对策论运筹学

习题解答

1. 已知矩阵博弈局中人I 的赢得矩阵如下，求最优纯策略及博弈值。

（1） ⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡8354

66756544

3494 （2） ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡------------21221

405126331222

210 解: (1) ()

8

695 354

38354667565443494⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡ 所以),(13βα,V=5

(2) 2

- 3 2- 2 2 2562)2(1)2(214051263312)2(2)2(10----⎥

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------

所以 ),(31βα,),(51βα,),(33βα,),(53βα,V=-2

2． 甲乙两国进行乒乓球团体赛，每国由三个人组成一个队参加比赛。甲国的人员根据不同的组合可组成4个队，乙国的人员可组成3个队，根据以往的比赛记

解:

62828276128184)2(3715---⎥⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------ 所以),(22βα,V=2 答: 双方应均派第2队出场

3. 对任意一个m 行n 列的实数矩阵A=（a ij ）,试证有下式成立

ij m

i n j ij n

j m i a a ≤≤≤≤≤≤≤≤≤1111max min min max

证:

ij

m

i n j ij n

j m i ij

m

i ij n

j m i ij

ij n

j a a a a j a a n j m i j i ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤∴≤∀∴≤≤≤≤≤∀11111111max min min max max min max ,min : 1,1,,有有

4. 某城区有A 、B 、C 三个居民小区，分别居住着40％，30%，30%的居民，有两个公司甲和乙都计划在区内建造超市，公司甲计划建两个，公司乙计划建一个，每个公司都知道，如果在某个小区内设有两个超市，那么这两个超市将平分该区的消费，如果在某个小区只有一个超市，则该超市将独揽这个小区的消费。如果在一个小区没有超市，则该小区的消费将平分给三个超市。每个公司都想使自己的营业额尽可能地多．试把这个问题表示成一个矩阵博弈，写出公司甲的赢得矩阵，井求两个公司的最优策略以及各占有多大的市场份额。

解: 甲公司的策略集为{(A,B), (A,C), (B,C)}

乙公司的策略集为{A,B,C}

甲的赢得矩阵为: 75

.075.07

.06

.07.07

.0717.0717.06.075.07.0)7.0(7.075.0)7.0(),(),(),(⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡C B C A B A C

B A 所以甲选(A,B)或(A,C),占70%份额。乙选A,占30%份额.

5． 一个病人的症状说明他可能患a ，b ，c 三种病中的一种，有两种药C ，D 可

解: 8.04.07.01.04

.08.01.07.06.0)4.0(5.0⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 最优策略为),(21βα

答:应开C 药较为稳妥.

6．设矩阵博弈局中人I 的赢得为

A=⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--203233

(1) 当局中人I 采用策略x=(0.2，0.5，0.3)时，Ⅱ应采用什么策略? (2) 当局中人Ⅱ采用策略y=(5/7，2/7)时，I 应采用什么策略?

(2) x 和y 是否是最优策略?为什么?若是，试给出另一个局中人的最优策略和

博弈值。

解: (1)设II 的策略为Y=(y 1,y 2),则

3

.023.0)3(5.033.04

.003.025.0)3(2.0-=⨯+-⨯+⨯=⨯+⨯+-⨯

1

y y s.t.0.3y -0.4y min 2121=+

得:y 1=0,y 2=1,V 1=-0.3,所以最优解为(0,1),V=-0.3 (2) 设II 的策略为X=(x 1,x 2,x 3),则

74275074)3(7227579372)3(75=

⨯+=-⨯+⨯-=⨯+-⨯ 1

x s.t.x 74x 74x 79- max 3213

21=++++x x 所以13211],1,0[,0x x x x -=∈=,即I 的最优策略为7/4],1,0[),1,,0(=∈-V ααα (3) 对于(x 1,x 2,x 3)=(0.2,0.5,0.3),因为∑∑==-=≠==≠3

1

23

1

133),1,0(*,0i j j i j j i y a y a Y x 但

所以(0.2,0.5,0.3)不是最优解.

对于(y 1,y 2)=(5/7,2/7),因为)1,,0(*,0αα-=≠X y i 满足:

7

2

,52252)1(2)3()3(02)1(02)3(0=

-=-=-⨯+⨯-+⨯=-⨯+⨯+-⨯ααααααα

αα得令

所以(5/7,2/7)是II 的最优解,对应I 的最优策略为(0,2/7,5/7),V=4/7

7.给定矩阵博弈局中人I 的赢得为

A=⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-113331135