巧解椭圆离心率的取值范围

巧解椭圆离心率的取值范围

河北容城中学 牛文国 邮编071700

在椭圆问题中经常会遇到下面一类问题，就教学中的一些体会提供此类问题的常规解法，供大家参考。 设椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 的两焦点为21,F F ，若在椭圆上存在一点p ，使21PF PF ⊥，求椭圆e 的取值范围。

解析1：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得1-=-⋅+c

x y c x y ，即222x c y -=，代入122

22=+b

y a x 得()22222c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥ 即222c a c -≥，2

2≥=∴a c e 又1

解析2：令n PF m pF ==21,

则a n m 2=+ 由21PF PF ⊥ 2

224c n m =+∴ ()22222224a n m n m c =+≥+=∴ 即2122

≥=a c e 又12

210<≤∴<

2

22c y x P =+∴为圆 与 122

22=+b y a x 的公共点。由图可知

222a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2222a c c a <≤-12

2<≤∴

e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长。 解析4：椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大 此题是否可以得到启示呢？

无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <090

2

245sin sin 001=<∠=<∴OPF a c 又10<

122<≤e 说明：在解此类问题时要充分利用椭圆的定义、均值不等式、椭圆的几何性质。