高中数学小题满分练(一)

小题提速练(一)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]

D ．[－1，2)

解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则∁R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(2，5]，故选B.

2．如果复数m 2＋i

1＋m i 是纯虚数，那么实数m 等于( )

A ．－1

B ．0

C ．0或1

D ．0或－1

通解：选D.m 2＋i

1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）

（1＋m i ）（1－m i ）

＝m 2＋m ＋（1－m 3）i 1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩

⎪⎨⎪⎧m 2

＋m ＝0，

1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D.

优解：设m 2＋i

1＋m i

＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以

⎩⎪⎨⎪⎧－mb ＝m 2

，b ＝1，

解得m ＝－1或0，故选D. 3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )

A ．3

B ．4

C ．6

D ．8

通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.

优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.

4．若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率

为( )

A.73

B ．54

C.43

D ．53

解析：选D.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为y ＝±b

a x ，所以根据一条渐近

线经过点(3，－4)，可知3b ＝4a ∴b a ＝4

3

.∴e ＝

1＋⎝⎛⎭⎫

b a 2

＝

1＋⎝⎛⎭⎫432

＝5

3.

5．设a ＝⎝⎛⎭⎫121

3

，b ＝⎝⎛⎭⎫131

2，c ＝ln 3π，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜c

D ．b ＜a ＜c

通解：选B.因为a ＝⎝⎛⎭⎫121

3＞⎝⎛⎭⎫121

2

＞b ＝⎝⎛⎭⎫131

2＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 优解：因为a 3＝1

2＞b 3＝

127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3

π

＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.

6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x | C ．y ＝2x －2－

x

D ．y ＝2x ＋2－

x

解析：选C.因为y ＝2x 为增函数，y ＝2－x 为减函数，所以y ＝2x －2－x 为增函数，又y ＝2x －2－x 为奇函数，所以选C.

7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )

A.4 33π

B ．12π

C.33

π D ．

36

π 解析：选D.由三视图可知该几何体为一个半圆锥，其中圆锥的底面半圆的半径为1，母线长为2，所以圆锥的高为3，所以该几何体的体积V ＝13×12π×12× 3＝3

6

π，故选D.

8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π

6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )

A ．关于点⎝⎛⎭⎫

π6，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π

6对称

D ．关于直线x ＝π

3

对称

解析：选A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π

6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋

φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝cos π

2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π

3时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－3

2，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，也不关于直线x ＝π

3

对称，故B 、D 错误．故选A.

9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π

3，

若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )