人教B版选修1-1高中数学第一章《常用逻辑用语》ppt章末归纳提升

【思路点拨】 对于②③注意四种命题及其关系，对于 ④涉及到含逻辑联结词的命题，要根据真值表与逻辑联结词 的含义判断．
【解析】 ①∵x－3＝0⇒x－3≤0，∴为真命题． ②“若 a＜b，则 ac2＜bc2”的否命题是： “若 a≥b，则 ac2≥bc2”，由不等式的性质知为真命题．
③逆命题：“若 a⊥b，则 a·b＝0”为真命题．
下列各小题中，p 是 q 的充要条件的是( )
①p：m＜－2 或 m＞6；q：y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不
同的零点；
②p：ff－xx＝1；q：y＝f(x)为偶函数；
③p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β；
④p：A∩B＝A；q：∁UB⊆∁UA.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
q”与“綈 p∨綈 q”均为真命题． 因此③④正确． 【答案】 C
三种条件的判断及应用 1.充分条件与必要条件的判断的方法 (1)直接利用定义判断：若 p⇒q 成立，则 p 是 q 的充分条 件，q 是 p 的必要条件. (条件与结论是相对的) (2)利用等价命题的关系判断：p⇒q 的等价命题是綈 q⇒
④由 p∨q 为假命题，∴p 与 q 均为假命题． ∴綈 p，綈 q 为真命题，一定有(綈 p)∧(綈 q)为真，故④
为真命题． 综上知，命题①②③④均为真命题． 【答案】 ①②③④
已知命题 p：∃x0∈R，使 sin x0＝32，命题 q：x2－2x＋3 ＜0 的解集为∅，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命
判断 p：x≠2 或 y≠3 是 q：x＋y≠5 的什么条件． 【解】 “若 p，则 q”的逆否命题是“若綈 q，则綈 p”． 由于綈 q：x＋y＝5；綈 p：x＝2 且 y＝3， 于是綈 p⇒綈 q，而綈 q⇒綈 p. 故 q⇒p，p⇒q，即 p 是 q 成立的必要不充分条件．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
【思路点拨】 由于“p 或 q”为真，“p 且 q”为假， 可以得到 p 与 q 一真一假，再转化为集合间的关系求解结果．
【规范解答】
由
ax2
－
x
＋
1 16
a
＞
0
恒成立，得
a＞0， Δ＝1－4×a×1a6＜0，
解得 a＞2.
∵ 2x＋1＜1＋ax 对一切正实数均成立，令 t＝ 2x＋1＞
题“p∧綈 q”是真命题；③命题“綈 p∨q”是真命题；④命
题“綈 p∨綈 q”是真命题．
其中正确的是( )
A．①③④
B．②③
C．③④
D．①②③④
【解析】 命题 p：∃x0∈R，使 sin x0＝32是假命题，命 题 q：x2－2x＋3＜0 的解集为∅是真命题，
则綈 p 为真命题，綈 q 为假命题． ∴“p∧q”是假命题，“p∧綈 q”是假命题，“綈 p∨
从而 a1＞ －0a， ≥－2， 1＋a＜10
或 a1>－0a，>－2， 1＋a≤10，
解得 0<a≤3.
故所求正实数 a 的取值范围为(0,3].
全称命题与存在性命题
1.全称命题与存在性命题真假的判断方法 (1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判 断全称命题为假命题，只需举出反例． (2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存 在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明． 2．含有一个量词的命题否定的关注点 全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全 称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
已知下面四个命题： ①对于∀x，若 x－3＝0，则 x－3≤0； ②“若 a＜b，则 ac2＜bc2”的否命题；
③命题“若非零向量 a，b，a·b＝0，则 a⊥b”的逆命题；
④已知 p，q 为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈
p)∧(綈 q)”为真命题．
其中所有真命题的序号是________．
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
【解析】 ∵当 x＝1 时，lg 1＝0，∴A 是真命题； ∵当 x＝π4时，tan 4π＝1，∴B 是真命题； ∵当 x＜0 时，x3＜0，∴C 是假命题； 由指数函数的性质可知，对∀ x∈R,2x＞0 成立，∴D 是真 命题． 【答案】 C
转化与化归思想
所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时，采用某 种手段将问题通过变换、转化，进而使问题得到解决的一种 解题策略．一般是将复杂的问题进行交换，转化为简单的问 题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未 解决的问题转化为已解决的问题．
判断下列命题是存在性命题还是全称命题，用 符号写出其否定并判断命题的否定的真假性．
(1)有一个实数 α，sin2α＋cos2α≠1； (2)任何一条直线都存在斜率； (3)存在实数 x，使得x2－1x＋1＝2. 【思路点拨】 首先找准量词判断是全称命题还是存在 性命题，写它们的否定时要注意量词的变化，真假判断可从 原命题和原命题的否定两个角度择易处理．
2019/8/10
最新中小学教学课件
26
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
綈 p，即若綈 q⇒綈 p 成立，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的
必要条件．
2．充分条件、必要条件和充要条件的应用 此类问题属于已知条件是结论的充分但不必要条件、必 要但不充分条件或者充要条件，来求某个字母的值或范围， 涉及到的数学知识主要是不等式问题，根据相应知识列不等 式(组)求解．
【规范解答】 (1)存在性命题，否定：∀α∈R，sin2α＋ cos2α＝1，真命题．
(2)全称命题，否定：∃直线 l，l 没有斜率，真命题． (3)存在性命题，否定：∀x∈R，x2－1x＋1≠2，真命题．
(2013·台州高二检测)下列命题中的假命题是∈R，x3＞3 D．∀x∈R,2x＞0
1，则 x＝t2－2 1， ∴2(t－1)＜a(t2－1)对一切 t＞1 均成立．
∴2＜a(t＋1)，∴a＞t＋2 1，∴a≥1.
∵“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，∴p，q 一真一假．若 p 真 q 假，则 a＞2 且 a＜1，∴a 值不存在．
若 p 假 q 真，则 a≤2 且 a≥1，∴1≤a≤2. 故 a 的取值范围为[1,2]．
本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语 言与一般数学语言的转化等．通过转化，使复杂问题简单化， 抽象问题具体化．
设命题 p：函数 f(x)＝lgax2－x＋116a的定义域 为 R；命题 q：不等式 2x＋1＜1＋ax 对一切正实数均成立．如 果命题“p 或 q”为真命题，命题“p 且 q”为假命题，求实 数 a 的取值范围．
命题关系及其真假判定
1.四种命题的写法 (1)对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若 p，则 q”的形式后再进行转换． (2)分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可 得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题．
2．四种命题真假的判断方法 因为互为逆否命题的真假等价，所以判断四个命题的真 假，只需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可．
【答案】 D
已知 p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0，若 p 是 q 的充分而不必要条件，求正实数 a 的取值范围．
【解】 A＝{x|x2－8x－20>0}＝{x|x<－2 或 x>10}， B＝{x|x2－2x＋1－a2>0}＝{x|x<1－a 或 x>1＋a}． 由于 p 是 q 的充分而不必要条件，可知 A B.
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/10
最新中小学教学课件
25
谢谢欣赏！
【思路点拨】 把握充要条件的概念，会用反例来排除
选项． 【解析】 对①，∵y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同零点，
∴m2－4(m＋3)＞0，解得 m＜－2 或 m＞6.
∴p 是 q 的充要条件，排除选项 B，C.
对于②，q：取
f(x)＝x2
在
R
上为偶函数，但f－x在 fx
x＝
0 处没有意义，p 是 q 的充分非必要条件，排除选项 A.