机械制图点的投影
机械制图——第一章投影法和点、线、平面的投影
两个空间的点，发生重影的条件： 两对坐标值相等，一对坐标值不相等.
Xa = Xc Za = Zc Ya > Yc
a'(c') Yc
Za/Zc C A
c" a"
c Ya
a Xa/Xc
a'(c') Za/Zc
（三）两点的相对位置
如图1－8所示，两个点的投影沿左右、前后、上下三个方向 所反映的坐标差，即这两个点对应投影面W、V、H的距离差， 能反映两点的相对位置；反之，若已知两点的相对位置和其中 一点的投影，也能作出另一点的投影。
两点的相对位置
A(XA,YA,ZA) 和 B(XB,YB,ZB) 两点的相对位置： 如：b’→ a’ : a’(△X=Xa-Xb ，△Z =Za-Zb )
投影法分为两类： 中心投影法 平行投影法（称平行光源）
二、中心投影法
如图所示，点 S（投射中心）射 出过A点射线，在 投影面 P形成 a点的投影图案， 该方法称为：
中心投影法。
三、平行投影法
如图所示，投射线（由平行光源）平行投射，在投影面P形 成的投影图案，称为平行投影法。
平行投影法又可分为：
正投影法：投影线（平行光源）垂至于投影面的投影法
例：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
d
先作正面投影
k c●
b
⒊ 两直线交叉
b′
c′
a′ X
a
V
d′
c′
O
a′
AC
d
a
机械制图第二章 点
Z
V a′
A a″ W
X
O
H
a
直观图
Y
23
24
不动
V
a′ A
X
a
向下翻
H
Z
向后翻
a″ W
O
Y
25
26
27
Z
V a′
a″ W
H
X O
a YH
YW
28
Z
V a′
a″ W
H
X O
a YY HYW源自29Za′a″
X O
a YY H
YW
投影图
30
为了确定点在空间的具体位置，在 投影图中引入坐标系。
O
a
ay
H
Y
51
直观图7
Z
V a′ az
A
a″
W
X
ax
O
a
ay
H
Y
52
例3：已知点A、点B的两面投影，求第三面投影，再
以点A为基准点，标出两点的相对位置,并画出它们的 直观图。
53
54
二、特殊位置的点
1、落在投影面上的点
Z
a′
VA X
W O
b′
X
a
H
b B
Y
Z
a″
b″
O
Y
Y
55
2、落在投影轴上的点
有点 A（x、y、z），就有唯一确定 的投影图（a a′a″）。
画出A的投影图（a a′a″），也就 有唯一地确定该点 A（x、y、z）坐标值。
31
32
33
三面投影图点的投影规律
1、点的正面投影与水平投影连线垂直 于OX轴（a′a⊥OX），反映该点的X坐标值。
机械制图—第二章 点、直线和平面
§2-3 直线投影 例：过C点作直线与AB垂直相交。 分析：
AB为正平线, 正面投 影反映直角。
c c
●
.
d
b
●
a
d
b
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§2-3 直线投影 六、直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角 分析：过A点作AC∥ab，
V
b
B a
则得到直角三角形ABC。
ΔZ
X
A a
O
C
b H
在该三角形中AC＝ab， BC＝Bb－Aa＝ Δ Z Δ Z(A、B两点的Z坐标差)， 而∠BAC 即α 角， 斜边即AB实长。
投射中心 投射线
空间物体
投影 投影面
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§2-1 投影法的基本知识 二、投影法的分类
投影法有两类:中心投影法和平行投影法
中心投影法
平行投影法
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§2-1 投影法的基本知识 三、投影法的基本特性
1.中心投影法 投影特性：
投射中心、物体、 投影面三者之间的相 对距离对投影的大小 有影响，度量性较差。
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§2-3 直线投影 ⒉ 两直线相交
V c
b
k
a A a c C
b d K D d k a B a H
c
k
d
d c k b
b
特点：交点是两直线的共有点 判别方法： 若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间点的投影规律。
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§2-3 直线投影 例：过C点作水平线CD,且与AB相交。 分析: CD为水平线, 所以其正面投影平 行于OX轴,因此,先 作出CD的正面投影, 从而找到CD与AB交 点的正面投影。
机械制图-点、直线、平面的投影
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
机械制图教案点的投影
机械制图教案-点的投影教学目标：1. 理解点在空间中的位置及点的投影概念。
2. 掌握正投影和斜投影的原理及方法。
3. 学会使用投影作图，提高空间想象力。
教学重点：1. 点的正投影和斜投影。
2. 使用投影作图的方法。
教学难点：1. 点的投影作图技巧。
2. 空间想象能力的培养。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 投影仪。
3. 教学模型或挂图。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾前一课程内容，复习基本绘图技巧。
2. 提问：什么是制图？制图的基本要素是什么？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解点的概念：点在空间中的位置及特点。
2. 讲解点的正投影：正投影的定义、特点及作图方法。
3. 讲解点的斜投影：斜投影的定义、特点及作图方法。
三、实例讲解与练习（15分钟）1. 通过实例讲解点的正投影和斜投影的作图方法。
2. 让学生跟随老师一起完成实例练习，巩固所学知识。
四、课堂互动（10分钟）1. 提问：请同学们举例说明点的正投影和斜投影在实际应用中的作用。
2. 邀请学生上台演示点的投影作图，并给予评价和指导。
五、课后作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，要求学生独立完成点的正投影和斜投影的作图练习。
2. 提醒学生在完成作业时注意画图的准确性和规范性。
教学反思：本节课通过讲解和实例练习，使学生掌握了点的正投影和斜投影的作图方法。
在课堂互动环节，学生积极参与，提高了课堂氛围。
但部分学生在实际操作中仍存在一定的困难，需要在课后加强练习和指导。
在的课程中，将继续讲解点的投影作图技巧，并加强学生的实践操作训练。
六、投影变换教学目标：1. 理解投影变换的概念及作用。
2. 掌握投影变换的方法和技巧。
3. 学会应用投影变换解决实际问题。
教学重点：1. 投影变换的方法。
教学难点：1. 投影变换的技巧。
2. 应用投影变换解决实际问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 投影仪。
3. 教学模型或挂图。
教学过程：1. 复习上节课的内容，提问：什么是点的投影？点的投影有哪些类型？2. 讲解投影变换的概念：投影变换的定义、作用及方法。
机械制图中点的两面投影
06
总结与展望
总结
投影原理
点的两面投影是指将一个点在两个相互垂直的投影面上进行投影，得到该点的两个投影。 在机械制图中，这种投影方法广泛应用于表达物体的形状和尺寸。
投影特性
点的两面投影具有“长对正、高平齐、宽相等”的特性，即点的水平投影长度等于其实 际长度，垂直投影高度等于其实际高度，而宽度则由投影面的间距决定。
机械制图中点的两面投影
• 引言 • 点在两平面上的投影 • 点在两平面上的投影特性 • 点的两面投影与空间位置关系 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
主题简介
点的两面投影
在机械制图中，一个点在两个互 相垂直的投影面上分别得到的投 影称为该点的两面投影。
投影面
通常选择两个互相垂直的平面作 为投影面，分别为正立投影面和 水平投影面。
投影方式改进
虽然点的两面投影在实际应用中存在一些局限性，如难以表达复杂的三维形状，但随着投影方式的不断改进，未来可 能会发展出更加准确、直观的投影方法，以更好地满足实际需求。
学科交叉融合
随着各学科之间的交叉融合，点的两面投影可能会与其他领域的技术相结合，如虚拟现实、增强现实等， 为投影技术的发展带来新的机遇和挑战。
点的投影特性
点在两平面上的投影具有真实性、积聚性和类似性的特性。真实性是指点的投影 是真实存在的，积聚性是指点在某一平面上的投影会积聚在该平面的边界上，类 似性是指点在两平面上的投影形状相同但大小可能不同。
点在两平面上的投影作图方法
坐标法
通过建立坐标系，利用坐标值计算点 的投影位置，适用于复杂图形中点的 定位。
辅助线法
综合法
结合坐标法和辅助线法，根据具体情 况选择合适的方法来确定点的投影位 置，适用于复杂图形中点的定位。
机械制图中点的三面投影
机械制图中点的三面投影在机械制图中，点是最基本的图形元素，通过点可以确定各种形状的位置和大小，因此在制图中点的表示和投影都是非常重要的。
点的三面投影指的是在三个不同的投影面上分别投影同一个点的投影形象，包括正投影、侧投影和俯视投影。
本篇文章将详细介绍机械制图中点的三面投影。
正投影正投影是指将物体投影在垂直于投影平面的平面上所得到的投影图形。
在机械制图中，正投影一般采用前视图表示。
当要投影点的时候，因为点没有大小，所以可以将点看作是一条不可见线段，使其垂直于投影平面进行投影。
在前视图上，点的投影形象为一个点（因为点的大小为零）。
下图是一个点在前视图中的投影示意图：＋————＋| ● |＋————＋在投影图中，点的位置由表示该点在三维坐标系中的坐标确定。
侧投影侧投影是指将物体投影在平行于一个主投影面的平面上所得到的投影图形。
在机械制图中，侧投影一般采用左视图或右视图表示。
当要投影点的时候，将其垂直于投影平面进行投影。
在左视图上，点的投影形象为一个点（因为点的大小为零）。
下图是一个点在左视图中的投影示意图：|●|在侧投影图中，点的位置同样由表示该点在三维坐标系中的坐标确定。
俯视投影俯视投影是指将物体从上方向下投影所得到的投影图形。
在机械制图中，俯视投影一般采用上视图表示。
当要投影点的时候，将其垂直于投影平面进行投影。
在上视图上，点的投影形象为一个点（因为点的大小为零）。
下图是一个点在上视图中的投影示意图：＋—● ——＋| |＋————＋在俯视投影图中，点的位置同样由表示该点在三维坐标系中的坐标确定。
小结以上就是机械制图中点的三面投影的介绍，通过正投影、侧投影和俯视投影，可以确定一个点在三维空间中的准确位置。
在实际的机械制图中，点不仅仅是简单的点，还可以是各种图形的交点、圆心等，因此在制图中充分掌握点的三面投影是十分必要的。
《机械制图》第二章 点的投影
β γ
YH
投影特性: • 在平面垂直的投影面上，投影积聚为一直线。该
直线与相邻投影轴的夹角反映该平面对另两个投 影面的倾角。 • 在另外两个投影面上的投影均为类似形
回节目录
各种投影面垂直面
名称
铅垂面
直 观 图
正垂面
侧垂面
投
γ
α
影
图
β
γ
β α
投
1.水平投影积聚成与X轴倾斜的直 1.正面投影积聚成与X轴倾斜的直 1.侧面投影积聚成与Z轴倾斜的直
1.一般位置直线
由一般位置的两点连线构成。 该直线与三个投影面都倾斜。
β
γ
YW
α
Y YH
投影特性: 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接
反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。
回节目录
二、特殊位置直线及特性
1.投影面平行线
由两点到一个投影面距离相等时的两 点连线构成。该直线平行于某一投影 面，对另外两个投影面都倾斜。
目前国际上使用着两种投影面体系，即第一分角和第三分角。我 国采用的是第一分角画法。
回节目录
1.三投影面体系 ⑴ 三个投影面
●正立投影面 —— 简称正面，用字母V表示。 物体在V面上的正投影图称为主视图。 ●水平投影面 —— 简称水平面，用字母H表示。 物体在H面上的正投影图称为俯视图。 ●侧立投影面 —— 简称侧面，用字母W表示。 物体在W面上的正投影图称为左视图。
第二章 点的投影
§2-1 投影法概述 §2-2 点的投影
回节目录
§2-1 投影法概述
一、投影法
投影面
P
a
A
S
投影 投射线
投射中心
《机械制图》点的三面投影
MECHANICAL DRAWING
点的投影 二、点的三面投影
1
三投影面体系的建立
2
点的三面投影
3
点的三面投影规律
4 由点的两面投影求第三投影
2
点的投影
1. 三投影面体系的建立
Z
O
Y
三投影面体系是在两投影面体系的基础上，加上一个与H面、V面都垂直的侧立投影面W（简称侧面）所组成。三个投 影面互相垂直相交，它们的交线称为投影轴。V面和H面的交线称为OX轴，H面和W面的交线称为OY轴，V面和W面的交线称 为OZ轴。三个投影轴互相垂直相交于一点O，称为原点,
a
X
ax
a
6
Z a z a
O
YW
ay
ay
YH
a a z
A ax
a
a
ay
aa X轴， a a Z轴， a a z = a ay a ax =aa y a ax = a a z
点的投影
二、点的三面投影
4、由点的两面投影求第三投影
例1：已知点A的正面与侧面投
a
影，求点A的水平投影。
X
Z a
O
YW
a
YH
规定，不可见点的重合投影加一 圆括号。
点的投影Za’Fra bibliotek例.点A在水平面上的投影可见。
b’
X
O
a” b”
YW
a(b)
YH
17
谢谢观看
Thanks for looking
7
点的投影
二、点的三面投影
Z
4、由点的两面投影求第三投影
例2.已知点A的正面与水
a
a
平面投影，求点A的侧面
机械制图 点的投影
第二章点的投影教学内容：点的投影[教学目的]1. 掌握点在三面体系中的投影规律，以及由点的两投影求作第三投影的基本要领2. 掌握根据点的投影判断其空间位置的方法3. 掌握各种位置直线的投影特征[教学内容特点分析]直线的投影是图示与图解的基础，而直线又是由点所决定，本节主要研究点的投影，点的投影与坐标的关系及空间点的相对位置，以及直线在三面体系中所处的各种位置及其投影特性。
重点要掌握点在三面体系中的投影规律；直线对投影面所处相对位置的投影特性是线、面分析的重要依据，必须要好好掌握。
[授课提纲]一、点的投影1. 点在单面体系中的投影分析后指出：在给定一个投影面条件下空间点具有唯一的投影。
反之，若已知点的一个投影，是无法确定该点的空间位置（在直观图上进行分析后，用增加投影面的方法解决）2 .点在两面体系中的投影①在上面直观图上增补画出二面体系② 介绍两面体系的有关名词及点的投影表示法③ 点在二面体系中的投影分析④ 展开画出点在二面体系中的投影图⑤ 根据直观图及投影图导出点在二面体系中的投影规律：作文字说明（此略）3. 点在三面体系中的投影① 在二面体系中的直观图上补画出侧立面构成点在三面体系的直观图② 作三面体系中的名词、术语介绍及点的投影表示法。
③ 展开画出点在三面体系的投影图④ 根据直观图及投影图分析，导出点在三面体系中的投影规律，把三面体系看成两个二面体系构成。
由得出：a a′⊥oxa′ax=Aaa ax=Aa′ a a′⊥ox由V/W得出a′a″⊥oz a′a″⊥oz 作文字说明（此略）a′ax=Aa″ a ax=a″aza″az=Aa′⑤ 点在三面体系中的投影规律的应用（举例）例一：已知A点的正面投影a′和侧面投影a″，求作其水平投影。
1. 分析2. 作图（过程在讲课中进行）二、点的投影与直角坐标（利用点在三面体系中的直观图讲解）1. 引入笛卡尔坐标系（说明）2. 空间点上标出坐标值（x、y、z）（在直观图上进行）3. 直观图上导出：Aa″ =aaz=aay=oax=xAa′=aax=a″az=oay=y 显然，点A（x、y、z）的每个投影由其两个坐标决定，Aa= a′ax=a″ay=oaz=z即a′由（x、z）； a由(x、y)；a″由(y、z)决定。
画法几何及机械制图 第二章 点、直线和平面的投影
a
定比作图方法
c
b
§2－2 直线的投影
例2 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
b Z
b
V
b
c a C B
X
A
O
a
X
a
a
O
a
c YW
a
c Hb
c b
YH
§2－2 直线的投影
例3. 在直线AB上取一点C, 使AC = L，求点C的两投影。
b c
a
L
b c
a
a
X
a
b
L
c
ZAB
O
b
c
ZAB
b0
L
c0
平面对 投影面的倾 角、、
二、各种位置平面的投影特性
§2－3 平面的投影
投影面垂直面： 垂直于一个、倾斜 于另两个投影面的 平面
V面—正垂面 H面—铅垂面 W面—侧垂面
特殊位 置平面
投影面平行面： 平行于一个、同时 垂直于另两个投影 面的平面
V面—正平面 H面—水平面 W面—侧平面
投影面倾斜面： 对三个投影面都倾 斜的平面
c b
X
b O c
YW
当两直线均为
b
一般位置直线时， c
若有两个同面投影 满足上述条件，则 空间两直线相交。
d
a
YH
§2－2 直线的投影
3. 交叉两直线
既不平行又不相交的两直线
b
1(2 )
d
c
a
Ⅱ
2 Ⅰd
c
b
a1
b d
1(2 )
c
X a
O
d
c
a
机械制图-点直线平面的投影
投
1. ab∥OX
影
a″b″∥OZ
特
2. a′b′=AB 3. 反映α、γ倾角
性
βγ
1. c′d′∥ OX c″d″∥OYW
2. cd=CD 3. 反映β、γ倾角
β α
1.e′f′∥OZ ef∥OY H
2. e″f″=EF 3. 反映α、β倾角
2.投影面垂直线
由两点到两个投影面距离相等时的两 点连线构成。该直线垂直于某一投影 面，对另外两个投影面都平行 。
§2-4 平面的投影
一、平面投影的表示法
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
这几种确定平面的方法是可以相互转化的
路漫漫其悠远
二、一般位置平面及投影特性
一般位置平面:平面与三个投影面都倾斜
YW
投影特性:投影均为类似形。
路漫漫其悠远
三、特殊位置平面及投影特性
1.投影面垂直面 垂直于一个投影面，与另外两个投影
路漫漫其悠远
1.cd积聚成一点 2.c′d′⊥OX
c″d″⊥OYW 3.c′d′=c″d″=CD
1.e″f″积聚成一点 2.ef⊥OYH
e′f′⊥OZ
3.ef=e′f′=EF
△
三、一般位置直线求实长及倾角
△
实长
α β α
△ α
实长
直角三角形法的作图要领: • 以线段某一投影的长度为一直角边；
• 以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一 直角边（坐标差在另一投影面上量取）；
路漫漫其悠远
五、两直线的相对位置
1.一般情况
两直线平行： 其同面投影彼此平行。且投影线段成比例，投 影顺序相同。
路漫漫其悠远
机械制图中点的三面投影讲解学习
Z
Y 相等的其它作图方法：
b’
b’’
作45° 辅助线， 使y 相等。
X
O
YW
45°
画圆弧，使y
相等。
b YH
§2-3 点的三面投影
正方形的各边相等
本节结束
§2-3 点的三面投影
90°
aX
O a”
X
aYW
O
Yw
a
90°
aY Y
a
aYH YH
§2-3 点的三面投影
二、点的投影与点的坐标的关系
1.投影面与坐标面的对应关系 2.点的投影与直角坐标的一一对应关系
ZH 面—— XOY 坐标面 W 面——YOZ 坐标面
X aX
A a
O a” aY
§2-3 点的三面投影
一、三投影面系形成和点的投影特性 二、点的投影与坐标的关系 三、点的投影作图
§2-3 点的三面投影
一、三投影面系形成的条件和点的投影特性
1.三面投影体系
Z
V
有关规定
W 面——侧立投影面 Ｙ 轴——H、Ｗ 面的交线 Z 轴——V、Ｗ 面的交线
X
O
Y
V 、H、W 投影面应两两相互垂直
Z
作图步骤：
a’
a’’
1.画坐标轴；
10 mm
20 mm
2.求作点的投影； 3.整理作图线。
X ax
O
15 mm
10mm YW
a
aYH
YH
§2-3 点的三面投影
三、点的投影作图
例1 已知点A (15 ,10 ,20 )，求作点A 的三面投影。
Z
作图步骤：
a’
a’’
机械制图 点的投影
点、直线、平面的投影一、点的投影点的投影规律：（1）点的正面投影和水平面投影的连线一定垂直于OX 轴，即aa ˊ⊥OX ；（2）点的正面投影和侧面投影的连线一定垂直OZ 轴，即a ＇a 〞⊥OZ;（3）点的水平面投影到OX 轴的距离等于点的侧面投影到OZ 轴的距离，即x z aa a a ''=。
点的投影永远是点。
点本身没有长、宽、高，但是，点在三投影面体系中的投影规律，实质上与上节所述的“三等”对应关系是一致的，几何体上的每一个点的投影都符合这条投影规律。
二、点的坐标点到W 面（侧面）的距离，以坐标x 标记，x 坐标确定左右位置。
点到V 面（正面）的距离，以坐标y 标记，y 坐标确定前后位置。
点到H 面（水平面）的距离，以坐标z 坐标标记，z 坐标确定上下位置。
如图点A （20,15,25），即表示点A 的x 坐标为20mm ，y 坐标为15mm ，z 坐标为25mm ，且A 点距离W 面20mm ，距离V 面距离15mm ，距H 面25mm 。
由此判断：点的空间位置是由三个坐标值或者由点的任意两面投影确定。
四、点的三面投影1、点的标记空间点用大写字母或者罗马数字表示，如A,B,C,D, Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， 投影用小写字母或者阿拉伯数字表示正面投影加一撇，如：a ,b ,c ,d ,1,2,3,4''''''''侧面投影加两撇，如：a '',,1,2,3b c ''''''''''水平投影不加撇，如：a ，b ，c ，1,2,3，2、点的投影与坐标的关系如图所示，空间点的任一面投影，均由该点的两个坐标确定。
如()()(),,,,,a x z a y z a x y '''表示。
因此，根据点的投影规律，知道点的任两面投影，第三面投影均可求。
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第三讲点的投影（50 分钟）
（一）教学内容：1．点在两投影面体系中的投影
2. 点在三投影面体系中的投影
3. 两点的相对位置和重影点
（二）目的与要求1．掌握点在三投影面体系中的投影规律以及由点的两投影
求作第三投影的要领；
2．掌握根据点的投影，判断其空间位置（包括两点的相对位置）的方法。
（三）讲课提纲及其说明
一、点在两投影面体系中的投影（15 分钟）
1、投影面体系的建立
如图1 所示，设立互相垂直的两个投影面，正立投影面（简称正面）
V 和水平投影面（简称水平面）H ，构成两投影面体系。
两投影面体系将空间划分为四个分角。
本书只讲述物体在第一分角的投影。
V 面和H 面的交线称为投影轴OX。
2. 点的两面投影
如图1 （a）所示，由空间点A作垂直于V面、H面的投射线Aa'、
Aa，分别与V面、H面相交，交点即为A的正面投影（V面投影）a‘和水平投影（H面投影）a,即点A的两面投影。
空间点用大写字母如A、B、C、…表示，其水平投影用相应的小写字母如a、b、c、…表示，正面投影用相应的小写字母加一撇如a' b ' c'… 表示。
为使点的两面投影画在同一平面上，需将投影面展开。
展开时V面保
持不动，将H面绕0X轴向下旋转90 °，与V面展成一个平面，便得到点A的两面投影图，如图1(b)所示。
投影图上的细实线aa '称为投影连线。
在实际画图时，不必画出投影面的边框和点a x,图1(c)即为点A的投影图。
3. 点的两面投影规律
空间三点A、a'、a构成一个平面，由于平面Aa a分别与V面，H面垂直，所以这三个相互垂直的平面必定交于一点a x，且a x a'QX、aa x丄OX。
当H面与V面展平后，a、a x、a'三点必共线，即aa '_OX。
又因Aaa x a '是矩形，所以a x a'=Aa , a x a=Aa '。
亦即：点A的V面投影a'与投影轴OX的距离，等于点A与H面的距离；点A的H面投影a 与投影轴0X的距离，等于点A与V面的距离。
由此可得出点的两面投影规律：
（1）点的两面投影连线垂直于投影轴，即aa'QX。
（2）点的投影到投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离，即：
a x a -Aa a x a=Aa '
以上内容属于讲稿。
对年青教师而言，可以把教案写得详细一些，写出讲稿
来。
对于老教师可以这样写：
对照直观图和投影图，在H和V两投影面体系内，讲述作点的正投
影的空间情况；分析其两个投影之间的几何关系及其在投影图上的投影；介绍点的投影名称及其在投影图上的符号。
从空间到平面，再从平面到空间。
总结出点在两投影面体系中的投影规律。
（注意演示）
二.点在三投影面体系中的投影（15 分钟）
1. 三投影面体系的建立
两面投影能确定点的空间位置，却不能充分表达立体的形状，所以需
采用三面投影图。
如图2（a）所示，再设立一个与V、H面都垂直的侧立投影面（简称侧面）W，形成三投影面体系。
它的三条投影轴OX、OY、OZ 必定互相垂直。
2. 点的三面投影
由空间点A分别作垂直于H、V、W面的投射线，其交点a、a'、a〃即为点A 的三面投影。
空间点的W面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a 〃、b 〃、…等, 如图2（a）所示。
投影面展开时，W面绕0Z轴向右旋转90 ° 和V面展成一个平面，得到三面投影图，如图2(b)所示。
0Y轴在H、W面上分别表示为OY H、OY W 同样，不必画出投影面的边框，如图2(c)所示。
3•点的三面投影规律
在三投影面体系中，Aaa x a'a z a 〃 a y O 构成一长方体，由于点在两 投影面
体系中的投影规律在三投影面体系中仍然适用，由此可得出如下关 系：aa '_OX 、a 'a 〃丄 OZ 、aa YH 丄OY H 、a 〃 a Yw 丄OY w 、aa x = a 〃 a z 。
若把三投影面体系看作直角坐标系，则投影轴、投影面、点
O 分别 是坐标轴、坐标面和原点。
则可得出点
A (x , y , z )的投影与其坐标的
关系: x=a z a 'aa YH =点A 到W 面的距离A a y=aa x =a z a 〃 =点A 至U V 面的
距离 A a z= a x a 丄a 〃 a Yw =点 A 至U H 面的距离 Aa
由此可得出点的三面投影规律:
（1） 点的投影连线垂直于相应的投影轴， 即aa'QX 、a'a 〃丄OZ
（2） 点的投影到投影轴的距离，等于该点的某一坐标值，也就是该
点到相应投影面的距离。
以上内容属于讲稿。
对年青教师而言，可以把教案写得详细一些，
写出讲稿来。
对于老教师可以这样写：
(a )
(b ) 图2 点在三投影面体系中的投影 (c )
对照直观图，增加W面，建立三投影面体系。
分析点在W面上的投影，与其他两个投影的几何关系，（特别是和H面投影的关系），及其在投影图上的投影；最后总结出点在三投影面体系中的投影规律。
注意从空间到平面。
从平面到空间的演示过程，从而树立点的空间概念。
（注意演示）
［例1］已知空间点A到三投影面W、V、H的距离分别为20、10、15 ,求作点A的三面投影
（a）（b）（c）
图3 作点的三面投影
［解］:画投影轴，根据点到投影面的距离与坐标值的对应关系，先作
点A（20，10, 15 ）的两面投影：在X轴上量取20,定出点a x,如图
4(a)所示；过点a x作0X轴的垂线，自a x顺OY H方向量取10,作出点A的水平投影a,顺OZ轴方向在垂线上量取15,作出点A的正面投影a；如图3(b)所示。
据点的投影规律，作出点A的第三面投影a 〃。
按a'a 〃丄OZ ,过a ；作OZ轴的垂线，交点为a z,并量取a z a 〃 =aa x，得到a 〃。
也可通过45 °分角线确定a 〃 ,如图3(c)所示。
以上还是讲稿。
主要解决已知点的坐标，如何作点的投影图。
三•两点的相对位置和重影点(15分钟)
1 .两点的相对位置
如图4所示，空间两点的投影不仅反映了各点对投影面的位置，也反
映了两点之间左右、前后、上下的相对位置。
由图可以看出，X B>X A,故点
B在点A之左，同理，点B在点A之后(y A>y B)、之下(Z B < Z A )。
因此, 也可用两点的坐标差来确定点的位置。
如图5所示，点A位于点B的正上方，即X A=X B, y A=y B,Z A>Z B,
重影点
A、B两点在同一条H面的投射线上，故它们的水平投影重合于一点a（b）, 则称点A、B为对H面的重影点。
同理，位于同一条V面投射线上的两点称为对V面的重影点；位于同一条W面投射线上的两点称为对W面的重影点。
两点重影，必有一点被“遮盖”，故有可见与不可见之分。
因为点A 在点B 之上（Z A>Z B）,它们在H面上重影时，点A投影a为可见，点B 投影b为不可见，并用括号将b括起来，以示区别。
同理，如两点在V 面上重影，则y坐标值大的点其投影为可见点；在W面上重影，则x坐标值大的点其投影为可见点。
教案：掌握点的相对位置在投影图上的投影，对看图和画图都很重要。
讲述过程可以用坐标的概念，还应形象的利用上、下、左、右、前、后的位置关系。
用讨论的方式讲述如何根据投影图判断空间两点的相对位置。
重影点。
主要讲重影点的意义和投影符号（可采用讨论方式）
总结布置作业（5分钟）
（四）重点与难点
重点：点的投影规律
难点：重影点
（五）教学方法与手段
1. 讲授与多媒体教学相结合。
2. 充分利用模型演示
（六）参考书与作业：
教材P45 ~ 50，习题集2—2 点的投影。
（七）课后小结点的问题很重要，要给予足够的重视。
后面讲到很多问题，都与
点有直接的关系。