广州市铁一中学、广大附中、广外2018-2019高三第一次三校联考文科数学试题及答案

2018---2019学年上学期高三第一次三校联考
文 科 数 学
试卷共4页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1. 设集合{}()|,,2A x x a B =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥ B ．2a > C ．2a ≤ D ．2a <
2. 已知复数z 满足+|12|z i i =+,则复数 z 在复平面上对应点所在的象限为（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3. 设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
则z =x +y 的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4.已知椭圆C ：22
13
x y m +=的一个焦点为(01)，
，则实数m 的值为（ ） A ．4
B
．2 D ．2或4
5. 已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧
C ．p q ∧⌝
D ．p q ⌝∧⌝
6. 在区间上随机取一个数x ，的值介于0到之间的概率为（ ） A.
B. C. D. [,]22ππ
-
cos x 2
1
31π
22132
7. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则函数4f x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
图象的一个对称中心是（ ） A ．,03π⎛⎫-
⎪⎝⎭
B ．,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．3,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
8. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）
A ．2 B. 1 C.
32
D. 3
9. 已知等比数列}{n a 的各项均为正数，若7344a a a =，则75a a +的最小值为（ ）
A ．4 B. 2 C. 1 D.
2
1
10. 在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的
最大值为（ ）
A ．1 B. 2 C. 3 D.4 11. 已知点A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转
3
π
至OB ，则点B 的纵坐标为. （ ）
A.
213 B.2
11C.23
5 D. 233
12. 如图所示，在棱长为 6的正方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别是棱
1111,C D B C 的中点，过,,A E F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ）
A ．18+．
C. D ．10+
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c
a b ，则λ=________．
14. 函数()(2)x
f x x e =-（e 为自然对数的底数）的极大值为
15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为222
4
a b c +-，
则C =
16. 过双曲线22221x y a b
-=（0,0a b >>）的左焦点向圆222
+x y a =作一条切线，若该切线与双曲线的两
条渐进线分别相交于第一、二象限，，则该双曲线的离心率为 ．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（12分）
已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且23269a a a =，12231a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1
{}n
b 的前n 项和n S .
如图，多面体11ABC B C D -是由三棱柱
111ABC A B C -截去一部分后而成，D 是
1AA 的中点. （1）若F 在1CC 上，且14CC CF =，E 为AB 的中点，求证：直线EF //平面11B C D ；
（2） 若1AD AC ==，AD ⊥平面ABC ，BC AC ⊥, 求点C 到面11B C D 的距离．
19. （12分）
某产品经销商调查发现, 该海产品每售出1吨可获利0.4万元, 每积压1吨则亏损0.3万元．根据往年的
数据,得到年需求量的频率分布直方图如下图所示，将频率视为概率．
(1) 请补齐[90,100]上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数；
(2) 今年该经销商欲进货100吨，以x （单位：吨，[60,110]x ∈）表示今年的年需求量，以y （单位：万元）表示今年销售的利润，试将y 表示为x 的函数解析式；并求今年的年利润不少于27.4万元的概率．
A
C
D
E
B
C 1
B 1
F
已知直线l 的方程为2y x =--，点P 是抛物线2:4C x y =上到直线l 距离最小的点． （1）求点P 的坐标；
（2）若直线m 与抛物线C 交于A 、B 两点，
ABP ∆的重心恰好为抛物线C 的焦点F .求ABP ∆的面积．
21. （12分）
已知函数()(1)2ln ,()f x a x x a R =--∈. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在区间（0,1）上无零点，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为212
x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=（0a >），且曲线C 与直线l 有且仅有
一个公共点． （1）求a ；
（2）设A 、B 为曲线C 上的两点，且3
AOB π
∠=，求||||OA OB +的最大值．
23．[选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知函数()|1||1|f x x x =++-，2
()g x x x =-．
（1）求不等式()()f x g x <的解集；
（2）若()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围．
2018---2019学年上学期高三第一次三校联考文科数学参考答案
一．DADCBA BCDCAB 二．13.1
2
14.e 15. 4π 16.2
三．17
（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，因为23269a a a =，则24222()9a q a a q =，即21
9
q =
. 又q ＞0，则1
3
q =
. 3分 因为12231a a +=，则11231a a q +=，即111233
a q =
=+，所以1
3n n a =. 6分
（Ⅱ）由题设，12312
31
(1)
log ()log ()(12)3
2
n
n n n n b a a a n ++
++===-++
+=-
. 9分 则
12112()(1)1
n b n n n n =-=--++. 10分 所以1
1111122[(1)()()]2(1)2
2
3
111
n n S n
n n n =--+-++-=--=-+++L . 12分
18. 解析：（Ⅰ）直线EF 与平面11B C D 的位置关系是平行.
其理由如下：取1B D 的中点为M ，连接1,EM MC ,则EM 是梯形1ABB D 的中位线，
EM ∴∥()1111111132224BB EM AD BB CC CC CC ⎛⎫=
+=+=
⎪⎝⎭，, 2分 又1113
4
C F CC CF CC =-=
,1BB ∥1CC ,∴1//EM C F , 4分 故四边形1EMC F 为平行四边形，1C M ∴∥EF ,
又1C M Ü平面1C DB ，EF ∴∥平面1C DB . 6分 （Ⅱ）AD ⊥平面ABC ， AC Ü 平面ABC ，AD AC ∴⊥,
又1AD AC ==,12,CC AD AD =∥1CC ,22222122C D DC AC AD AD ∴==+==,214C C =,
故22211CC CD C D =+，即1C D CD ⊥, 8分 又BC AC ⊥,,AD BC AC
AD A ⊥=,
BC ∴⊥平面1ACC ,又CD Ü平面1ACC ，BC CD ∴⊥, 10分
又11B C ∥BC ，11BC CD ∴⊥,又1
111DC B C C =,CD ∴⊥平面11B C D ，
所以点C 到面11B C D 的距离为CD
分
19.
解：（Ⅰ）
(注:，图形2分，列式2分,答案2分)
设年需求量平均数为x ，则
650.05750.15850.5950.21050.1
86.5
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
（Ⅱ）设今年的年需求量为x 吨、年获利为y 万元 当0100x ≤≤时，0.40.3(100)0.730y x x x =-⨯-=- 当100x >时，40y =
故0.730,60100
40,100110x x y x -≤≤⎧=⎨<≤⎩
8分
0.73027.4x -≥ 则82x ≥ 9082(8290)(8090)10P x P x -≤<=⨯≤<4
0.50.45
=⨯= (90100)0.2
P x ≤<= (100110)0.1P x ≤≤= 10分
(82)(8290)(90100)(100110)
P x P x P x P x ≥=≤<+≤<+≤<0.40.20.10.7=++=
所以今年获利不少于27.4万元的概率为0.7 12分
/t
20.
解：(1)设点P 的坐标00x y （，）
，则2004x y =，点P 到直线l 的距离：
2
020|2|2x x d ++===≥
当且仅当时0=-2x 取最小值，此时点P 坐标为(-2,1) 4分 （2）设线段AB 的中点Q 00x y （，）
， F(0,1)，P(-2,1)， 由三角形重心性质知2PF FQ =，即：00(2,0)2(,1)x y =-，(1,1)Q ∴ 6分
设A 11x y （，）， B 22x y （，），则，2114x y =，2224x y =，
两式相减得22
1212-4-x x y y =（）, 则1212121
22
AB y y x x K x x -+=
==- 8分
故直线m 的方程：1
1=1)2
y x --（，经检验，符合题意
联立2:4C x y =得2220x x --=,
可得||AB = 10分 点P 到直线m
的距离d =
=
11||22ABP S AB d ∆∴=
==分 21
22.
解：（Ⅰ） 直线l 的普通方程是30x -=，
曲线C 的直角坐标方程是222()x a y a -+=，
依题意直线l 与圆相切，则|3|
2a d a -==，解得3a =-或1a =，
因为0a >，所以1a =． 5分 （Ⅱ）如图，不妨设1(,)A ρθ，2(,)3B π
ρθ+，则12cos ρθ=，22cos()3π
ρθ=+，
12||||OA OB ρρ+=+2cos 2cos()3πθθ=++3cos θθ=)6π
θ=+，
23.
解：（1）由题意可知，2|1||1|x x x x ++-<-，
①当1x ≥时，原式可化为230x x ->，即0x <或3x >，∴3x >；
②当11x -<<时，原式可化为220x x -->，即1x <-或2x >，∴x 无解；
③当1x ≤-时，原式可化为20x x +>，即1x <-或0x >，∴1x <-；
综上所述，(,1)(3,)x ∈-∞-+∞．
5分 （2）由题意可知，()|1||1||(1)(1)|2f x x x x x =++-≥+--=，
当11x -≤≤时，等号成立，
又21
()4g x x x =-≥-，当且仅当1
2x =时，等号成立，
令()()()h x f x g x =+，当12x =时，()h x 取到最小值为17()24h =， 由题意可知74a <，故7(,)4
a ∈-∞． 10分。