一维定态的一般性质
一维定态性质
第三章 一维定态问题§3.1 一维定态的一般性质性质1、当)(x V 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。
证明：分能级无简并和有简并两种情况（1） 能级无简并对应能级E ，只有一个独立的本征波函数。
设 )(x ψ为与E 对应的本征波函数)()(ˆx E x Hψψ= 取复共轭，因)()(*x V x V =，则)()(ˆ**x E x Hψψ= )(*x ψ也是与E 对应的本征波函数。
因无简并，则 αψψψψψi e C x C x C x x C x ====)()()()()(2***可取0=α，即)(x ψ可取为实函数。
（2）能级有简并对应某一能级E ，有两个或两个以上独立的本征波函数。
例如氢原子能级：eV 16.132nE n -=，波函数： )(r sl m nlm ψ， 简并度：22n f =.设集合 )}({x i ψ为与E 对应的本征波函数 f i x E x H ii ,,2,1),()(ˆ ==ψψ 取共轭得f i x E x H ii ,,2,1),()(ˆ** ==ψψ 集合 )}({*x i ψ 也是与E 对应的本征波函数。
只要)}({x i ψ中有一个波函数，例如j ψ不是实函数，那么就可用实函数 )(*j j ψψ+或 )]([*j j i ψψ--来取代j ψ，最后总能组合成一组实函数。
所以，当)(x V 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。
下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。
空间反射变换：用算符P ˆ代表空间反射变换 )()(ˆx x P-=ψψ 本征方程： )()(ˆx x Pψπψ=可以证明 π为实数。
只有当 π为实数时上述方程才是本征方程。
因为按照基本假定，本征值与测量值相对应，而测量值总是实数。
宇称（parity ）：空间反射变换算符的本征值 π．宇称的可能取值：)()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ2x x P x P P x Pψψψψ=-== )()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ22x x P x P P x Pψπψπψψ=== )()(2x x ψπψ=211ππ=⇒=±即 ⎩⎨⎧-=负宇称正宇称，)(),()(ˆx x x P ψψψ空间反射不变的波函数具有正宇称。
6一维定态的一般性质自由粒子本征函数的规格化与箱归一化
21 ) c1 (1 3 31) 0 c2 (1 2
c1 3 ) (c2 2 c1 3 )1 0 1 (c2 2
令 c2 2 c1 3 ，则
1 1 0
2 d 2 2 dx 2 U ( x) ( x) E ( x) 作代换 x x ，则
证明：
2 d 2 2 dx 2 U ( x) ( x) E ( x)
考虑到 U ( x) U ( x) ，得
2 d 2 2 dx 2 U ( x) ( x) E ( x)
其次，讨论 E 0 的情况。 令 k 两个特解
2 E
，则
( x) k 2 ( x) 0
2 ( x) eikx
1 ( x) eikx
若 k 的取值范围选为从负无穷到正无穷，则两式统一成
k ( x) ceikx
它是能量的本征函数，相应的能量本征值为 k 2 2 Ek 2 显然， k表示动量。
( x) 2 ( x)1 ( x) c （与 x 无关的常数） 1 ( x) 2
2 E U ( x) 1 0 2 2 2 2 E U ( x) 2 0 上面两式两边分别乘以 2 和 1 ，然后相减，得
证明：
1
即
1 1
c3 1
c3 1 c2 2 c1 3
c2 c1 1 2 3 c3 c3
与假设矛盾。定理得证。
定理4：对一维束缚定态，所有能级都不简并。 证明：设对于同一能量本征值，存在两个独立的波函数，则
2 1 c 1 2
3.1一维定态的一般性质
1 2d 2 1 2d 2 1 2d 2
X 2 d 2 X x V 1 ( x ) Y 2 d 2 Y y V 2 ( y ) Z 2 d 2 Z z V 3 ( z ) E
2 d 2
[ 2 dx 2 V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x )
2 d 2
2 d 2
2 d 2
Y 2 Z d 2 X x V 1 ( x ) X 2 d Z 2 Y y V 2 ( y ) X 2 d Y 2 Z z V 3 ( z ) E ( x , y , z )
两边除于 （ x ,y ,z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
当能级有简并时，用定 理2
定理2：对于能量的某个本征值E，总可找到方 程的一组实解，凡是属于 E 的任何解，均可表 成这一组实解的线性叠加。这组实解是完备的。
证明：
设(x)是属于E能 的量 本征函数
它可以是实解，也可以为复解。 如为实解，则把它到 归实 结解集合中去
(注意我们的目的是组 找实 这解集)合. 现在只需证明如 ，为 则复 可解 以表为一 实组完备 解的线性叠加。
令 (x,y,z)X (x)Y (y)Z (z)
于是S-方程化为：
2 2 d d 2 2 d d x 2 2 d d y 2 2 X ( z x ) Y ( y ) Z ( z ) V 1 ( x ) V 2 ( y ) V 3 ( z ) ( x ,y ,z ) E ( x表 )的为 线性叠加
即
(x)1(i)
2
*(x)1(i)
实解线性叠加
2
定理3： 设V(x)具有空间反射不变性 V(-x)= V(x)
如ψ(x)是定态方程的属于能量为E的解，则 ψ(-x)也是方程的相应于能量为E的解。 证明： 对方 x 程 x ， 进 按 V ( 行 x ) 假 V (x )， 定
量子力学9-10一维定态
+∞
−∞
∫ dxe
−i
px
ψ1 ( x )
φ1 ( p )
ap πa cos 2 2 −2 ap π = − , 2 2
谁对？谁错？
(− ∞ < p < +∞ )
2.2.2 有限深对称方势阱问题
含时薛定谔方程导引
哈密顿-雅可比方程，可以推导出最小作用 量原理与费马原理
五大公设 (1)、第一公设 ——波函数公设 状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数 性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设 (3)、第三公设 ——测量公设
(4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方 程 公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设
由波函数及其导数在边界上的连续性，可得到
(ln cos kx )′ x = a / 2 = (ln e − βx )′
由此得到 令
x =a / 2
k tan( ka / 2) = β
ξ = ka / 2, η = βa / 2
( 20)
( 21)
则式(20)可化为
ξ tan ξ = η
( 22)
由(15), (18), (21)得到
很快，薛定谔就通过德布罗意论文的相对论性理论，
推导出一个相对论性波动方程，他将这方程应用于 氢原子，计算出束缚电子的波函数。但很可惜。因 为薛定谔没有将电子的自旋纳入考量，所以从这方 程推导出的精细结构公式不符合索末菲模型。他只 好将这方程加以修改，除去相对论性部分，并用剩 下的非相对论性方程来计算氢原子的谱线。解析这 微分方程的工作相当困难，在其好朋友数学家赫尔 曼·外尔鼎力相助下，他复制出了与玻尔模型完全 相同的答案。因此，他决定暂且不发表相对论性部 分，只把非相对论性波动方程与氢原子光谱分析结 果，写为一篇论文。1926年，他正式发表了这论 文。
专题-一维薛定谔方程的普遍性质 量子力学
2 η sh 2a
2 2 2 α1 + β1 - β2 =1
-iβ2 e ik l α1 + iβ1 e -ik l
这里 α1 ，β1 ，β2 均为实数。最后得系数递推公式
第一谷 第一垒 第二谷 第二垒
l=2b
l=2(a+ b)
-a 0 a
x
6
设电子总能量 E < V0 ，作为一般考虑，假定第n谷中的波函数为
n ( x ) Ane ik ( x nl ) Bne ik ( x nl ) ,
于是第0至第1谷情况区段中波函数解为
n 1 l a x nl a
ea ea
e a e a
e ik a ik e ik a
A 0 B ik e ik a 0
8
2ik a e ik l , A iη sh 2 a e ik l A1 ch 2 a i sh 2 a e 0 2ik a e ik l B0 ik l , B1 ch 2 a i sh 2 a e i η sh 2 a e
A An An-1 n 0 B = Ω B = Ω B n n-1 0
9
这里 α1 ，β1 ，β2 均为实数。最后得系数递推公式
A An An-1 n 0 B = Ω B = Ω B n n-1 0
1 k 1 k , η 2k 2 k
第一章+薛定谔方程,一维定态问题
第一章+薛定谔方程,一维定态问题
第一章+薛定谔方程，一维定态问题
本章主要介绍量子力学的基础概念和薛定谔方程的推导及其在
一维定态问题中的应用。
量子力学是描述微观世界中物质及其运动规律的理论。
在量子力学中，粒子的运动状态由波函数描述，波函数可以用来计算粒子在不同位置的概率密度。
薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，它描述了波函数随时间的演化规律。
一维定态问题是指一个粒子在一维空间中的运动状态是定态的，即粒子的波函数只包含一个能量本征态。
在一维定态问题中，薛定谔方程可以简化为一维薛定谔方程，可以通过求解该方程得到粒子的能量本征态和能量本征值。
本章将详细介绍薛定谔方程的推导过程和一维定态问题的求解
方法，包括定态薛定谔方程的解法和粒子在势阱和势垒中的运动规律。
同时还将介绍相关的数学工具和物理概念，如波函数、能量本征态、能量本征值和概率密度等。
通过学习本章内容，读者将能够了解量子力学的基本概念和薛定谔方程的应用，掌握一维定态问题的求解方法，为后续学习量子力学的进阶内容奠定基础。
- 1 -。
第3章 一维定态问题
2 d ( x) 2mE 2 2 k ( x) 0 令： k 2 则： 2 dx
通解：
x Aeikx Beikx C coskx D sin kx
A, B, C, D 为常数，由标准条件和归一化条件确定。 ka ka a ka ka a C cos D sin 0 x C cos D sin 0 x 2 2 2 2 2 2
（3）能量间隔：
(n 1) 2 2 2 n 2 2 2 2 2 E n E n1 En (2n 1) 2 2 2m a 2m a 2m a2
n一定， a一定，
a En 0
En 2n 1 n En 2 0 En n En
2
V
a 时 2
d 2 ( x) 2 x x ( x ) ( x ) A ' e B ' e dx2
由有限条件，当
x a 2 x
( x) 0
粒子不可以进入Ⅱ区
I区： V 0
2 d 薛定谔方程： ( x) 2m E ( x) 0 dx2 2
( x)
E2
1 ( x)
n 1, 2,
a n sin x n 1, 2,3 2 a
E1
非对称二维无限深势阱
0 0 x a,0 y b V ( x, y) others
2 n12 n2 En ( 2 2) 2m a b 2
( p) ( p)
2
2
4 a
pa cos 2 2 2 2 2 a p
2
3
8.非对称一维无限深势阱
4 ( x)
V ( x)
2.6 一维定态问题
§2.6 一维定态问题一．一维定态波函数的一般性质对一维定态问题，薛定谔方程为定理一：设是方程的一个解，对应能量为E,则也是方程的一个解，对应能量也为E。
证明：，对方程两边取复共轭，利用满足相同的方程，对应的能量都是E。
定理二：设具有空间反射不变性，即，如为方程的一个解，对应能量为E；则也为方程的一个解，对应能量也是E。
定理三：当时，如无简并，方程的解有确定的宇称。
即偶宇称：，或奇宇称：。
证明：因为和都是能量E的解，二者应表示同样的状态。
因此应只差一常数。
，则所以，，，。
二．一维无限深势阱，，，，令，方程的解为：，利用边界条件：得：，即：，，（时，，无物理意义）, 对应的波函数为：。
利用归一化条件： , 得：，归一化后的波函数为：。
束缚态：无穷远处为零的波函数所描述的状态。
基态：体系能量最低的态。
三．一维线性谐振子一维线性谐振子的势能为，体系的薛定谔方程为，进行如下变量代换：，，薛定谔方程变为：，变系数二级常微分方程。
，方程变为，解为，时，有限，将写成如下形式：，带入原方程将H按展成幂级数，时，有限,要求幂级数只有有限项。
级数只有有限项的条件是：，线性谐振子的能级为：，线性谐振子的能量为分离值，相邻能级的间距为。
零点能：，。
厄密多项式：递推公式: (1)（2）（3）（4）对应的波函数为：，归一化常数：四．势垒贯穿；薛定谔方程为，，(a)时令，方程变为：，，在区域，波函数：在区域，波函数：在区域，波函数：对投射波，不应有向左传播的波，即：。
利用波函数及微商在和的连续条件，我们有:::,解方程组：利用几率流密度公式：得出入射波、透射波、反射波的几率流密度入射波几率流密度：透射波几率流密度：反射波几率流密度：投射系数：反射系数：(b) 时令，方程变为：，方程的解形式为：利用边界条件得：其中双曲正弦函数，双曲余弦函数投射系数：隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。
按经典力学：，如，则动能为负。
《一维定态问题》课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨一维定态问题，介绍定态和一维定态问 题的基本概念，并讲解其数学描述、求解方法以及应用领域。
导言
一维定态问题是研究物理学等领域中的一类重要问题。它提供了理解系统行 为和性质的基础，以及解决各种实际问题的方法。
定态和一维定态问题的基本概 念
例题三
借助计算机模拟，展示一维定 态问题的数值解法和仿真结果。
一维定态问题的应用
量子力学
一维定态问题在量子力学 中有广泛的应用，例如描 述电子在一维势场中的行 为。
固态物理学
研究材料中晶格振动、电 子能带等问题时，可以把 复杂的多维系统简化为一 维定态问题。
量子计算
一维定态问题为理解和实 现量子计算提供了基础， 如量子比特的储存和操作 等。
总结和展望
通过本PPT课件，我们对一维定态问题有了更深入的了解。未来，我们可以 进一步研究其在更复杂系统和实际应用中的应用。
定态是指系统在某个特定状态下具有稳定性和不变性。一维定态问题是针对 一维系统中的定态进行研究和求解的问题。
一维定态问题的数学描述
数学上，一维定态问题可以通过使用定态薛定谔方程进行描述。这个方程描述了系统的波函数和能量的 关系，是解决一维定态问题的关键。
一维定态问题的求解方法
1
经典方法
传统的求解一维定态问题的方法，如分离变量法、定态扰动法等。
2
量子力学方法
利用量子力学的基本原理和数学工具，如哈密法
借助计算机和数值计算技术，通过离散化和近似方法求解一维定态问题。
例题演示和讲解
例题一
例题二
通过实际例题，演示和讲解一 维定态问题的求解过程和方法。
通过复杂的数学方程，在黑板 上演示一维定态问题的解析求 解过程。
第2章 一维定态问题
即 V0a2 2h2 / 2m
时，才能出现最低的奇宇称能级。
由以上分析可以看出，束缚态能级是分立的，它是束 缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。
18
➢§2.3 线性谐振子
自然界中广泛碰到简谐运动，任何物体在平衡位 置附近的小振动(如分子的振动、晶格的振动、原 子表面振动及辐射场的振动等)在选择了适当的坐 标之后，往往可以分解成若干个相互独立的谐振 动。另外谐振动又是复杂运动的初步近似。所以 谐振动的研究无论在理论上还是在应用上，都是 极为重要的。谐振子的本征值问题，在历史上 Heisenberg首先用矩阵力学加以解决，后来Dirac 用算子代数的方法给出了极漂亮的解。
Th7：粒子在规则势场（V无奇点）中运动，如存 在束缚态，则必定是不简并的。 1 '2 2 '1 不包含 '1/ 1 '2/ 2 1 c2
说明：对多数常见的不规则势阱，上定理也成立， 但对某些常见的不规则势阱定理不成立。
6
➢§2.2 方位势
1 一维无限深势阱 分立谱
第2章 一维定态问题
本章我们将薛定谔方程应用到几个比较简单 的力学系统中去，求出方程的解和阐明这些 解的物理意义。具体分为如下问题
1 一维定态的一般性质 2 方位势 3 线性谐振子 4 一维散射问题
1
➢§2.1 一维定态的一般性质
一维情况下，定态薛定谔方程为
[
h2 2m
d dx2
(14)
15
据波函数及其导数在|x|=a/2处的连续性，可确定粒子的能量 本征值。若只讨论能量本征值，更方便的方法是利用
'/ 或ln'
第三章 一维定态问题
2 ( + V ( x ))ψ ( x ) = Eψ ( x ) 2m x 2
(5)
即ψ*(x)也是方程(3)的一个解.并且对应的能量也是E. 按此定理, 假设对应于能量的某个本征值E,方程(3)的解无简 并(即只有一个独立的解).则可取为实数(除无关紧要的常数因 子之外). 假设ψ(x)是能量为E的一个解, 则ψ*(x)也是方程(3)的一个解. 对应的能量也是E. 则ψ(x)和ψ*(x)描述的是同一个量子态.所以, ψ*(x)=C ψ(x),C为常数.取复共轭ψ(x)=C* ψ*(x)=|C|2 ψ*(x), 所以,C=1, 而C=eiα, α为实数.取相位α=0,则ψ(x)=ψ*(x), 即ψ(x)为 实数.
2m [ E V ( x )]ψ 1 = 0 2 〃 2m ψ 2 + 2 [ E V ( x )]ψ 1 = 0 ψ1(x)×(15)-ψ2(x) ×(14), 得 ψ ψ ′′ ψ
1 2
证明 按假设
ψ 1〃 +
(14) (15)
2
ψ1' ' = 0
即
积分, 得 对于束缚态,当x→∞时,ψ →0,所以上式中常数比为0.因此,对于同属 于能量E的任何两个束缚态波函数ψ1和ψ2, (16) ′ ψ 1ψ 2 = ψ 2ψ 1 ' 定理7 定理 设粒子在规则势场 (regular)V(x)中运动(V(x)无奇点),如存 在束缚态,则必定是不简并的. 证明 设ψ1 与ψ2是方程(3)的属于能量E的两个束缚态解,按式 (16)有 ′ ψ 1ψ 2 = ψ 2ψ 1 ' 在不包含ψ1 (x)与ψ2(x)的节点的区域中,可用ψ1 ψ2是除上式,得
2 i ψ ( x, t ) = [ + V ( x )]ψ ( x, t ) 2 2m x x
一维定态薛定谔方程的一般性质
其中 α 为实数
[e iαψ ( x)]∗ = e iαψ ( x)
可见存在实函数 ϕ ( x) = e
iα
A14
ψ ( x)
它与ψ ( x) 描写同样的物理状态
3
一维束缚态能级分立 束缚态满足ψ ( x → ±∞) → 0 对给定的 E 边界条件 ψ ( x → +∞) → 0 确定一个薛定谔方程 A1 的解 记之为
上式说明
即
ψ ( x) = c ′ϕ ( x)
c ′ 为常数
A7
在 ϕ ( x) 的两个零点之间
ϕ ( x) 和ψ ( x) 只差一个常系数
所以在 ϕ ( x) = 0 的地方
因为 ϕ ( x) 是导数连续的函数 空间为零 根据 A6
ϕ ′( x) 不能为零 否则它在全
在 ϕ ( x) 的零点
ψ ( x) 也等于零
ψ ∗ ( x) 也是对应同样能量的束缚本征态
由结论 1 可知
ψ ∗ ( x) = cψ ( x)
两边取复共轭 得ψ ( x ) = c
∗
A12
ψ ∗ ( x) 因此
A13 代入 A12 式得到
ψ ∗ ( x) =| c | 2 ψ ∗ ( x)
所以
| c | 2 = 1 可令 c = exp(i 2α )
即
2M ( E 2 − E1 )ψϕ h2
A5
d (ψ ′ϕ − ϕ ′ψ ) = 2M ( E 2 − E1 )ψϕ dx h2
若 E1 = E 2 上式为零
ψ ′ϕ − ϕ ′ψ = c
其中 c 为常数 因为有 A3 式 常数 c = 0
(A6) 因此在所有 ϕ ( x) ≠ 0 的地方
chapt3一维定态问题
推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然
可保留一相位因子）。
证
(−
h2 2m
d2 dx2
+
V(x))un (x)
=
Enun (x)
令 un (x) = Rn (x) + iIn (x)（ R n (x), In (x) 都是实函数） 则
x > 0 中。
定义： a. 反射份额 b. 透射份额
R=
jR ji
，现
R=1;
T = jT ji
，现
T=0。
T+R =1
3. 在区域 x > 0 ，概率密度为
ρ = uE(x) 2 = D 2 e−2Κx
在这一区域，经典粒子是不能到达的。这是量 子物理学的结论。它可能带来经典物理学认为 不可能出现的物理现象。
范围内有 n 个节点（即有 n 个 x 点使
un (xi ) = 0，不包括边界点或∞远）。
基态无节点（当然处处不为零的波函数没 有这性质，如 eimφ (它是简并的)，同样， 多体波函数由于反对称性，而可能无这性质）
（4）在无穷大位势处的边条件：根据坐标空 间的自然条件，波函数应单值，连续，平方可积，
所以，
B→0
于是，当 V0 → ∞ , 方程有解
u(x)
=
⎧A ⎨ ⎩
sin 0
kx
x<0 x>0
这表明，在无穷大的位势处，波函数为0， 边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导 数的连续性。当然，概率密度和概率通量矢总 是连续的。
§3.2 隧穿效应和扫描隧穿显微镜 (1)阶梯位势：讨论最简单的定态问题
量子力学考试知识点
《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。
第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领会：定态、定态性质2.简明应用：定态薛定谔方程3.fdfgfdgdfg第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。
量子力学 曾谨言 第五版 第三章知识点
所以，当 V ( x) 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。 做空间反射变换：
x → −x
ψ ( x) → ψ (− x)
ˆ 代表空间反射变换： P ˆψ ( x= ) ，用算符 P
ψ (− x)
宇称本征方程：
ˆψ ( x) = λψ ( x) P
可证 λ 为实数。只有当 λ 为实数时，该方程才是本征方程。因为按照基本假定，本征值与测量值相对
1
作者：张宏标（任课教师）
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
称为它的简并度。 (ii)、当 V ( x) 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 [证] 分能级无简并和有简并两种情况来证明 (1)、能级无简并情况：对应能级 E ，只有一个独立的本征波函数。 设ψ ( x) 为能量值为 E 的本征波函数，能量本征方程：
作者：张宏标（任课教师） 2
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
应，而测量值总是实数。
ˆ 的本征值 λ 。 宇称（Parity） ：空间反射变换算符 P
宇称的可能取值：
因此，在 x = x0 点，ψ ′( x) 不连续， 连接条件为：
ψ ′( x0 + ε ) −ψ ′( x0 − ε ) = −
2mV0 ψ ( x0 ) 。 2
′ −ψ 2ψ 1′ = (v)、若ψ 1 ( x) 和ψ 2 ( x) 都是能级本征值 E 所对应的本征波函数，则有ψ 1ψ 2 常数 。 ′ = ψ 2ψ 1′ 。 而对于束缚态（即 lim ψ ( x) → 0 ） ，则为ψ 1ψ 2
03一维定态问题
2 2 2 2 2 (nx ny nz ), nx , ny , nz 1, 2,... 2 2ma
可见简并度取决于(nx,ny,nz)使得nx2+ny2+nz2= n’x2+n’y2+n’z2 的(nx,ny,nz)组个数,基态无简并, 其他例如第一激发态(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)三 重简并,......
Quantum mechanics
小
结
除了求解束缚态以外,还有一类问题即一维散射问题,束 缚定态的能量本征值一般由方程结合边界条件,波函数 连接条件确定,是分立的,而且束缚态本身满足平方可积 条件,一定是可归一的.散射态则一定不可归一,其能量本 征值是连续的(取决于入射粒子).设粒子从势垒左边入射, 其波函数ψ的渐近行为如下给出:
第三章一维定态问题
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Quantum mechanics
习题解答
0,0 x a V ( x) , x 0, x a
3,设粒子处于一维无限深方势阱中运动,即
对处于第n个定态ψn(x)的粒子计算坐标和动量的期望值x,p以及 相应的涨落⊿x,⊿p.讨论当n→∞的情况,并与经典力学比较.
2
n d n x x2 H n ( x) (1) e e n dx
即H1(x)=1,H2(x)=2x等,能量本征函数ψn(x),的宇称性质 ψn(-x),=(-1)nψn(x),其中基态无节点,必为偶宇称态,又是 最小不确定态.此外,谐振子问题也可在动量表象中求解.
第三章一维定态问题
4/88
2
2
(0)
δ-势阱(γ为负)存在唯一的一个束缚态.δ-势问题的求解也 可在动量表象中进行.另外,如果求解δ-势的散射问题,则 可知其透射振幅在k复平面正虚轴上的极点对应于δ-势 阱的束缚态.其实,束缚态在散射振幅的极点里,这是一个 普遍的事实.
9 量子力学 一维定态问题重点
2 d 2 [ V1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 d x2 [ [ d V2 ( y )] Y ( y ) E yY ( y ) 2 d y2 2 d 2 V3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 d z2
讨论
状态不存在 E0 0 当n 0时： 0， II 0 A s i n0 x 0
II
当n k时： k
Asi n
k k x Asi n x a a
描写同一状态
所以 n 只取正整数，即 于是：
( n 1, 2, )
n
I III 0 n II A si n x n a 2n A s i n x 或 2a
m 奇数。
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。
（4）由归一化条件定系数 A
2
| m |2 dx 1
a a
| m | dx
| | dx
I 2 II 2 | m | dx
a
a
| | dx
II 2 m
III 0
I II III
则解为： 0, Asi n ( x ), 0.
3.连续性:在势的分界点
1）波函数连续：
x a 点,
I (a) II (a) Asin(a ) 0,
（1）列出各势域的 Schrö dinger 方程
2 d 2 ( x ) V ( x ) ( x ) E ( x ) 2 dx2 d2 2 ( x ) 2 [V ( x ) E ] ( x) 0 2 dx
关于一维定态波函数宇称的一点讨论
关于一维定态波函数宇称的一点讨论
一维定态波函数是宇称最常用的描述方式之一，它定义了宇称中的量化变化。
主要有以下几方面涉及：
1、一维定态波函数是什么？
一维定态波函数（一维空间函数）是一种可以描述宇称的数学工具。
它由一系列来自函数的层次创建，它们可以描述宇称中的排斥、吸引力和阻尼等复杂变化。
2、一维定态波函数的用途
一维定态波函数可以用来模拟宇称中许多系统，包括物理系统、光学系统、声学系统、电子系统等。
通过一维定态波函数，可以准确地预测宇称中复杂物理反应的发展，从而实现对反应的工程控制和优化。
3、一维定态波函数的优势
（1）简洁：一维定态波函数的优势在于其表述简洁，便于建模分析；
（2）高效：一维定态波函数运算速度快，是目前研究最成熟的数学模型；
（3）精确：一维定态波函数之所以被广泛使用，是因为它提供了较为准确的实验结果，可以模拟系统受多种边界条件和气压等因素的影响；
（4）可扩展：一维定态波函数容易根据不同的实验结果进行扩展，保证研究准确性和可靠性。
4、一维定态波函数的应用
一维定态波函数的常见应用有洪水模拟、空气湍流模拟、物体表面力学定性和定量分析等。
此外，一维定态波函数还可用于太阳风抛射、油气藏流体流场模拟以及气象系统动力学模型建立等研究。
5、总结
一维定态波函数是描述宇称变化的最常用方式之一，它具有简便、高效、精准度高等优势，已被广泛应用于实际宇称模拟研究中，常用于洪水模拟、空气湍流模拟、物体表面力学定态和定量分析、太阳风抛射、油气藏流体流场模拟以及气象系统动力学模型建立等研究。
chapter 31 一维定态问题(上)
⎪⎩ 0，
x ≥a
另一组解为：
ψn
=
⎧⎪B cos ⎨
nπ
2a
x，
n
=
2k
+ 1,
x
<
a
⎪⎩ 0，
x ≥a
(12)
(11)和(12)两式可合并为一个式子
ψn
=⎪⎨⎧A′(sin
nπ
2a
xcos
nπ
2
+cos
nπ
2a
xsin
nπ
2
)
=
A′sin
nπ
2a
(x+a),
x <a
⎪⎩
0,
x ≥a
n = 1, 2 , 3, ⋅ ⋅ ⋅,
在该例中，粒子被束缚在阱内。通常把在
无限远处为零的波函数所描写的状态称为束 缚态(即粒子被约束于空间的有限区域)。一 般地，束缚态所属能级是分立的;
粒子的最低能级称为基态。在本例中是
n=1的态。基态能量为
E1
=
π2
8m a 2
≠
0，称为零点
能量，与经典粒子不同，这正是微观粒子波
动性的表现，“静止”波是没有意义的 ；
b.若势函数 V(r) 具有一阶奇点，则在奇点处波
函数Ψ连续，但波函数对空间坐标一级微商 Ψ'
不连续。但在非相对论量子力学中，在薛定谔方 程的意义下，粒子不能穿透势能为无穷大的空间 区域，故在这些区域内 Ψ＝0 ，但在该区域的边 界上，Ψ 仍然是连续函数。
现令 Ui为第i个区域中(i=1,2,….n)U(x)的(常数)
(15)
2i
将上式中的正弦函数写成指数函数，于是有
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得证
对于一维方势场，可证明下列定理：
定理5
对于阶梯方位势
V1 , V ( x) V2 ,
xa
xa (V2 V1 ) 有限，则能量本征函数 ( x) 及其导数必定
是连续的（但如果 (V2 V1 ) ，则定理不成立）。 证明
d2 2m ( x) 2 [ E V ( x)] ( x) 2 dx
[ E V ( x)] ( x)有限， lim
0
a
a
dx[ E V ( x)] ( x) 0
(a 0 ) (a 0 )
( x) ( x)
连续 得证
定理6 对于一维粒子，设 1 ( x) 和 2 ( x) 均为 方程（3）的属于同一能量本征值E的解，则 2 1 常数(与x无关) 1 2
(r 0)
x=0是一个孤立奇点，虽然在x=0点 (不连 x) (0) 0 续，但其基态波函数 ，所以也不是简并的。
2 2 i ( x, t ) [ V ( x)] ( x, t ) 2 t 2m x
（1）
对于定态，即具有一定能量E的状态，波函 i Et 数形式为 （2） ( x, t ) ( x)e
2 d 2 [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
( x)
( x)
f ( x) ( x ) ( x )
g ( x) ( x) ( x)
f ( x) f ( x) g ( x) g ( x)
1 ( x) ( f ( x) g ( x)), 2
1 ( x) ( f ( x) g ( x)) 2
证明
2m 1 2 [ E V ( x)] 1 0 2
1 (15) 2 (14)
(14) (15)
2m [ E V ( x)] 2 0 2
2 1 0 1 2
2 1 ) 0 ( 1 2
本征值E的解，则
3）的对应于能量 (是方程（ x)
3）的对应于 ( 也是方程（ x)
能量本征值E的解。
证明
d2 d2 d2 x x, 2 2 , V ( x) V ( x) 2 dx d ( x) dx
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
在V（x）连续的 区域，
（11）
( x) ( x)
Hale Waihona Puke 连续在V（x）发生阶梯形跳跃处，V ( x) ( x) 有限跃变
在x~a邻域对方程（11）积分
0
lim
a
a
dx, 得
a 2m (a 0 ) (a 0 ) 2 lim dx[ E V ( x)] ( x) 0 a
得证
空间反射算符P定义为 P (r ) (r )
r r
按定理3，如V（－x）＝V(x)，则 ( x)与 ( x) 都是对应于同一能量E的量子态。如果对应于某能 量E，方程（3）的解无简并，则解必有确定的宇称。 P ( x) ( x) C ( x) P 2 ( x) CP ( x) C 2 ( x) ( x)
1
1 2
1 1 2 2
(ln 1 2 ) 0 ln 1 2 ln C
1 C 2
得证
精品课件！
精品课件！
常碰到的两种奇异势场
（1）
0, V ( x)
0 xa x a, x 0
0 a
（2） δ势阱
V ( x) r ( x)
2 1 常数(与x无关) 1 2
得证
对束缚态
2 1 1 2
定理7 设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇 点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。 证明 设 1 和 2 是方程（3）的属于能量E的两 个束缚态解
2 1 1 2
取复共扼 得证
，则称 ( x)
2 d 2 * * [ V ( x )] ( x ) E ( x) 2 2m dx
若对应于能量E，只有一个能量本证函数 函数。
能量E无简并，此时相应的能量本征函数总可以取为实
定理2 对应于能量的某个本征值E，总可以找到 方程（3）的一组实解，凡是属于E的任何解，均 可表示为这一组实解的线性叠加。
C 2 1 C 1
C 1, P ( x) ( x) ( x) C 1, P ( x) ( x) ( x)
偶宇称 奇宇称
(r , t ) (r , t ) 则称波函数没有确定的宇称。
定理4 设V（－x）＝V（x），则对应于任何一 个能量本征值E，总可以找到方程（3）的一组解 （每一个解都有确定的宇称），而属于能量本征 值E的任何解，都可用它们来展开。 证明
本章内容主要包括： §3.1 一维定态的一般性质 §3.2 方位势 §3.3 一维散射问题
§3.4 δ 势
§3.5 一维谐振子
§3.1 一维定态的一般性质 一、教学目标
1. 掌握一维运动波函数的共同特点。
2.了解奇点的概念
3. 了解常碰到的两种势场。
二、教学内容
下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些 共同的特点。设粒子质量为m，沿x方向运动，势 能为V（x），则Schrodinger方程表示为：
（3） （4）
V ( x) V ( x)
*
定理1 设 ( x) 是方程（3）的一个解，对应的 能量本征值为E，则 * ( x) 也是方程（3）的一个 解，对应的能量也是E。
证明
V * ( x) V ( x)
2 d 2 [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
证明
实解
实解集合
( x) ( x) * ( x)
( x)
复解
* ( x)
( x) i( ( x) * ( x))
1 ( i ) 2
*
1 ( x) ( i ), 2
得证
定理3
设V（x）具有空间反射不变性，V（－x）
＝V（x）。如