小学奥数 换元法.教师版
奇妙的换元法(1)
奇妙的换元法一、引入所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，把整个式子的一部分看作一个量，然后用一个字母去代替它，从而简化复杂式子的结构，使问题易于解决。
今天这一讲我们着重学习换元法的应用。
二、例题选讲例1． 把1)1(2)(2-++-+n m n m 分解因式分析：在原式中，重复出现了m+n ，不妨把m+n 看成u解：设m+n = u1)1(2)(2-++-+n m n m= 1)1(22-+-u u 换元= 322--u u= )1)(3(+-u u 回代= )1)(3(++-+n m n m*此例通过换元使原多项式的形式简洁了，分解容易了。
因而，在因式分解中，换元法有较为普遍的应用。
例2．分解因式 8)43)(33(22-++-+x x x x分析：此式展开后是n 的四次多项式，若将其展开，一定复杂。
根据本题特征，可设 y x x =+32。
通过换元，将x 的四次多项式转化为y 的二次多项式，化繁为简，变难为易。
解：设y x x =+32，则原式 = 8)4)(3(-+-y y 换元= 202-+y y= )5)(4(+-y y = )53)(43(22++-+x x x x 回代= )53)(4)(1(2+++-x x x x*本题除了可设y x x =+32换元以外，还有其它的换元方法（可设y x x =-+332或y x x =++432均可）例3． 分解因式2)1()2)(2-+-+-+xy y x xy y x （ 分析：直接分解因式较困难，观察所给式子，发现式子中只有x+ y 和xy ，若将x+ y 和xy 换元成a 和b ，则原式可以化为2)1()2)(2-+--b a b a （的形式，分解因式后再将a 、b 用x+ y 与xy 代入即可。
解：设x+ y = a ，xy = b 则原式 = 2)1()2)(2-+--b a b a （= 1242222--++--b b b ab a a= 1)22()2(22++-++-b a b ab a= 1)(2)(2+---b a b a= 2)1(--b a = 2)1(--+xy y x= 2)]1()1([y y x --- = 2)]1)(1[(y x --= 22)1()1(--y x*从本题特征看，把x+ y 、xy 各看作一个整体换元可使问题简化，事实上本题解法较多，同 学们可以自己在课后加以研究。
小学思维数学：换元法-带答案解析
换元法对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令1111246a +++=，111246b ++=，则：原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a =--+1()6a b =-11166=⨯= 【答案】16【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)=【答案】15【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令621739458126358947a ++=；739458358947b +=，原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++) 例题精讲教学目标【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
小学奥数精讲 换元法
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，原式378378207207a b a b⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b=-⨯=⨯=【答案】9例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
小学数学奥赛1-3-5 换元法.教师版
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，原式378378207207a b a b⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b=-⨯=⨯=【答案】9例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
小学数学 换元法.教师版
【题型】计算
【解析】令1 1 1 1 a ， 1 1 1 b ，则：
246
246
原式 (a 1) b a (b 1)
6
6
ab 1 b ab 1 a
6
6
1 (a b) 1 1 1
6
66
【答案】 1 6
【巩固】 (1 1 1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 1 1) (1 1 1)
21 31 41
原式
a
b
1 51
a
1 51
b
ab 1 a ab 1 b
51
51
1 (a b) 1 1 1
51
51 11 561
【答案】 1 561
【巩固】计算（1 1 1 1 ） (1 1 1 1 ) （1 1 1 1 1 ) (1 1 1 ) 5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11
【巩固】计算下面的算式
( 7.88 6.77 5.66 ) ( 9.31 10.98 10 ) ( 7.88 6.77 5.66 10 ) ( 9.31 10.98 )
【考点】换元法
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】希望杯，2 试
【解析】换 元 的 思 想 即 “ 打 包 ” ， 令 a 7.88 6.77 5.66 ， b 9.31 10.98
378 207
621 126
378 207
9
【答案】 9
1
【巩固】计算：( 0.1 0.21 0.321 0.4321 ) ( 0.21 0.321 0.4321 0.54321 )
( 0.1 0.21 0.321 0.4321 0.54321 ) ( 0.21 0.321 0.4321 )
小学奥数教师版-1-3-5 换元法
换元法教学目标对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．例题精讲【例1】计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a +++=，111246b ++=，则：原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b =-16611=⨯=【答案】16【巩固】11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)=【答案】15【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a ++=；739458358947b +=，原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯=【答案】【巩固】9计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】【巩固】0.054321计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，2试【解析】换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -)10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】(10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____。
换元法是什么：将复杂的式子化成简单明了的形式(化繁为简)
换元法讲解：将复杂的式子化繁为简
换元法是数学学习中的一种常见方法。
对结构比较复杂的多项式，把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，从而将复杂的式子化成简单明了的形式。
实质就是，
用一个符号代表一堆复杂的东西，计算起来比较省力。
来看下面这个例题
【例1】计算3+9+27+81+243+729+2187
分析：这题是等比数列求和，公比是3，共有7项。
采用错位相减法，让等式乘以它的公比。
令A=3+9+27+81+243+729+2187；
则 3A=9+27+81+243+729+2187+6561；
两式相减，
3A-A=2A=6561-3
2A=6558
A=6558÷2=3279
所以，
3+9+27+81+243+729+2187=3279
在计算【例1】中，
细心的你会发现，
G老师令A=3+9+27+81+243+729+2187；
这一步，
就叫做换元。
用字母A代表3+9+27+81+243+729+2187的和。
当然，
也可以不用A，
用B、C、D、E、F、G……都行，
喜欢哪个字母就用哪个。
注意：用换元法解答，在解题的最后一定要记得把元还回来，就像G老师在【例1】中写的最后一步“所以，3+9+27+81+243+729+2187=3279”。
更多小学数学重难点知识讲解，来和“G老师讲奥数”一起学习吧。
小学五年级奥数 分数计算之换元、通项归纳_PDF压缩
⑵ 目的，化简，抵消.
3．小小的倒数：分之一
找通项
【今日讲题】 例1，例4，例5，例6 【讲题心得】
__________________________________________________________________. 【家长评价】
__________________________________________________________________ ______________________________________________________________. 2
739 358
458 947
378 207
621 126
739 358
458 947
378 207
739 358
458 947
【例3】(★★★) (数学解题能力展示试题)计算：
1 2
2 3
3 4
9 10
2
1
1
3
4
1 1 1 1
1 1
2009
【例6】(★★★★)(祖冲之杯竞赛试题)
计算：31
3
1
6
3
1 6
9
3
6
1 9
90
板块二：关于通项归纳
4. 么通这项个：公如式果叫数做列这{an个}的数第列n的项通与项序公号式之.间的关系可以用一个式子来表示，那 例如，有一数列1，4，7，10，……，这个数列的第5项是 ____，第100项 是 _____。
换元法解题过程
换元法解题过程嘿，咱今儿个就来说说这换元法解题过程呀！这换元法，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多难题的门锁呢！你想想看，有时候那些数学题就像一团乱麻，让你摸不着头脑。
可一旦用上换元法，嘿，那就不一样啦！就好像突然找到了线头，能一点点把这团乱麻给理顺咯。
比如说，有个题目里有个超级复杂的式子，里面有个部分老是捣乱。
这时候，咱就可以大胆地把这个捣乱的部分设成一个新的变量，比如设成“小X”。
这就好比给这个捣乱的家伙起了个名字，咱对付起来就方便多啦！然后呢，把题目里涉及到这个捣乱部分的地方都用“小X”来替换。
哇塞，一下子，原来那复杂得让人头疼的式子是不是就变得简单多啦？就好像是把一个大怪兽变成了一只小猫咪，好对付多了吧！接下来，就按照正常的解题步骤去解这个变简单了的式子。
等求出“小X”的值后，可别忘记了再把它换回到原来的式子中去，这样才能得到最终的答案呀！换元法就像是一个魔法，能把难题变得不再可怕。
它就像你在解题路上的好帮手，关键时刻总能帮你一把。
你再想想，生活中是不是有时候也需要这样的“换元法”呢？当我们遇到一些棘手的问题，感觉无从下手的时候，是不是也可以试着换个角度，换个方式去思考呢？也许就会有新的发现和解决办法呢！就像走在路上遇到了一堵高墙，直接撞上去肯定不行呀，那得多疼！但如果我们绕个路，或者找个梯子翻过去，不就可以继续前进啦？这和换元法解题不是很像吗？所以啊，同学们，可别小看了这换元法解题过程哟！它可是我们在数学世界里探索的好工具呢！好好掌握它，让那些难题都乖乖投降吧！以后遇到难题的时候，就大胆地去尝试用换元法吧，说不定会有意外的惊喜呢！相信自己，一定能行！这换元法，真的是太好用啦，你们说是不是呀？。
小学奥数之换元法(教师版)
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算
【关键词】迎春杯
【解析】⑴该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设 ， ，
有原式 ( ) ( )
⑵设 ，
原式
【答案】⑴ ⑵
【巩固】计算： =。
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算
【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级
【解析】设 、 ，则有
10) 爱老婆要做到两个不要：不要问老婆能够为额做些什么，而要问额可以为老婆做些什么;不要问老婆喜欢些什么，老婆喜欢些什么对额而言应该是常识!
对老婆煽情的话
1) 有你相伴，天空是蓝的，空气是甜的;有你相随，日子是乐的，生活是美的;有你相守，家庭是暖的，心里幸福的;老婆我爱你，最美的祝福送给你，愿幸福绕你身旁，快乐把你笼罩!
1) 有一种情，相濡以沫温馨处处在，有一种意，海枯石烂温暖处处开，有一颗心，沧海桑田温情永不变，有一句话，相知相守爱你一万年，老婆我爱你永不变!
2) 你好象生气了，我心里也不好受，如果是我酿成了此错，希望你能原谅，如果不能原谅，我自己也无法原谅自己了。
3) 你负责貌美如花，我负责赚钱养家，你负责轻松悠闲，我负责工作挣钱，你负责开心幸福，我负责操持家务，你负责快乐天天，我负责爱你永远!
7) 就数老婆好，美女都不要;打骂不还手，见面就告饶;化妆你称道，购物掏腰包;逛街不斜视，乖乖跟好了。
8) 孔雀最美，你是我的孔雀，我为你开屏;百灵最俏，你是我的百灵，我为你鸣叫。我的妻，爱你是我唯一的语言，疼你是我仅有的表现。愿我们幸福百年。
9) 浪漫在起舞，甜蜜在微笑;温馨在荡漾，喜悦在心头;内心在狂喜，心情在澎湃;真情在涌动，真爱在表白：老婆，爱你没商量，爱你永不变!
三、换元思想
换元法原理及解释
换元法原理及解释
嘿，咱今儿就来唠唠换元法！换元法啊，就像是给一个复杂的数学式子来个大变身！比如说，咱遇到一个式子，里面的某个部分特别复杂，就像一团乱麻，让你头疼得很，对吧？（就像你面对一团怎么解也解不开的耳机线一样。
）这时候，咱就可以找个新的“替身”来代替这团乱麻，把问题变得简单些。
你看哈，假设原来的式子是 f(x)，里面有个部分比如说是 g(x)很难搞，那咱就设 t = g(x)，这下子，原来的式子 f(x)就可以变成 f(t)啦！（这就好比你本来面对一个调皮捣蛋让你头疼的小孩，现在把他换成了一个乖宝宝。
）这多好呀，一下子就把难题变得容易多啦！
我给你举个例子呗，就说计算∫(x+1)²dx，咱就可以设 t = x+1，那 dx 不就等于 dt 啦！然后式子就变成了∫t²dt，这样是不是好算多啦？（就像你原本要走一条崎岖的山路，现在突然有条平坦的大道摆在你面前。
）
换元法在很多地方都超有用的呢！不管是解方程还是求积分，都能派上大用场。
它就像一把神奇的钥匙，能打开那些看似紧闭的数学大门。
（就如同你有一把万能钥匙，可以打开各种神秘的宝箱。
）咱可不能小瞧它呀！
我觉得换元法真的是数学里超级厉害的一个方法，它能让我们在面对复杂问题时找到巧妙的解决途径，让我们能更轻松地在数学的海洋里畅游。
所以呀，大家一定要好好掌握换元法哦！。
奥数五六年级知识点总结第八讲凑整法基准法换元法
第八讲凑整法基准法换元法问题引入：一、一、问题引入：正如上一讲中介绍的，对于一些特殊形式的算式，我们可以进行裂项计算。
那么对于无法进行裂项的算式，特别是那些含有复杂的分数和小数的算式来说，要如何进行巧算呢？这一讲中就为大家介绍三种计算题中常用的方法：凑整法、基准法、换元法。
同时这四种方法也是四种思想，这四种思想不仅可以应用到计算以外的奥数领域，更可以应用到我们的日常生活中。
知识总结：二、二、知识总结：1、凑整思想：所谓凑整思想，就是将合适的两个事物配对到一起。
具体到计算题中，我们的计算经验告诉我们，整数的计算比小数和分数的计算简单，末位为0的整数的计算比末位不为0的整数的计算简单，因此，我们在计算过程中，尽量把能凑成整数的两个小数或分数放在一起计算，把能凑成末位为零的整数的两个数放在一起计算。
例如加减法运算3.46+2.37+1.54+5.63,如果直接按顺序计算很麻烦，观察后我们可以发现3.46与1.54的和为5, 2.37与5.63的和为8，所以我们将3.46与1.54配对，2.37与5.63配对，原式可写成（3.46+1.54）+（2.37+5.63），答案就显而易见为5+8=13。
再如乘除法运算2.25×5×3.2×4，观察后发现2.25×4=9，5×3.2=16，原式可以写成（2.25×4）×（3.2×5）=9×16=144。
除了凑整之外，其他的一些非凑整的凑数技巧也会经常用到，最常见的就是7×11×13=1001。
比如计算234×7×11×13，如果记住了上述规律，则可以直接写出答案234234。
2、基准思想基准思想就是为一组水平参差不齐的事物找一个标准线，这些事物都与这个标准型比较，从而更显著的看出这组事物的差异。
具体到计算题中，如果一组数都接近于某个整数，那么就以这个整数为标准，看看这些数与这个整数差多少。
数学竞赛辅导资料换元法
数学竞赛辅导资料换元法
换元法是中学数学中的一个极其重要的数学思想方法。
利用换元法分解因式，就是将多项式中的某一部分用一个新字母（元）来代替，进行变量替换，将问题转化，从而起到化繁为简、化隐为显、化难为易的作用。
一、直接换元
例1. 分解因式：
解：设，则
原式
二、双元换元
例2. 分解因式：
解：设
则，
原式
三、和积换元
例3. 分解因式：
解：设
原式
四、和差换元
例4. 分解因式：解：设
则
原式
五、常值换元
例5. 分解因式：
解：设，则，原式
六、均值换元
例6. 分解因式：
解：原式
设
则原式
七、倒数换元
例7. 分解因式：
解：原式
设，则
原式
八、变形后换元
例8. 分解因式：
解：原式
设，则
原式
九、整体换元
例9.分解因式：
解：原式
设，则原式
十、局部换元
例10. 分解因式：
解：设，则原式。
小学数学培优之换元法
1-3-5.换元法.题库 学生版 page 1 of 对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-例题精讲教学目标换元法(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
【巩固】 计算：⑴ (10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+)⑵621739458739458378621739458378126358947358947207126358947207⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭739458358947⎛⎫+ ⎪⎝⎭【巩固】 计算： 573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 。
五年级奥数.计算综合.公式、重要结论应用与换元法(C级).教师版
（1） 灵活运用平方和、立方和公式进行计算； （2） 了解等比数列；（3） 灵活运用等比数列求和公式进行计算。
【基本概念】等比数列——如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(geometric progression)。
这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q 表示(q≠0)。
注：q =1时，an 为常数列。
【常用公式】 （1） 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=；（2） ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； （3）()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=；（4） 等比数列求和公式：（1）0111111(1)1n n n a q S a q a q a qq --=++⋅⋅⋅+=-()1〉q ； （2）qq a qa q a q a S n n n --=+++=-1)1(1111101 ()1〈q 。
（5） 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；（6） 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．考试要求知识结构公式、特殊结论应用与换元法（1） 平方和、立方和公式的灵活运用； （2） 等比数列公式的灵活运用。
【例 1】 计算：222012201125531012323111+⨯-⨯ 【考点】特殊结论应用 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】原式=22201220111112310110123111+⨯⨯-⨯⨯=0 【答案】0。
五年级下册数学试题-奥数专题培优讲练：09消去法与换元法（5年级培优）教师版
五年级下册数学试题-奥数专题培优讲练：09消去法与换元法（5年级培优）教师版课堂目标：1、记住用消去法、换元法解题的题型；2、掌握用消去法及换元法解决实际问题重点：消去法、换元法解题难点：消去法解应用题的过程（消元的方法）换元法：有时候，题目中有两个有一定关联的数量，这两个数量给解题带来不便，我们要从中找到两种数量之间的联系，把两种数量转化成一种数量，从而帮助我们找到解题的方法。
消去法：在较复杂的应用题中，有的包含着两个或两个以上要求的量，解答时，先想法消去一个要求的量，再求出另一个量，然后求出消去的量。
这种方法叫做消去法。
解题方法：利用条件简化法，设法将其中的一个未知量消去，先求出另一个未知量，进而求出消去的未知量。
（等量代换、加减消元法、列表法）【换元法解应用题】一张桌子的价钱等于4把椅子的价钱，买1张桌子和12把椅子共付288元。
求：一张桌子和一把椅子各多少元？【答案】72元；18元【知识点】换元法解题【难度】A 【出处】小学数学拓展学案【分析】椅子：()18412288=+÷（元），桌子：72418=?（元）3张桌子价钱等于7把椅子价钱。
每把椅子36元，买2张桌子和7把椅子共付多少钱？【分析】42073623736=?+?÷?（元）小华买了3支铅笔和6张图画纸，共付了1.2元，每支铅笔比每张图画纸贵0.1元。
每张图画纸多少元？每支铅笔多少元？【答案】0.1元；0.2元【知识点】等量代换【难度】B 【出处】小学数学拓展学案【分析】()()1.06331.02.1=+÷?-（元）；2.01.01.0=+（元）。
学校买来8块大黑板和12块小黑板共用去300元，一块大黑板的价钱比两块小黑板还要贵2.5元。
大黑板每块多少钱？小黑板每块多少钱？【分析】()[]()5.2221282125.2300=÷+÷÷?+（元）；()1025.25.22=÷-（元）【消去法解应用题】光明小学买水壶4只、水桶5个，共付出150.5元；实验小学买同样的水壶4只、水桶8个，共付出182元。
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对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令1111246a +++=，111246b ++=，则： 原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a =--+1()6a b =-11166=⨯= 【答案】16例题精讲教学目标换元法【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)= 【答案】15【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令621739458126358947a ++=；739458358947b +=，原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+) 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -)10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】 设0.120.23a +=，0.120.230.34b ++=原式()()110.34a b b a b a =+⨯-+⨯=-= 【答案】0.34【巩固】 计算：⑴ (10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+)⑵621739458739458378621739458378126358947358947207126358947207⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭739458358947⎛⎫+ ⎪⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【关键词】迎春杯【解析】 ⑴ 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设0.450.56a =+，0.450.560.67b =++，有原式=(1a +)b ⨯-(1b +)0.67a b ab a ab b a ⨯=+--=-=⑵ 设621739458126358947a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，739458358947b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭原式378378378621378()9207207207126207a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯=-⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】⑴0.67 ⑵9【巩固】 计算： 573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 。
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】 设573123217a =++、733217b =+，则有441313444()131313455131239a b a ba b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-=⨯=原式 【答案】539【例 2】 计算：1111111111112200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】3星 【题型】计算【解析】 令111232007a =+++，111232008b =+++， 原式()()1112008a b b a b ab a ab b a =+⨯-+⨯=+--=-=【答案】12008【巩固】 111111111111111111213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设111111213141a +++=，111213141b ++=， 原式115151a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 115151ab a ab b =+--1()51a b =-1115111561=⨯=【答案】1561【巩固】 计算1111111111111111())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【关键词】清华附中【解析】 设111157911A +++=，1117911B ++=，原式111313A B A B ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111313A B A A B B =⨯+-⨯-()113A B =-11113565=⨯= 【答案】165【巩固】 计算11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⨯++++-+++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设111112345A ++++=，11112345B +++=原式=1166A B A B ⎛⎫⎛⎫⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1166A B A A B B ⨯+⨯-⨯-⨯=1166A B ⨯-⨯ 16=⨯(A B -)16=【答案】16【例 3】 计算：212391239112923912341023410223103410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⨯-++++⨯+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【关键词】迎春杯【解析】 设123923410t =++++，则有22211111(1)222222t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+⨯-+-=+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】【例 4】 计算11112111311143114120092009++++++++++【考点】换元法 【难度】4星 【题型】计算【解析】 设3N =+11412009++. 原式=112N++11111N++=121N N++111N N ++=112121N N N N ++=++. 【答案】1【例 5】 计算：22222811811811111118118118811⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+÷++⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦【考点】换元法 【难度】3星 【题型】计算【解析】 (法一)设811x =，则原式2211881111288x x x x x x x x +--==⎛⎫⎛⎫++⨯-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (法二)设811118x =+，那么222228112118x =++，所以222228112118x +=-．而2222211112811811111228118118118118888x x ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-⨯=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 这样原式转化为()()222228888121288x x x x x x x x ----=⨯=--+-⨯． 在这里需要老师对于()()()()a b c d a b c a b d ac bc ad bd +⨯+=+⨯++⨯=+++的计算进行简单的说明. 【答案】88【例 6】 计算：22010200920111⨯+【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设a =2009,原式2221)211+2121a a a a a a a +++===+++（（）【答案】1【巩固】 计算200820092007200820091+⨯⨯-（4级）【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设2008a =原式(1)(1)(1)1a a a a a ++-=+-22111a a a a +-=+-= 【答案】1。