高等数学2知识点总复习PPT课件

^ cL o 1 ,L 2 s ) (m 1 2 |m n 1 1 2 m 2 p 1 2 n 1 n 2 m 2 2 p 1 p n 2 2 |2 p 2 2 11
知识点3：空间直线及面线间的关系方程
平面: A B x C y D 0 , z n ( A , B , C )
j
5
15k.
k
4 1j0 5k, 2
6
知识点2：平面及其方程（三种形式）
平面的点法式方程: A ( x x 0 ) B (y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
平面的一般方程: A B x C y D z 0
平面的截距式方程:
x yz 1 a bc
两平面夹角余弦公式:
co s |A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2| A 1 2 B 1 2 C 1 2 A 2 2 B 2 2 C 2 2
(1) 1 2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 ;
(2)
1//
2 A A12 B B12
C1. C2
7
例 3 求过点(1,1,1)，且垂直于平面 x y z 7和
3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解
n 1{1 , 1 ,1 },n 2 {3 ,2 , 1}2
x2t
y
3t
z 4 2 t
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
13
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x 4z 3 例 5 一直线 L 过点(-3,2,5)，且和直线2x y 5z 1平行，
求其方程.
ijk 解 sn 1n 21 0 4{4,3,1}
2 1 5
所求平面方程为 6 x y 6 z 6 .
10
知识点3：空间直线及其方程
空间直线的一般方程: A A1 2x x B B12yy C C12zz D D 1200
直线的参数方程:
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的对称式方程:
xx0yy0zz0 mn p
两直线的夹角公式
(1 )a a |a |2. (2)a b 0 ab. a b a x b x a y b y a z b z
co s
axbxaybyazb z
ax2ay2az2 bx2by2bБайду номын сангаасz2
3
|(知1 c )| 识a |a 点|a b | 1|0 s ..数 i量n (2积( 其 ) a 、中 // b 向为 量a 与 积 b a 、的 夹 b 夹 角 角0 ) .余弦；
高等数学总复 习
1
整体概况
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概况2
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概况3
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知识点1. 数量积、向量积、夹角余弦；
a b |a |b ||co(其 s 中 为 a 与 b 的 夹 角 )
sin( x2 y)
其中 lim x0
x2 y
y0
u x2y sin u
lim 1, u0 u
x2y x2 y2
1x 2
x 00, lxim0sxi2n(x2yy2) 0. y0
(A)
6
(B)
4 (C)
3
(D)
2
[注] L1和L2的方向向量分别为 s1{1,2,1}和 s2{1,1,2},
c os1s2/|s1|s |2|1 2 , 3
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知识点4：二元函数的定义域与极限
例6 求 f(x,y)arc3sixn2(y2)的定义域． xy2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
i j k a b ax ay az
bx by bz
a//
b
ax
ay
az
bx by bz
4
例 (2)
1a与已b知的a夹 角{1。,1,4}，b
{1,2,2}，求(1)
a
b
；
解
(1) ab 1 1 1 ( 2 ) ( 4 ) 2 9.
(2 )cos a x b x a yb y a zb z
解 设平面为 x yz 1,
z
a bc
V1, 11abc1, 32
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c t
616
9
化简得 1 1 1 t 6a b 6c
a 1 , 6t
b 1, t
c 1, 6 t 代入体积式
11 11 1 6 6t t 6t
t
1 6
,
a 1 , b 6 , c 1 ,
a x 2 a y2 a z2 b x 2 b y2 b z2
1 , 2
3 .
4
5
例2
求与a
3i
2
j
4k ，b
i
j
2k 都垂
直的单位向量.
解
i
jki
j
c ab ax ay az 3 2
bx by bz 1 1
|c |1 2 0 5 2 55 ,
c0
c |c|
2
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D { x ,y ( ) |2 x 2 y 2 4 ,x y 2 }.
16
例7
求极限
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lx im 0sixn2xy(2y) x2x2yy2, y0
所求直线方程 x3y2z5.
方法2:设 s {m ,n ,4p } 3 1
s n 1,s n 2 2 m m n 4 p 5 p 0 0 m 4 n 31 p
取 s {4,3,1}
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练习: 设有直线 L 1:x1 1y 25z 18与
L2
:
x y 6 2yz 3
则L1与L2的夹角为
取法向量
nn 1n 2{1,0 1,5},
所求平面方程为
1 ( x 1 ) 0 1 ( y 1 ) 5 5 ( z 1 ) 0 ,
化简得 2 x 3 y z 6 0 .
8
例 4 求平行于平面6x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
直线: xxyyzz,s(m ,n,p ) mn p
垂直：sn0
m n p ABC
平行： sn0
m A n B p C 0
夹角公式： sin sn
sn
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例. 求直线
x2y3z4与平面 112
2 x y z 6 0
t
的交点 .
提示: 化直线方程为参数方程