曹显兵.概率论讲义(打印版)

第一讲 随机事件与概率

考试要求

1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.

2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.

3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型

1．试验，样本空间与事件.

2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数

中有利事件数

A A P =

)(

3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则

、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积=

)(A P

【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个；

（2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回.

【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于

16

3. 一、 事件的关系与概率的性质

1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ⇔ Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ⇔ Φ=AB ,

Ω=B A

（3） A 与B 相互独立⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）.

⇔ P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ⇔(|)(|)1P B A P B A += （0

⇔P （B|A ） =P （B|A ） （ 0 < P （A ） < 1 ）

注: 若（0

0）

⇔ 1)|()|(=+B A P B A P （0

（4） A, B, C 两两独立 ⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）;

P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）.

（5） A, B, C 相互独立 ⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）;

P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）;

P （ABC ）=P （A ）P （B ）P （C ）.

2. 重要公式 （1） )(1)(A P A P -=

（2）

)()()(AB P A P B A P -=-

（3） )()()()(AB P B P A P B A P -+=

)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=

（4） 若A 1, A 2,…,A n 两两互斥, 则∑===n

i i n

i i

A P A

P 1

1

)()(

.

（5） 若A 21,A , …, A n 相互独立, 则 )(1)(

11i

n i n i i

A P A P ∏==-= )](1[11

i

n

i A P ∏=--=.

∏===n

i i n i i A P A P 1

1

)()( .

（6） 条件概率公式: )

()

()|(A P AB P A B P =

（P （A ）>0）

【例3】 已知（A ＋B ）（B A +）＋B A B A +++＝C, 且P （ C ）＝

3

1

, 试求P （B ）. 【例4】 设两两相互独立的三事件A, B, C 满足条件: ABC ＝Φ, P （A ）＝P （B ）＝P （C ）<

2

1,且已知9()16P A B C =, 则

P （A ）＝ .

【例5】 设三个事件A 、B 、C 满足P （AB ）＝P （ABC ）, 且0

（A ）P （A B|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （B ）P （A B|C ）＝P （A

B ）.

（C ）P （A

B|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （D ）P （A

B|C ）＝P （A

B ）.

【例6】 设事件A, B, C 满足条件: P （AB ）＝P （AC ）＝P （BC ）18=

, P （ABC ）＝1

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, 则事件A, B, C 中至多一个发生的概率为 .

【例7】 设事件A, B 满足 P （B| A ）＝1则

【 】

（A ） A 为必然事件. （B ） P （B|

A ）=0.

（C ） A B ⊃. （D ） A B ⊂.

【例8】 设A, B, C 为三个相互独立的事件, 且0

B A +与

C . （B ） AC 与C

（C ）

B A -与

C （

D ） AB 与C

【例9】 设A ，B 为任意两个事件，试证

P （A ）P （B ）－P （AB ） ≤ P （A －B ） P （B －A ） ≤

4

1. 三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式 1． 乘法公式：

).

|()|()|()()().

|()()|()()(1212131212121212121-===n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A P A P A A P

2． 全概率公式：