第五章 数定理与中心极限定理

第五章 大数定理与中心极限定理■考试内容切比雪夫（Chebyshev ）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli ）大数定律 辛钦（Khinchine ）大数定律 棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre —Laplace ）定理 列维—林德伯格（Levy —Lindberg ）定理■考试要求1．了解切比雪夫不等式。

2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）3． 了解棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维—林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）3大均2中和1不等（3个大数定理、2个中心极限定理和一个不等式）。

一、切贝雪夫不等式1.1 切贝雪夫不等式及其应用范围如果不知道X 属于何种分布，只要()E X 和()D X 存在，就可以估算出以()E X 为中心的对称区间上取值的概率。

即：则任给0,ε>有或 ●证 明：由积分比较定理可知：()[]()[]()()(){}{}(){}(){}()222()()22()222()()()()1()()1x E X x E X x E X D X x E X f x dx x E X f x dx f x dxf x dx P X E X D X P X E X D X D X P X E X P X E X εεεεεεεεεεεεε∞-∞-≥-≥-≥=-≥-≥==-≥⇒-≥≤⇒--<≤⇒-<≥-⎰⎰⎰⎰1.2 依概率收敛的定义设a 是一个常数，n X 为一随机变量序列， 0, {}1n P X a εε∀>∃-<=或{}0n P X a ε-≥=，则称{}n X 依概率收敛于a ，记为或。

二、大数定理●大数定理的应用范围：●大数定理的特征：2.1 切比雪夫大数定理设随机变量12,,,n X X X …相互独立，服从同一分布（任意分布），且具有相同的数学期望和方差()211(), ; nk k k k E X D X X X n μσ====∑则0,ε∀>有在大量的测量值中，算术平均值11nk k x n =∑具有稳定性，即n 个随机变量的算术平均值，当n无限增加时，将几乎变成一个常数，即接近数学期望()k E X μ=，这种接近是概率意义上的接近，也就是X 依概率收敛μ，记为PX μ−−→，这也是为什么在实际应用中，常用算术平均来描述事件发生的加权平均（即数学期望）的原因。

2.2 辛钦大数定理设随机变量12,,,n X X X …相互独立，服从同一分布（任意分布），且具有相同的数学期望()11() 1,2,,; nk k k E X k n X X n μ====∑L ，则0,ε∀>有（不要求方差存在）在大量的测量值中，算术平均值具有稳定性，即n 个随机变量的算术平均值，当n 无限增加时将几乎变成一个常数。

显然，伯努利大数定理是辛钦大数定理的特例。

2.3 伯努利大数定理设A Y 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则0ε∀>，有或1．12...A n Y X X X =+++，12,,...,n X X X 服从同一()01-分布；2．当n 很大（一般要求大于45）时，事件发生的频率AY n具有稳定性，且逼近于其概率，这也是为什么在实际应用中，常用频率来代替事件发生概率的原因。

3．它本质上是离散情形下的辛钦大数定理。

3个大数定理的应用选择方法大数定理提供了算术平均代替加权平均的理论根据，适应于事件发生的平均值依概率收敛情形。

如果能已知EX ，DX 都存在，则使用切比雪夫大数定理；如果仅知道EX 存在，而未知DX 是否存在，则使用辛钦大数定理；如果是伯努利试验，则使用伯努利大数定理。

三、中心极限定理●中心极限的应用范围：●3.1列维一林德伯格中心极限定理（又称独立同分布的中心极限定理）设12,,,n X XX ……相互独立，服从同一分布（任意分布），且具有数学期望和方差2(), ()0(1,,)k k E X D X k n μσ==≠=…，则随机变量1nk i X =∑的标准化量n Ynn nk k kn X E X Xn Y μ⎛⎫-- ⎪==∑∑∑()n F x 满足①21~(, )nk k X N n n μσ=∑， n →∞；②此处n Y 表达式中，分子与分母可同乘以1n Y n →= 正好对应标准化()0, 1N 。

3.2 棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理设随机变量()1,2,...n n η=服从参数为n p ，的二项分布（二次分布也是要求1,n X X …相互独立，1n n k k X η==∑，，同时隐含2()(1)0k D X np p σ==-≠），则,x ∀ 随机变量1nn k k X η==∑的标准化量①正态分布是二项分布的极限分布；②()1~, 1nn kk XN np np p η==-⎡⎤⎣⎦∑，n →∞。

③2个中心极限定理的应用选择方法中心极限定理提供了任何备选事件发生的标准化量依概率收敛于()0, 1N 的理论根据。

当EX ，DX 都存在，且0DX ≠时，如果是伯努利试验（离散型），则使用莫佛—拉普拉斯中心极限定理；一般型使用列维一林德伯格中心极限定理。

四、先进题型与求解秘诀【例1】已知随机变量, X Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，相关系数为0.5-，试估计{}6P X Y +≥。

解：由于未知, X Y 的具体分布，故使用切贝雪夫不等式 2(){()}D X P X E X εε-≥≤()222201420.53()31{()}{()6}6121{6}12XY Z X Y EZ EX EY DZ DX DY D X P X E X P Z E Z P X Y ρεε=+⇒=+=-+==++=++-=-≥≤⇒-≥≤=⇒+≥≤【例2】随机掷6颗骰子，利用切比雪夫不等式估计6颗骰子点数之和大于14小于28的概率至少为多少？解：设{} i X i =第颗骰子出现的点数()()(){}61222222222266116611123456~11111166666617123456621911234566691735621276212353561221428i i i i i i i i i i i i i i i i X X X EX EX DX EX EX EX E X EX DX D X DX P X =====⎛⎫ ⎪⇒= ⎪ ⎪⎝⎭=+++++==+++++=⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫===⨯=⎪⎝⎭<<∑∑∑∑∑{}{}2359272172171714P X P X =-<-<=-<≥-=【例3】假设某一年龄段女孩平均身高130cm ，标准差是8厘米，现在从该年龄段女孩中随机抽取5名女孩，测其身高，估计她们的平均身高X 在120cm-140cm 之间的概率。

解：不知分布估计概率使用切贝雪夫不等式设i X 为第i 名被测女孩的身高，显然15,X X …相互独立同分布5221511()130; ()864; 511()()51301305511164()()()56412.82525255i i ii i i i i E X D X X X E X E X D X D X D X σ=========⨯⨯==∑=∑=⨯⨯==∑∑应用切贝雪夫不等式，有212.8{120140}{13010}10.87210P X P X <<=-<≥-=。

【例4】设X 为连续型随机变量，则是对任意常数C ，必有 （A ）()E X CP X C εε--≥=（B ）()E X CP X C εε--≥≥（C ）()E X CP X C εε--≥≤（D ）2()()D X P X C εε-≥≤解： ()()()X C X CP X C f X dX f x dx εεε+∞-≥-∞--≥=≤⎰⎰1()E X CX C f x dx εε+∞-∞-=-=⎰应选（C ）。

【例5】()~2i X E ，{}i X 独立同，求211lim n i n i X n →+∞=∑。

解：注意随机变量的极限是指依概率收敛情形。

本题知道了具体分布，求随机变量平均值的极限，故使用大数定理，又能够确定, EX DX ，故使用切比雪夫大数定理。

()()221122222221111lim {}1lim {}1112121111lim {}1lim .22n n i i i n n i i i i i n n i i n n i i P X P X EX n n EX DX EX P X X P n n μεελλλε→∞→∞==→∞→+∞==-<=⇒-<==+=+==⇒-<=⇒=∑∑∑∑【例6】设{}n X 独立同分布，1()(0)xF X a arctg b bπ=+≠，问辛钦大数定理可否适应。

解： 22()'()()bf x F x b x π==+ 22222()()bb x EX xf x dx dx m b X b x ππ+∞+∞+∞-∞===+=+∞+⎰⎰数学期望不存在，故不可适用辛钦大数定理。

()1设{}n X 独立同分布，且0n EX =，1,2,n =L ，求1lim n i n i X n →∞=⎛⎫< ⎪⎝⎭∑。

解：根据辛钦大数定理{}1111111lim 1lim 1lim 1 1lim lim 1lim 1而n n let i i n n n i i n n ni i i n n n i i i P X P X P X n n P X n P X n P X n εμεε=→∞→∞→∞==→∞→∞→∞===⎧⎫⎧⎫-<=⇒<=−−−→<=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫⎧⎫≥<≥<=⇒<=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑∑∑∑()2设{}n X 相互独立，()~n X E n 1,2,n =L。

则下列哪个不符合切比雪夫大数定理。

()()()()2212121212, , , 2, 11, , , 2, 2n nn nA X X XB X X n XC X X XD X X nX n LL L L 解：选()B 。

()()()()()()()2222422223211; ,11; ,11111111; 11111; 符合。

无界，即不存在不符合。

符合。

符合。

n n n n n n n n A EX DX n nB E n X n n D n X n n n nC E XD X n n n n n n nn D E nX n D X n n n n n ===⋅==⋅=⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=⋅==⋅= ⎪⎝⎭设{}n X 相互独立， 1,2,n =L 。