复数的公开课(课堂PPT)

i4n+1 = i, i4n+ 2 = 1, i4n+3 = - i, i 4 n = 1,
练习： （1）i+i2+i3+……+i2007=_________； （2）i+i3+i5+……+i33=__________.
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4、复数的除法法则：
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a, b, c,d,x,y都是实数, 记为
Z1(a,b)
O
x
∴向量
uuur OZ
就是与复数
(a+c)+(b+d)i 对应的向量.
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问：复数是否有减法？如何理解复数的减法？ 2、复数的减法法则：
复数的减法规定是加法的逆运算,即把满足 (c+di)+(x+yi)= a+bi 的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复数c+di的差,记作 (a+bi)-(c+di).
纯虚数．
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练习:当m为何实数时，复数 Z m 2 m 2 ( m 2 1 ) i是
（1）实数;（2）虚数 ;（3）纯虚数.
(1)m1; (2)m1; (3)m2.
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例3. 设x，y∈R，并且 2x–1+xi=y–3i+yi，求 x，y.
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学习小结
1.虚数单位i的引入；
复数的代数形式
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二、复数
1、复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位. 全体复数所成的集合叫做复数集,C表示
C{abi|a,b R }
NZ QRC
8
2、复数的代数形式 通常用字母 z 表示，即
zabi(aR,bR)
实部 虚部
i 其中 称为虚数单位.
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3、复数的分类及其关系
复数
abi
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数 是远远不行的.
如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？ 于是分数就产生了.
分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.
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被“欠”出来的负 数
为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需 要，人类引进了负数． 负数概念最早产生于我国， 东汉 初期的“九章算术”中就有负数的说法．公元3世纪，刘 徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算 得失相反，要令正负以名之”．不仅如此，刘徽还给出 了正负数的加减法运算法则． 千年之后， 负数概念才经 由阿拉伯传人欧洲。
(abi)(cdi)或 abi. cdi
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(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) Q ( c d i ) ( x y i ) c x d y ( d x c y ) i ,
c x d y ( d x c y ) i a b i ,
cx dx
dy cy
a, b,
解：由 m m22m m2600 得m32或 mm21
m ( 3 , 2 ) (1 ,2 )
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
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变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值. 解：∵ 复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对
2.复数有关概念：
复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数
复数相等
3.复数的分类：
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实数的几何意义
在几何上， 我们用什么 来表示实数?
实数 (数)
实数可以用数轴 上的点来表示.
一一对应
数轴上的点 (形)
想 一
类比实数的 表示，可以 用什么来表
想
示复数？
？
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5、复数的几何意义
有序实数对(a,b)
一一对应
a b i0 a0,b0
复数不一定能比较大小.
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5、共轭复数
Z=a+bi(a,b∈R)，其共轭复数为： zabi0(a,b R )
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三、例题讲解
例1. 判断下列各数, 哪些是实数?哪些是虚数? 若是虚数请指出实部与虚部.
(1) 32i; (2) 1 3i; 2
(3) 31i; (4) 0.2i; 2
( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i 说明:
根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知 两个复数的差是唯一确定的复数.
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问：复数减法的几何意义？
设
uuur O Z1
及
uuuur OZ2
分别与复数 a + bi
及复数 c +
）
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚
轴
上”的（ ）
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
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Hale Waihona Puke Baidu
例2. 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对 应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围.
cx dy a, dx cy b,
x
y
ac c2 bc c2
bd d2 ad d2
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3.2.1复数代数形式的四则运算
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一、温故而知新
（1）复数的概念 （2）复数的分类 （3）复数相等 （4）复数的几何意义
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二、探究新知
1、复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di (a,b,c,d∈R) 是任意两复数，那么它们的和：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
说明:
（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时与实数 加法法则保持一致;
（2）两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广 到多个复数相加的情形.
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问：复数的加法满足交换律，结合律吗？ 设z1=a+bi，z2=c+di (a,b,c,d∈R) z 1 + z 2 = ( a c ) ( b d ) i z 2 + z 1 = ( c a ) ( d b ) i z1+z2z2+z1 ( z 1 z 2 ) z 3 z 1 ( z 2 z 3 )
已 知 复 数 z 满 足 z ( 2 i)= 1 ， 求 复 平 面 内 z 对 应 的 点 的 轨 迹 .
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例 4 .已 知 在 复 平 面 上 正 方 形 O A B C ( O 为 原 点 ) ,顶 点 A 对 应 的 复 数 z A = 1 i,求 B ,C 对 应 的 复 数 .
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问：复数加法的几何意义吗？
设
uuur O Z1
及
uuuur OZ2
分别与复数 a + bi
及复数 c +
di对应，则
uuur
uuuu r
y
Z
O Z1=(a,b), O Z2=(c,d),
Z2(c,d)
uuur uuur uuuur OZ = OZ1 + OZ2 = (a,b) + (c,d ) = (a + c,b + d )
负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.
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被“推”出来的无理 数
2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都 可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一 天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方 形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究, 终于证明出它不 能用整数或分数表示. 但这打破了毕达哥拉斯学派的信条, 引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大 了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理， 他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi
y 建立了平面直角坐标系 来表示复数的平面
Z(a,b)
b ---复数平面(简称复平面)
a
o
一一对应
复数z=a+bi
x x轴---实轴 y轴------虚轴
u u u r
平 面 向 量 O Z
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y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
u u u r 向 量 O Z 的 模 叫 做 复 数 z a b i 的 模 ， 记 为 z 或 a b i .
(a+b i)(c+d i)=a c+ a d i+ b c i+ b d i2 = （ a c -b d )+ (b c + a d )i
说明:
(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算
过程中把 i 2 换成－1，然后实、虚部分别合并.
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易证复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律 任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有 (1)z1z2z2z1; ( 2 ) ( z 1 z 2 ) z 3 z 1 ( z 2 z 3 ) ; ( 3 ) z 1 ( z 2 z 3 ) z 1 z 2 z 1 z 3 .
即 3 x -y + (x + 3 y ) i= 1 0 ,
\
ìï 3x - y=10， íïïî x + 3 y = 0,
\
ìï x = 3 ， íïïî y = -1 ,
z3-i.
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探 究 ： in?(n N *) i = i, i2 = - 1, i3 = - i, i 4 = 1, i 5 = i , i6=1,ggg
di对应，则
uuur
uuuu r
O Z1=(a,b), O Z2=(c,d),
y Z1
u u u u u r u u u ru u u u r
Z 2 Z 1 = O Z 1 -O Z 2
Z2
=(a- c,b- d)
O
x
∴向量 Z 2 Z 1 就是与复数(ac)(bd)i对应的向量.
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3、复数的乘法法则：
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例题
例1计算： (1)(5- 6i)+ (- 2- i)- (3+ 4i). (2)(2+ 3i)(- 2- i); (3)(1+ i)2.
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例2已知复数z满足(3+i)z=10，求复数z.
分 析 ： 设 z x y i ( x ,y R ) , 则
(3+i)(x+yi)=1 0 ，
zabi a2b2
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例1.辨析：
1．下列命题中的假命题是（D）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数.
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2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的（
无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.
5
i 的引入:
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
i i 1 引入一个新数：
满足 2
6
虚数单位 i
引入一个新数 i， i叫做虚数单位，并规定：
（1）它的平方等于 -1，即 i2 1.
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算 时，原有的加、乘运算律仍然成立．
§3.1 数系的扩充和复数的概念
1
一、数的发展史
被“数”出来的自然 数
远古的人类，为了统计捕获的野 兽和采集的野果， 用划痕、 石子、 结绳记个数，历经漫长的岁月，创 造了自然数1、2、3、4、5、…自然 数是现实世界最基本的数量，是全 部数学的发源地．
古代印度人最早使用了“0”.
2
被“分”出来的分 数
(5) 21
(6) i2;
13
例2.实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i是 （1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
应的点是（m2+m-6，m2+m-2）， ∴ (m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2.
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y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
u u u r 平 面 向 量 O Z
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例 3 . 已 知 复 数 z 满 足 z = 1 ， 求 复 平 面 内 z 对 应 的 点 的 轨 迹 . 分 析 ： 设 z x y i ( x ,y R ) , 则 x2 y2 =1， x2 y2=1， 点 的 轨 迹 是 以 原 点 为 圆 心 ， 1 为 半 径 的 圆 .
0(a0， b0)
实数 (b0)
非 0 实 (a数 0 ， b0 )
(a，bR)
纯虚 (a0 数 ， b0 )
虚数 (b0)
非纯(虚 a0， 数 b0)
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4、复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就
说这两个复数相等．即如果 a,b,c,dR ，那么
a b i c d i a c ,b d