材料力学第9章 应力状态分析

τx
σx
x
2 该圆即为方程 b s x s y 2 2 s x s y 2 2 (s a ) ta ( ) t x 所表示的圆。 2 2
CD1 = (
s x s y
σy
τy
d
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第9章 应力状态分析
2、应力圆求斜截面上的应力 试求图示单元体α截面上的应力
t
σx
E( σ α，α )
2 sx s y 2
sin2a t x cos2a
sa、ta 均以2a为参变量
德国 1895年提出
t
s x s y
2 s x s y 2
2
cos2a t x sin2a sin2a t x cos2a
2
(s a
sx s y
2
) ta (
s x s y
2
2 )2 t x
s a s co s 2 a ta s sin 2 a 2
α
F
σ
F
FN
pa σ α
F
ຫໍສະໝຸດ Baidu
α
FN
τα
一点处的应力状态：受力构件内一点处不同方位上应力的集合。 τ min 2、全面进行强度计算的需要 σ max ①只存在s： s m a x ≤ s 轴向拉压、梁截面上下边缘 τ max z ②只存在t： t m a x ≤ t 自由扭转、梁截面中性轴处
dz
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三、主平面、主应力与主单元体
σy σz
主平面：切应力为零的截面（t =0）。 σx σx 主应力：主平面上的正应力。 主单元体：三对相互垂直的平面均为主平面的单元体。σ z σ y 可以证明，通过一点处的各不同方位的截面中， 一定存在三对相互垂直的截面，这些截面上的切 σ2 σ 应力t =0，只有正应力s。三个主应力记为： 3
cos2a t x sin2a
计算s a 90、
t a 90
t a 90
sin2a t x cos2a
s a s a 90 s x s y 常数 t a t a 90
结论：任意两个相互垂直截面上的正应力之和为常数，切应力 符合切应力互等定理。
σ1
σ1
σ1
σ1
σ2
σ1 σ1 σ1
σ2
σ1
单向应力状态 二向应力状态
σ2
平面应力状态
σ2 σ2 σ 3
σ1 σ1
复杂应力状态
三向应力状态 空间应力状态
σ3 σ2
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第9章 应力状态分析
§9-2 平面应力状态分析 一、斜截面上的应力
y
n
τy σ y c n e 已知s x、s y、t x、a，求s a、t a a σα τ x e a τ a x 1、正负号规定： a τ α a x σx σ σ x x σ：拉为正压为负，τ：绕单 f f τx b b d 元体内部一点顺时针转为正， τy τy σy 逆时针为负。α逆时针为正， σy
圆的方程
sx s y s a、 t a 在 s t 直 角 坐 标 系 内 的 轨 迹 是 以( , 0) 为 圆 心 ， 2 s x s y 2 2 （ ） t x 为半径的圆，此圆称为应力圆，或莫尔圆。 2
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二、应力圆
1、应力圆的绘制
t
σx
( x D1σ
B2
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第9章 应力状态分析
数学整理
s a dA (t x dA cos a )sin a (s x dA cos a ) cos a (t y dA sin a ) cos a (s y dA sin a )sin a 0
t a dA (t x dA cos a ) cos a (s x dA cos a )sin a (t y dA sin a )sin a (s y dA sin a ) cos a 0
2 s x s y CEcos2a 0 CD1cos2a 0 CB1 = 2 CEsin2a0 CD1sin2a0 B1D1 =t x s x s y s x s y OF cos2a t xsin2a s a 2 2 n
σ
式中： OC =
sx s y
EF =CEsin(2a0 +2a )
x
=CD1cos2a0sin2a CD1sin2a0cos2a s x s y sin2a t x cos2a t a 2
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2、应力圆求斜截面上的应力 试求图示单元体α截面上的应力 t 作应力圆应注意的几点： σx ①σ、τ正负号，与应力圆上点的 E( τ σ α， ) α ( x ,τ x ) σ 象限关系。 2a D1 ②点面对应关系：应力圆上一点 B2 C 对应于单元体中某一截面； B1 o σ ③起始半径选择：需视α角从哪 D2 ( σ y ,τ y ) A 一个轴开始度量； σy ④α与2α对应：单元体上斜截面 B y 方位角α，对应于应力圆上为2 α 角，自起始半径旋转，且与α转 n τy σ y c a 向一致； τ B a τx e σ α 2a A 单元体上A、B面夹角α， C σ 应力圆上弧长AB的圆心角 σ x a τα σ x x o
σx
E( σ α，α )
2a
τ ,τ ) =OC+CEcos2a0cos2a CEsin2a0sin2a ( σ x x 2a D1
τx
B2
τy
o
C F B1
D2 ( σ y ,τ y ) σy
y
τy σ y c a a τx e σ α σ x a τα τσ x f x b τy d σy
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第9章 应力状态分析
y
sy
空间应力状态（弹性力学） 应力张量的第一、第二和第三不变量。
sx
t txz zx tyz txy tzy tyx sz sy z
txy
tyx
tyz tzy sz tzx txz
sx
x
I1 s x s y +s z
2 2 2 I2 s xs y s ys z -s zs x t xy t yz t zx
F
单元体的特点： dx dy dz 0 ①单元体各个面上的应力是均匀分布的； ②两个平行面上的应力大小相等。 （一个面的两侧）
dy
A
dx
y
sy
tyz tyx t 只要知道单元体三对相互平行面上的应力， zy sz 其它任意截面上的应力均可用截面法求出， txy tzx txz sx sx tzx 因此可用单元体三个互相垂直平面上的应 txz t yz txy x 力来表示一点的应力状态。 tzy tyx sz sy z
( x ,τ x ) σ 2a D1
τ
B2
τx
1、作单元体的应力圆 2、以CD1为起始半径，按α的旋转 方向旋转2α，得到E点。
E点的坐标即为： （s 只需证明：
a
τy
o
C F B1
σ
，t a）
D2 ( σ y ,τ y ) σy
y a
τy σ y
a τx e σ α σ x a τα τσ x f x b τy d σy
F
n
0
s a dA (t x dA cos a )sin a (s x dA cos a ) cos a (t y dA sin a ) cos a (s y dA sin a )sin a 0
F 0
t
t a dA (t x dA cos a ) cos a (s x dA cos a )sin a (t y dA sin a )sin a (s y dA sin a ) cos a 0
s1、s 2、s 3
50MPa
且s1 s 2 s 3
σ1
σ1
例：已知三个主应力数值为：
0MPa 100MPa
σ3 σ2
s 3 100 MPa
s1 50 MPa
s 2 0 MPa
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四、应力状态分类
1、单向应力状态 三个主应力只有一个不等于0 2、二向应力状态 三个主应力有两个不等于0 3、三向应力状态 三个主应力全不等于0 简单应力状态
a
y
σa
τa
③ 同时存在s和t：梁截面其它各点
s
a
s
m ax
ta
t m a x 如何进行强度计算，强度条件如何建立？
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第9章 应力状态分析
F
§9-1 应力状态的概念
A 二、研究一点应力状态的方法 单元体：为了研究一点的应力状态，通常是围绕该点取一个无 限小的微体，称为单元体。（正六面体，三棱柱）
试作图示单元体的应力圆
,τ x )
①: 建立σ-τ坐标系
②: 确定点D1(sx,tx) ③: 确定点D2(sy,ty) tx= -ty ④: 连接D1D2与s 轴交于C点
τy
o
C
τx
B1
σ
D2 ( σ y ,τ y ) σy
⑤: 以C为圆心，CD1（ CD2 ）为半径画圆。
y a
圆心C点坐标为（
半径为 (
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3、讨论：
τx σx
b
e
σα a a τ α
f τy σy
n
sa ta
sx s y
2 s x s y

s x s y
2
cos2a t x sin2a
t
s a 90
2 s x s y s x s y
2 s x s y 2 2
sin2a t x cos2a
证明：
OB1 OB2 OC = 2 2 2 CD1 = CB1 B1D1
=
sx s y
2
=
τy
o
C
τx
B1
σ
D2 ( σ y ,τ y ) σy
CB1 OB1 OC =s x
sx s y
2
s x s y
2
) t
2 2 x
y a
τy σ y
c
x τσ x
B1D1 t x
sx s y
2
τy σ y
c
x τσ x
， 0）
τx
σx
b x
s x s y
2
2 )2 t x
σy
τy
d
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二、应力圆
1、应力圆的绘制
s x s y
2
t
σx
( x D1σ
试作图示单元体的应力圆
圆心：(
,τ x )
sx s y
2
， 0) 半径：(
) t
2
2 x
B2
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第九章 应力状态分析
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第9章 应力状态分析
• • • • • • •
本章主要内容 应力状态的概念 二向应力状态分析的解析法 二向应力状态分析的图解法 三向应力状态简介 广义胡克定律 复杂应力状态下的应变比能
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F
§9-1 应力状态的概念 一、为什么要研究一点的应力状态 1、sa和ta是a的函数，需要研究一 点处不 同方位上的应力情况， 找到smax和tmax
顺时针为负。 2、解： 截面法 应力平衡（×） 力平衡（√） 各面上的力
y t x dA cos a n sa dA a s x dA cos a t y dA sin a a a x a t a dA s y dA sin a t
t
设ef 的面积为dA， 则eb的面积为dA cos a bf 的面积为dA sin a
s x t xy t xz I3 t yx s y t yz t zx t zy s z
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二、应力圆
sa ta sx s y
2 s x s y
s x s y
2
cos2a t x sin2a
σα τx a a τ α σx
b f τy σy
e
n
sa ta
c
n
x
OF s a =
sx s y
2

s x s y
2
cos2a t xsin2a
EF t a =
s x s y
2
sin2a t x cos2a
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2、应力圆求斜截面上的应力 试求图示单元体α截面上的应力 t 证明 OF =OC CF =OC+CEcos(2a0 +2a )
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§9-2 平面应力状态分析 一、斜截面上的应力
y a
已知s x、s y、t x、a，求sa、t a
σα τx a a τ α σx
b e n
τx
σx
b
τy σ y e
c
n
a
x
a
σy
解：
f τy
d
σx τx
f τy σy
t
y t x dA cos a n sa dA s x dA cos a a a t y dA sin a a x a t a dA s y dA sin a t
关系式
t x =t y(负号已包含在指向中）； sin 2a 2sin a cos a；
1 cos 2a 1 cos 2a 2 cos a ； sin a 2 2
2
s a、t a
计算公式
s x s y s x s y sa cos2a t xsin2a 2 2 t s x s y sin2a t cos2a a x 2