直线与平面垂直的判定教案
《直线与平面垂直的判定》教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校βαm l aα《直线与平面垂直的判定》教案学习目标1、探究直线与平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力；2、掌握直线与平面垂直判定定理的应用，培养分析问题、解决问题的能力；3、让学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位.教学重难点教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及其应用.教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程.教学过程一、复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么？观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：(1)直线在平面内(无数个公共点)；(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点)；(3)直线和平面平行(没有公共点) a ⊂α，a ⋂α=A ，a //α.aA αa α2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：//,,//l l m l m αβαβ⊂⋂=⇒ 引入新课:在直线和平面相交的位置关系中，有一种相交是很特殊的，我们把它叫做垂直相交，这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.二、研探新知1、阅读教材第64页内容，回答问题(线面垂直定义)材料：日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子BC 的位置在移动，但是旗杆AB 所在直线始终与BC 所在直线垂直.也就是说，旗杆AB 所在直线与地面内任意一条不过点B 的直线B ′C ′也是垂直的.(1)请你结合第64页和材料内容，给出直线与平面垂直的定义；(2)请你给出直线与平面平行的画法.结论：(1)如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：α⊥l .直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面.直线与平面垂直时，它们的唯一公共点P 叫做垂足.(2)作图时我们通常把直线化成与表示平面的平行四边形一边平行(如图)；练习一：请你动手画一画线面垂直的图像，找一找感觉！教学效果：要求学生基本上都能理解直线与平面垂直的定义.2、阅读教材第65页内容，然后回答问题(判定定理)(3)用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理；(4)应用判定定理的时候我们应该注意什么？结论：(3)直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为：α⊥⇒⊥⊥=⋂α⊂α⊂a n a m a P n m n m ,,,,；图形语言表示为：如图；(4)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视.练习二：①请同学们自学一下教材例1，并把例1的结论当做定理记下来.②完成教材第67页练习的1、2.教学效果：要求学生能运用判定定理解决简单的题目.3、阅读教材第66页内容，然后回答问题(线面角)(5)什么叫做斜线在平面上的射影(斜线、斜足)？(6)什么叫做直线与平面所成的角？(7)什么叫做点到平面的距离？结论：(5)斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.斜足：斜线和平面的交点.斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影；(6)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为00的角；(7)点到平面的距离:经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.点到平面的距离：垂线段的长叫做点到平面的距离.练习三：①请同学们自学教材例2，合上书，试一试自己能不能顺利的做出来？②完成教材第67页练习3.教学效果：要求学生会理解并熟练的求直线与平面所成角.三、小结这节课主要学习了线面垂直的定义、判定定理和线面角、点面距离.其中线面角是一个重点.直线和平面所成角是高中立体几何中三大角之一，是高考的必考内容.关键是找出这个角，并且放在平面图形中去求.四、布置作业1、必做题：习题2.3A组第8题，B组第4题；2、选做题：总结一下今天所学的知识，形成文字.。
直线与平面垂直的判定(简略教案)
直线与平面垂直的判定(简略教案)一、教学目标1. 知识与技能：使学生能够准确理解直线与平面垂直的判定定理，并能熟练运用定理进行相关的几何推理和证明。
2. 过程与方法：通过实例分析、观察、归纳等方法，培养学生的几何直观和空间想象能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的空间思维能力和逻辑推理能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：直线与平面垂直的判定定理及其应用。
2. 教学难点：定理的理解和证明，以及定理在实际问题中的应用。
三、教学方法采用讲授法、演示法、讨论法等相结合的教学方法，注重学生的参与和互动，提高学生的主体地位。
四、教学过程1. 导入新课通过展示一些生活中直线与平面垂直的实例（如旗杆与地面、电线杆与地面等），引导学生观察并思考直线与平面垂直的特点，激发学生的学习兴趣。
2. 探究新知（1）引导学生回顾直线与直线垂直的定义和性质，为学习直线与平面垂直的判定定理做好铺垫。
（2）通过演示和讲解，使学生理解直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
（3）通过实例分析，让学生感受定理的实用性和应用广泛性。
3. 巩固练习（1）给出一些简单的练习题，让学生运用定理进行证明和推理，加深对定理的理解和掌握。
（2）引导学生归纳和总结直线与平面垂直的判定方法，形成系统的知识体系。
4. 拓展延伸（1）引导学生思考直线与平面垂直的其他判定方法，如线面角、二面角等，拓宽学生的知识视野。
（2）通过一些实际问题（如建筑设计中垂直线的应用等），让学生感受直线与平面垂直在现实生活中的应用价值。
5. 课堂小结对本节课所学的知识进行回顾和总结，强调直线与平面垂直的判定定理的重要性和应用广泛性，并鼓励学生在课后进行进一步的探究和实践。
五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 搜集一些生活中直线与平面垂直的实例，并尝试用所学知识进行解释和证明。
直线与平面垂直的判定(详细教案 )
2.3.1 直线与平面垂直的判定壶关一中杨贺强教材分析空间中直线与平面的三种位置关系中，垂直是相交时的一种非常重要的位置关系。
它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范。
直线与平面的垂直问题是连接“线线垂直”和“面面垂直”的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何问题的重要考点之一。
三维目标（知识与技能）：探究直线与平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力。
（过程与方法）：掌握直线与平面垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。
（情感态度与价值观）：让学生明确直线与平面垂直在立体几何中的重要地位。
重点难点教学重点:直线与平面垂直的判定。
教学难点:灵活应用“直线与平面垂直判定定理”解决问题。
教学过程，板书设计1、探究“直线与平面垂直的定义”。
2、探究“直线与平面垂直的判定定理”。
3、使用三种语言（文字、图形、符号）描述直线与平面垂直的判定定理。
4、探究斜线在平面内的射影，讨论“直线与平面所成的角”。
教学过程一、回顾复习，情境导入已经学过的直线与平面的位置关系有哪些？-----垂直是相交时的特殊情况。
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象。
二、新知探究（小组活动）:（一）直线与平面垂直的定义问题1：（由第1小组学生回答）你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？问题2：（由第2小组学生回答）结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义。
(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何？依据是什么？（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）。
《空间中的垂直关系：直线与平面垂直》参考教案
βαm la αaα 1.2.3 直线与平面垂直教学目的：1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定、性质定理解决问题 .教学重点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用. 教学难点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及论证过程教学过程：一、复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a ⊂α，a ⋂α=A ，a//α.2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂⋂=⇒ 引入新课:在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.二、研探新知1.观察实例,发现新知现实生活中线面垂直的实例:旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系，都给人以直线与平面垂直的形象。
2.实例研探,定义新知探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?变换时间观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直，就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质教案教案要求：1. 学生年级：高中数学或几何学课程2. 课时：1课时3. 主题：直线与平面垂直的性质教学目标：1. 了解什么是直线与平面垂直的几何关系；2. 掌握直线与平面垂直的判定条件；3. 能够解答直线与平面垂直相关的数学问题。
教学准备：1. 平面几何教材；2. 黑板、白板或投影设备；3. 教学PPT或展示素材。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入问题：什么是直线与平面垂直的几何关系？- 引导学生回顾直线与平面的定义，根据直观经验，直线与平面垂直表示什么意思？2. 探究（10分钟）- 提示学生思考：如何判定一条直线与一个平面垂直？- 引导学生尝试给出判定准则，并解释其原理。
- 让学生讨论并交流，引导他们总结判定直线与平面垂直的条件。
3. 讲解（15分钟）- 结合学生的讨论结果，给出判定直线与平面垂直的条件，并用几何公式或示意图进行解释。
- 强调判定条件的重要性并给出几个典型的示例。
4. 示例分析（10分钟）- 提供一些例题或实际问题，让学生运用所学的知识判定直线与平面之间的垂直关系。
- 引导学生分析和解答问题，让他们积极思考并应用所学知识。
5. 拓展应用（10分钟）- 提供一些更复杂或具有挑战性的问题，让学生应用所学知识解决。
- 引导学生思考解决问题的方法和步骤，并鼓励他们进行讨论和合作。
6. 小结（5分钟）- 总结本节课所学的内容和思考问题，并强调直线与平面垂直的判定条件。
- 提醒学生复习和巩固所学的知识，并鼓励他们提出对直线与平面垂直性质的理解和感悟。
教学延伸：如果时间允许，可以让学生进行实践活动或小组讨论，进一步探究直线与平面垂直性质的应用。
可以使用动画或虚拟现实技术来展示直线与平面垂直的几何关系，以增加学生的兴趣和参与度。
直线与平面垂直的判定 说课稿 教案 教学设计
直线与平面垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义．(2)通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．(3)理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题．2．过程与方法(1)通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力．(2)在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．(3)尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换．3．情感、态度与价值观经历线面垂直的定义和定理的探索过程，培养严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．●重点难点重点：直线与平面垂直的定义和判定定理．难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理．重难点突破：以日常生活中见到的线面垂直的实例为切入点，通过“展示物体的支架图片直观感知”和“折纸的操作探究”两条途径让学生经历由特殊到一般，由具体到抽象，让学生增加线面垂直的感性认识的同时突出重点、突破难点．(教师用书独具)●教学建议直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展．也是连接线线垂直和面面垂直的纽带，在教材中起到了承上启下的作用．鉴于本节知识的特点，建议采用“启发—探究”的教学方法，先利用投影仪展示多幅图片，使学生直观感知线面垂直的定义；紧接着让学生动手参与折纸试验，并对试验现象进行观察分析和归纳概括；通过一系列的双边活动，帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过渡，从而完成定义的建构和定理的发现．最后通过典例及变式训练突出线面垂直判定定理的应用．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何定义直线与平面垂直？⇒引导学生通过观察图片及身边的事物，直观感知线面垂直并归纳出线面垂直定义.⇒通过引导学生动手实验理解线面垂直的判定定理.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握线面垂直的判定定理.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与平面所成角的求法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读 1.了解直线与平面垂直的定义．(重点) 2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(重点、难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(重点、易错点)直线与平面垂直的定义在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线什么关系？【提示】垂直．直线与平面垂直的定义文字语言图形语言符号语言如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，ll⊥α叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足直线和平面垂直的判定定理【问题导思】将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．1．折痕AD与桌面一定垂直吗？【提示】不一定．2．当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？【提示】当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直.文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba⊂αb⊂αa∩b＝P⇒l⊥α直线与平面所成的角图2－3－11．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．2．范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.3．画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是∠P AO.直线和平面垂直的定义下面叙述中：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路探究】 与线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进行对照，区分异同，分析条件变换的影响，辨析正误．【自主解答】 ①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；②由定义知正确；③中直线与梯形的两腰所在直线垂直，则与梯形所在平面垂直，由定义知也与两底边所在直线垂直，所以正确；④中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直，故不一定与两腰所在直线垂直，不正确．故选B.【答案】 B1．直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．2．由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b .有下列说法：①如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任意直线都不垂直． ②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ③过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 且垂直于a 的平面内． 其中错误的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解析】 ①直线与平面平行，过该直线任作平面与已知平面相交，则直线与交线平行，可知平面内与交线垂直的所有直线都与已知直线垂直，①错误；②如果平面内的无数条直线是平行的，那么就不能得到直线和平面垂直的结论，②错误；③因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以过点A 与直线a 垂直的直线都在过点A 且与a 垂直的平面内，③正确．【答案】 A线面垂直的判定在平面α内有直角∠BCD ，AB ⊥平面α，求证CD ⊥平面ABC . 【思路探究】AB ⊥平面α――→定义AB ⊥CD ――→判定CD ⊥平面ABC BC ⊥CD ――→垂直关系∠BCD ＝90°【自主解答】如图所示．⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AB⊥αCD⊂α⇒AB⊥CD∠BCD＝90°⇒BC⊥CDAB∩BC＝B⇒CD⊥平面ABC1．使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．2．线面垂直的定义具有双重作用：判定和性质，证题时常用它作为性质使用，即“如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线”．如图2－3－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O 是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.图2－3－2【证明】∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.求直线与平面所成的角1111图2－3－3(1)求A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角； (2)求A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角．【思路探究】 (1)找A 1B 在平面AA 1D 1D 内的射影，即为A 1A . (2)找A 1B 在平面BB 1D 1D内的射影←证A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ←正方体的性质【自主解答】 (1)∵AB ⊥平面AA 1D 1D ， ∴∠AA 1B 就是A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角，在Rt △AA 1B 中，∠BAA 1＝90°，AB ＝AA 1， ∴∠AA 1B ＝45°，∴A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角是45°. (2)连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO ， ∵A 1O ⊥B 1D 1，BB 1⊥A 1O ， ∴A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，∴∠A 1BO 就是A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角， 设正方体的棱长为1，∴A 1B ＝2，A 1O ＝22. 又∵∠A 1OB ＝90°，∴sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝12，∴∠A 1BO ＝30°.∴A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角是30°.1．求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．2．在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口．如图2－3－4所示，Rt △BMC 中，斜边BM ＝5，它在平面ABC 上的射影AB 长为4，∠MBC ＝60°，求MC 与平面CAB 所成角的正弦值．图2－3－4【解】 由题意知，A 是M 在平面ABC 内的射影， ∴MA ⊥平面ABC ，∴MC 在平面CAB 内的射影为AC .∴∠MCA 即为直线MC 与平面CAB 所成的角． 又∵在Rt △MBC 中，BM ＝5，∠MBC ＝60°， ∴MC ＝BM sin ∠MBC ＝5sin 60°＝5×32＝532. 在Rt △MAB 中，MA ＝MB 2－AB 2＝52－42＝3.在Rt △MAC 中，sin ∠MCA ＝MA MC ＝3532＝235.即MC 与平面CAB 所成角的正弦值为235.因考虑不周全致误已知平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，A 、B 两点在平面α内的射影之间的距离为3，求直线AB 和平面α所成的角．【错解】 如图，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.由点A 向BB 1作垂线，垂足为H ，则AB 与平面α所成的角即为AB 与AH 所成的角，即∠BAH 为AB 与平面α所成的角．在Rt △BHA 中，AH ＝A 1B 1＝3， BH ＝BB 1－AA 1＝1，∴tan ∠BAH ＝BH AH ＝13＝33，∴∠BAH ＝30°，∴AB 与平面α所成的角为30°.【错因分析】 上述错解的原因是思维不周密，没有考虑问题可能出现的其他情况． 【防范措施】 平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，首先应想到A 、B 两点与平面α的位置关系，可分点A 、B 位于平面α的同侧和点A 、B 位于平面α的异侧两种情况分别求解．【正解】 ①当点A 、B 在平面α的同侧时，由以上知直线AB 与平面α所成的角为30°. ②当点A 、B 位于平面α的异侧时，如图，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，AB 与平面α相交于点C ，A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∴∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成的角． 在Rt △BCB 1中，BB 1＝2， 在Rt △AA 1C 中，AA 1＝1.∵△BCB 1∽△ACA 1，∴BB 1AA 1＝B 1CCA 1＝2，∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233，∵tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3，∴∠BCB 1＝60°，∴AB 与平面α所成的角为60°.综合①、②可知：直线AB 与平面α所成的角为30°或60°.小结1．线面垂直的定义具有双重性，既可以由线面垂直得出线线垂直，也可以由线线垂直得出线面垂直．2．求线面角的关键是找直线在相应平面内的射影，并借助直角三角形的边角关系求线面角．3．线线垂直和线面垂直体现了知识间的互化，在学习中体会等价转化思想．。
2.3.1直线与平面垂直的判定教学设计 优秀教案
2.3.1直线与平面垂直的判定（一）漳浦一中 高中数学 杨琳琳一、教学目标1.通过对图片的观察，从熟知的生活中的事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理，进而结合图形用抽象化的数学语言总结、表述出直线与平面垂直的判定定理；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
二、教学重点、难点1.教学重点：概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
2.教学难点：概括出直线与平面垂直的判定定理及运用。
三、教学方法启发式教学四、教学过程设计定义形成部分师：同学们，我们先观察一下以下的图片，说出旗杆与地面、显示器的侧边与桌面有什么位置关系？师：请同学们再看看门的边缘与地面是什么关系呢？师：经过我们的观察，我们发现旗杆与地面、大桥的桥柱和水面都是垂直的关系，不过我们现在要用数学的眼光来观察、分析、研究这些事物，我们先观察第1个图。
将旗杆（是许多事物的代表）看成直线l ，将地面（也是许多事物的代表）看成平面α，今天就来研究直线l 与平面α垂直的有关知识。
定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α.直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 它们唯一的公共点P 叫做垂足。
用符号语言表示为： 设计意图：从实际出发，看做平面α，旗杆看做l ，有具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换.m l l m αα⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭师：现在我们已经学习了，直线与平面垂直的性质，那我们来看看以下的说法正确吗？①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。
②直线与平面内的无数条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？ ③若a ⊥α,b ⊂α，则a ⊥b 。
设计意图：通过练习强化对概念的理解，突出概念里重要元素。
③在考察对垂直概念的理解以外还把具体的文字语言改为用数学语言表示，再次教育学生习惯数学语言，把具体问题抽象化。
直线与平面垂直的判定的教案说明
直线与平面垂直的判定的教案说明萍乡中学周汉礼一、教学目标和教学目标定位1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.二．内容和内容解析本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用．直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线（无一例外）都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理可由学生动手实践及教具的演示来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行，本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想．直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础．三、教学问题诊断分析学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础．学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理．教学的重点是直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究；教学的难点是操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．四、教学特点及预期效果分析本节课安排在立体几何的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义，进而通过辨析讨论，深化对定义的理解．进一步，在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理，并在教师的指导下，通过动手操作、观察分析、自主探索等活动，切身感受直线与平面垂直判定定理的形成过程,体会蕴涵在其中的思想方法．继而，通过对恰当例题的讲解．再通过练习与课后小结，使学生进一步加深对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解．掌握今后证明线线垂直和线面垂直常用的相互转化的方法。
直线、平面垂直的判定及其性质(培优)-教案
授课主题 第05讲：直线、平面垂直的判定及其性质授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 理解空间中三种垂直关系的定义；② 掌握空间中三种垂直关系判定及性质；③ 用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂要点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直的定义如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥.直线l 叫平面α的垂线；平面α叫直线l 的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号语言：,,,m n m n B l l m l n ααα⊂⊂=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭I特征：线线垂直⇒线面垂直 要点诠释：①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．要点二、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面α与β垂直，αβ⊥记作.体系搭建画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：2.平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥ 图形语言：要点三、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥ 图形语言： 2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒ 图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面． 要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点四、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥要点五、垂直证明方法总结 1、直线和平面垂直的证明证明线面垂直的基本思路：证明线垂直面内的两条相交直线。
2.3.1 直线与平面垂直的判定 教案
(1) (1)求证：D1C⊥AC1； （2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理 由. （1）证明：在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中， 连接C1D，如图11(2).
如图10，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面 DBC所成的角的正弦值.
图10 解：过A作AO⊥面BCD，连接OD、OB、OC，则可证O是△BCD的中心, 作QP⊥OD, ∵QP∥AO,∴QP⊥面BCD. 连接CP，则∠QCP即为所求的角. 设四面体的棱长为a， ∵在正△ACD中，Q是AD的中点,∴CQ=. ∵QP∥AO，Q是AD的中点, ∴QP=，得 sin∠QCP=. 点评：求直线与平面所成的角，是本节的又一重点，作线面角的关键是 找出平面的垂线.
和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条相交直线，也
需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的
直线l与平面内的线a、b…所成的角是不相等的.为了定义的确定性，我
们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就
是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.
容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的
平面α垂直.
如图4.
(1)
(2)
图4
所以，当折痕AD垂直平面内的一条直线时，折痕AD与平面α不垂
直，当折痕AD垂直平面内的两条直线时，折痕AD与平面α垂直.
③直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：
高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案
高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案Teaching plan of high school mathematics compulsory course 2 "vertical judgment of straight line and plane"高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。
一、教学内容分析《直线与平面垂直的判定》共2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识.本节内容以“垂直”的判定为主线展开，“垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化。
其中核心内容为——直线与平面垂直的定义和判定定理。
本节具有承上启下的作用，在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，引出直线与平面垂直，为学习“平面与平面的位置关系，平面与平面的垂直” 做准备，其中直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直，这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线.判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务.二、教学目标的确定1.课程目标（1）对空间几何体整体观察，认识空间图形;（2）以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;（3）能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定;（4）了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
《直线与平面垂直的判定定理》教案
《直线与平面垂直的判定》选自人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修二第二章第三节一、教学目标1、知识与技能（1）掌握直线与平面垂直的定义；（2）理解并掌握直线与平面垂直的判定定理；（3）学会判断一条只限于在一个平面是否垂直。
2、过程与方法目标加强学生空间、平面转化意识，训练学生思维灵活性，加强学生构图能力。
3、情感态度与价值观目标（1）培养学生创新、探索意识；（2）加强学生对数学的学习兴趣。
二、教学重难点1、教学重点（1）直线与平面垂直的定义；（2）直线与平面垂直的判定。
2、教学难点直线与平面垂直判定定理的理解三、课时安排：一课时四、教学用具：三角形纸片、三角板和直尺板五、教学过程设计1、导入（1）复习提问a.空间一条直线与一个平面会有怎样的位置关系？b.如何判定空间一条直线与一个平面平行？设计意图：此问题基于学生已有的数学知识，对已有的数学知识进行回忆巩固。
（2）创设情境列举在日常生活中见到的可以抽象成直线与平面垂直的事例？设计意图：此问题基于学生的客观现实，通过学生对日常生活的观察，让学生对直线与平面垂直形成初步认识，方便下一步对于知识的探究学习。
2、探究新知（1）引入定义问题：如图2.3-2,a.在阳光下，观察旗杆AB 与它在地面上的影子BC的位置关系？b.随时间变化，影子BC的位置在移动，此时旗杆AB与BC的位置关系？c.旗杆AB 所在直线与地面任意不过点B的直线即B’C’的位置关系？设计意图：学生通过图示的观察，发现AB 所在的直线始终垂直于任意过点B的直线，通过进一步的引导探索，发现AB所在直线也垂直于任意不过点B的直线，从而使学生自主归纳出直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内任意一条直线都垂直，那直线l与平面α互相垂直。
思考：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否于这个平面垂直？（2）深化学习（师生互动一）如图2.3-4，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻转后的纸片竖起放置桌面上（BC、DC与桌面接触）问题：a.折痕AD与桌面垂直吗？b.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？设计意图：通过师生互动和学生亲自的动手操作，学生会更加直观的发现当且仅当折痕AD所在直线是△ABC中BC 边的高时才会垂直于桌面所在平面α。
直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教案教案标题：直线与平面垂直的判定教案教学目标：1. 理解直线与平面垂直的概念，并能判断给定直线与平面是否垂直。
2. 掌握判定直线与平面垂直的条件。
3. 运用所学知识解决相关问题并拓展思维。
教学内容：1. 直线与平面垂直的概念2. 判定直线与平面垂直的条件3. 相关问题的解决和应用教学步骤：Step 1: 引入新概念在课堂一开始，通过问题或实例引入直线与平面垂直的概念。
可以使用身边的物体作为例子，如直线与桌面的垂直关系等，引起学生的兴趣。
Step 2: 讲解直线与平面垂直的概念通过讲解和示意图，向学生明确直线与平面垂直的定义。
强调直线与平面的交角为90度。
Step 3: 判定直线与平面垂直的条件详细讲解判定直线与平面垂直的条件，并提供示例进行讲解和演示。
可通过几何性质、垂直投影等方法探讨。
Step 4: 练习与巩固让学生进行一些练习，巩固所学内容。
可以包括选择题、判断题、填空题和应用题等多种形式，以检验学生的理解和掌握。
Step 5: 拓展思维针对学生思维的扩展，提供一些拓展问题，让学生运用所学知识解决更复杂的问题，激发学生的思考和创造力。
Step 6: 总结与归纳对直线与平面垂直的判定条件进行总结和归纳，让学生对所学知识形成更加清晰的概念框架。
Step 7: 实例分析选择一个实际问题，如垂直过马路的斑马线设计等，引导学生运用所学知识分析并解决该问题，培养学生应用知识解决实际问题的能力。
Step 8: 作业布置布置相关作业，包括练习题和思考题，让学生巩固所学内容，并鼓励他们在课外积极拓展学习。
Step 9: 教学反思回顾教学过程，总结教学效果，尝试找出不足之处，以便今后的教学改进。
教学资源：1. 手绘的直线与平面垂直示意图2. 相关练习题和答案3. 讲义和教学课件（可选择性使用）教学评估：通过课堂练习、问题解答以及作业的批改等方式进行学生的教学评估。
评估可以分为定性和定量评估，以全面了解学生对直线与平面垂直判定的掌握情况。
直线与平面垂直的判定教案
环节
教师活动
学生活动
设计意图
教
学
流
程
复习：一条直线与一个平面的位置关系？
思考：一条直线与一个平面垂直的定义是什么？
新知：直线与平面垂直的定义
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
与教师一起复ห้องสมุดไป่ตู้旧知
通过预习教材，概况出直线与平面垂直定义
学生思考
通过实验得出结论
引入直线与平面相交位置关系
学生总结归纳
巩固定理的符号语言
规范学生书写步骤
深化判定定理的应用，总结求线面角的步骤
梳理知识框架，掌握本节课所学习的知识点
课堂
小结
1、直线与平面垂直的定义
2、直线与平面垂直的判定与性质
板书
设计
直线与平面垂直的判定
1定义
2性质
3判定定理
4线面角定义及求法
第12周2节
课题
2.3.1直线与平面垂直的判定
课时
1
教学目标（学科素养）
知识
目标
理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理并运用其证明空间位置关系的命题及求线面角问题
能力
目标
在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系基础上，抽象出空间直线与平面垂直的定义；能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的命题及求线面角问题
情感态度与价值观
通过学习直线与平面垂直的判定，可以更好地培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知、操作确认的基础上，归纳概括出直线和平面垂直的判定定理，也能够让学生在直观想象、逻辑推理等方面能够体会得更好
教学
重点
直观感知、操作确认，概括出判定定理
直线与平面垂直的判定--新授课教案
2.3.1 直线与平面垂直的判定高一数学组教材分析本节内容是人教A版教材高一年级必修2第二章第三节第一部分的内容，是在学习了线面平行关系的知识后，对线面关系的再学习，可以看作是对前面学习过的内容的扩展，要求通过观察图形来提高学生对线面垂直关系的感知能力.此外，本节对后续内容的学习起着奠基的作用，本节的重点是线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，难点是对线面垂直定义和线面垂直判定定理应用的引导与指导，以及如何发现证明思路．通过探究定义与判定定理的由来过程，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解应用线面垂直的定义及其判定定理解决简单的数学问题.教学目标重点: 线面垂直的定义及其判定定理的讲解.难点：线面垂直的定义及其判定定理的应用，以及如何发现证明思路．知识点：线面垂直的定义及其判定定理.能力点：如何通过探究，总结线面垂直的定义及其判定定理，提高空间现象能力.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何通过探究实验归纳线面垂直的判定定理.考试点：用线面垂直的定义及其判定定理解决简单的数学问题.易错易混点：正用应用线面垂直的判定定理的条件，学生一般在证明步骤上容易出错.教具准备多媒体课件和多功能直尺课堂模式学案导学一、引入新课日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子. 随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直. 也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.【设计意图】从实际背景出发，直观感知直线与平面垂直的位置关系.将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？【设计意图】 感知直线与平面垂直，并观察直线与平面内直线的位置关系.【师生活动】 教师通过结合旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，让学生感知线面 垂直这种位置关系，提出问题：现实生活中，我们经常看到一条直线与一个平面垂直的形象，但一条直线与一个平面垂直的确切意义到底是什么？并组织学生思考、讨论.注意引导学生从实际背景“观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子”出发来分析、归纳直线与平面垂直的定义.二、探究新知（一）归纳直线与平面平行的定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线l 与平面α互相垂直.师：如果直线l 与平面α内的所有直线都垂直，我们说直线l 与平面α互相垂直.这句话对吗？ 生：对.师：如果直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，我们说直线l 与平面α互相垂直.这句话对吗？ 生：不对.师：为什么？请举出反例.学生通过自己手中的课本和笔等物品的摆设给出反例.【设计意图】 学生通过对错误命题的思考，并自己动手找出反例来加深对定义的理解. （二）总结直线与平面平行的判定定理探究：如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过 ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD ，DC 与桌面接触）．（1）折痕AD 与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在平面α垂直．α⊥l 记为 A B C D A B C D α当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面α垂直．【设计意图】 通过操作确认，引导独立发现直线与平面垂直的条件.思考:（1）有人说，折痕AD 所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直，就可以判断AD 垂直平面 ，你同意他的说法吗？（2）如图，由折痕BC AD ⊥，翻折之后垂直关系不变，即CD AD ⊥,BD AD ⊥ ．由此你能得到什么结论？【设计意图】通过操作确认，引导学生归纳总结直线与平面垂直的判定定理.判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．图形表示：符号语言：例1. 如图，已知 b a // ,α⊥a ，求证:α⊥b . 证明：在平面 内作两条相交直线m ，n ．因为α⊥a ， 所以m a ⊥，n a ⊥因为b a //所以m b ⊥，n b ⊥又因为α⊂m ，α⊂n所以α⊥b .三、课堂练习练习1. 判断下列命题是否正确？若不正确请举出反例.A B C a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = α⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l b a lαA b a n m α ABC D α1. 若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面. ( )2. 若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面. ( )3. 若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面. ( )4.若一条直线与一个平面内的无数条直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直. ( )练习2. 如图,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB. 求证：PB⊥AC.证明：过P作PO⊥平面ABC于O，连接OA、OB、OC.∵PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC.又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO.又∵OA⊂平面PAO，∴BC⊥OA.同理,可证AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心.∴OB⊥AC.可证PO⊥AC.∴AC⊥平面PBO.又PB⊂平面PBO，∴PB⊥AC.点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁.【设计意图】让学生通过练习巩固所学知识点，并在做题中找出自己的不足，及时补充.四、课堂小结1.直线与平面垂直的概念（可用来证明线线垂直）2.判定直线与平面垂直的方法：（1）利用定义；（2）利用判定定理。
《直线,平面垂直的判定及其性质》教案(新人教必修)
§2.3.1直线与平面垂直的判定一、教案目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法（1）通过教案活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教案重点、难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教案设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。
然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
新人教A版 必修第二本 8.6.2《直线与平面垂直》第一节课 教案
8.6.2《直线与平面垂直》教案一、教学目标1.理解直线与平面垂直的定义。
2.理解直线与平面垂直的判定定理。
3.理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明。
4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。
5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、教学重难点1.教学重点直观感知、操作确认,概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理。
2.教学难点直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。
黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！三、教学准备1.《直线与平面垂直》PPT2.每人发一张三角形纸片四、教学过程黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！【提问】有同学认识它吗?（手指着日晷）（学生：认识）（学生：不认识）可能有同学不认识，它叫日晷。
【PPT演示】日晷日晷是中国古代用来测定时间的仪器，日晷通常由晷针指到和晷盘组成（手指着部位）。
如果我们把晷针看成一条直线，晷面看成一个平面,这里就体现了直线与平面的一种非常特殊的位置关系。
同学们知道是什么位置关吗?（学生：垂直）对，直线与平面重直,这就是我们今天所要学习的内容——《直线与平面垂直》【PPT演示图片】课题《8.6.2直线与平面垂直》【板书】8.6.2直线与平面垂直在我们的实际生活中,有许多场景都能给我们以直线与平面重直的直观形象。
同学们你能举出几个例子吗?(让学生多举几个）如：①把老师我看成一条直线,把讲台看成一个平面；②教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系【PPT演示图片】③旗杆所在直线与地面的位置关系④港珠澳大桥雄伟壮观，桥墩所在直线与海面所在平面的位置关系⑤美丽的上海东方明珠塔，如果把塔身看成一条直线，海面看成一个平面。
这些都能给我们以直线与平面重直的形象。
⑥意大利萨斜塔,它能体现直线与平面垂直的形象吗?（学生：不能）对，不能，塔身所在直线与地面所在平面是不重直的。
直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教案一、教案概要1.教学目标：了解直线与平面垂直的定义和性质，掌握判定直线与平面垂直的方法。
2.教学重点：掌握垂直的概念和性质。
3.教学难点：掌握判定直线与平面垂直的方法。
4.教学方法：讲解法、示范法、练习法。
5.教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪、多媒体教学课件。
二、教学内容1.直线与平面垂直的定义和性质。
2.判定直线与平面垂直的方法。
三、教学过程1.导入（10分钟）通过展示一些与平面垂直的事物，引出直线与平面垂直的概念，让学生了解直线与平面垂直的概念和性质。
2.讲解与示范（20分钟）通过黑板、投影仪或多媒体教学课件展示直线与平面垂直的定义和性质，让学生了解直线与平面垂直的特点和性质。
3.判定直线与平面垂直的方法（30分钟）（1）垂直的定义：直线与平面相交的角为90度。
（2）判定方法：根据两个性质来判定直线与平面垂直。
性质1：过直线一点且垂直于直线的直线与这个平面垂直。
性质2：过直线与平面有2点的直线与这个平面垂直。
通过讲解与示范，让学生理解垂直的定义和两个判定方法。
4.练习与巩固（30分钟）根据教师提供的习题和案例，让学生进行练习和巩固，检验学生对判定直线与平面垂直方法的掌握情况。
五、总结（10分钟）对本节课的重点和难点进行总结，并强调直线与平面垂直的概念和性质在几何学中的重要性。
六、布置作业（5分钟）布置作业，要求学生进一步巩固判定直线与平面垂直的方法，掌握几何图形的性质。
七、教学反思通过本节课的教学，学生对直线与平面垂直的定义和性质有了初步的了解，并且掌握了判定直线与平面垂直的方法。
通过练习和巩固，学生的理解和运用能力也得到了提高。
但是在教学过程中，应该注重激发学生的学习兴趣，增加互动性，让学生更加主动参与到教学中。
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质教案教案：直线与平面垂直的性质一、教学目标1.知识目标：了解直线与平面的垂直关系，并掌握直线与平面垂直的性质。
2.能力目标：能够判断直线与平面是否垂直，并能够运用垂直的性质解决问题。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学习的主动性。
二、教学重点三、教学难点如何判断直线与平面是否垂直。
四、教学准备教师准备：教学课件、黑板、白板、绘图工具等。
学生准备：课本、笔记本等。
五、教学过程Step1：导入新知1.通过引入两个概念：“直线”和“平面”，并介绍其定义、性质和符号表示。
2.通过实际示例，引导学生思考并提出问题：“直线与平面之间是否存在一种特殊的关系？”“你认为直线与平面有什么样的垂直关系？”3.引导学生观察周围环境中直线与平面的垂直关系，并与学生一起讨论。
Step2：理论讲解1.引入直线与平面垂直的定义：“如果直线与平面上的任意一条直线都垂直相交，那么称这条直线与这个平面垂直。
”2.讲解直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直的定理：在同一个平面内，如果一条直线与另一条直线垂直相交，则它们与该平面垂直。
（2）直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面垂直的充分必要条件是这条直线上有一点在这个平面上，且在这个平面上有一般的直线与这条直线垂直。
3.讲解直线飞平面垂直的表示方法：以垂直符号“⊥”表示。
Step3：示例演练1.给出一些具体问题，引导学生分析并判断直线与平面是否垂直，并用判定定理进行解答。
例如：过一个点作平面外的一条直线，该直线与这个平面有什么样的关系？2.引导学生根据给定的条件使用垂直的性质进行证明，以锻炼思维能力。
Step4：归纳总结1.让学生复习并总结判定直线与平面垂直的方法和性质。
2.强化学生对垂直符号“⊥”的理解和应用。
Step5：拓展应用将所学的直线与平面垂直的知识应用到实际问题中，例如建筑工程、地理测量等领域，培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
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1 直线与平面垂直的判定
【教学目标】
1．通过观察图片和折纸试验，使学生理解直线与平面垂直的定义，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并能简单应用定义和判定定理；
2．通过对判定定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力；
3．通过对探索过程的引导，努力提高学生学习数学的热情，培养学生主动探究的习惯．
【教学重点】
对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解及其简单应用．
【教学重点】
探究、归纳直线与平面垂直的判定定理，体会定义和定理中所包含的转化思想．
【教学方式】探究式
【教学手段】 计算机、实物模型
【教学过程】
一、实例引入，理解概念
1．通过复习空间直线与平面的位置关系，让学生举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，其中最特殊、最常见的一种就是线面的垂直关系，从而引出课题．
设计意图：希望通过学生的生活经验，提高学生学习数学的兴趣和自觉性．
2．给出学生非常熟悉的校园图片，引导他们观察直立于操场上篮球架的立柱与它在地面影子的关系，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确描述，引出直线与平面垂直的定义．即：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直．
设计意图：通过从“具体形象——几何图形——数学语言”的过程，让学生体会定义的合理性．
3．简单介绍线面垂直在我国古代的重要应用——“日晷”．
设计意图：通过我国古代用来计时的一种仪器——日晷，让学生感受数学的应用价值，提高学生学习数学的热情．同时，引出探究判定定理的必要性．
二、通过试验，探究定理
准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触）
D C A B D B
A C
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2 问题1：折痕AD 与桌面一定垂直吗？
又问：为什么折痕不一定与桌面垂直？（引导学生根据定义进行回答）
设计意图：从另一个角度理解定义：如果想说一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了．
问题2：如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面α垂直？
又问：为什么折痕与桌面是垂直的？（引导学生根据定义进行确认）
以折痕AD 为轴转动纸片，来说明AD 与平面α内过D 点的所有直线都垂直，平面α内不过D 点的直线，可以通过平移到D 点，说明它们与AD 都垂直，于是符合直线与平面垂直的定义．
教师再用课件将上述过程进行动
画演示（如右图），然后引导学生归纳
出直线与平面垂直的判定定理．进一步
引导学生对判定定理中两个关键条件
“双垂直”和“相交”进行理解和确认．
问题3：
(1)如果一条直线与平面内的一条直线垂直，能判断此直线和平面垂直吗？
(2)定理条件中的两条直线必须相交吗？
要求学生摆出反例模型进行说明，让学生在操作过程中，确认并理解判定定理的条件． 设计意图：通过折纸试验，让学生在发现定理的过程中，不仅有直观上的感知，提高了几何直观能力，而且通过理性的说理，增加了逻辑思维的成分．
最后，引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的判定定理．
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号语言：a l ⊥，b l ⊥，α⊂a ，α⊂b
A b a = ⇒l α⊥．
图形语言：
例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）正方体''''ABCD A B C D -中，棱'BB 和底面ABCD 垂直．
第 页（共4页） 3 （2）正三棱锥P ABC -中，M 为棱BC 的中点，则棱BC 和平面PAM 垂直．
设计意图：此题两问都是对判定定理的直接应用，第一问定理条件通过观察即可得到，目的是进一步强化定理的条件以及定理在应用过程中的准确表述；第二问定理条件需要用平面几何的知识才能得到．
例2 求证：如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直． 分析：首先需要把文字语言叙述的命题分别用符号语言和图形语言叙述出来．
欲证线面垂直，需证线与面内两条相交直线垂直；而已知线面垂直，可得线线垂直，所以，在平面内两条相交直线n m ,作为辅助线，命题可证．
已知：b a //，α⊥a , 求证：α⊥b ．
证明：在平面α内作两条相交直线,m n ．
因为直线a α⊥，根据直线与平面垂直的定义知
,a m a n ⊥⊥． 又因为 //a b ，
所以 m b ⊥，n b ⊥．
又因为α⊂m ，α⊂n ，m ，n 是两条相交直线，
所以 α⊥b ．
设计意图：此题是课本上的一个例题，使用时改用文字语言叙述，目的是让学生在文字语言、符号语言、图形语言的转化上得到训练；此题重视对学生思维策略的引导和启发，培养学生的逻辑推理能力；同时规范证明题的书写．
例3 如图，AC 是R t △ABC 的斜边，过A 点作△ABC 所在平面的垂线PA ，连PB 、 PC ．问：图中有多少个直角三角形？
分析：说明PAB ∠、PAC ∠为直角是比较容易的．
证明PBC ∠是直角有两种方法：一是通过线线与线面之间
垂直关系的相互转化得出PBC ∠
是直角；二是依据勾股定理的
A A P A
B C
逆定理，通过计算证明△PBC是直角三角形．
设计意图：通过对△PBC是直角三角形进行证明，意在培养学生熟练进行线线和线面之间垂直关系的转化，从而准确和灵活地应用判定定理和定义．
四、归纳小结，提高认识
1．学习小结：从知识和方法两个方面进行．
知识方面：线面垂直的定义、线面垂直的判定定理．
方法方面：转化思想．
2．布置作业：
（1）阅读课本相关内容进行复习；
（2）做课本79页复习参考题A组第10题，B组第1题；
（3）完成课本66页课后探究题．
4
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