆的性质与定理
圆的性质与定理在数学中，圆是一种基本的几何形状。
它具有一些独特的性质和定理，这些性质和定理对于我们理解和应用圆形至关重要。
本文将介绍圆的性质和一些与圆相关的重要定理。
一、圆的性质1. 定义：圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点构成的集合。
圆心由大写字母O表示，半径由小写字母r表示。
2. 圆的直径：任意通过圆心并且两端点在圆上的线段称为圆的直径。
直径的长度等于半径的2倍。
3. 圆的弦：圆上任意两点连线段称为圆的弦。
4. 圆的弧：圆上的两点之间的部分称为圆的弧。
5. 圆的切线：与圆仅有一个交点且与切点垂直的直线称为圆的切线。
二、圆的定理1. 圆心角与弧度：圆心角是以圆心为顶点的角，弧度是以半径为半径的圆弧包含的圆心角所对的弧长所对应的角度。
圆心角的大小等于其对应的圆弧的弧度。
2. 弧长公式：已知圆的半径r和圆心角θ的弧长L计算公式为L = r * θ。
3. 正弦定理：在圆上的两条弦所夹的圆心角θ和这两条弦的长度a、b之间存在如下关系：a/sin(θ/2) = b/sin(θ/2) = c/sin(θ/2)，其中c为弦的长度。
4. 余弦定理：在圆上的两条弦之间的夹角θ和这两条弦的长度a、b之间存在如下关系：c² = a² + b² - 2ab*cos(θ/2)。
5. 切线定理：圆上与切点相连的两条切线的交点与圆心的连线垂直。
6. 切割线定理：若直线与圆相交，割线与切线的乘积等于割线与割线的乘积。
7. 相切定理：两个圆相切于一点，切点到圆心的连线垂直于两个切线。
8. 切圆定理：过圆外一点可以作两条切线，两条切线夹角等于切点到该点的连线与圆的半径的夹角的一半。
9. 切割圆定理：若两个相交的圆互为切割，则切点到圆心的连线垂直于相应切线。
三、应用举例1. 圆的计算：对于已知半径r的圆，可以根据公式计算圆的周长和面积。
圆的周长C为2πr，圆的面积S为πr²。
2. 弧长和扇形面积：已知圆心角θ和半径r，可以通过公式计算弧长L和扇形面积A。
圆的基本性质知识点总结
圆的基本性质知识点总结圆是平面上的一个几何图形，是由距离一个固定点的距离始终相等的所有点组成。
圆的基本性质有以下几个方面：1.圆的定义：圆是由平面上到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。
2.圆的元素：圆由圆心、半径、直径、弦、弧等几个元素组成。
-圆心：圆的中心点，通常表示为O。
-半径：从圆心到圆周上的任意一点的距离，通常表示为r。
-直径：通过圆心的一条直线，两端点在圆上，直径是半径的两倍，通常表示为d。
-弦：在圆上连接两点的线段。
-弧：圆上的一段曲线，是由弦所确定的。
3.圆的唯一性：在平面上，给定圆心和半径，唯一确定一个圆。
4.圆的周长和面积：-周长：圆的周长也叫做“圆周长”或“周长”，是圆的边界的长度。
周长C等于直径d乘以圆周率π，即C=πd。
-面积：圆的面积是圆内部的部分，通常表示为A。
面积A等于圆的半径r的平方乘以π，即A=πr²。
5.圆与直线的关系：-圆的直角：圆的半径是以任意点与与之相切的直线垂直相交。
-切线：如果直线刚好和圆相切，那么它是圆的切线。
切线与半径的夹角是直角。
-弦的性质：圆上的弦，如果经过圆心，那么它是圆的直径。
否则，弦将分割圆周上的两个弧。
并且，同一圆上的等长弦所对的弧相等，且同等弧所对的弦相等。
6.圆的相似性：-圆的相似性质：如果两个圆的半径之比相等，那么这两个圆是相似的。
相似的圆形状相同，但可能有不同的大小。
7.圆的相关定理：-弧的定理：两条弦所对圆心角相等，那么这两条弦所对的弧相等。
-弧与弦的定理：如果一条弦上的两个弧所对圆心角相等，那么这两个弧也相等。
-弧与切线的定理：如果一个圆的一条切线与圆上的一条弦相交，那么两条切线所对的弧相等。
以上是圆的基本性质的总结，掌握这些知识点可以帮助我们理解圆的特性和运用这些性质解决与圆相关的几何问题。
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【圆的平面几何性质和定理】
[圆的基本性质与定理]
1定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
(圆的确定）
2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
[有关圆周角和圆心角的性质和定理]
1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
3圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
[园内接四边形的性质与定理]
1定理圆的内接四边形的对角互补
2定理并且任何一个外角都等于它的内对角
3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆
[有关切线的性质和定理]
1切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
[与圆有关的比例线段]
1相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
2 割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
3切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
4切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
[圆的其他性质定理]
1弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
2①直线L和⊙O相交d＜r
②直线L和⊙O相切d=r
③直线L和⊙O相离d＞r
3圆的外切四边形的两组对边的和相等
[圆与圆]
1如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
2①两圆外离d＞R+r
②两圆外切d=R+r
③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切d=R-r(R＞r)
⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
3定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
4定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
（有关外接圆和内切圆的性质和定理）
5定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
6一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
【圆的解析几何性质和定理】
[圆的解析几何方程]
1 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方
程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
2 圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
[圆与直线的位置关系判断]
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：
如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：
当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；
当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；
半径r，直径d
在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F
=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)。