第五章 屈服准则

2 2 2
与等效应力比较得 ：
2 1 2 2 2 2 2 σe = + τ yz + τ zx = σs (σ x − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 (τ xy ) 2
用主应力表示为 ：
1⎡ 2 2 2 (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ⎤ = σ s σe = ⎦ 2⎣
塑性材料试样拉伸时拉力与伸长量 之间的关系
f( σ x , σ y , σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx ) = C f( σ 1 , σ 2 , σ 3 ) = C f(I1 , I 2 , I 3 ) = C
' f(I 2 , I 3' ) = C
屈服准则与应力和材料有关，C是与 材料性质有关而与坐标系的常数. 屈服准则是求解塑性成形问题必要 的补充方程 。
证明：
在弹性变形时有下列广义虎克定律：
单位体积的弹性变形能可借助于这个式子用应力表示为：
其中与物体形状改变有关的部分，可将此式中的应力分量代以偏差应力 分量而求得：
于是，发生塑性变形时的单位体积形状变化能达到的极值是： 所以，密赛斯屈服准则也称为变形能定值理论。
则Mises屈服准则为:
σ e =σ s
需注意的是： 1） 应用密赛斯屈服准则时，单向拉伸时屈服剪应力为 σ s / 2 ，在纯 剪时屈服剪应力增大至 k = σ s / 3 = 0.577σ s ,是 σ s / 2 的１．１５５倍。这 和屈雷斯卡屈服准则认为剪应力达到 σ s / 2 为判断是否屈服的依据是不 同的； 2） 密赛斯当初认为，他的准则是近似的。由于这一准则只用一个式 子表示，而且可以不必求出主应力，也不论是平面或空间问题，所以显 得简便。后来大量事实证明，密赛斯屈服准则更符合实际，而且对这一 准则提出了物理的和力学的解释； 3） 一个解释是汉基（Ｈｅｎｃｋｙ）于１９２４年提出的。汉基认 为密赛斯屈服准则表示各向同性材料内部所积累的单位体积变形能达到 一定值时发生屈服，而这个变形能只与材料性质有关，与应力状态无关。
第5章 屈服准则
本章主要内容
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 基本概念 屈雷斯加屈服准则 米塞斯屈服准则 屈服准则的几何描述 屈服准则的实验验证与比较 应变硬化材料的屈服准则
5.1 基本概念
金属变形：弹性+塑性
一、屈服准则（塑性条件）： 在一定的变形条件下，当各应力 分量之间满足一定关系时，质点才开 始进入塑性状态，这种关系称为屈服 准则。
2
1 σs 3
2
M(0,-τ1)
2 2 2 2 2 (σ x − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 (τ xy + τ yz + τ zx = 2 σ = 6 k ) s
(σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) = 2σ s2 = 6k 2
σ1 = σ s σ 2 = σ 3 = 0
1⎡ 2 2 2 2 ⎤ σ σ σ σ σ σ σ − + − + − = ( ) ( ) ( ) s 1 2 2 3 3 1 ⎦ 2⎣
Mises屈服准则在纯剪切应力状态时：
σ2
O
σσ 1
τ xy = σ 1 = −σ 3 = k
2
得：
k=
Mises屈服准则又可以表示为：
二、关于材料性质的基本概念
a)实际金属材料
b)理想弹塑性 c)理想刚塑性
d)弹塑性硬化
e)刚塑性硬化
讨论： 1、实际金属材料在比例极限以下——理想弹性 一般金属材料是理想弹性材料 2、金属在慢速热变形时——接近理想塑性材料 3、金属在冷变形时——弹塑性硬化材料 4、金属在冷变形屈服平台部分——接近理想塑性
用主应力表示 ： y 1 2 2 2 I ' 2 = ⎡ (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ⎤ = C ⎦ 6⎣ 求C： 对于单向拉伸 ： Mises屈服准则：
σ 1 = τ 1 σ 2 = −σ 1
τ1 τ1 x τ L(0,τ1)
O
1 2 得 ： C = σs 3
σ
σs
5.2 Tresca屈服准则
1864年，法国工程师屈雷斯加: 当材料中的最大切应力达到某一定值时，材料就屈服。即材料处于 塑性状态时，其最大切应力是一不变的定值， ——又称为最大切应力不 变条件:
τ max =
σ max − σ min
2
=C
C为材料性能常数，可通过单拉求得 :
材料单向拉伸时的应力 : K为材料屈服时的最大切应 力值，即剪切屈服强度
当主应力不知时，上述Tresca准则不便使用
对于平面变形及主应力为异号的平面应力问题：
τ max
⎛σx −σ y ⎞ 2 = ⎜ + τ xy ⎟ ⎝ 2 ⎠
2
屈雷斯加屈服准则可写成：
2 2 2 σ − σ + 4 τ = σ = 4 K ( x y ) xy s 2
5.3 Mises屈服准则
1913年，德国力学家米塞斯： f( σ ij ) = C 与ห้องสมุดไป่ตู้标的先择无关， 对于各向同性材料，屈服函数式 ' 有关。 与塑性变形与应力偏张量有关，且只与应力偏张量的第二不变量 I
2
在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第2不 变量 I' 达到某一定值时，该点就进入塑性状态。
2
屈服函数为：
′ )=J 2 ′ =C f (σ ij
应力偏张量第二不变量为 ：
2 2 1⎡ 2 2 2 2 ⎤ I 2 = ⎢(σ x − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 (τ xy + τ yz + τ zx =C ) ⎥ ⎦ 6⎣ '
σ max = σ 1 = σ s σ min = σ 2 = σ 3 = 0 σs σs C= τ max = = K
2 2
σ max − σ min = σ s = 2 K
设
σ1 > σ 2 > σ 3
σ 1 − σ 3 = 2K
如果不知主应力大小顺序，则屈雷斯加表达式为：
max { σ 1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ 3 − σ 1 } = 2 K = σ s