计量经济学第八讲v

第八讲 平稳时间序列

在严格意义上，随机过程{}t X 的平稳性是指这个

过程的联合和条件概率分布随着时间t 的改变而保持不变。在实践中，我们更关注弱意义上的平稳或者所谓的协方差平稳：

2();();(,)t t t t j j E X Var X Cov X X μδδ+===

显然20δδ=。

在本讲义中，平稳皆指协方差平稳。当上述条件中的任意一个被违背时，则称{}t X 是非平稳的。 （一）平稳随机过程的例子 1、白噪声过程{}t ε：

20()0;();(,)0,t t t t j j E Var Cov εεδεε+≠===

笔记：

假定t ε还服从正态分布，则{}t ε被称为高斯白噪声。在正态分布下，独立与不相关是两个等价的概念，从而高斯白噪声{}t ε也属于严格白噪声。对于严格白噪声过程，有：

, (12)

()()t t t t E E εεεε--=,。因此，就预测t ε来说，,1t i i ε-≥没有任何信息价值。当一个变量的当期及其过去值对预测变量未来值没有任何帮助时，我们常常称该变量是不可预测的。

2、AR(1)过程：

011,11t t t y a a y a ε<-=++，{}t ε是白噪声过程

为了验证上述过程满足平稳性条件，我们首先通过迭代得到：1

1

1

1

00

1

0t t i

i t i

i i t t y a a a y a ε---===++∑∑。接下来注意到，

1

1

1)0(t i i t t E y a a a y -==+∑，进一步假设数据生成过程发生了

很久，即t 趋于无穷大，则0

1

)1(t a E y a μ-==；其次也有

1

1

()()

t i t i

i t Var y Var a ε--==∑，当t 趋于无穷大时，

2

12

2

1()11()i t Var a a Var y εδ-=

-

=

；最后，当t 趋于无穷大时，有：

1211111111222 (12411112)

1......(...)

[()()]

[()()]s s t t s t s t t s t s t s t t s s s s s

a a a a a E y y E a a a a a μμδδεεεεεεε+-----------++-

-+++++++++++=

==

关于AR(p)过程的平稳性，见附录。下图是对一个

平稳AR(1)过程的模拟。

1,(0,1)

10.8t N ID t t t

y y εε-+=+

笔记：

重新表述上述AR(1)过程：

1

011011()[()]11()()t

t t t E y E y

t t

t t t t E y a a E y y a a y y a y εε--⎫⎪⇒

--⎬⎪

⎭

--=+

=++=+

即1[]1t t t y a y μμε---=+，进而有：

11[]()(1)()111)(t t t t t t t y y a y y a y μμμμεε=----=-----∆∆=++

由于110a -<，因此有：

11

;11)0)0

((t t y y t t t

t if if

E y y E y y μμ

--><--<>∆∆

此即平稳AR(1)过程所具有的均值回复性（Mean reversion ）。

3、MA(1)过程：

1

1t t t y a μεε-=++，{}t ε是白噪声过程

显然，任意有限阶MA 过程都是平稳的。模型：

1

11t t t t y y a μρεε+--=++，{}t ε是白噪声过程

被称为ARMA(1,1)过程，关于ARMA(p,q)过程的平稳性，见附录。

（二）自相关函数、偏自相关函数与相关图 1、自相关函数

定义t y 与t y τ-的相关系数为：

(,)()()

t t t t C ov y y sd y sd y τττ

ρ--=

假定2

()()0;()

()t

t t t

E y E y s d y s d y τ

τδ--====，则

()()

t t t E y y Var y ττ

ρ-=

。按照时间序列平稳性假定，自相关系

数是τ而不是t 的函数，τρ被称为自相关函数

（ACF ）。样本自相关函数是：1

1

2ˆˆˆˆT

t T

t t

t t y

y

y ττ

τρ

=+=-=

∑∑

（显然，如果ˆt y

对ˆt y τ-进行无截距回归，其斜率估计就是ˆτρ的一个近似值1）。

在原假设：0τρ=下，ˆ(0,1/)a

N T τρ

，因此，在95%

的置信水平下，样本自相关函数将落在2±内，即“两倍的标准误差带内”。 2、偏自相关函数

假定{}t y 的数据生成过程为()AR τ：

1122...t t t t t y p y p y p y ττε---=+++，{}t ε是白噪声过程

则p τ被称为{}t y 的τ阶偏自相关函数（PACF ）。利用OLS 法，得到p τ的估计ˆp τ：

2112...ˆˆˆˆ

t

t t t y y p y p p y ττ---=

++

在原假设：0p τ=下，ˆp

(0,1/)a

N T τ 。 笔记：

t y 与t y τ-的自相关函数与偏自相关函数的区别在于，前者度量了两变量之间简单、常规的相关程度；而后者在度量相关程度

1

为了满足假定：()0t

E y =，时间序列应该预先剔除均值。