武汉大学《线性代数》04 第四章

证： " " 1, 2 , 3 线性无关。 设 Kx = 0 ，其中 x ( x1, x2 , x3 )
则 x11 x22 x33 (1, 2 , 3 ) x
(1,2 ,3 )Kx = 0
故 x = 0 ，即 Kx = 0 只有零解，于是 R(K) = 3
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" " R(K ) 3 设 x11 x22 x33 0 ，x ( x1, x2 , x3 ) 则 (1,2 ,3 )Kx (1, 2 , 3 ) x
a2n
amn
x1
x
x2 xn
b1
b
b2 bm
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a1 j
若
A
1,2 ,L
,n ,
其中
j
a2 j
amj
则方程组的向量表示为
x11 x22 L xnn b
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定理1: 向量 b可由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示
7 1 3 5 4
2
1
1
3
2
1 5 1 7 1
11
8
4
0
11
1 5 1 7 1
2
1
1
3
2
7 1 3 5 4
11
8
4
0
11
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36
1 5 1 7 1
0
9
1
11
0
0 36 4 44 3
0
63
7
77
0
1
0
0
0
R( A) 3
5 1 7 1
定理5-3：向量组 A :1,2 ,L ,m 线性无关, 向量组 B :1,2 ,L ,m ,b 线性相关,
则 b 能由向量组A线性表示，且表示式唯一.
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例4：已知向量 1,2 ,3 线性无关，向量 1, 2 , 3 可以由向量1,2 ,3 线性表示，并且
(1, 2 , 3 ) (1,2 ,3 )K 证明： 1, 2 , 3 线性无关的充要条件是 R(K) = 3
称为 R3 中的一个平面。
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4
例. n 维向量的全体所组成的集合
R n { ( x1, x2 , , xn )T | x1, x2 , , xn R }
称为 n 维Euclid空间。 集合
{ ( x1, x2 , , xn )T | a1x1 a2 x2 an xn b }
0 0
102
系数行列式 1 2 4 0
157
齐次线性方程组有非零解，所以向量 1,2 ,3 线性相关 向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
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例3: n维向量
e1 1,0, ,0 ,e2 0,1, ,0 , ,en 0,0, ,1
讨论它们的线性相关性.
解: E e1,e2,L ,en
称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面。
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5
例. 非齐次线性方程组 Ax b 的解集合 S {x | Ax b}
齐次线性方程组 Ax 0 的解集合
S {x | Ax 0}
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同一维数的列向量 (或行向量) 所组成的集合 称为向量组。
m×n 阵 A 的 列向量组:
20
例2: 已知 :1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) 试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
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解：设 x11 x22 x33 0
1 0 2 0
即
x1
1 1
x2
2 5
x3
4 7
A
0
2
1
4
0 0 0 5
0
0
0
0
矩阵A 的行向量组是
1T
(1,1, 3,1),
T 2
(0, 2, 1, 4)，
T 3
(0,
0,
0,
5)，
T 4
(0, 0, 0, 0)
可以验证，
是一个最大无关组，
所以矩阵A的行向量组秩为3。
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32
矩阵A的列向量组是
1 1 3 1
1
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A (1,2 ,L ,m ), B (1, 2,L , l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
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§2 向量组的线性相关性
定义4：设向量组 A :1 ,2 ,L ,m , 若存在不全为零实数 1 , 2 ,L , m , 使得 11 22 L mm 0
Ax b 有解，其中 A (1,2,L ,m ) R( A) R( A,b)
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定义3: 设向量组 A :1,2 ,L ,m 及 B : 1, 2 ,L , l
若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。
若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示， 则称向量组 A 与向量组 B 等价。
0 1 2 0 2 5
0
0
1
1
3
2
0 0 3 3 4 1
0 0
0 0
0 0
0 0
13 1
13 1
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40
0 1 0 2 0 1
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A :1,2 ,L ,m B : 1, 2 ,L , l B 能由 A 线性表示 j k1 j1 k2 j2 L kl jl j 1, 2,L , l
(1, , l ) (k111 km1m , , k1l1 kmlm )
k11
(1, ,m )
第四章 向量组的线性相关性
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1
§1 向量组及其线性组合
定义1：n 个数 a1 , a2 , , an 所组成的有序数组
称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量 的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。
这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。
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2
a1
行向量组:
A (a1, a2 , , an )
1T
A
T 2
T m
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定义2：设向量组 A :1,2 ,L ,m , 及一组实数
k1, k2 ,L , km , 表达式
k11 k22 L kmm
称为向量组 A的一个线性组合， k1, k2 ,L , km 称为线性组合的系数。
0 0
,
2
2 0
,
3
1 0
,
4
4
5
0
0
0
0
可以验证 1, 2 , 4 是一个最大无关组
所以矩阵A的列秩是3。
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定理：矩阵的秩 = 矩阵的行向量组的秩 = 矩阵的列向量组的秩
向量组 A :1,2 ,L ,m 的秩也记作 R(1,2 ,L ,m )
9
1
11
0
0 0 0 3
00
0
0
1,2 ,5 是一个最大无关组。
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注意：两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一 个线性表示，则这两个向量组等价。
1 0 1
例如：
向量组
1
0 0
,
2
1 0
,
3
1 0
的秩为2。
0 0 0
向量组
1
a2
M
(a1 ,
a2 L
an )T
称为列向量。
an
(a1,a2,L ,an ) 称为行向量。
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3
例. 3 维向量的全体所组成的集合 R3 { ( x, y, z)T | x, y, z R }
通常称为 3 维Euclid几何空间。 集合
{ ( x, y, z)T | ax by cz d }
那么称部分组 A0 为向量组 A的一个最大线性无关组， 简称最大无关组, r 称为向量组 A的秩，记作RA
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1 0 1
例如：在向量组
1
0 0
,
2
1 0
,
3
1 0
中，
首先 1,2 线性无关，又 1,2 ,3 线性相关， 所以 1,2 是一个极大无关组。 还可以验证 2 , 3 也是一个极大无关组。
2 1
,
a3
1 2
,
b
3 3
则 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示.
解方程组 x1a1 x2a2 x3a3 b
即解方程组
2 x1 x1 2
x2 x2
x3 x3
0 3
x1 x2 2 x3 3
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得
x1 1 1
x2 x3
c
x11 x22 x33 = 0 又 1,2,3 线性无关，
故 Kx = 0 ，而 R(K) = 3，于是 x = 0 ，
即 1, 2, 3 线性无关
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例5：已知向量 1,2 ,3 线性无关， 证明：向量 1 1 2 , 2 2 3 , 3 1 3
线性无关。
1 0 1
证：
因 (1,2,3)
(1
,
2
,
3
)
1 0
1 1
0 1
1 0 1
R
1 0
1 1
0 1
3
故 1, 2 , 3 线性无关。
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§3 向量组的秩
定义1:
设 A为一个向量组，A的部分组 A0 :1,2,L ,r 满足： （i） A0 :1,2 ,L ,r 线性无关,
（ii）A中任意r+1个向量都线性相关.
km1
k1l kml
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定理2: 向量组 B : 1, 2 ,L , l 能由 A :1,2 ,L ,m
线性表示
AX B 有解，其中 A (1,2,L ,m )
R( A) R( A, B)
B (1, 2 ,L , l )
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定理3: 向量组 B : 1, 2 ,L , l 能由 A :1,2 ,L ,m
0 1
,
2
1 0
,
3
1 1
的秩为2。
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0 0 0 0 1 1
0
1
202
5
例2 ：求矩阵 A 0 2 5 1 1 8
0
0
3 3
4
1
0 3 6 0 7 2
的列向量组的一个最大无关组，并把其余的向量用
这个最大无关组线性表示。
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解: A (1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 )
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注: （1）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为0 。
（2）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。 （3）向量组的最大无关组一般不是唯一的。 （4）向量组 A能由A0线性表示。 （5）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。
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1 1 3 1
例：设矩阵
结论: 线性无关
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
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一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
(4) 向量组线性相关当且仅当向量组中至少有一
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
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定理4: n 维向量组 1 , 2 , , m 线性相关
பைடு நூலகம்
Ax
0
有非零解,其中A
R( A) m
1 , 2 ,
, m
n 维向量组 1 , 2 , , m 线性无关
Ax
0
只有零解, 其中A
1,2 ,L
,m
R( A) m
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1 1
2 0
所以，b a1 2a2
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11
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1
a
21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
a11 a12
记
A
a21 am1
a22 am2
a1n
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定义2：设向量组 A :1,2 ,L ,m , 和向量 b 若存在一组实数 1,2 ,L m , 使得 b 11 22 L mm
则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合， 或称向量 b 能由向量组 A 线性表示。
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例如： 2
1
1 0
a1
1 1
,
a2
个向量可由其余向量线性表示。
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定理5-1：若向量组 A :1,2 ,L ,m 线性相关， 则向量组 B :1,2 ,L ,m ,m1 也线性相关。
推论：若向量组 B :1,2 ,L ,m ,m1 线性无关， 则向量组 A :1,2 ,L ,m 也线性无关。
定理5-2：m个n维向量(m > n)构成的向量组一定线性相关. 特别地, n+1个n维向量线性相关.
注：初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关 系
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例：向量组
1 (7, 2,1, 11) , 2 (1, 1,5,8) 3 (3,1, 1,4) , 4 (5, 3, 7,0) , 5 (4, 2,1, 11)
求向量组的秩和一个最大无关组。
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解： A (1, 2 , 3 , 4 , 5 )