《多边形及其内角和》PPT课件
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多边形及其内角和PPT优选课件
2
从同一 顶点引 对角线 的条数
分割出 三角形 的个数
三角形
0 1
四边形
1
2
五边形
2
……
六边形
n边形
3
n－3
3
4
n－2
怎样求一个多边形的内角和？
2020/10/18
3
D
CD
C
C
B
A B
AE
O D
B A
（一）
（二）
（三）
怎样求一个多边形的内角和？
2020/10/18
4
练习：
（1）求一个八边形的内角和。
（2）过某个多边形的一个顶点的所有 对角线，将这个多边形分成5个三角形。 这个多边形是几边形？它的内角和是 多少度？
（3）一个多边形的内角和是1800°则 它是几边形？
2020/10/18
5
（4）观察下列多边形，它们的边、角各有什么 特点？
正三角形、正四边形（正方形）、正五 边形、正六边形、正八边形的内角各分别是 多少度？
E C
F
B AD CB2020/10/18细观察 多思考
9
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
在平面内，内角都相等，边也相等的多边形
叫正多边形。
2020/10/18
6
议一议
（1）一个多边形的边都相等，它的 内角一定都相等吗？
（2）一个多边形的内角都相等，它 的边一定相等吗？
2020/10/18
多边形及其内角和ppt课件
∵ ∠7+∠ 8+∠9+ ∠10 +∠11+ ∠12 =（6－2）×180 °= 720°, ∴ ∠1+∠ 2+∠3+ ∠4 +∠5+ ∠6 = 6×180 °－720 ° = 360°.
对于 n 边形，结论仍然成立！
结论： 多边形的外角和等于
360°.
探索与思考
探索多边形的外角和
多边形边 数
多边形的 内角和
4、正方形的内角和是 3600 度，长方形的内 角和是 3600 度。
学习目标
1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形. 2.掌握正多边形的概念.（重点） 3.会求多边形的对角线的条数.（难点）
情境引入
导入新课
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你 能找到由一些线段围成的图形吗？
5.若两个多边形的比是1:2，内角和的度数比是1:3，求这 两个多边形的边数。
课堂小结
(1)本节课学习了哪些主要内容? (2)我们是怎样得到多边形内角和公式的? (3)在探究多边形内角和公式的过程中， 连接对角线起到什么作用?
∠C=108°,∠D=144° A
B
例题讲解
3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这 个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形 ？它的内角和是多少？ 解：设这个多边形的边数为n，由题意得：
n-2=5 n=7 内角和=(n-2)x180°
=(5-2)x180° =900°
答：这个多边形是七边形，它的内角和是900°
从n边形的一个顶点可以引＿＿n＿-3＿＿对角线，把 多边形分成＿＿n-＿2＿个三角形．
n边形的内角和等于＿(n＿-2＿) ×＿1＿8＿00
对于 n 边形，结论仍然成立！
结论： 多边形的外角和等于
360°.
探索与思考
探索多边形的外角和
多边形边 数
多边形的 内角和
4、正方形的内角和是 3600 度，长方形的内 角和是 3600 度。
学习目标
1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形. 2.掌握正多边形的概念.（重点） 3.会求多边形的对角线的条数.（难点）
情境引入
导入新课
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你 能找到由一些线段围成的图形吗？
5.若两个多边形的比是1:2，内角和的度数比是1:3，求这 两个多边形的边数。
课堂小结
(1)本节课学习了哪些主要内容? (2)我们是怎样得到多边形内角和公式的? (3)在探究多边形内角和公式的过程中， 连接对角线起到什么作用?
∠C=108°,∠D=144° A
B
例题讲解
3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这 个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形 ？它的内角和是多少？ 解：设这个多边形的边数为n，由题意得：
n-2=5 n=7 内角和=(n-2)x180°
=(5-2)x180° =900°
答：这个多边形是七边形，它的内角和是900°
从n边形的一个顶点可以引＿＿n＿-3＿＿对角线，把 多边形分成＿＿n-＿2＿个三角形．
n边形的内角和等于＿(n＿-2＿) ×＿1＿8＿00
《多边形及其内角和》ppt课件
证明过程
详细展示多边形内角和定理的证明过 程，帮助学习者深入理解定理的证明 思路。
03 多边形内角和的计算方法
公式法计算内角和
01
公式法是计算多边形内角和最常用的方法，通过公式可 以直接计算出多边形的内角和。
02
对于一个n边形，其内角和S可以通过公式计算：S = (n 2) * 180°。
03
这个公式基于多边形的定义和性质，通过数学推导得出 ，适用于任何凸多边形和凹多边形。
举例说明
通过具体实例，如四边形、五边形等，演示如何运用三角形内角和推导多边形内 角和。
内角和定理的应用
解决实际问题
多边形内角和定理可以应用于解 决实际问题，如计算多边形面积 、解决几何问题等。
拓展知识
介绍多边形内角和定理在其他领 域的应用，如建筑设计、计算机 图形学等。
内角和定理的证明
证明方法
介绍多边形内角和定理的证明方法， 包括几何证明、代数证明等。
多边形的分类
总结词
根据边的数量和形状，可以将多边形分为三角形、四边形、 五边形等。
详细描述
三角形是多边形中最简单的形式，由三条边组成。四边形由 四条边组成，五边形由五条边组成，以此类推。此外，根据 边的形状，多边形还可以分为凸多边形和凹多边形。
多边形的性质
总结词
多边形具有一些基本的几何性质，如内角和、外角和等。
建筑设计中的应用
建筑设计中的角度计算
多边形内角和在建筑设计中有广泛的应用，如角度计算、空间布局等。通过利用多边形 内角和的知识，设计师可以更加精确地计算出建筑物的角度和方向，从而更好地进行空
间布局和设计。
建筑光学与视觉效果
多边形内角和的知识还可以应用于建筑光学和视觉效果的设计。利用多边形的内角和性 质，可以调整建筑物的窗户、镜面等元素的角度，创造出更加舒适和美观的视觉效果。
详细展示多边形内角和定理的证明过 程，帮助学习者深入理解定理的证明 思路。
03 多边形内角和的计算方法
公式法计算内角和
01
公式法是计算多边形内角和最常用的方法，通过公式可 以直接计算出多边形的内角和。
02
对于一个n边形，其内角和S可以通过公式计算：S = (n 2) * 180°。
03
这个公式基于多边形的定义和性质，通过数学推导得出 ，适用于任何凸多边形和凹多边形。
举例说明
通过具体实例，如四边形、五边形等，演示如何运用三角形内角和推导多边形内 角和。
内角和定理的应用
解决实际问题
多边形内角和定理可以应用于解 决实际问题，如计算多边形面积 、解决几何问题等。
拓展知识
介绍多边形内角和定理在其他领 域的应用，如建筑设计、计算机 图形学等。
内角和定理的证明
证明方法
介绍多边形内角和定理的证明方法， 包括几何证明、代数证明等。
多边形的分类
总结词
根据边的数量和形状，可以将多边形分为三角形、四边形、 五边形等。
详细描述
三角形是多边形中最简单的形式，由三条边组成。四边形由 四条边组成，五边形由五条边组成，以此类推。此外，根据 边的形状，多边形还可以分为凸多边形和凹多边形。
多边形的性质
总结词
多边形具有一些基本的几何性质，如内角和、外角和等。
建筑设计中的应用
建筑设计中的角度计算
多边形内角和在建筑设计中有广泛的应用，如角度计算、空间布局等。通过利用多边形 内角和的知识，设计师可以更加精确地计算出建筑物的角度和方向，从而更好地进行空
间布局和设计。
建筑光学与视觉效果
多边形内角和的知识还可以应用于建筑光学和视觉效果的设计。利用多边形的内角和性 质，可以调整建筑物的窗户、镜面等元素的角度，创造出更加舒适和美观的视觉效果。
八年级数学上册第十一章11.3《多边形及其内角和》PPT课件
探究新知
素养考点 1 多边形的截角问题
例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边 数可能是多少？画出图形说明．
解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， 如图所示.
探究新知
归纳总结
一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能 增加了一条，也可能不变或减少了一条.
正三角形 正方形
正五边形 正六边形
探究新知 想一想 下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
（四条边都相等）
（四个角都相等）
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不 符合各边都相等.
注意 判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角 都相等，两个条件必须同时具备.
巩固练习
4.下列属于正多边形的特征的有( B )
解析：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条， 则将多边形分割为3个三角形． 所以该多边形的内角和是3×180°=540°．
课堂检测
基础巩固题
1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ B ）
A
B
C
D
2. 九边形的对角线有（ C ） A. 25条 C. 27条
B. 31条 D. 30条
课堂检测
基础巩固题
11.3 多边形及其内角和 11.3.1 多边形
导入新知
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围 成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？
导入新知
导入新知
中国某一村远景图
五角大楼
素养目标
3. 掌握多边形对角线的定义及公式，并能运 用公式解决相关问题. 2. 了解什么是凸多边形和正多边形.
探究新知 思考 比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要 强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？ 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，
人教版初中八年级数学上册11.3.2多边形及其内角和ppt课件
学习了本节课你有哪些 收获？
随堂练习
求下列图形中x的值：
140 0
x0
x0
(1)
120 0 80 0
75 0
x0
(3)
150 0 120 0
(2)
2x0
x0
D
E
x0
150 0
60 0
C
135 0
A
B
(4)
AB∥CD
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
《多边形的内角和与外角和》PPT课件
180°
2、四边形的内角和是多少？
3、五边形的内角和是多少？
4、六边形的内角和是多少？
5、n边形的内角和是多少？
N边形…
n
n-3
n-2
3×1800
4×1800
(n-2)×1800
1
2
3
2
3
4
4
5
6
2×1800
3600
3600
3600
3600
答：15边形的内角和是23400
例
解:
求15边形内角和的度数。
练习四：
C
C
想一想：
1、每个内角都为144°的多边形为( )边形。2、每个内角都为140°的多边形为( )边形。3、每个外角都为30°的多边形为( )边形。4、每个外角都为36°的多边形为( )边形。5、正八边形的内角为( )，外角为( )。6、正十二边形的内角为( )，外角为( )。
2、多边形内角和为1080°则它是（ ）边形。
3、多边形内角和为1800°则它是（ ）边形。
九
八
十二
多边形的外角和
n边形的外角和为3600
例.一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
思考：
1、一个多边形的每个外角等于与它相邻的内角，这个多边形是几边形？
练习三：
十
九
十二
十
135°
45°
150°
30°
1、一个十边形的每一个内角都相等，那么这个十边形的每一外角等于( )A、144°B、 72 ° C、 36° D 、18°2、一个多边形每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和等于( )A、 720° B、 675° C、 1080° D、945°
2、四边形的内角和是多少？
3、五边形的内角和是多少？
4、六边形的内角和是多少？
5、n边形的内角和是多少？
N边形…
n
n-3
n-2
3×1800
4×1800
(n-2)×1800
1
2
3
2
3
4
4
5
6
2×1800
3600
3600
3600
3600
答：15边形的内角和是23400
例
解:
求15边形内角和的度数。
练习四：
C
C
想一想：
1、每个内角都为144°的多边形为( )边形。2、每个内角都为140°的多边形为( )边形。3、每个外角都为30°的多边形为( )边形。4、每个外角都为36°的多边形为( )边形。5、正八边形的内角为( )，外角为( )。6、正十二边形的内角为( )，外角为( )。
2、多边形内角和为1080°则它是（ ）边形。
3、多边形内角和为1800°则它是（ ）边形。
九
八
十二
多边形的外角和
n边形的外角和为3600
例.一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
思考：
1、一个多边形的每个外角等于与它相邻的内角，这个多边形是几边形？
练习三：
十
九
十二
十
135°
45°
150°
30°
1、一个十边形的每一个内角都相等，那么这个十边形的每一外角等于( )A、144°B、 72 ° C、 36° D 、18°2、一个多边形每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和等于( )A、 720° B、 675° C、 1080° D、945°
多边形的内角和ppt课件
求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 360° .
A
C
B
11.3.2 多边形的内角和
已知：四边形 ABCD， 求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 360° . 方法1 证明：如图，连接 AC， ∠BAD +∠B +∠BCD +∠D =∠1 +∠2 +∠B +∠3 +∠4 +∠D =(∠1 +∠3 +∠B) +(∠2 +∠4 +∠D) = 180°+180° = 360°.
互补
A
1
B
2
C3
5
E
4
D
2.五边形的6个外角加上与它们相邻的内角的总和是多少？
5×180°=900°
11.3.2 多边形的内角和
解： 五边形的任何一个外角加上与它相邻的内
角都等于 180°，因此六边形的 5 个外角加上它们
A
相邻的内角，所得的总和等于 5 × 180°.
1
5
B
E
这个总和就是五边形的外角和加上内角和，所以 2
外角和等于总和减去内角和，即外角和等于
4
C3
D
5× 180° - ( 5 - 2 ) × 180°= 2 × 180°=360°
结论：五边形的外角和等于360°.
11.3.2 多边形的内角和
思考
如果将五边形换成n边形（n是不小于3的任意整数），可以得到同样结
果吗？ n边形外角和
归纳 n边形的外角和等于360°.
E
A
A
F
类比上面的过程， 你能推导出五边形
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3× 180°
=5400
探索过程一掠:
三角形 A
B
1800
四边形
A D
五边形 A
E
B
CB
C
C
D
2× 180°
= 3600
3× 180°
=5400
那么六边形、七边形的内角和呢？
六边形
七边形
4× 180°
=7200
5× 180°
=9000
边数 从一个顶点引出 三角形个数 对角线数
内角和
5
2
6
3
3
3×180°=540 °
边的邻边是 AE、 BC ，顶点E处的内角为 ∠AED ，过
顶点A画出这个多边形的对角线，共有 2 条，它们
把多边形分成 3 个三角形。
2、n边形有 n 个顶点， n 条边，有 n
有
n个不同顶点的外角．
个角，
3、四边形有 2 条对角线。五边形有
5条
对角线。
4、四边形的一条对角线将它分成 2 个三角形．
2、已知一个多边形每个内角都等108° ，求 这个多边形的边数？
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得：n=5
答：这个多边形是五边形。
Now I can ……
那么正五边形、正六边形、正八边形、 正n边形的每个内角分别是多少度呢？
（5-2）×180° （6-2）×180°
你能算出八卦图的内角和吗？
你能算它的内角和吗？
想一想
它们的内角和该怎么计算呢？ 其他多边形的内角和呢？
你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形内角和 180°）
你知道长方形和正方形的内角和是多少？
（都是360°）
其它四边形的内角和是多少？
四边形内角和
A
D
B
C
那么如何求说此说五你边的形探的索内思角路和？呢?
……其中三角形是最简单的多边
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
形。
如果一个多边形由n条线段组
成，那么这个多边形就叫做n边
形。
n3
可表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB
A
内角
多 边
顶点
形
的B
相
关
概
念边
C
E 外角
1
D 对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
总结1
n边形有___n__个顶点， ___n__条边， ___n__个内角， __2_n__个外角， _____条对角线。
照猫画虎
我们也可以利用以上不同的方法分
割多边形，得到n边形的内角和公式
An
p
A1
A5
A4
An
A1
A5
A4
A2
A3
An
A5
A2
p
An
A3
A5
A1 A2
A4 A3
A1
A2 p
A4 A3
最终结论
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
抢答
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
4
4×180°=720°
7
4
.
.
.
.
.
.
5
5×180°=900°
.
.
.
.
.
.
n
n-3
n-2
-
(n-2)×180° 23
综上所述，设多边形的边数为n， 则 n边形的内角和等于（n一2）•180°
-
24
百家争鸣 其他方法
C
P
图1
D 图2 B
C
B
A A P D A
如图1，在四边形内任取一点P,
连接PA、PB、PC、PD将四边
n边形从一个顶点出发的对角线条
数为：(n－3) 条(n≥3) n边形共有对角线 n(n 3) 条(n≥3)
2
你能说出这两幅图形的异同点吗？
D
E
A
C
G
B （1）
F
（2）
H
多边形的分类
如图，画出四边形ABCD的任何一条边 所在直线，整个四边形都在这条直线的同 一侧，这样的四边形叫做凸四边形。
A
B
C
形变成有一个公共顶点的四个 三角形，四边形内角和等于 180°×4 － 360°= 360°
如图2，在四边形的一边上任取一点P, 连接PB、PC，将四边形变成有一个公 共顶点的三个三角形，四边形内角和
等于180° ×3－ 180° = 360°
其 他 方 案
B
图3
C
P D
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、 PB、PC、PD将四边形变成有一个公 共顶点的四个三角形，四边形内角和 等于180° ×3－ 180° = 360°
这就是说，如果四边形的一组对角互补， 那么另一组对角也互补。
清晨，小明沿一个 五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑步。
•（1）小明每从一条 街道转到下一条街 道时，身体转过的 角是 哪 个 角？
• （2）他每跑完一圈，身体转过的角 度之和是多少？
• （3）在上图中，你能求出1+ 2+ 3+ 4+ 5=吗？你是怎样得到的？
1A
B
5
2
E
E' A'
θ
α Oδ
B'
βγ
C'
C 3
4 D
结论：
1， 2， 3， 4， D' 5的和等于 360ْ
人教版数学教材八年级上
11.3多边形
探究1
三角形的定义：
在同一平面内，由不在同一 条直线上的三条线段首尾顺次连 接而成的图形。
多边形的定义
在同一平面内，由不在同 一条直线上的一些线段首尾顺 次相接组成的图形叫做多边形 。
……
五边形
六边形 七边形
多边形按组成它的线段条数
分成三角形、四边形、五边形
5
6
=108°
=120°
（8-2）×180° 8
=135°
……
正n边形
（n-2）×180° n
典型例题
例1、如果一个四边形的一组对角互补，
那么另一组对角有什么关系？
C
解：如图四边形ABCD中， D
AC1800 A
B
因为：
A B C D(42)18 0 036 0 0
所 : B 以 D 30 6 ( 0 A C ) 10 80
-
6
多边形的对角线
连结多边形不相邻的两个顶点的线段， 叫做多边形的对角线。
请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数 ：
……..
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
探究
……
三角形
四边形
五边形
六边形
从同一顶点引出的对角线的条数：
0 1 23
分割出的三角形的个数：
1 2 34
n边形
n－3 n－2
总结2
5、从六边形的一个顶点出发可以画
们将六边形分成 ４ 个三角形．
３
条对角线，它
6、正多边形的 边 相等, 角 相等．
E
7、多边形分为凸多边形 和 凹多边形两类A ．
D
-
14
B
C
想一想
浙江金华兰溪诸葛八卦村
布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷 的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。
D
A
C B
四边形ABCD是 凹四边形，因为画 出边CD（或BC）所 在直线，整个四边
形不都在这条直线 D 的同一侧。
正多边形
正方形的各个角都相等，各条 边都相等。
像正方形这样，各个角都相等，各 条边都相等的多边形叫做正多边形.
例如：
正三角形 正方形
正五边形 正六边形
1、填空：如图，此多边形应记作 五 边形 ABCDE，AB
=5400
探索过程一掠:
三角形 A
B
1800
四边形
A D
五边形 A
E
B
CB
C
C
D
2× 180°
= 3600
3× 180°
=5400
那么六边形、七边形的内角和呢？
六边形
七边形
4× 180°
=7200
5× 180°
=9000
边数 从一个顶点引出 三角形个数 对角线数
内角和
5
2
6
3
3
3×180°=540 °
边的邻边是 AE、 BC ，顶点E处的内角为 ∠AED ，过
顶点A画出这个多边形的对角线，共有 2 条，它们
把多边形分成 3 个三角形。
2、n边形有 n 个顶点， n 条边，有 n
有
n个不同顶点的外角．
个角，
3、四边形有 2 条对角线。五边形有
5条
对角线。
4、四边形的一条对角线将它分成 2 个三角形．
2、已知一个多边形每个内角都等108° ，求 这个多边形的边数？
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得：n=5
答：这个多边形是五边形。
Now I can ……
那么正五边形、正六边形、正八边形、 正n边形的每个内角分别是多少度呢？
（5-2）×180° （6-2）×180°
你能算出八卦图的内角和吗？
你能算它的内角和吗？
想一想
它们的内角和该怎么计算呢？ 其他多边形的内角和呢？
你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形内角和 180°）
你知道长方形和正方形的内角和是多少？
（都是360°）
其它四边形的内角和是多少？
四边形内角和
A
D
B
C
那么如何求说此说五你边的形探的索内思角路和？呢?
……其中三角形是最简单的多边
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
形。
如果一个多边形由n条线段组
成，那么这个多边形就叫做n边
形。
n3
可表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB
A
内角
多 边
顶点
形
的B
相
关
概
念边
C
E 外角
1
D 对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
总结1
n边形有___n__个顶点， ___n__条边， ___n__个内角， __2_n__个外角， _____条对角线。
照猫画虎
我们也可以利用以上不同的方法分
割多边形，得到n边形的内角和公式
An
p
A1
A5
A4
An
A1
A5
A4
A2
A3
An
A5
A2
p
An
A3
A5
A1 A2
A4 A3
A1
A2 p
A4 A3
最终结论
n边形内角和等于 （n－2）× 180°
抢答
1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) ×180°= 1080° (10－2) ×180°= 1440°
4
4×180°=720°
7
4
.
.
.
.
.
.
5
5×180°=900°
.
.
.
.
.
.
n
n-3
n-2
-
(n-2)×180° 23
综上所述，设多边形的边数为n， 则 n边形的内角和等于（n一2）•180°
-
24
百家争鸣 其他方法
C
P
图1
D 图2 B
C
B
A A P D A
如图1，在四边形内任取一点P,
连接PA、PB、PC、PD将四边
n边形从一个顶点出发的对角线条
数为：(n－3) 条(n≥3) n边形共有对角线 n(n 3) 条(n≥3)
2
你能说出这两幅图形的异同点吗？
D
E
A
C
G
B （1）
F
（2）
H
多边形的分类
如图，画出四边形ABCD的任何一条边 所在直线，整个四边形都在这条直线的同 一侧，这样的四边形叫做凸四边形。
A
B
C
形变成有一个公共顶点的四个 三角形，四边形内角和等于 180°×4 － 360°= 360°
如图2，在四边形的一边上任取一点P, 连接PB、PC，将四边形变成有一个公 共顶点的三个三角形，四边形内角和
等于180° ×3－ 180° = 360°
其 他 方 案
B
图3
C
P D
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、 PB、PC、PD将四边形变成有一个公 共顶点的四个三角形，四边形内角和 等于180° ×3－ 180° = 360°
这就是说，如果四边形的一组对角互补， 那么另一组对角也互补。
清晨，小明沿一个 五边形广场周围的小路， 按逆时针方向跑步。
•（1）小明每从一条 街道转到下一条街 道时，身体转过的 角是 哪 个 角？
• （2）他每跑完一圈，身体转过的角 度之和是多少？
• （3）在上图中，你能求出1+ 2+ 3+ 4+ 5=吗？你是怎样得到的？
1A
B
5
2
E
E' A'
θ
α Oδ
B'
βγ
C'
C 3
4 D
结论：
1， 2， 3， 4， D' 5的和等于 360ْ
人教版数学教材八年级上
11.3多边形
探究1
三角形的定义：
在同一平面内，由不在同一 条直线上的三条线段首尾顺次连 接而成的图形。
多边形的定义
在同一平面内，由不在同 一条直线上的一些线段首尾顺 次相接组成的图形叫做多边形 。
……
五边形
六边形 七边形
多边形按组成它的线段条数
分成三角形、四边形、五边形
5
6
=108°
=120°
（8-2）×180° 8
=135°
……
正n边形
（n-2）×180° n
典型例题
例1、如果一个四边形的一组对角互补，
那么另一组对角有什么关系？
C
解：如图四边形ABCD中， D
AC1800 A
B
因为：
A B C D(42)18 0 036 0 0
所 : B 以 D 30 6 ( 0 A C ) 10 80
-
6
多边形的对角线
连结多边形不相邻的两个顶点的线段， 叫做多边形的对角线。
请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数 ：
……..
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
探究
……
三角形
四边形
五边形
六边形
从同一顶点引出的对角线的条数：
0 1 23
分割出的三角形的个数：
1 2 34
n边形
n－3 n－2
总结2
5、从六边形的一个顶点出发可以画
们将六边形分成 ４ 个三角形．
３
条对角线，它
6、正多边形的 边 相等, 角 相等．
E
7、多边形分为凸多边形 和 凹多边形两类A ．
D
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14
B
C
想一想
浙江金华兰溪诸葛八卦村
布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷 的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。
D
A
C B
四边形ABCD是 凹四边形，因为画 出边CD（或BC）所 在直线，整个四边
形不都在这条直线 D 的同一侧。
正多边形
正方形的各个角都相等，各条 边都相等。
像正方形这样，各个角都相等，各 条边都相等的多边形叫做正多边形.
例如：
正三角形 正方形
正五边形 正六边形
1、填空：如图，此多边形应记作 五 边形 ABCDE，AB