2018中考解直角三角形真题
全国2018年中考数学试卷精选汇编直角三角形与勾股定理(含解析)
直角三角形与勾股定理一、选择题1．（2018•山西•3分）“算经十书”是指 汉唐一千多年间的 十 部著名数学著作，它 们曾经是隋唐时期 国 子监算学科 的 教 科 书 ， 这 些 流 传 下 来 的 古 算 书 中 凝 聚 着 历 代 数 学 家 的 劳 动 成 果 .下 列 四 部 著 作 中 ， 不 属 于 我 国古代数学著作的 是 （）A.《九章算术》B. 《几何原本》C. 《 海 岛 算 经 》D. 《 周 髀 算 经 》【答案】 B【考点】 数学文化【解析 】《 几 何 原 本 》 的 作 者 是 欧 几 里 得2． （2018•山东滨州•3分）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4， ∴弦为=5． 故选：A ．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．3. （2018·湖北省孝感·3分）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=10，BD=24，则菱形ABCD 的周长为（ ）全国2018年中考数学试卷精选汇编A．52 B．48 C．40 D．20【分析】由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵菱形ABCD中，BD=24，AC=10，∴OB=12，OA=5，在Rt△ABO中，AB==13，∴菱形ABCD的周长=4AB=52，故选：A．【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型．4. （2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．C．3 D．【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=AB，EF=，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC==3，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5. （2018·四川自贡·4分）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．6. （2018·台湾·分）如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若AB=6，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF的长度为何？（）A．2 B．4 C．2 D．4【分析】作AH⊥BC于H．则四边形AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF=3．在Rt△ABH中，解直角三角形即可解决问题；【解答】解：作AH⊥BC于H．则四边形AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF=3．在Rt△AHB中，∠ABH=30°，∴BH=AB•cos30°=9，∴CH=BC﹣BH=13﹣9=4，∴AF=CH=4，故选：B．【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．7. （2018·台湾·分）如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A．﹣2B．﹣2C．﹣8 D．﹣7【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．【解答】解：连接AC，由题意得，BC=OB+OC=9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC=9，在Rt△AOC中，AO==2，∵a＜0，∴a=﹣2，故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．8.（2018•湖北黄冈•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=A.2B.3C.4D.23（第5题图）【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。
(完整word版)2018年中考数学真题汇编三角形,推荐文档
2018年中考数学真题汇编：三角形（填空+选择=50题）、选择题1. （2018山东滨州）在直角三角形中，若勾为 3,股为4，则弦为（） A. 5 B. 6 C. 7D. 8【答案】A2. （2018江苏宿迁）如图，点D 在△ABC 的边AB 的延长线上，DE //BC ，若Z A = 35 ° /C = 24 °则/D 的C. 60【答案】B3. 一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛B 在点A 的南偏东30。
方向，继续向南航行 30海里到达C 点时，测得海岛B 在C 点的北偏东15。
方向，那么海岛B 离此航线的最近距离是（结果保 留小数点后两位）（参考数据:汽m 少'•）（ ）A. 4.64海里B. 5.49海里C. 6.12海里D. 6.21海里【答案】B4. 若实数m 、n 满足用_M+曲-斗",且m 、n 恰好是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC 的周 长是（）。
A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】BB. 59D. 695. 在中，亠飞厂爭—沁，一』于，匚巨平分交于，则下列结论A.弓匚=三匚D. AE=EC【答案】C6. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30。
角的三角板的一条直角边和含45。
角的三角板【答案】C条件的直线I的条数是（）。
A.5B.4C.3D.2【答案】C8•如图，在平面直角坐标系中，-」五二的顶点在第一象限，点三，的坐标分别为、，一丘工=：'「，-二=工，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（）C. SC = BE的一条直角边放在同一条直线上，则/ a的度数是（C.75D.857.在平面直角坐标系中，过点（1,2)作直线I,若直线I与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足定成立的是（）OA.45【答案】A9•如图，在 ABCD 中，CD=2AD , BE 丄AD 于点E , F 为DC 的中点，连结 EF 、BF ,下列结论：①/ABC=2 /ABF ;②EF=BF :③S 四边形DEBC =2S ZEFB :④Z CFE=3 ZDEF ，其中正确结论的个数共有（）。
2018年广西各省市中考数学解直角三角形真题汇总
海壁：解直角三角形
【2018桂林】如图所示，在某海域，一般指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC=60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45结果精确到0.1小时）
【2018贺州】如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【2018梧州】随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D 点处测得瀑布顶端A 点的仰角是30°，测得瀑布底端B 点的俯角是10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG=27m，GF=17.6m （注：C、G、F 三点在同一直线上，CF⊥AB 于点F）．斜坡CD=20m，坡角∠ECD=40°．求瀑布AB 的高度．
1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）。
2018年中考数学试题分项版解析汇编(第02期)专题4.2 三角形(含解析)
专题4.2 三角形一、单选题1．【四川省眉山市2018年中考数学试题】将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）.A．45° B．60° C．75° D．85°【答案】C【解析】分析：先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．详解：如图，点睛：本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．2．【山东省聊城市2018年中考数学试卷】如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.详解:点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键. 3．【台湾省2018年中考数学试卷】如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（）A． 115 B． 120 C． 125 D． 130【答案】C【解析】分析：根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．详解：∵三角形ACD为正三角形，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△DEA，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，故选：C．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．4．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC 的周长为（）A． 16cm B． 19cm C． 22cm D． 25cm【答案】B【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．5．【湖北省黄石市2018年中考数学试卷】如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75° B．80° C．85° D．90°【答案】A点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．6．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018年中考数学试题】下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙【答案】B【解析】分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．【山东省淄博市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC 交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）A． 4 B． 6 C． D． 8【答案】B【解析】分析：根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．详解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=6，故选：B．点睛：本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．8．【四川省达州市2018年中考数学试题】如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B点睛：此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．9．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A． B． C． 1 D． 2【答案】C【详解】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键.10．【河北省2018年中考数学试卷】尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ【答案】D【解析】【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．【详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，故选D．【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．11．【山东省东营市2018年中考数学试题】如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．12．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值【答案】DB、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；C、根据S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC=S△ABC（定值），可作判断；D、方法同C，将S四边形OGB'F=S△OAC-S△OFG，根据S△OFG=•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F 的面积也变化，可作判断．详解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的外心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，∴∠DOF=60°，B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF=GF=GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G=AD，∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值），故选项C正确；点睛：本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键，13．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A． B． 1 C． D．【答案】B【解析】分析：只要证明BE=BC即可解决问题；详解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，∴BE=BC=3，∵AB=2，∴AE=BE-AB=1，故选：B．点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．14．【河北省2018年中考数学试卷】已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C【答案】B【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．二、填空题15．【吉林省长春市2018年中考数学试卷】如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为_____度．【答案】37【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．16．【山东省东营市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．【答案】15【解析】分析：作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．详解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，由作图知CP是∠ACB的平分线，∵∠B=90°，BD=3，∴DB=DQ=3，∵AC=10，∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15，故答案为：15．点睛：本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．17．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_____．【答案】130°或90°．【解析】分析：根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．点睛：本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．18．【江苏省徐州巿2018年中考数学试卷】如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_____cm．【答案】7【解析】【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折的性质，可得AE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．【详解】在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，由勾股定理，得BC==4，由翻折的性质，得CE=AE，△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理等，利用翻折的性质得出CE与AE的关系是解题的关键．19．【湖南省邵阳市2018年中考数学试卷】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=，则BC的长是_____．【答案】【点睛】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．20．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为_____．【答案】或【解析】【分析】分两种情况：△ABC是锐角三角形，△ABC是钝角三角形，分别画出符合条件的图形，然后分别根据勾股定理计算AC和BC即可．【详解】分两种情况：当是锐角三角形，如图1，当是钝角三角形，如图2，同理得：AC=2，AB=4，∴BC=；综上所述，BC的长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握，运用分类讨论思想进行解答是关键.21．【2018年湖南省湘潭市中考数学试卷】如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=_________．【答案】30°点睛：考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．22．【广西壮族自治区桂林市2018年中考数学试题】如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________【答案】3【解析】分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．详解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．23．【江苏省泰州市2018年中考数学试题】已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为_____．【答案】5点睛：此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．24．【江苏省淮安市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．【答案】【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；详解：连接AD．点睛：本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三、解答题25．【浙江省杭州市临安市2018年中考数学试卷】阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2=a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解析】【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；（3）根据题意可以写出正确的结论．【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．26．【湖北省武汉市2018年中考数学试卷】如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．【答案】证明见解析.【解析】【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【详解】∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．27．【广西壮族自治区桂林市2018年中考数学试题】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.(1)求证：ΔABC≌△DEF；(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）37°【解析】分析：（1）先证明AC=DF，再运用SSS证明△ABC≌△DEF；（2）根据三角形内角和定理可求∠ACB=37°，由（1）知∠F=∠ACB，从而可得结论.点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．28．【陕西省2018年中考数学试题】如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．【答案】证明见解析.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 29．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△CFG=．【解析】分析：（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出BD=3，进而求出CF=，同理：EG=，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．详解：（1）在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD；（2）如图2，（3）如图3，∵AC=2，∴BC=AC=2，∵CE=1，∴CD=CE=1，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD==3，∵点F是BD中点，∴CF=DF=BD=，同理：EG=AE=，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，∴FH=CD=，∴S△CEF=CE•FH=×1×=，点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键．30．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】如图，在Rt△ABC中，（M2，N2），∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）BH+EH的最小值为3．【解析】【分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H，则点H即为符合条件的点，由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°，∴∠EAE'=60°，∴△EAE'为等边三角形，∴E E'=EA=AB，∴∠AE'B=90°，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=，∴AB=2，A E'=AE=，∴B E'= =3，∴BH+EH的最小值为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称中的最短路径问题、勾股定理等，熟练掌握相关的性质与判定定理、利用轴对称添加辅助线确定最短路径问题是解题的关键. 31．【山东省淄博市2018年中考数学试题】（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案见解析详解：（1）连接BE，CD相交于H，如图1，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，（2）连接CD，BE，相交于H，如图2，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC并延长相交于点H，如图3.同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，∴∠DHE=90°，同（1）的方法得，MG⊥NG．∴△GMN是等腰直角三角形.点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．32．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．【答案】（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF 【解析】分析：即可得；（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE 得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．（2）设DE=a，则AE=2DE=2a，EG=DE=a，∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2，∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，∵AD=CD、AC⊥BD，∴CE=AE=2a，则S△ADC=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．。
2018中考数学解直角三角形(在实际问题中的运用-含答案)
DABCEF解直角三角形在实际问题中的运用要点一：锐角三角函数的基本概念1。
(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ,直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ,且CD = 24 m,OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 1213． (1)求半径OD ;（2）根据需要，水面要以每小时0。
5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？2.（綦江中考）如图,在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点,AE BC =，DF AE ⊥,垂足为F ,连接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△;(2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．3、（宁夏中考）如图,在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54,AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．OECD4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中,∠C = 90°,a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值。
5、(·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠,(1) 求证：AC=BD ； (2）若12sin 13C =，BC =12,求AD 的长．要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.(·钦州中考）sin30°的值为（ ）A 3B 2C ．12D 3 2.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ）A ．(21)，B ．2)，C ．211)， D ．(121)，3.（定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D ．433米 4。
宿迁中考）已知α为锐角,且23)10sin(=︒-α，则α等于( ) Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 5。
2018年中考数学试题分类汇编：解直角三角形及其应用
、选择题
1. （2018四川绵阳，10, 3分）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30。
方
向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：..3 :-1.732，, 2 :-1.414）
A.4.64海里
B.5.49海里
C.6.12海里
D.6.21海里
【答案】B.
由题意知，/ BAC=30 °、/ ACB=15 ° ,
作BD丄AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ ABC内部作/ CBE= / ACB=15
则/ BED=30 ° , BE=CE ,
设BD=x,
贝U AB=BE=CE=2 x, AD=DE= 一3x,
••• AC=AD+DE+CE =2 ,3x+2x,
•/ AC=30 ,
• 2 , 3x+2x= 30,
解得：x= 15 3 -1疋 5.49.
2
故选B.
【知识点】解直角三角形的应用——方向角问题，勾股定理的应用,
定，含30°角直角三角形的性质，垂线段最短的应用
三角形的外角性质，等腰三角形的判。
2018中考数学之分类汇编 解直角三角形
2018中考数学之 解直角三角形（208内蒙古通辽）20．（6.00分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）【分析】作BD⊥AC于D，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．【解答】解：如图，作BD⊥AC于D，由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵，即，∴AD=400（米），在Rt△BCD中，∵，即，∴CD=400（米），∴AC=AD+CD=400+400≈1092.8≈1093（米），答：隧道最短为1093米．（2018上海）21．（10.00分）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC==，AB=5，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=，∵tan∠DBF==，∴DF=，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，∴AD=5﹣=，则=．（2018包头）22．（8.00分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E在AB上，且∠BDE=15°，DE=4，DC=2．（1）求BE的长；（2）求四边形DEBC的面积．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【分析】（1）解直角三角形求出AD、AE即可解决问题；（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，解直角三角形求出CF，即可解决问题；【解答】解：（1）在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∵∠BDE=15°，∴∠ADE=30°，在Rt△ADE中，AE=DE×sin30=2，AD=DE•cos30°=6，∴AB=AD=6，∴BE=6﹣2．（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，∴BF=AD=6，DF=AB=6，在Rt△DFC中，FC==4，∴BC=6+4，∴S四边形DEBC=S△DEB +S△BCD=×（6﹣2）×6+（6+4）×6=36+6．【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．（2018吉林）21．（数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a，b，α的代数式表示旗杆AB的高度．数学活动方案活动时间：2018年4月2日活动地点：学校操场填表人：林平课题测量学校旗杆的高度 活动目的运用所学数学知识及方法解决实际问题 方案示意图测量步骤 （1）用 测角仪 测得∠ADE=α； （2）用 皮尺测得BC=a 米，CD=b 米．计算过程【分析】在Rt △ADE 中，求出AE ，再利用AB=AE +BE 计算即可；【解答】解：（1）用 测角仪测得∠ADE=α；（2）用 皮尺测得BC=a 米，CD=b 米．（3）计算过程：∵四边形BCDE 是矩形，∴DE=BC=a ，BE=CD=b ，在Rt △ADE 中，AE=ED•tanα=a•tanα，∴AB=AE +EB=a•tanα+b ．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．（2018浙江嘉兴）22.如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC 垂直于地面AB ，P 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE ，F 为PD 中点，AC=2.8m ，PD=2m ，CF=1m ，∠DPE=20°。
解直角三角形及其应用(解析版)2018年数学全国中考真题-1
2018年数学全国中考真题解直角三角形及其应用（试题一）解析版一、选择题1. （2018四川绵阳，10，3分） 一艘在南北航线上的测量船，于A 点处测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C 点时，测得海岛B 在C 点的北偏东15°方向，那么海岛B 离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：732.13≈，414.12≈） A.4.64海里 B.5.49海里 C.6.12海里 D.6.21海里 【答案】B.【解析】解：如图所示，由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD ⊥AC 于点D ，以点B 为顶点、BC 为边，在△ABC 内部作∠CBE=∠ACB=15°， 则∠BED=30°，BE=CE ， 设BD=x ，则AB=BE=CE=2x ，AD=DE=3x ， ∴AC=AD+DE+CE =23x +2x ， ∵AC=30， ∴23x +2x=30，解得：x=21315-≈5.49. 故选B.【知识点】解直角三角形的应用——方向角问题，勾股定理的应用，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，垂线段最短的应用2. （2018·重庆B 卷，9，4）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为i ＝1﹕0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）（ ）A ．21.7米B ．22.4米C ．27.4米D ．28.8米【答案】A ．【解析】过点C 作CN ⊥DE 于点N ，延长AB 交ED 的延长线于点M ，则BM ⊥DE 于点M ，则MN ＝BC ＝20米．∵斜坡CD 的坡比i ＝1﹕0.75，∴令CN ＝x ，则DN ＝0.75x ．在Rt △CDN 中，由勾股定理，得x 2＋(0.75x )2＝102，解得x ＝8，从而CN ＝8米，DN ＝6米．∵DE ＝40米，∴ME ＝MN ＋ND ＋DE ＝66米，AM ＝(AB ＋8)米．在Rt △AME 中，tan E ＝AMEM， 即8tan 2466AB +=︒，从而0.45＝866AB +，解得AB ＝21.7，故选A ．【知识点】解直角三角形 坡度1. （2018·重庆A 卷，10，4）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直， 在教学楼底面E 处测得旗杆顶端的仰角∠AED ＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE ＝7米，升旗台坡 面CD 的坡度i ＝1﹕0.75，坡长CD ＝2米，若旗杆底部到坡面CD 的水平距离BC ＝1米，则旗杆AB 的高度 为（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6） （ ） A ．12.6米 B ．13.1米 C ．14.7米 D ．16.3米【答案】B ．NMi =1:0.75EDCB A9题图i =1:0.75ECB 10题图教学楼EDCB A【解析】过点C作CN ⊥DE于点N ，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥DE于点M，则MN＝BC＝1米．∵斜坡CD的坡比i＝1﹕0.75，∴令CN＝x，则DN＝0.75x．在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0.75x)2＝22，解得x＝1.6，从而DN＝1.2米．∵DE＝7米，∴ME＝MN＋ND＋DE＝9.2米，AM＝(AF＋1.6)米．在Rt△AME中，tan∠AEM＝AMEM，即1.6tan589.2AB+=︒，从而1.6＝1.69.2AB+，解得AB＝13. 12≈13.1（米），故选B．【知识点】解直角三角形坡度二、填空题1.（2018山东潍坊，18，3分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达.（结果保留根号）【答案】18635+【思路分析】过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点M作MN⊥AB，垂足为M. 设PQ=MN=x，解Rt△APQ和Rt △BPQ求得x的值，再解Rt△BMN求出BM的长度，利用路程÷速度=时间解答即可.【解题过程】过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点M作MN⊥AB，垂足为M.AB=60×1.5=90海里设PQ=MN=x，由点P在点A的东北方向可知，∠P AQ=45°，∴AQ=PQ=x，BQ=x－90在Rt△PBQ中，∠PBQ=90°－30°=60°tan60390xx︒==-解得：135453x=+.NM教学楼EDCBAQ N在Rt △BMN 中，∠MBN =90°－60°=30°∴BM =2MN =2x=2135270⨯+=+（∴航行时间为=小时.【知识点】解直角三角形的应用2. （2018山东省济宁市，14，3）如图，在一笔直的海岸线L 上有相距2km 的A ，B 两个观测站，B 站在A 站的正东方向上，从A 站测得船C 在北偏东60°的方向上.从B 站测得船C 在北偏东30°的方向上，则船C 到海岸线L 的距离是_______km.【解析】首先由题意可得：△ACB 是等腰三角形，可求得BC 的长为2km ，然后由点C 作CD ⊥AB 于点D ，构造直角三角形CBD ，应用边角之间的三角函数关系确定CD=BC •sin60°，求得结果．过点C 作CD ⊥AB 于点D ，根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB ，∴BC=AB=2km ，在Rt △CBD 中，CD=BC •sin60°=2km ）【知识点】方位角、等腰三角形、解直角三角形3. （2018宁波市，16题，10分） 如图某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为 米(结果保留根号)．【答案】1200√3−1200 【解析】解：∵CD ∥HB∴∠CAH=45°；∠HBC=30°在Rt △CHA 中， ∴AH=CH=1200 在Rt △CHB 中， ∴HB=√3CH =1200√3∴AB=HB-AH=1200√3−1200【知识点】解直角三角形1. （2018湖北荆州，T14，F3值）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底（第16题图）低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A 处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a 米后到达B 处，在B 处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a 的值约为_________米（3173≈．，结果精确到0．1）．【答案】33()13-【解析】如图所示，由题意可知，CD=40-7=33，在Rt ∆BCD 中，∵∠CBD=450，∴CD=BD=33,∴AD=AB+BD=a+33,在Rt ∆ACD 中tan ∠CAD·AD=CD,即33)33(33=+a ，解得，a=33()13-【知识点】锐角三角函数、特殊的直角三角形.三、解答题1. （2018湖北鄂州，21，8分） 如图，我国一艘海监执法船进行常态化巡航，在A 处测得北偏东30°方向距离为40海里的B 处有一艘刻意船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C 处成功拦截可疑船只． （1）求∠ABC 的度数；（2）求我海监执法船前往监视巡查的过程中形式的路程（AC 的长）？（结果精确到0．1海里，3 1.732≈，26 2.449≈≈）【思路分析】（1）过点B 作BD ⊥AD 于D ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可求出∠ABC 的度数；（2）过点B 作BE ⊥AC 于E ，过点C 作CF ⊥AF 于F ，构造直角三角形，先求出AD 和AE 的长，设BE ＝x ，则AC ＝202x ，再证明△BEC ∽△CF A ，得到BE CECF AF=，求出CE 的长，从而得出AC 的长度． 【解析】解：（1）如下图（1），过点B 作BD ⊥AD 于D ，则∠ADB ＝90°，由题意得∠DAB ＝30°，∴∠ABC＝∠ADB＋∠DAB＝90°＋30°＝120°；（2）如下图（1），过点B作BE⊥AC于E，过点C作CF⊥AF于F，则在Rt△ABD中，∵∠DAB＝30°，AB＝40，∴AD＝AB·cos30°＝40×2＝∵∠ADB＝∠DAF＝∠CF A＝90°，∴四边形ADCF是矩形，∴CF＝AD＝DC∥AF，∴∠BCE＝∠CAF，∵∠DAB＝30°，∠DAF＝75°，∴∠BAC＝∠DAF－∠DAB＝75°－30°＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝AB·cos45°＝40×2＝BE＝x，则AC＝x，∴AF∵∠BCE＝∠CAF，∠BEC＝∠CF A＝90°，∴△BEC∽△CF A，∴BE CECF AF==22=⎛⎫⎪⎛，()(22223xx=+，28000x-+=，解得22x===∴1x=2x=AC＝x＝133．42或35．86，∵AC＞AB＝40，∴AC≈133．42海里，即我海监执法船前往监视巡查的过程中形式的路程约为133．42海里．【知识点】解直角三角形；勾股定理，三角函数；相似三角形的判定和性质；一元二次方程的解法；矩形的判定和性质2.（2018湖北黄冈，21题，7分）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上.（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；（2）求斜坡CD的长度.第21题图 【思路分析】（1）在Rt △ABC 中，已知∠ACB 和AB ，利用三角函数可求得AC ；（2）设CD=x ，在Rt △BDF 和△DCE 中，利用三角函数表示出BF 、DF 和DE 、CE ，【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB=60米，∠ACB=60°，所以203tan 60ABAC ==米，答：求坡底C 点到大楼距离AC 长203米；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，则四边形FAED 为矩形，所以AF=DE ，DF=AE ，设CD=x 米，在Rt △EDC 中，因为∠DCE=30°，则132DE x CE x ==米，米，在Rt △BDF 中，∠BDF=45°，所以1=602BF x -米，因为DF=AE=AC+CE ，所以312036022x x +=-，解得803120x =-米，答：斜坡CD 长(803120)-米 【知识点】三角函数的应用3. （2018湖南郴州，21，8） 小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B 、C 的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D ，B ，C 在同一水平线上，已知桥BC=30米，求无人机飞行高度AD.（精确到0.01米，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）【思路分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，构造Rt △A C D 和Rt △A B D ，然后利用特殊角的锐角三角函数列方程，解方程可得无人机飞行高度．【解析】解：由题意，易得：A E ∥CD ，∴∠EAC=∠ACD=30°，∠EAB=∠ABD=60°，设AD=x ，F在Rt △ACD 中，tan 30ADCD︒=，；在Rt △ABD 中，tan 60ADBD︒=，x ；∵CD-BD=BC ，BC=3030x =，25.98x =≈（米）. 答：无人机飞行高度AD 约为25.98米. 【知识点】解直角三角形的应用4. （2018内蒙古呼和浩特，21，8分）如图，一座山的一段斜坡BD 的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1:3(沿斜坡从B 到D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比)，已知在地面B 处得山顶A 的仰角为33°，在斜坡D 处测定山顶A 的仰角为45°，求山顶A 到地面BC 的高度AC 是多少米？（结果用含有非特殊角的三角函数和根式表示即可）【思路分析】过点D 作DF ⊥BC 于点F,构建直角三角形，利用斜坡的坡度i=1:3，先求出∠BD ，利用sin ∠DBF ，cos ∠DBF 中比值关系。
2018年全国中考数学真题分类 解直角三角形及其应用解析版(精品文档)
2018年全国中考数学真题分类 解直角三角形及其应用（三）一、选择题1. （2018吉林省长春市，6，3） 如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A 、B 在同一水平面上）.为了测量A 、B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地出发，垂直上升800米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A 、B 两地之间的距离为 （A ）800sin α米 （B ）800tan α米 （C ）800sin α米 （D ）800tan α米【答案】D【解析】由题中条件可知，在RT △ABC 中，∠ABC=α，AC=800米，建立数学模型tan α=ACAB，可得AB=800tan α米. 【知识点】解直角三角形，锐角三角函数，俯角问题.2. （2018江苏苏州，8，3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏两30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之问的距离（即PC 的长）为 A ．40海里B ．60海里C ．D ．αACB【答案】D【解析】 本题解答时要利用直角三角形的边角关键和勾股定理来进行计算.由题意可知AB =20，∠APB =30゜，∴PA，∵BC =2⨯20=40，∴AC =60，∴PC，故选D .二、填空题1. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，15，3分）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B 在海岛A ，C 附近捕鱼作业，已知海岛C 位于海岛A 的北偏东45°方向上．在渔船B 上测得海岛A 位于渔船B 的北偏西30°的方向上，此时海岛C 恰好位于渔船B的正北方向18(1n mile 处，则海岛A ，C 之间的距离为 n mile ．【答案】218【解析】本题主要考察三角函数的应用．过A 作AD ⊥BC 于D ．设x AD =，∵∠C 45°，∠B 30°，∴x xC AD CD ===︒45tan tan ，x xC AD AC 245sin sin ===︒，x xB AD BD 330tan tan ===︒．∵BD CD BC +=+=)31(18，∴x x 3)31(18+=+，解得18=x ．∴218=AC ． 【知识点】三角函数的应用==2. （湖北省咸宁市，13，3）如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部的仰角为45 °，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110m ，那么该建筑物的高度BC 约为_________m.(1.73≈)【答案】300【解析】在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，∴BD ＝AD ＝110 m ，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝110 m∴CD＝AD tan 60⋅︒=BC ＝BD +CD=110+300 m 【知识点】解直角三角形的应用3. (2018辽宁葫芦岛，15，3分) 如图，某景区的两个景点A 、B 处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿水平方向飞行进行航拍作业，M N 与A B 在同一铅直平面内，当无人机飞行至C 处时，测得景点A 的俯角为45°，景点B 为的俯角为30°，此时C 到地面的距离C D 为100米，则两景点A 、B 间的距离为__________米(结果保留根号)．【答案】：100+100，【解析】∵MN ∥AB ，∴∠A ＝∠MCA ＝45°，∠B ＝∠NCB ＝30°． ∵CD ＝100，∴AD ＝tan 45CD ︒＝100，DB ＝tan30CD︒． ∴AB ＝AD ＋DB ＝100＋DC AB4. （2018广西南宁，16，3）如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°．已知甲楼的高AB 是120m ，则乙楼的高CD 是m ．（结果保留根号）【答案】403，【解析】∵俯角是45°，∴∠BDA ＝45°，∴AB ＝AD ＝120m ，又∵∠CAD ＝30°∴在Rt △ADC 中，tan ∠CDA ＝tan30°＝CD AD ＝33． ∴CD ＝ 403．5. (2018湖北黄石，14，3分)如图，无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD 为1003米，点A 、D 、E 在同一 水平直线上，则A 、B 两点间的距离是____________米．(结果保留根号)第14题图【答案】100(1＋3)【解析】由题意可知∠A ＝30°，∠B ＝45°，∴AD ＝tan CDA＝100米，BD ＝CD ＝1003米，∴AB ＝AD ＋BD ＝100＋1003＝100(1＋3)米.6.（2018·宁夏，15，3）一艘货轮以182km/h 的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A 处时，发现它的东南方向有一灯塔B ，货轮继续向东航行30分钟后到达C 处，发现灯塔B 在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B 的距离为____________km ．D C B A45°60°甲 楼ABCD乙 楼30°第16题图45°【答案】18．【解析】如下图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CAD＝45°，∠ACB＝105°，从而∠B＝30°，AC＝12×Rt△ACD中，sin∠CAD＝CDAC，从而CD＝AC sin∠CAD＝sin45°＝2＝9．在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝2CD＝18（km），故填18．【知识点】解直角三角形；方向角7.（2018辽宁锦州，16，3分）如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D（6，0）作DA⊥OM于点A，作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E，交AD于点B，作射线OB，以AB为边的△AOB的外侧作正方形ABCA1，延长A1C交射线OB于点B1，以A1B1为边在△A1OB1的外侧作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交射线OB于点B2，以AB为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3……按此规律进行下去，则正方式A2017B2017C2017A2018的周长为东CBAD东CBA【答案】4×()2017201613)33(+⨯，【解析】本题为规律探究题，先根据图形运用三角函数∠AOD=60°,OD=3,AD=33,BD=23,AB=,B 1C=1 ,A 1B 1=3+1, B 2C1=tan30°A 1B 1=33A 1B 1,A 2B 2=A 1B 1+33A 1B 1=33A 1B 1(3+1)=33(3+1)2B 3C 2=33A 2B 2,A 3B 3=A 2B 2+33A 2B 2=33A 2B 2(3+1)=(33)2(3+1)3 A 2017B 2017=(33)2016(3+1)2017 A 2017B 2017C 2017A 2018的周长4A 2017B 2017=4×(33)2016(3+1)2017 三、解答题1. （2018广西省桂林市，23，8分）如图所示，在某海域，一艘指挥船在C 处收到渔船在B 处位于C 处的南偏西45°方向上，且BC ＝60海里；指挥船搜索发现，在C 处的南偏西60°方向上有一艘海监船A ，恰好位于B 处的正西方向.于是命令海监船A 前往救援，已知海监船A 的航行速度为30海里/小时，问渔船在B 处需要等待多长时间才能得到海监船A≈1.41 1.73， 2.45，结果精确到0.1小时）【思路分析】过点B 作BD ⊥DC 于点D ，由题意可知，∠BCD ＝45°，∠ACD ＝60°，先根据BC ＝60，利用特殊角的三角函数值求出BD 的长，再求出AD 的长即可．【解题过程】解：如图（1），过点B 作BD ⊥DC 于点D ，由题意可知，∠BCD ＝45°，∠ACD ＝60°，DC ＝BD ，则在Rt △DEF 中，∵BC ＝60，∴sin ∠BCD ＝BD BC，即sin 45402BD =︒=，解得BD ＝DC ＝BD ＝则在Rt △ACD 中， tan ∠ACD ＝ADCD，tan 60=︒=解得AD ＝，∴AB ＝AD －BD ＝－≈30（2.45－1.41）＝31.2（海里），∴渔船在B 处等待得到海监船A 的救援需要的时间为31.230＝1.04≈1.0（小时），答：渔船在B 处等待得到海监船A 的救援需要约1.0小时． 【知识点】锐角三角函数的实际应用；二次根式的化简2. （2018海南省，22，8分）如图10，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH 和教学楼CG 的高，先在A 处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H 的仰角∠HDE 为45°，此时教学楼顶端G 恰好在视线DH 上，再向前走7米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角∠GEF 为60°，点A ，B ，C 三点在同一水平线上． （1）计算古树BH 的高；（2）计算教学楼CG 的高．（参考数据：412.≈，713.≈）【思路分析】（1）在Rt△DEH中，∠HDE=45°，∴HE=DE，BH=HE+BE，从而求出BH的长．（2）设EF=x米，在Rt△GEF中，∠GEF=60°，用x表示出GF的长，GF=3x，在Rt△GDF中，∠GDF=45°，∴DF=GF，7+x=3x，求解出x，从而得到GF的长，GC=GF+FC，故求得CG的长．【解题过程】（1）在Rt△DEH中，∵∠DEH=90°，∠HDE=45°，∴HE=DE=7米．∴BH=HE+BE=7+1.5=8.5米．（2）设EF=x米，在Rt△GEF中，∵∠GFE=90°，∠GEF=60°，∴GF=EF·tan60°=3x．在Rt△GDF中，∵∠GFD=90°，∠GDF=45°，∴DF=GF．∴7+x=3x．将7代入上式，解得x=10．GF=3x=17．3.1∴GC=GF+FC=18.5米．答：古树高为8.5米，教学楼高为18.5米．【知识点】解直角三角形，解直角三角形的应用3.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.【答案】甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.【解析】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．详解：如图，过点作，垂足为.则. 由题意可知，，，，，.可得四边形为矩形.∴，.在中，， ∴. 在中，，∴. ∴ .∴. 答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.点睛：本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．4. (2018甘肃省兰州市,23,7分) (7分)如图,斜坡BE ,坡顶B 到水平地面的距离AB 为3米,坡底AE 为18米,在B 处,E 处分别测得CD 顶部点D 的仰角为30°,60°.求CD 的高度.(结果保留根号)【思路分析】作BF ⊥CD 于F ,然后在两个直角三角形中分别表示出BF ,CE ,然后利用BF 和CE 相B A DCFE等即可求解.【解题过程】作BF⊥CD于F,设CE=x米,因为∠DEC=60°,所以DC米｡DF-2)米,因为∠FBD=30°,所以BF x-2)米｡因为BA⊥AC,DC⊥AC,所以四边形BACF为矩形,所以BF=AC,(x-2)=x+18,解得x答:CD的高度是米｡【知识点】解直角三角形三角函数5. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号23，分值12）折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪呰数学结论.实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B’落在矩形所在平面内，B’C和AD相交于点E，连接B’D.解决问题(1)在图1中，①B’D和AC的位置关系为______________;②将△AEC剪下后展开，得到的图形是_________________;(2) 若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形.则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为____________；拓展应用(4)在图2中，若∠B=30°，AB=43AB’D恰好为直角三角形时，BC的长度为__________. . 【思路分析】(1)由折叠的性质可知，∠ACB=∠ACE,再由四边形ABCD为矩形，AC为对角线可知，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’,又∵∠B’ED=∠AEC 为对顶角，∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’，∴B’D∥AC,将△AEC剪下展开后，能得到四条边均相等的四边形，即菱形，故答案为①B’D∥AC，②菱形；(2)利用（1）的思路即可得出矩形变平行四边形时也可得到B’D∥AC和菱形的结论；（3）当矩形为正方形时符合题意，即长宽之比为1：1；当∠ACB=30°时符合题意，3 1；（4）由（2）可知，AE=CE，B’E=DE, AC∥B’D.当∠AB’D=90°，且点B’在AD上方时，可得出∠B’AC=∠AB’D=90°,∴BC='cos'ABAB C∠;当点B’在AD下方，∠ADB’=90°时，∠ADC=∠B=30°，得出BC=AD=cos∠ADC×CD.当∠B’AD=90°,且点B’在AD上方时，∵∠AB’C=30°，AE=CE,AB’3可得出BC=B’E+CE=B’E+AE='cos'ABAB C∠+tan∠AB’C×AB’. 当∠B’AD=90°,且点B’在AD下方时，∠ADC=30°，∵B’E=DE,∴AB’=AB=AE+B’E=AD×tan∠ADC+cos ADADC∠.【解题过程】解：（1）由折叠的性质可知，∠ACB=∠ACE.再由四边形ABCD为矩形，AC为对角线可知，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’.又∵∠B’ED=∠AEC为对顶角，∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’.∴B’D∥AC.将△AEC剪下展开后，能得到四条边均相等的四边形，即菱形.故答案为①B’D∥AC，②菱形.（2）结论仍然成立.若选择结论①证明：∵B’C=AD,AE=CE,∴B’E=DE.∴∠CB’D=∠ADB’.∵∠AEC=∠B’ED,∠ACB’=∠CAD.∴∠ADB’=∠DAC.∴B’D∥AC.若选择结论②证明：如图所示，设点E的对应点为点F.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥AE.∴∠DAC=∠ACF.由折叠可得，∠ACE=∠ACF，CE=CF.∴∠DAC=∠ACE.∴AE=CE.∴AE=CF.∴四边形AECF是菱形.（3）当矩形为正方形时符合题意，即长宽之比为1：1；当∠ACB=30°时符合题意，：1.（答对一个得1分，写成“1（4）由（2）可知，AE=CE ，B ’E=DE, AC ∥B ’D.当∠AB ’D=90°，且点B ’在AD 上方时，可得出∠B ’AC=∠AB ’D=90°.∵∠B=∠AB ’C=30°， ∴在Rt △AB ’C 中，BC='cos 'AB AB C∠=8；当点B ’在AD 下方，∠ADB ’=90°时，∠ADC=∠B=30°，得出BC=AD=cos ∠ADC ×CD=6.当∠B ’AD=90°,且点B ’在AD 上方时，∵∠AB ’C=30°，AE=CE,AB ’可得出BC=B ’E+CE=B ’E+AE='cos 'AB AB C∠+tan ∠AB ’C ×AB ’=12.当∠B ’AD=90°,且点B ’在AD 下方时，∠ADC=30°，∵B ’E=DE,∴AB ’=AB=AE+B ’E=AD ×tan ∠ADC+cos ADADC∠AD=4.故答案为4或6或8或12.（答对一个得1分）【知识点】折叠的性质，平行线的判定与性质，锐角三角函数的应用，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质.6.（2018湖南省怀化市，23，12分）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，点E 为CD 边上一点，AE 与BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线．（1）请你添加一个适当的条件________，使得四边形ABCD 是平行四边形，并证明你的结论； （2）作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，并以AB 为直径作ʘ O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)；（3）在（2）的条件下，ʘ O 交边AD 于点F ，连接BF ，交AE 于点G ，若AE ＝4，sin ∠AGF ＝54，求ʘ O 的半径．【思路分析】（1）在四边形中，一组对边平行且相等，那么这个四边形为平行四边形．（2）由AB 为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到︒=∠90AFG ，通过AE 为DAB ∠的角平分线，可知EAB FAG ∠=∠，所以在三角形AFG 和三角形AEB 中有两角对应相等，所以两三角形相似，所以sin ∠AGF ＝sin ∠ABE ，又已知AE ＝4，所以通过直角三角形的三角函数可求出直径AB 的值，继而求出半径的值．【解题过程】（1）令AD ＝BC ，又∵AD//BC ，根据平行四边行的判定定理，∴四边形ABCD 是平行四边形．（2）∵ʘ O 交边AD 于点F ，∴点F 为圆上一点，∴︒=∠90AFG ，因为AE 与BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线，AD//BC ，所以︒=∠+∠90EBA EAB ，即得，在AEB ∆中，︒=∠90AEB又∵AE 为DAB ∠的角平分线，∴EAB FAG ∠=∠，所以在三角形AFG 和三角形AEB 中，有AEB AFG ∠=∠，EAB FAG ∠=∠，∴AFG ∆∽EAB ∠，∴sin ∠AGF ＝AB AE ＝sin ABE ∠＝54，已知AE ＝4，所以可得出直径AB ＝5，即半径等于2.5．【知识点】平行四边形的判定定理 尺规作图三角形相似的判定定理和相似三角形的性质 直角三角形的三角函数求值 圆周角的性质7. （2018年江苏省南京市，23，8分）如图，为了测量建筑物AB 的高度，在D 处树立标杆CD ，标杆的高是2m .在DB 上选取观测点E 、F ，从E 测得标杆和建筑物的顶部C 、A 的仰角分别为58、45，从F 测得C 、A 的仰角分别为22、70.求建筑物AB 的高度（精确到0.1m ） .（参考数据：tan 220.40≈，tan58 1.60≈，tan 70 2.75≈.）【思路分析】在△CED 中，得出DE ，在△CFD 中，得出DF ，进而得出EF ，列出方程即可得出建筑物AB 的高度。
天津市南开区 翔宇中学2018年 中考数学 精选题作业本 解直角三角形(含答案)
2018年中考数学精选题作业本解直角三角形一、选择题:1.已知tanα=，则锐角α的取值范围是（）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°2.如图,在四边形ABCD中,E、F分別是AB、AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于（）A．0.75 B．C．0.6 D．0.83.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A．B．C．D．4.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.45.如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．下列说法正确的是（）A．AB的长为400米；B．AF的长为10米；C.填充的土石方为19200立方米；D．填充的土石方为384立方米6.把锐角△ABC的各边都扩大2倍得△A′B′C′,那么∠A．∠A′的余弦值关系是（）A．cosA=cosA′B．cosA=2cosA′C．2cosA=cosA′D．不确定的7.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.638.在Rt△ABC中,∠C＝90°,sinB=,则tanA的值为( )A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题0分，共0分）9.如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）10.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB= ．11.如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________m.12.如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为米.13.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．14.如图，为测量某塔AB的高度，在离塔底部10米处目测其塔顶A，仰角为60°，目高1.5米，则求该塔的高度为米.（参考数据：≈1.41，≈1.73）15.在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸EF∥MN,小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米,到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向,此时,其他同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河的宽度为米．（结果保留根号）16.如图,等腰△ABC中,AB=AC，tan∠B=，BC=30,D为BC中点,射线DE⊥AC.将△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为A′,点B的对应点为B′）,射线A′B′分别交射线DA．DE于M、N.当DM=DN 时,DM长为．三、解答题（本大题共4小题，共0分）17.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．18.如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．（1）求证：AE•BC=AD•AB；（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC=，求AF的长．19.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1．6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0．8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）20.小明是个爱动脑筋的学生，在学习了解直角三角形以后，一天他去测量学校的旗杆DF的高度，此时过旗杆的顶点F的阳光刚好过身高DE为1.6米的小明的头顶且在他身后形成的影长DC=2米。
天津市河西区2018届中考《解直角三角形实际问题》专项练习含答案
2018年九年级数学中考复习解直角三角形实际问题解答题强化练习1.如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．2.如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC．（1）求证：BA=BC；（2）若AG=2，cosB=0.6，求DE的长．3.为有效开发海洋资源,保护海洋权益,我国对南海诸岛进行了全面调查.如图，一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°方向,C岛在北偏东15°方向，航行100海里到达B岛,在B岛测得C岛在北偏东45°,求B，C两岛及A，C两岛的距离.(结果保留到整数,≈1.41,≈2.45)4.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）5.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底点G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为多少？6.如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）7.如图，已知在△ABC中,AD是BC边上的高,E是AC边的中点,BC=14,AD=12,sinB=0.8.（1）求线段CD的长；（2）求tan∠EDC的值.8.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）9.如图,某大楼的顶部竖有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度为i=1:，AB=10米，AE=15米．（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）10.某型号飞机的机翼形状如图,AB∥CD,∠DAE=37o,∠CBE=45o，CD=1.3m,AB、CD之间的距离为5.1m.求AD、AB的长．（参考数据：，，）11.已知：如图，在△ABC中，∠A=30°, tanB=34，AC=18，求BC、AB的长.CBA12.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=30°,∠A=45°，AC=，试求CD的长.13.如图,在△ABC中，AB=AC,以AC边为直径作⊙O交BC边于点D,过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点 F.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BE=1.5,且sin∠CFD=0.6,求⊙O的半径与线段AE的长.14.如图是我市投入使用的“大鼻子”校车，其安全隐患主要是超速和超载，某中学九年级数学活动小组设计了如下检测公路上行驶汽车速度的实验，先在笔直的车道l旁边选取一点A，再在l上确定点B，使AB⊥l，测得AB的长为30米，又在l上选取点C，D，使∠CAB=30°，∠DAB=60°，如图所示．（1）求CD的长；（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）已知本路段对校车的限速为40千米/时，若测得某校车从点C到点D用时3秒，则这辆校车是否超速？并说明理由．参考答案1.解：∵在直角三角形ABC中，=tanα=，∴BC=∵在直角三角形ADB中，∴=tan26.6°=0.50即：BD=2AB∵BD﹣BC=CD=200∴2AB﹣AB=200解得：AB=300米，答：小山岗的高度为300米．2.（1）证明：连结OD，如图，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∵DF⊥BC，∴OD∥BC，∴∠ODA=∠C，而OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠C，∴BA=BC；（2）作DH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，∵OD∥BC，∴∠B=∠DOG，∴cos∠DOG=cosB=0.6，在Rt△ODG中，∵cos∠DOG=，即=，∴r=3，在Rt△ODH中，∵cos∠DOH==，∴OH=，∴AH=3﹣=，在Rt△ADH中，AD==，∵∠DEC=∠C，∴DE=DC，而OA=OB，OD∥BC，∴AD=CD，∴DE=AD=．3.解：由题意知∠BAC=45°，∠FBA=30°，∠EBC=45°，AB=100海里，过B点作BD⊥AC于点D，∵∠BAC=45°，∴△BAD为等腰直角三角形，∴BD=AD=50，∠ABD=45°，∴∠CBD=180°-30°-45°-45°=60°，∴∠C=30°，∴在Rt△BCD中，BC=100≈141(海里)，CD=50，∴AC=AD＋CD=50＋50≈193(海里)4.解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800?sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200?sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．5.GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB?cot∠ACB=30×cot60o=10米，DF=AF?tan30o=10×=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。
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解直角三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2018•孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（）
A．B．C．D．
【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，
∴BC===6，
∴sinA===，
故选：A．
2．（2018•绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里
【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B 为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，设BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出AC=2x+2x，根据题意列出方程，求解可得．
【解答】解：如图所示，
由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，
作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，
则∠BED=30°，BE=CE，
设BD=x，
则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，
∴AC=AD+DE+CE=2x+2x，
∵AC=30，
∴2x+2x=30，
解得：x=≈5.49，
故选：B．
3．（2018•重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）
A．12.6米B．13.1米C．14.7米D．16.3米
【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据，tan∠AEM=构建方程即可解决问题；
【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．
在Rt△CJD中，==，设CJ=4k，DJ=3k，
则有9k2+16k2=4，
∴k=，
∴BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=，
在Rt△AEM中，tan∠AEM=，
∴1.6=，
解得AB≈13.1（米），
故选：B．
4．（2018•金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）
A．B．C．D．
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；
【解答】解：在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=：=，
故选：B．
5．（2018•威海）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x ﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（）
A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．斜坡的坡度为1：2
【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．
【解答】解：当y=7.5时，7.5=4x﹣x2，
整理得x2﹣8x+15=0，
解得，x1=3，x2=5，
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5侧面cm，A错误，符合题意；
y=4x﹣x2
=﹣（x﹣4）2+8，
则抛物线的对称轴为x=4，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；
，
解得，，，
则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；
∵斜坡可以用一次函数y=x刻画，
∴斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；
故选：A．
6．（2018•宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）
A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米 D．100tan55°米
【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．
【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
7．（2018•重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）
A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米
【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题；
【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．
在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k，
∴CD=10，
∴（3k）2+（4k）2=100，
∴k=2，
∴CN=8，DN=6，
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，
在Rt△AEM中，tan24°=，
∴0.45=，
∴AB=21.7（米），
故选：A．
8．（2018•淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）
A．B．
C．D．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．【解答】解：sinA===0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
9．（2018•天津）cos30°的值等于（）
A．B．C．1 D．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：cos30°=．
故选：B．。