传染病的传播和隔离措施

传染病的传播和隔离措施

摘要

传染病由病毒导致，具有很强的传播性，若不加以控制，后果将十分严重。本文通过对传染病传播人数变化建立模型，就相关问题进行了解答。

针对问题一、问题二以及问题三，利用题目给出的条件，通过计算传播病毒人数，建立递归数学模型，经计算得到发病第11、12、13日需要隔离的人数分别为7951213、33542029、134660890，病毒携带者的人数分别为33912837、240977916、1453135464，这3天发病者人数分别为719604、684612、7022781。

针对问题四，通过改变隔离的时间寻找最优解，得到提前五天时隔离的方法最好，即需控制的人数以及需要控制的时间最少。

在文章的最后，分析了模型的优缺点，给出了模型的若干推广。

关键字：传染病隔离递归方程最优解

1 问题重述

某传染病由一种病毒导致，凡感染此病毒者必然导致发病。现作如下假设：

（1）患者在感染该种病毒至发病期间称为病毒携带者，此段时期称为该病的潜伏期。设当天感染此病毒的病毒携带者不会将病毒传染给他人，次日称为潜伏期第一日。设该病潜伏期为2天，潜伏期至发病当天该患者可将病毒传染给他人。凡与之亲密接触者均可能携带上该病毒，其可能性为100%。（2）设病毒携带者平均每天与3人亲密接触。（3）该病毒在某一个人身上最先发现。从该患者发病当日(第1日)算起至第10日决定采取隔离措施以阻断传播途径；第11日起，凡与该种病患者（发病当日算起3日内）有过亲密接触者均隔离，隔离时期均为3天。试计算：

1、第11、1

2、13日需要隔离的人数（含前日已隔离者）。

2、第11日起（含）病毒携带者的人数。

3、第11日起（含）未来三天每天发病者人数。

4、有没有更好的隔离方法？如有，请说明方法及根据。

5、假设潜伏期为2到3天，且服从分布为

与病毒携带者亲密接触者人数服从参数为的泊松分布，与之接触者染上病毒概率为0.50。

2 问题分析

分析题目可得到以下信息，当该病毒在某一个人身上最先发现时，此人已为病毒携带者，在当天他不会向任何人传播病毒。在第二天，也就是病毒潜伏期的第一天，他会与3人左右亲密接触，而使其携带病毒，但他们不会向其他人传播病毒，此时共有4人携带病毒。在第三天，这4名病毒携带者平均每人接触3人，因此又会有12人感染病毒。第四天，最先发现携带病毒者会发作，即为发作的第1 日，以后他将不再传染给其他人。以后的情况以此类推。由于在发病

3=λ

第11日时以后开始采取隔离措施，患病人数将发生变化。

对问题（1），求发病第11、12和13日需要隔离的人数，可根据传染病传播的规律，计算出感染此病、处于潜伏期以及发作期的患者数目，通过递归的方法求出发病第11、12和13日需要隔离的人数。

对问题（2）和（3）求解发病第11、12和13日病毒携带者和每天感染病毒的人数，可用类似的方法进行求解。

传染病发展方式

3 符号约定

4 模型假设

（1）设当天感染此病毒的病毒携带者不会将病毒传染给他人，次日称为潜伏期第一日。

（2）设该病潜伏期为2天，潜伏期至发病当天该患者可将病毒传染给他人。凡与之亲密接触者均可能携带上该病毒，其可能性为100%。

（3）该病毒由一个人开始传播。

（4）发病者在被隔离的当天不传染给任何人。

（5）传染时每一个处于潜伏期或者发病期的患者，接触人员没有交叉。

（6）发病者不会痊愈。

（7）被隔离者仍会发病且为病毒携带者。

（8）在统计期间没有病毒携带者死亡。

（9）设病毒携带者平均每天与3人亲密接触且不会重复接触。

（10）从第11天开始隔离，隔离所以与病患接触过的人员，包括前10天发病者接触的人。

5模型的建立和求解

5.1 模型的分析

分析题目可得到以下信息，当该病毒在某一个人身上最先发现时，此人已为病毒携带者，在当天他不会向任何人传播病毒。在第二天，也就是病毒潜伏期的第一天，他会与3人亲密接触，而使其携带病毒，但他们不会向其他人传播病毒，此时共有4人携带病毒。在第三天，这4名病毒携带者平均每人接触3人，因此又会有12人感染病毒。第四天，最先发现携带病毒者会发作，即为发作的第1 日，以后他将不再传染给其他人。以后的情况以此类推，可通过递归的方法进行求解。由于在发病第11日时以后开始对与患者有过亲密接触的人采取隔离措施，患病人数将发生变化。本文将分阶段进行讨论。

5.2 模型的建立

（1）根据以上分析，可得到发病的前10天处于各种阶段的患者人数：

t-天处于潜伏期第二天的患者，那么有第t天发病的人数是1

()()1

=-。

a t

b t

t-天处于潜伏期第一天的患者，那么有第t天处于潜伏期第二天的患者是1

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=-。

b t d t

t-天处于被感染当天的患者，那么有第t天处于潜伏期第一天的患者是1

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=-。

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e t

第t天处于被感染当天的患者数为发病当天、处于潜伏期第一天和第二天的患者所传染的总人数，那么有

()()()()

e t a t a t d t

=++。

333

第t天携带病毒的患者总数为该天刚被传染的患者、处于潜伏期第一天第二天的患者的人数总和，那么有

()()()()

=++。

p t b t d t e t

（2）发病10天后处于各种阶段的患者人数：

发病10天后，开始进行隔离，患病人数的组成将发生变化。因此，第t天发t-天处于潜伏期第二天的患者，那么有

病的人数是1

()()1

=-。

a t

b t

t-天处于潜伏期第一天的患者，那么有第t天处于潜伏期第二天的患者是1

()()1

b t d t

=-。

t-天处于被感染当天的患者，那么有第t天处于潜伏期第一天的患者是1

()()1

=-。

d t

e t

第t天处于被感染当天的患者数为发病当天、处于潜伏期第一天和第二天的患者所传染的总人数与前3天被隔离患者能传染的人数之差，那么有

()()()()()()()

=++------。

e t a t b t d t a t a t a t

313233

第t天携带病毒的患者总数为该天刚被传染的患者、处于潜伏期第一天第二天的患者以及t天来发病者的人数总和，那么有

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=++。

p t b t d t e t

第t天隔离的病患者为

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=+-

61

h t a t h t

5.3 模型的求解

t≤时，患者数目有以下关系：

通过以上分析知道，当10