质点和质点系动力学习题课

质点和质点系动力学习题课

例：

1m ，2m ，l ，相互作用

符合万有引力定律 12 求：两质点间距变为l /2时

V 2V

两质点的速度

1m 2/l 2m

解：02211=-V m V m

2/21212

122221121l m

m G V m V m l m m G -+=-

l m m G m V )(22121+=，l

m m G

m V )(22112+=

例：在两个质点组成的系统中，若质点之间只有万有引力作用， 且此系统所受外力的矢量和为零，则此系统

（A ）动量与机械能一定都守恒

（B ）动量与机械能一定都不守恒

（C ）动量不一定守恒，机械能一定守恒

（D ）动量一定守恒，机械能不一定守恒

例：恒力F ，1m 自平衡位置

由静止开始运动 求：AB 系统受合外力为零时的 速度，以及此过程中F A 、T A

解：A B 系统受水平方向合外力

k F x kx F /0=⇒=- k F Fx A F /2==

222121)(21kx V m m A F ++=， )

(21m m k F V += =T A 2

1212221222121m m m m k F kx V m ++=+

例：三艘船（M ）鱼贯而行，速度都是V ，从中间船上同时以 相对船的速度u 把质量都为m 的物体分别抛到前后两艘船上 m

求：抛掷物体后，三艘船的速度？

解：以第二艘船和抛出的两个物体为系统，水平方向动量守恒 V V V u m V u m MV V m M =⇒+-+++=+2222)()()2( 以第一船和抛来物体为系统

1)()(V M m V u m MV +=++，m

M mu V V ++=1 以第三船和抛来物体为系统

3)()(V M m V u m MV +=+-+，m

M mu V V +-=3

例：子弹射中A 后嵌入其中

求：（1）A V =？?=B V （2）?max =B V

解：（1）子弹射中A 后

子弹与A 组成的系统动量守恒

A V m m mV )21

21

(21

+=，2V

V A =，0=B V

（2）2/V V A =，B A m m =，2/max V V B =

例：光滑水平面上放一小车 车上放一木箱，恒力F 将木箱从小车一端拉致

另一端，第一次小车固

定，第二次小车不固定，

（1）两次F 作功相同

（2（3）两次木箱获得动能相同

（4）两次因摩擦产生热相同

解：（1）错，第一次F 作功Fl ，第二次F 作功)(s l F +

（2）错，第一次f 对箱子作功fl -，第二次)(s l f +-

（3）错，第一次合力对箱子作功l f F )(-，第二次)

)((s l f F +- （4）正确，第一次f 的总功fl -，第二次fl fs s l f -=++-)(

例：容器自O 点（平衡位置）左端

l 处

从静止开始运动，每经过一次从上方滴入一质量为m 的油滴

求：（1）滴到容器n 滴后，容器 运动到O 点的最远距离 （2）第n +1滴与第n 滴的时间

间隔

解：（1）从开始到O 点，机械能守恒 2202

121MV kl = 每次经过O 点，动量数值不变 V nm M MV '+=)(

滴入n 滴后到最远距离机械能守恒 222

1)(21kx V nm M ='+ 2222222202

1)(21)(2121kx V nm M MV V nm M V M kl ⋅'+⋅='+⋅⋅ 0)/(l nm M M x ⋅+=

（2）k nm M T t t n n n /)(2

11+==-+π 例：链条kg m 10=，cm l 40= l l m 32120l cm l l <==，kg m 101=

求：链条全部滑到桌面时 系统的速度及加速度

解：21111111

()222m gl mg l m m V -=+

m m =1，2/1l l =

s m gl V /21.183

==

a m m g m )(11+=，2/9.42/s m g a ==

已知m ，M ，H h ，θ 所有接触面光滑 求：m ，M 脱离接触时 M 的速度及m 对M 的速度 x

解：V v v r

+=

V v v r x -=θcos

θsin r y v v -=

0=-MV mv x

222

2221

)(2121

21

)(MV v v m MV mv h H mg y x ++=+=-

)sin )((cos )(222θθm M m M h H g m V ++-=，θ2sin )

)((2m M m M h H g v r ++-=

例：已知m ，M ，θ，

所有接触面光滑 求：M 的加速度a a

m 对M 的加速度a ' 及m M 之间的作用力

解：以M 为参照系

m 受一惯性力

m 相对M 只沿斜面运动

对m ： a m ma mg '=+θθcos sin （1）

0c o s s i n

=-+θθmg ma N （2） 对M ，以地面为参照系

Ma N =θsin （3）

θθθ2s i n c o s s i n m M mg a +=，θθ2s i n s i n )(m M g m M a ++='，θθ2s i n s i n m M M m g N +=