质点和质点系动力学习题课
质点运动学和动力学习题课共26页
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
质点运动学和动力学习 题课
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
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56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一章 质点运动学及动力学习题
X1 一物体从某一确定高度以v0的速度水平抛出， 已知它落地时的速度为vt，那么它运动的时间 是（ C ） 2 2 12 2 2 12 vt v0 vt v0 A． B. C. (vt v0 ) D. (vt v0 )
g 2g
g
2g
vt v// v 2 2 v vt v0 v// v0
Z3
解: (1) 建立坐标系，由题得
x 65 cos 22 . 5 t 解得，t=7s， x=420m 1 70 65 sin 22.5 t gt 2 2
(2) 速度 v
x y
2 x
2 y
式中
v x v0 cos 22.5, v y v0 sin 22.5 gt
T1 一物体以初速度v0从某点开始运动，在Δt时间 内，经一长度为s的曲线路径后，又回到出发 点，此时速度为-v0，则这段时间内，物体的平 均速率是（ s ）；物体的平均加速度是 （ 2v0 ）。 t t
s ★平均速率v t t 2v0 v v0 v0 ☆平均加速度 a t t t
5l 3
v甲 v乙
kl A甲 kxdx 0 2 5l 5l 1 2 3 8 2 3 A乙 kxdx k x kl l l 2 9
l
2
X6 一石块静止地悬挂在弹簧秤上，称得重量为W， 如果把石块挂在弹簧秤上（此时弹簧未伸长） 让他自行下坠，则弹簧秤的最大读数可达到W1， 那么W1和W的关系是（ B ）。 A.W1 =W; B.W1 =2W; C.W1 =3W; D.W1 =4W.
习题课
概念：质点、参照系； 定义：位置矢量、位移、速度、加速度； dr v r r r dt
质点运动学和动力学习题课
2 t SI）沿直线运动。设滑块初速度 2-7 一滑块以加速度 a sin （ 2
v0 2 ，且以滑块中心与坐标原点重合时为起始位置，求：
（1）滑块任意时刻的速度； （2）滑块的运动方程。 解：滑块作匀速直线运动。
（） 1 dv a 2 sin t， dt 2 v 2 cos d v 2 sin
二、填空题 1. 在光滑的水平面上 , 一根长 L=2m 的绳子 , 一端固定于 O 点,另一端系一质量为m=0.5kg的物体,开始时,物体位于 位置A，OA间距离D=0.5m，绳子处于松弛状态 ,现在使物 体以初速度vA=4m· s-1垂直于OA向右滑动,如图所示。设以 后的运动中物体到达位置 B,此时物体速度的方向与绳垂 1kg· m2/s 直,则此时刻物体角动量的大小为 。速率 为 1m/s 。
解：（）因 1 a 3m s 2 为常量，故由任一时刻的速率v a t，得 v 2 a2t 2 an R R 当总加速度a与径向成450时，an a，即 a2t 2 a R t R 1s a
（2）在上述0到1s内，质点经过的路程为 1 2 s a t 1.50 m 2
4
5. 如图，一弹簧劲度系数为 k ，一端固定在 A 点，另一 端连接一质量为m的物体，靠在光滑的半径为R的圆柱表 面，弹簧原长为 AB ，在切向变力 F 的作用下，物体极缓 慢地沿表面从位置B移到C，试分别用积分方法和功能原 理求力F作的功。 解：积分法 F mg cos kR
功能原理
2 2 2 2 2
2
可知质点作半径 R 3m
的圆周运动，故切向加速度 a 和法向加速度an分别为
2 dv v2 （ 12） a 0 an 48 （m s 2 ） dt R 3 2-5 一质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关系为
习题课-质点力学
d 2s v2 dv v2 v ˆ ˆ ˆ a = 2 τˆ + n = τˆ + n = aττˆ + an n dt R dt R
角加速度
dω β= dt v v
aτ = β R an = ω R
2
3. 运动学两类问题的求解 已知质点的运动方程，求质点的状态 微分 已知质点的运动方程，求质点的状态—微分 已知质点的状态，求质点的运动方程 积分 已知质点的状态，求质点的运动方程—积分 三 注意区分
t1
v v 1 dA = F ⋅ dr = dEk Ek = mv 2
Aab = ∫
rb ra
力的空间积累效应
2 v v F ⋅ dr = Ekb − Eka
uu d L v M= u v dtv v L=r×p
第三定律
v v v v v v Fij + Fji = 0, ri × Fij + rj × Fji = 0
dx 2 v= = 9t − 6t dt
d2x a = 2 = 9 − 12t dt
从上式可见质点开始时沿x 正向运动， 从上式可见质点开始时沿 正向运动，而加 速度在0.75s后反向，所以运动有折返。正确的解 后反向， 速度在 后反向 所以运动有折返。 法是找到运动折返的时刻。 法是找到运动折返的时刻。 dx v=0 即 =0 由 dt x1.5 = xmax t = 1.5s 得 x1 所以 x2 X1.5
dω = 2dt
∫θ
t
θ + 75
dθ = ∫
t +5
t
2tdt
∫
ω
0
d ω = ∫ 2dt
0
75 = (t + 5)2 − t 2
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15、机会是不守纪律的。——雨果Leabharlann 谢谢！质点运动学和动力学习题课
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
大学物理质点运动学、动力学习题
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CONTENTS
目录
contents
质点运动学基础 动力学基础 质点运动学习题解析 动力学习题解析 综合习题解析
质点运动学基础
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PART.01
质点速度矢量随时间的变化率，记作a=dv/dt。
加速度
在研究物体运动时，如果物体的大小和形状对所研究的问题没有影响或影响很小，可以忽略，则物体可视为质点。
实际应用问题解析
这类问题涉及实际生活中常见的物理现象，如抛体运动、弹性碰撞、摩擦力和流体动力学等。
总结词
这类问题通常要求运用质点运动学和动力学的知识解决实际问题，如分析投篮过程中篮球的运动轨迹、研究碰撞过程中动量和能量的变化等。解题时需要将实际问题抽象为物理模型，运用相关物理原理进行分析，得出符合实际情况的结论。
详细描述
这类习题通常涉及到质点系的整体机械能守恒，需要应用机械能守恒定律建立数学模型，进而求出质点系的势能和动能。
举例
一质量为m的质点在重力作用下沿竖直方向做匀加速运动，求质点的势能和动能。
解析过程
根据机械能守恒定律，质点的势能和动能之和保持不变。通过求解，可以得到质点的势能和动能。
综合习题解析
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PART.05
质点运Байду номын сангаас学与动力学的结合习题
这类习题通常要求分析质点的运动轨迹、速度和加速度的变化，以及力对质点运动的影响。解题时需要综合考虑运动学和动力学的原理，建立质点运动的动力学方程，并求解方程得出结果。
这类习题涉及质点运动学和动力学的综合知识，需要运用速度、加速度、力和动量等概念进行解析。
物理质点力学习题课11
Fx ax vx x
Fy a y v y y Ft at v s Fn an
(2)自然坐标系（轨迹已知，如平面圆周…）
(3) 角坐标系（平面圆周 转动一维）
M
(4) 相互关系 a.直角与自然坐标系
y
y
vy
ay
at ax v x
(C) a g (D) a 4 g 2 (1 cos ) 2 g 2 sin 2
[D]
7. 图示质点 m 在水平面上作半径为R 的匀 速圆周运动, 速率为 v , 从 A 点逆时针运动 到 B 点的半圆周内 (1) 小球的动量变化 (2)向心力的平均值为
(B) mvj
(A) 0
v
b.自然与角坐标系
v a
o
at
ω
x
an
a
o x ds 2 2 v vx v y dt
o
an ρ
x
s = r
ds = rd
2 2 2 2 a ax a y at an
v = r a at = r ， n = r 2
3.相对运动（参考系变换） RMG RMG RMT RTG 矢量图 RTG RMGx RMTx RTGx 分量式 RMGy RMTy RTGy RMT 4. 注意问题
[ D ]
计算题
1、如图所示,一条轻绳跨过摩擦可忽略的轻滑轮,在 绳的一端挂一质量为m1的物体,在另一侧有一质量为 m2 的环,求当环相对于绳以恒定加速度a2沿 绳向下滑动时, 物体和环相对地面的加速度 各是多少? 环与绳间的摩擦力多大? a
解: 设物体和环相对地面的加速度各为a1 、 . a m2 (m1 m2 ) g m2 a2 m1 a1 o m1 m2 FT Ff (m1 m2 ) g m2 a2 m1a1 a a1 a2 a1 m1 m2 a2 a1 m a m1m2 (2 g a2 ) y 2 1 Ff FT m1 g m2 g m1 m2
第2章质点和质点系动力学题解
第2章 质点和质点系动力学2.1 一斜面的倾角为α, 质量为m 的物体正好沿斜面匀速下滑. 当斜面的倾角增大为β时,求物体从高为h 处由静止下滑到底部所需的时间.解：设斜面得摩擦系数为μ。
对m 分别处于倾角为α，β得斜面上，列出牛顿运动方程为α角： 1sin 0f mg α-=1cos 0N mg α-= 11f N μ=β角：2sin 0f mg β-=2cos 0N mg β-= 22f N μ= 联立解得sin cos a g g tg ββα=- 又物体从高为h 的斜面下滑的运动方程为 21sin 2h at β= 解得t ==2.2 用力f 推地面上的一个质量为m 的木箱,力的方向沿前下方, 且与水平面成α角. 木箱与地面之间的静摩擦系数为0μ, 动摩擦系数为k μ. 求：（1）要推动木箱, f 最小为多少？使木箱作匀速运动, f 为多少？（2）证明当α大于某值时, 无论f 为何值都不能推动木箱, 并求α值.解：（1）当f 的水平分力克服最大静摩擦力时，木箱可以运动，即 ()0cos sin f mg f αμα≥+ 00cos sin mgf μαμα≥-0min 0cos sin mgf μαμα=-使木箱做匀速运动，则()cos sin k f mg f αμα=+0cos sin k mgf μαμα=-（2）当下式成立，则无论f 多大，都不能推动木箱，即 0cos sin f f αμα< 01tg αμ>， 01arctgαμ>2.3 质量为5000kg 的直升飞机吊起1500kg 的物体, 以0.6m/s 2的加速度上升, 求：（1）空气作用在螺旋桨上的升力为多少. （2）吊绳中的张力为多少. 解：（1）对飞机物体整体进行受力分析，得 ()()f M m g M m a -+=+ 代入数值得到空气作用在螺旋桨上的升力为 46.8910f N =⨯ （2）对物体m 进行受力分析，得 T mg ma -= 解得吊绳中的张力为()4150010.6 1.5910T m g a N =+=⨯=⨯2.4 质量为m 汽车以速率0v 高速行驶, 受到2kv f -=的阻力作用, k 为常数. 当汽车关闭发动机后, 求：（1）速率v 随时间的变化关系. （2）路程x 随时间的变化关系. （3）证明速率v 与路程x 之间的函数关系为x mke v v -=0．（4）若200=v m/s, 经过15s 后, 速率降为10=t v m/s, 则k 为多少？ 解：由题意得 2dvkv m dt-= 当0t =时， 0v v = 两边分离变量020vtv dv k dt v m =-⎰⎰积分得011kt v v m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即00001v mv v k m kv t v t m ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）由上式两边积分得 000xtmv dx dt m kv t =+⎰⎰即 0ln m kv t m x k m +⎛⎫=⎪⎝⎭（3）由（1）中得 00mv kv t m v=- 代入（2）中的结果，得00ln ln mv m m v m m v x k m k v ⎛⎫+- ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭即0k x mv v e-=（4）020m v s =,15t s =,10t m v s=代入（1）中得结果，解得300m k =2.5 质量为m 的质点以初速度0v 竖直上抛, 设质点在运动中受到的空气阻力与质点的速率成正比, 比例系数为0>k ．试求：（1）质点运动的速度随时间的变化规律. （2）质点上升的最大高度. 解：（1）对上升过程，列出牛顿方程，得 dvmg kv m dt--= 即 mdvdt mg kv-=+积分得00tvv mdvdt mg kv-=+⎰⎰即k mg e k mg v v t m k-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-0 对下降过程，列出牛顿方程，得 dvmg kv m dt-=即 mdvdt mg kv=-积分得 00tvv mdvdt mg kv=-⎰⎰即1k t mmg v e k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由（1）中方程得 dv dv dy dy mg kv m m mv dt dy dt dt--=== 即 ()mg kv mg mvdv m dy dv mg kv k mg kv+--==-++积分得()2020ln m m g mg kvy v v k k mg kv +=-++当0v =时，有 20max02ln mg kv m m g y v k k mg ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2.6 自动枪以每分钟发射120发子弹的速率连续发射. 每发子弹的质量为9.7g, 出口速率为735m/s. 求射击时枪托对肩部的平均压力. 解：设肩部所受的平均作用力为F ，由动量定理得 Ft mv =∑即31207.91073511.660mv F N t-⨯⨯⨯==≈∑2.7 质点在x 轴上受x 方向的变力F 的作用．F 随时间的变化关系为：在刚开始的0.1s内均匀由0增至20N ，又在随后的0.2s 内保持不变，再经过0.1s 从20N 均匀地减少到0. 求：（1）力随时间变化的t F -图. （2）这段时间内力的冲量和力的平均值. （3）如果质点的质量为3kg, 初始速度为1m/s, 运动方向与力的方向相同. 当力变为零时, 质点速度为多少？ 解：（1）由题意得（2）由上图得11200.1200.2200.1622I N s =⨯⨯+⨯+⨯⨯=⋅ 0.5200.1200.20.5200.1150.4I F N t ⨯⨯+⨯+⨯⨯===（3）由动量定理得 0t Ft mv v =- 即 063133t Ft mv m v s m ++⨯===2.8 子弹脱离枪口的速度为300m/s, 在枪管内子弹受力为5400410/3F t =-⨯（SI ）, 设子弹到枪口时受力变为零. 求：（1）子弹在枪管中的运行的时间. （2）该力冲量的大小. （3）子弹的质量.解：（1）由541040003tF ⨯=-=得3310t s -=⨯即子弹在枪管中的运行的时间为s 3103-⨯。
大学物理第二章习题课
6
作业. 两块并排的木块A和B，质量分别为m1和m2，静止地放置在光滑的水 平面上，一子弹水平地穿过两木块，设子弹穿过两木块所用的时间分别为t1 和t2，木块对子弹的阻力为恒力F，则子弹穿出后，木块A的速度为______， 木块B的速度大小为_______.
F t1 m1 m2
F t1 F t2 m1 m2 m2
u dt
l
船岸
0
M m 0 狗船
M m
S
狗离岸的距离为 S S0 S
S
L l
S
S0
S
S0
M M
m
l
S l L l(1 m ) M l M m M m 17
17
作业. 有两个自由质点，质量分别为 m1和m2 ，他们之间只有万有引 力作用，开始时，两质点相距为 l ,处于静止状态。求当它们相距 l /2
[ C]
(A) ①、②是正确的。
(B) ②、③是正确的。
(C) 只有②是正确的。
(D) 只有③是正确的。
势能与保守力作功的一般关系： W Δ E p
物体沿闭合路径运动一周时, 保守力对它所作的功等于零。 l F保 d r 0
功不仅与力有关，还与位移有关！
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2.填空题
教材、作业. 质量为m的小球，用轻绳AB、
L1
Δ
L
质点系的角动量定理（积分形式）：作用于质点组的合
外力矩的冲量矩等于质点组角动量的增量。
4
教材. 对功的概念有以下几种说法：
① 保守力作正功时，系统内相应的势能增加。
② 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。
③ 作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的
大学物理-质点力学习题课ppt课件
x1
顿第二定律，小球的运动方程可以得到：
f2 G
x
mdd2tx21 kx1mgF(t)， 即dd2tx21m kx1gFm (t)
令 2=k/m，将F(t)代入，可以得到：
d 2 x1 dt2
2 x1
g
at m
此方程对应的齐次方程的通解为(c1cos t+c2sin t)，
其中c1、c2为两个任意常数，非齐次方程的特解为
• 加速度是位置的函数a=a(x):即a=(F0 / m)+(k/m)x,
d vd v d x d v x
v
a v , a d x v d v
d t d x d t d x 0
v 0
(3)力是速度的函数F=F(v):一质量为m的轮船C在停靠码头之 前关闭发动机这时的速率为v0，设水的阻力与轮船的速率 成正比,比例常数为k，求发动机停机后, C所能前进的最大 距离。
;并讨论. d d r t、 d d r t、 d d r t； d d v t、 d d v t、 d d v t 各式的含义.
解： (1)不y正确，以圆周x运R动c为os例t ：
t x
yRsint r x2y2 R vddrt0,add22 rt 0
结果不正确，做圆周运动的物体的速度和加速度显然
质点力学
运动学的基 本物理量 r,v,a
动力学的基本物 理量之一——力
复习
质点运动的描述 〔在直角坐标系 和自然坐标系）
运动学的两类问题
难
新 内 容
点新
兼
内 容
重
牛顿第二定律的 描述〔在直角坐
切向 法向
点
积分微分 问题
标系和自然坐标 系）
大学物理第2章质点动力学章节总结及练习题
第2章 质点和质点系动力学（复习指南）一、基本要求掌握牛顿三定律及其适用条件，牛顿第二定律的微分形式和惯性系的概念；掌握万有引力（含重力）、弹性力、摩擦力的相关公式，能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题.掌握功的概念和直线运动情况下变力做功的计算方法；掌握势能的概念，会计算重力、弹性力势能；理解保守力做功的特点.二、基本内容1．力、常见力力是物体间的相互作用.力是物体改变运动状态的原因. 常见力有万有引力、重力、弹性力、摩擦力. （1）万有引力、重力万有引力指存在于任何两个物质（质点）之间的吸引力.其数学表达式为r e rm m G F221 2211kg m N 1067.6 G引力的特点为：方向已知，大小与质点间的距离的平方成反比.重力为地球表面附近物体受地球的引力（忽略地球自转的影响）.重力的特点为：大小已知，方向竖直向下指向地心.g m P 222EE kg m N 80.9 R Gmg（2）弹性力发生形变的物体，由于要恢复形变而对与它接触的物体产生的力叫弹力.弹力的表现形式有很多种，常见的有正压力、绳中张力、绳对物体的拉力、弹簧的弹力等.弹性力的特点为：方向已知，大小与运动状态有关.弹簧弹力：kx F ，x 为弹簧伸长量，弹力方向指向弹簧原长位置. （3）摩擦力两物体沿相互接触面方向有相对滑动或相对运动趋势时作用于接触面上阻碍物体相对运动的力为摩擦力，摩擦力分滑动摩擦力和静摩擦力.滑动摩擦力在相对滑动的速度不是太大或太小时，其大小与滑动速度无关，而和正压力N成正比，N f，f 的方向与相对滑动方向相反.静摩擦力为变力，其值介于0和最大静摩擦力之间，即max 000f f最大静摩擦力指两个有接触面的物体，沿接触面方向即将产生相对滑动时，通过接触面作用于两物体的摩擦力.在此以前两物体间的相互作用静摩擦力大小可以变化.对物体受力分析的顺序为：重力、弹力、摩擦力.在常见力分析中要特别注意静摩擦力. 2．惯性参考系（惯性系）惯性参考系就是用牛顿第一定律定义的参考系.牛顿定律只有在惯性参考系中才成立.惯性参考系有一个重要性质：相对于惯性参考系作匀速直线运动的任何其它参考系也一定是惯性参考系. 3．基本规律 ﹙1﹚牛顿第一定律第一定律明确了力是改变物体运动状态的原因，并反映出物体有保持原来运动状态不变的特性——惯性，第一定律定义了惯性系.﹙2﹚牛顿第二定律第二定律定量描述了外力作用与所产生的效果的关系，即力的作用与物体状态变化的定量关系.对第二定律应用需注意：①适用于惯性系.②适用于质点.③合外力与物体产生的加速度之间为一瞬时关系，合外力沿加速度方向.④第二定律为一矢量式，应用时常在坐标系中分解.在直角坐标系中有：z iz y iy x x ma F ma F ma F i ，，﹙3﹚牛顿第三定律牛顿第三定律指出力是物体间的相互作用.物体间有相互作用便存在相互作用力.应用第三定律需注意：①作用力，反作用力分别作用在相互作用的物体上，不是平衡力.②作用力、反作用力一定属于同种性质的力，同时产生，同时消失.③不论相互作用的两物体是运动还是静止，第三定律总成立. 4．功功是力的空间累积量：r F Wd d .功等于力和力的作用点位移的点积.功是标量，是一个代数量.当力的作用点没有位移或力与其作用点的位移相互垂直时，此力不做功.保守力做功只取决于相互作用质点的始末相对位置，而与各质点的运动路径无关.非保守力做功与路径有关. 5．势能物体间存在保守力相互作用才能引入相关势能.如地球对地面附近物体间存在重力作用，重力为保守力，引入重力势能.因为势能与物体间相对位置相关，所以，一方面势能属于存在保守力相互作用的系统，另一方面物体的位置描述是相对的，所以势能具有相对性.只有选定势能零点后，系统才有确定的势能值.例如一质量为m 的质点处于地面上h 高度，在没明确势能零点前不能确定m 和地球系统的势能大小，而且重力势能可正、可负、可以为零.但任意两个状态之间系统的势能差是确定的，与势能零点选取无关.势能是状态函数.在讨论涉及势能的功能问题时，必须：①选系统.②选势能零点[弹力势能（原长位置）、万有引力（无穷远）势能零点是确定的].③确定并描述初末状态的能量状态.弹簧弹性势能2k 21kx E ，k 为弹簧倔强系数，x 为相对原长位置（势能零点）的位移.三、例题详解2-1、质量为m 的子弹以速度0v 竖直射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为K ，忽略子弹的重力，求：子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式．解：取竖直向下为y 轴正向．子弹进入沙土后受力为v K ，由牛顿定律t mK d d v v ∴vvd d t m K ， v v v v 0d d 0t t m K ∴m Kt /0e v v2-2、物体沿x 轴作直线运动，所受合外力2610x F （SI ）．试求该物体运动到m 4 x 处时外力做作的功解：J 168210d )610(d 3424x x x x x F W2-3、一人从10m 深的井中提水．起始时桶中装有10kg 的水，桶的质量为1kg ，由于水桶漏水，每升高1m 要漏去的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功．解：选竖直向上为坐标y 轴的正方向，井中水面处为原点． 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F 等于水桶的重量 即：y gy mg ky P P F 96.18.1072.00 （SI ）人的拉力所做的功为：J 980d )96.18.107(d d 10y y y F W W H2-4、一个弹簧下端挂质量为0.1kg 的砝码时长度为0.07m ，挂0.2kg 的砝码时长度为．现在把此弹簧平放在光滑桌面上，并要沿水平方向从长度m 10.01 l 缓慢拉长到m 14.02 l ，外力需做功多少解：设弹簧的原长为0l ，弹簧的劲度系数为k ，根据胡克定律： )(0.071.00l k g ，)(0.092.00l k g 解得：m 05.00 l ，N/m 49 k拉力所做的功等于弹性势能的增量：J 14.0)(21)(21201202p1p2l l k l l k E E W 四、习题精选2-1、一质点在力)25(5t m F （SI ）的作用下，0 t 时从静止开始作直线运动，式中m 为质点的质量，t 为时间，则当s 5 t 时，质点的速率为（提示：变加速度运动，牛II 定律分离变量积分tmF d d v ） （A ）50m·s -1． （B ）25m·s -1． （C ）0． （D ）-50m·s -1．［ ］2-2、已知水星的半径是地球半径的倍，质量为地球的倍．设在地球上的重力加速度为g ，则水星表面上的重力加速度为：（提示：2EER GM g） ［ ］ （A ）g 1.0 （B ）g 25.0 （C ）g 5.2 （D ）g 42-3、质量分别为1m 和2m 的两滑块A 和B 通过一轻弹簧水平连接后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为 ，系统在水平拉力F 作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度A a 和B a 分别为（提示：注意加速度的瞬时性）［ ］（A ）0B A a a （B ）0A a ，0B a （C ）0A a ，0B a （D ）0A a ，0B a2-4、如图所示，质量为m 的物体用细绳水平拉住，静止在倾角为 的固定的光滑斜面上，则斜面给物体的支持力为（提示：画受力分析图）［ ］（A ） cos mg . （B ） sin mg . （C ）cos mg . （D ）sin mg. 2-5、一物体挂在一弹簧下面，平衡位置在O 点，现用手向下拉物体，第一次把物体由O 点拉到M 点，第二次由O 点拉到N 点，再由N 点送回M 点．则在这两个过程中（A ）弹性力做的功相等，重力做的功不相等． （B ）弹性力做的功相等，重力做的功也相等． （C ）弹性力做的功不相等，重力做的功相等． （D ）弹性力做的功不相等，重力做的功也不相等．（提示：弹力和重力都是保守力，做功只与始末位置有关，与路径无关）[ ］2-6、沿水平方向的外力F 将物体A 压在竖直墙上，由于物体与墙之间有摩擦力，此时物体保持静止，并设其所受静摩擦力为0f ，若外力增至F 2，则此时物体所受静摩擦力为_________．（提示：静摩擦力是变力，大小从受力平衡角度分析）2-7、如果一个箱子与货车底板之间的静摩擦系数为0 ，当这货车爬一与水平方向成 角的平缓山坡时，要不使箱子在车底板上滑动，车的最大加速度max a ＝______________________．（提示：以箱子为对象受力分析，最大加速度时摩擦力方向应沿斜面向上） 2-8、如图，在光滑水平桌面上，有两个物体A 和B 紧靠在一起．它们的质量分别为kg 2 A m ，kg 1 B m ．今用一水平力N 3 F 推物体B ，则B 推A 的力等于_____．如用同样大小的水平力从右边推A ，则A 推B 的力等于__________．（提示：先整体，后部分，分析受力和加速度）2-9、质量kg 1 m 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为x F 23 （SI ），那么，物体在开始运动的3m 内，合力所做的功W ＝_______．（提示：变力做功，用元功定义，再积分）2-10、设作用在质量为1kg 的物体上的力36 t F （SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，求：在0到的时间间隔内，这个力对物体做功的大小__________．（提示：力是时间函数，参考教学例题，t F x F W d d d v ，v d d m t F ）。
质点运动学习题课
dv dt
et
v2 r
en
v
r
r
d
dt
et
2ren
2 当时at
a
/
2
1 2
an2
at2
, 有3at2
an2 ,即t3
1 23
此时刻的角位置为θ 2 4t3 3.15 rad
3要使an at ,则 324rt 2 r2 12t2 4
t＝0.55ｓ
(C) v v, v v (D) v v, v v
r ：位移的大小
r AB x2 y2
r 位矢长度的变化
r r2 r1 OB OA x22 y22 x12 y12
一般情况下 r r s
t 0, dr ds dr
v ds = dr v dt dt
y
s A r
(1) 质点作圆周运动时的加速度指向圆心； ×
(2) 匀速圆周运动的加速度为恒量；
×
(3) 只有法向加速度的运动一定是圆周运动；×
(4) 只有切向加速度的运动一定是直线运动。√
自然坐标系中，加速度可分解为切向加速度与法向加速度，
切向加速度改变速度大小，法向加速度改变速度方向。
a
dv dt
et
v2
en
C 只有23正确 D 只有34正确
1 3 质点作曲线运动, r表示位置矢量, v表示速度,
a表示加速度, s表示路程, aｔ表示切向加速度． 对下列表达式,即
1 dv＝a； 2 dr ＝v；
dt
dt
3 ds＝v； 4
dt
dv dt
＝aｔ．
下述判断正确的是( D )
A 只有1、4是对的 (B) 只有2、4是对的
质点力学习题课
解： ( 1 )a
F m
3
4t 10
( 2 )a
F m
3
4 10
x
0.3 0.4x
0. 3 0. 4t a x 3m 1.5m/s2
a t 3s 1 . 5 m / s2
A
3
0
Fdx
3( 3
0
4x)dx
27
I
3( 3
0
4t)dt
27
I mv mv0 mv 10v
v t 3s 2. 7m /s
（C）匀变速直线运动 （D）一般曲线运动
解：
y
b a
x
v
dr dt
2 a ti
2btj
a
dv dt
2ai
2bj
【例】一质点沿半径为R的圆周运动，且加速度 a与速度v之间的夹角θ保持不变，已知初速率 为v0,试求质点速率v随时间的变化规律。
解：an
at
tgθ
v2 R
dv dt v2 Rtgθ
• 解：由质点动量定理：
7
0
F
dt
mv
0
mv
7
0
F
dt
1 2
7
10 35
7 F dt
0
m
35 1
35 m/s
F(N) 10
t(s)
0
57
【例】某汽车启动后牵引力变化如图，其中 曲线部分恰好是四分之一圆弧，求汽车启动 后行驶7米牵引力所做的功。
• 解：以启动位置为坐 标原点。
由功的定义：
Ao c
则
mivi
C
i
b
a
F
dr
质点运动学和动力学习题课26页PPT
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
Hale Waihona Puke 质点运动学和动力学习题课11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
大学物理 质点运动学动力学习题课
的直线运动的叠加（矢量加法）。
——运动的独立性原理或运动叠加原理
2
第一、二章习题课
自然坐标系中的速度和加速度
v
v
ds
dt
a
a
an
dv
dt
v2
n
a
a
an
圆周运动中的切向加速度和法向加速度
a dv v2 n
dt R
3
二、圆周运动的角量描述 t A 角位置 t t B 角位移
r
v
a
dxri
yj
dx
i
zk
dy
dt
dv
dt
dv x
i
dt
dv y
dt dt dt
j
j
dz dt
dvz dt
k
k
vxi vy j vzk
axi ay j azk
任意曲线运动都可以视为沿x,y,z轴的三个各自独立
4m/s的速率从北面驶近A船。
(1)在湖岸上看，B船的速度如何？
(2)如果A船的速度变为6m/s(方向不变)，在A船上看B
船的速度又为多少？
解：(1)设B船岸的上速的度人为看v到BA船A的船速看度到为B船v的A 速度为 v
vA
vA
由伽利略速度变换，可有
v
vB
v vB vA
的速度的大小。
y
H Ox
解：建立如图坐标，t时刻头顶
质点和质点系动力学习题课
质点和质点系动力学习题课例：1m ，2m ，l ，相互作用符合万有引力定律 12 求：两质点间距变为l /2时V 2V两质点的速度1m 2/l 2m解：02211=-V m V m2/21212122221121l m m G V m V m l m m G -+=- l m m G m V )(22121+=，lm m G m V )(22112+= 例：在两个质点组成的系统中，若质点之间只有万有引力作用， 且此系统所受外力的矢量和为零，则此系统（A ）动量与机械能一定都守恒（B ）动量与机械能一定都不守恒（C ）动量不一定守恒，机械能一定守恒（D ）动量一定守恒，机械能不一定守恒例：恒力F ，1m 自平衡位置由静止开始运动 求：AB 系统受合外力为零时的 速度，以及此过程中F A 、T A解：A B 系统受水平方向合外力k F x kx F /0=⇒=- k F Fx A F /2==222121)(21kx V m m A F ++=， )(21m m k F V += =T A 21212221222121m m m m k F kx V m ++=+例：三艘船（M ）鱼贯而行，速度都是V ，从中间船上同时以 相对船的速度u 把质量都为m 的物体分别抛到前后两艘船上 m求：抛掷物体后，三艘船的速度？解：以第二艘船和抛出的两个物体为系统，水平方向动量守恒 V V V u m V u m MV V m M =⇒+-+++=+2222)()()2( 以第一船和抛来物体为系统1)()(V M m V u m MV +=++，mM mu V V ++=1 以第三船和抛来物体为系统3)()(V M m V u m MV +=+-+，mM mu V V +-=3例：子弹射中A 后嵌入其中求：（1）A V =？?=B V （2）?max =B V解：（1）子弹射中A 后子弹与A 组成的系统动量守恒A V m m mV )2121(21+=，2V V A =，0=B V （2）2/V V A =，B A m m =，2/max V V B =例：光滑水平面上放一小车 车上放一木箱，恒力F 将木箱从小车一端拉致另一端，第一次小车固定，第二次小车不固定， （1）两次F 作功相同（2（3）两次木箱获得动能相同（4）两次因摩擦产生热相同解：（1）错，第一次F 作功Fl ，第二次F 作功)(s l F +（2）错，第一次f 对箱子作功fl -，第二次)(s l f +-（3）错，第一次合力对箱子作功l f F )(-，第二次))((s l f F +-（4）正确，第一次f 的总功fl -，第二次fl fs s l f -=++-)(例：容器自O 点（平衡位置）左端l 处从静止开始运动，每经过一次从上方滴入一质量为m 的油滴求：（1）滴到容器n 滴后，容器 运动到O 点的最远距离 （2）第n +1滴与第n 滴的时间间隔解：（1）从开始到O 点，机械能守恒 2202121MV kl = 每次经过O 点，动量数值不变 V nm M MV '+=)(滴入n 滴后到最远距离机械能守恒 2221)(21kx V nm M ='+ 22222222021)(21)(2121kx V nm M MV V nm M V M kl ⋅'+⋅='+⋅⋅ 0)/(l nm M M x ⋅+=（2）k nm M T t t n n n /)(211+==-+π 例：链条kg m 10=，cm l 40= l l m 32120l cm l l <==，kg m 101=求：链条全部滑到桌面时 系统的速度及加速度解：21111111()222m gl mg l m m V -=+ m m =1，2/1l l =s m gl V /21.183== a m m g m )(11+=，2/9.42/s m g a ==已知m ，M ，H h ，θ 所有接触面光滑 求：m ，M 脱离接触时 M 的速度及m 对M 的速度 x解：V v v r+= V v v r x -=θcosθsin r y v v -=0=-MV mv x2222221)(212121)(MV v v m MV mv h H mg y x ++=+=- )sin )((cos )(222θθm M m M h H g m V ++-=，θ2sin ))((2m M m M h H g v r ++-=例：已知m ，M ，θ，所有接触面光滑 求：M 的加速度a am 对M 的加速度a ' 及m M 之间的作用力解：以M 为参照系m 受一惯性力m 相对M 只沿斜面运动对m ： a m ma mg '=+θθcos sin （1）0c o s s i n=-+θθmg ma N （2） 对M ，以地面为参照系Ma N =θsin （3）θθθ2s i n c o s s i n m M mg a +=，θθ2s i n s i n )(m M g m M a ++='，θθ2s i n s i n m M M m g N +=。
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质点和质点系动力学习题课
例：
1m ，2m ，l ，相互作用
符合万有引力定律 12 求：两质点间距变为l /2时
V 2V
两质点的速度
1m 2/l 2m
解：02211=-V m V m
2/21212
122221121l m
m G V m V m l m m G -+=-
l m m G m V )(22121+=，l
m m G
m V )(22112+=
例：在两个质点组成的系统中，若质点之间只有万有引力作用， 且此系统所受外力的矢量和为零，则此系统
（A ）动量与机械能一定都守恒
（B ）动量与机械能一定都不守恒
（C ）动量不一定守恒，机械能一定守恒
（D ）动量一定守恒，机械能不一定守恒
例：恒力F ，1m 自平衡位置
由静止开始运动 求：AB 系统受合外力为零时的 速度，以及此过程中F A 、T A
解：A B 系统受水平方向合外力
k F x kx F /0=⇒=- k F Fx A F /2==
222121)(21kx V m m A F ++=， )
(21m m k F V += =T A 2
1212221222121m m m m k F kx V m ++=+
例：三艘船（M ）鱼贯而行，速度都是V ，从中间船上同时以 相对船的速度u 把质量都为m 的物体分别抛到前后两艘船上 m
求：抛掷物体后，三艘船的速度？
解：以第二艘船和抛出的两个物体为系统，水平方向动量守恒 V V V u m V u m MV V m M =⇒+-+++=+2222)()()2( 以第一船和抛来物体为系统
1)()(V M m V u m MV +=++，m
M mu V V ++=1 以第三船和抛来物体为系统
3)()(V M m V u m MV +=+-+，m
M mu V V +-=3
例：子弹射中A 后嵌入其中
求：（1）A V =？?=B V （2）?max =B V
解：（1）子弹射中A 后
子弹与A 组成的系统动量守恒
A V m m mV )21
21
(21
+=，2V
V A =，0=B V
（2）2/V V A =，B A m m =，2/max V V B =
例：光滑水平面上放一小车 车上放一木箱，恒力F 将木箱从小车一端拉致
另一端，第一次小车固
定，第二次小车不固定，
（1）两次F 作功相同
（2（3）两次木箱获得动能相同
（4）两次因摩擦产生热相同
解：（1）错，第一次F 作功Fl ，第二次F 作功)(s l F +
（2）错，第一次f 对箱子作功fl -，第二次)(s l f +-
（3）错，第一次合力对箱子作功l f F )(-，第二次)
)((s l f F +- （4）正确，第一次f 的总功fl -，第二次fl fs s l f -=++-)(
例：容器自O 点（平衡位置）左端
l 处
从静止开始运动，每经过一次从上方滴入一质量为m 的油滴
求：（1）滴到容器n 滴后，容器 运动到O 点的最远距离 （2）第n +1滴与第n 滴的时间
间隔
解：（1）从开始到O 点，机械能守恒 2202
121MV kl = 每次经过O 点，动量数值不变 V nm M MV '+=)(
滴入n 滴后到最远距离机械能守恒 222
1)(21kx V nm M ='+ 2222222202
1)(21)(2121kx V nm M MV V nm M V M kl ⋅'+⋅='+⋅⋅ 0)/(l nm M M x ⋅+=
（2）k nm M T t t n n n /)(2
11+==-+π 例：链条kg m 10=，cm l 40= l l m 32120l cm l l <==，kg m 101=
求：链条全部滑到桌面时 系统的速度及加速度
解：21111111
()222m gl mg l m m V -=+
m m =1，2/1l l =
s m gl V /21.183
==
a m m g m )(11+=，2/9.42/s m g a ==
已知m ，M ，H h ，θ 所有接触面光滑 求：m ，M 脱离接触时 M 的速度及m 对M 的速度 x
解：V v v r
+=
V v v r x -=θcos
θsin r y v v -=
0=-MV mv x
222
2221
)(2121
21
)(MV v v m MV mv h H mg y x ++=+=-
)sin )((cos )(222θθm M m M h H g m V ++-=，θ2sin )
)((2m M m M h H g v r ++-=
例：已知m ，M ，θ，
所有接触面光滑 求：M 的加速度a a
m 对M 的加速度a ' 及m M 之间的作用力
解：以M 为参照系
m 受一惯性力
m 相对M 只沿斜面运动
对m ： a m ma mg '=+θθcos sin （1）
0c o s s i n
=-+θθmg ma N （2） 对M ，以地面为参照系
Ma N =θsin （3）
θθθ2s i n c o s s i n m M mg a +=，θθ2s i n s i n )(m M g m M a ++='，θθ2s i n s i n m M M m g N +=。