对策论运筹学

习题解答1. 已知矩阵博弈局中人I 的赢得矩阵如下，求最优纯策略及博弈值。

（1） ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡8354667565443494 （2） ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------21221405126331222210 解: (1) ()8695 35438354667565443494⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 所以),(13βα,V=5(2) 2- 3 2- 2 2 2562)2(1)2(214051263312)2(2)2(10----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------所以 ),(31βα,),(51βα,),(33βα,),(53βα,V=-22． 甲乙两国进行乒乓球团体赛，每国由三个人组成一个队参加比赛。

甲国的人员根据不同的组合可组成4个队，乙国的人员可组成3个队，根据以往的比赛记解:62828276128184)2(3715---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------ 所以),(22βα,V=2 答: 双方应均派第2队出场3. 对任意一个m 行n 列的实数矩阵A=（a ij ）,试证有下式成立ij mi n j ij nj m i a a ≤≤≤≤≤≤≤≤≤1111max min min max证:ijmi n j ij nj m i ijmi ij nj m i ijij nj a a a a j a a n j m i j i ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤∴≤∀∴≤≤≤≤≤∀11111111max min min max max min max ,min : 1,1,,有有4. 某城区有A 、B 、C 三个居民小区，分别居住着40％，30%，30%的居民，有两个公司甲和乙都计划在区内建造超市，公司甲计划建两个，公司乙计划建一个，每个公司都知道，如果在某个小区内设有两个超市，那么这两个超市将平分该区的消费，如果在某个小区只有一个超市，则该超市将独揽这个小区的消费。

如果在一个小区没有超市，则该小区的消费将平分给三个超市。

每个公司都想使自己的营业额尽可能地多．试把这个问题表示成一个矩阵博弈，写出公司甲的赢得矩阵，井求两个公司的最优策略以及各占有多大的市场份额。

解: 甲公司的策略集为{(A,B), (A,C), (B,C)}乙公司的策略集为{A,B,C}甲的赢得矩阵为: 75.075.07.06.07.07.0717.0717.06.075.07.0)7.0(7.075.0)7.0(),(),(),(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡C B C A B A CB A 所以甲选(A,B)或(A,C),占70%份额。

乙选A,占30%份额.5． 一个病人的症状说明他可能患a ，b ，c 三种病中的一种，有两种药C ，D 可解: 8.04.07.01.04.08.01.07.06.0)4.0(5.0⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 最优策略为),(21βα答:应开C 药较为稳妥.6．设矩阵博弈局中人I 的赢得为A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--203233(1) 当局中人I 采用策略x=(0.2，0.5，0.3)时，Ⅱ应采用什么策略? (2) 当局中人Ⅱ采用策略y=(5/7，2/7)时，I 应采用什么策略?(2) x 和y 是否是最优策略?为什么?若是，试给出另一个局中人的最优策略和博弈值。

解: (1)设II 的策略为Y=(y 1,y 2),则3.023.0)3(5.033.04.003.025.0)3(2.0-=⨯+-⨯+⨯=⨯+⨯+-⨯1y y s.t.0.3y -0.4y min 2121=+得:y 1=0,y 2=1,V 1=-0.3,所以最优解为(0,1),V=-0.3 (2) 设II 的策略为X=(x 1,x 2,x 3),则74275074)3(7227579372)3(75=⨯+=-⨯+⨯-=⨯+-⨯ 1x s.t.x 74x 74x 79- max 321321=++++x x 所以13211],1,0[,0x x x x -=∈=,即I 的最优策略为7/4],1,0[),1,,0(=∈-V ααα (3) 对于(x 1,x 2,x 3)=(0.2,0.5,0.3),因为∑∑==-=≠==≠31231133),1,0(*,0i j j i j j i y a y a Y x 但所以(0.2,0.5,0.3)不是最优解.对于(y 1,y 2)=(5/7,2/7),因为)1,,0(*,0αα-=≠X y i 满足:72,52252)1(2)3()3(02)1(02)3(0=-=-=-⨯+⨯-+⨯=-⨯+⨯+-⨯ααααααααα得令所以(5/7,2/7)是II 的最优解,对应I 的最优策略为(0,2/7,5/7),V=4/77.给定矩阵博弈局中人I 的赢得为A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-113331135试验证x*=(1/2，1/2，0)和y*=(1/4，0，3/4)分别是局中人I 和Ⅱ的最优混合策略，井求博弈值。

解:可验证满足:(1)若;,01**V y ax nj j iji=≠∑=则(2)若V x a y mi i ij j=≠∑=1**,0则(3)若;0,*1*=<∑=i nj j ijx V y a则(4)若0,*1*=>∑=j mi i ij y V xa 则且V=28. 已知矩阵博弈的赢得矩阵如下，试用线性方程组法求最优混合策略及博弈值。

（1） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2282102622 （2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021102210 解: (1)将矩阵中各元素减2得:A- 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡006080400 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++===1486321123x x x v x v x v x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++===1684321123y y y v y v y v y 解得: X *=(6/13,3/13,4/13),Y *=(4/13,3/13,6/13),V=50/13(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+1222321213132x x x v x x v x x v x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+1222321213132y y y v y y v y y v y y 解得: X *=(1/3,1/3,1/3),Y *=(1/3,1/3,1/3),V=19．用简便方法（降阶或化零元）求给定矩阵博弈的解与值，赢得矩阵如下（1） ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0311221020430231 （2） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0683874768375990559243300解: (1) 用优超法简化矩阵得:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛03204243ααββ ⎪⎩⎪⎨⎧=+==1234224x x v x v x ⎪⎩⎪⎨⎧=+==1234343y y v y v y 解方程组得: X *=(0,3/5,0,2/5),Y *=(0,0,2/5,3/5),V=6/5 (2) 用优超法则简化矩阵得:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛74374354ααββ 各元素减7得: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--03404354ααββ 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-1434334x x v x v x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-1435454y y v y vy 解方程组得: 7/3,7/4,7/12,7/3,7/45434==-===y y v x x所以得X *=(0,0,3/7,4/7,0),Y *=(0,0,0,4/7,3/7),V=37/710．用线性规划求下述矩阵博弈的混合策略解及博弈值，已知其赢得矩阵为（1） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112103220 （2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--622241423 解: (1) 线性规划:x ,x ,x 1x x x v x x 2x v x 2x v2x 3x s.t.max v 3213213213132≥=++≥++≥+≥+ 0y ,y ,y 1y y y v y y 2y v y 3y v 2y 2y s.t.min v3213213213132≥=++≤++≤+≤+解得: X *=(1/3,0,2/3),Y *=(1/3,1/3,1/3),V=4/3 (2) 矩阵各元素加2得:A+2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡844461605 线性规划为:x ,x ,x 1x x x v x 8x 46x v x 46x v 4x x 5x s.t.max v32132132132321≥=++≥++≥+≥++ 0y ,y ,y 1y y y v y 8y 44y v y 46y v 6y 5y s.t.min v32132132132131≥=++≤++≤++≤+y解得: X *=(0,0,1),Y *=(2/5,3/5,0),V=4-2=211. 甲、乙两方交战。

乙方用三个师守城，有两条公路通入该城，甲方用两个师攻城，可能两个师各走一条公路，也可能从一条公路进攻。

乙方可用三个师防守某一条公路，也可用两个师防守一条公路，用第三个师防守另一条公路．哪方军队在一条公路上数量多，哪方军队就控制住这条公路．如果双方在同一条公路上的数量相同，则乙方控制住公路和甲方攻入城的机会各半，试把这个问题构成一个博弈模型。

并求甲、乙双方的最优策略以及甲方攻入城的可能性。

解: 设两条路为A,B甲方攻城的策略集为:{2A,AB,2B}乙方宁城的策略集为:{3A,2AB,A2B,3B}, 甲方赢得矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00.51110.50.51110.50A线性方程组为: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++=++=+15.05.05.05.03212132132132x x x vx x v x x x vx x x v x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++=++15.05.05.05.043213214321432y y y y v y y y v y y y y v y y y 解得:x*=(1/3,1/3,1/3), v=2/3, y*=(1/6,1/3,1/3,1/6)即甲均以1/3的概率取两个师同走第一条路、各走一条路及同走第二条路。

攻入城的机会为2/3。

乙分别以1/6,1/3,1/3,1/6的概率取三个师同守第一条路、两师守第一条路和另一师守第二条路、一师守第一条路和两师守第二条路、以及三个师同守第二条路。

12．设矩阵博弈G l =(S 1,S 2,Ａ)和G 2=(S 1,S 2,B)，其中A=(a ij )m ╳n , B=(b ij )m ╳n 。

如果b ij =k a ij i ＝1,2,…,m j ＝1,2,…,n其中k>0，试证明G l 和G 2具有相同的最优策略且它们的博弈值V 1和V 2之间有关系：V 2= kV 1证: 设G *1=(X,Y ,E 1), G *2=(X,Y ,E 2)为G 1,G 2的混合扩充,则对X 和Y 中任意的x,y,有:y)(x,E min max y)(x,E min max y)(x,E y)(x,E 1y Xx 2y Xx 11111112YYm i n j m i nj j i ij j i ij m i n j j i ij k k y x a k y x ka y x b ∈∈∈∈=======∴====∑∑∑∑∑∑因此(x *,y *)是G 1的最优策略当且仅当(x *,y *)是G 2的最优策略,且V 2=kV 113．甲、乙二人游戏，每人出一个或两个手指，同时又把猜测对方所出的指数叫出来．如果只有一个人猜测正确，则他所赢得的数目为二人所出指数之和，如果两个人都猜对或都猜错，则算平局，都不得分。