教案7——不等式证明(教师)

教案7 不等式证明

一、课前检测

1．若0>x ，则x x 432+

+的最小值是_________．342+

2. 已知1>x ，1>y ，且4lg lg =+y x ，则y x lg lg 的最大值为（ B ）

A ．4

B ．2

C ．1

D ．41

3. 设a 、b 是正实数，则下列不等式中不成立的是（ D ） (A)221≥++ab

b a (B)4)11)((≥++b a b a (C)b a ab

b a +≥+2

2 (D)ab b a ab ≥+2

4. 设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y

)的最小值为( B ) （A ） 6 （B ）9 （C ）12 （D ）15

二、知识梳理

1. ．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分_______________两种形式．比差、比商

(1)作差比较法，它的依据是________________： ⎪⎩

⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a b a b a b a b a 000 它的基本步骤：___________________，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等． 作差——变形——判断

(2) 作商比较法，它的依据是：____________________________

若a >0，b >0，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎪⎨⎧<⇔<=⇔=>⇔>b a b

a b a b a b a b a 111 它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．

2．综合法：综合法证题的指导思想是___________(“由因导果”)，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．

3．分析法：分析法证题的指导思想是_____________(“由果索因”)，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立。

三、典型例题分析

例1. 已知0,0>>b a ，求证：

b a a b b a +≥+ 证法1：

)(b a a b b a +-+ ＝

ab ab b a b a )()()(33+-+ ＝

ab b ab a b a ])(2))[((22+-+ ＝ab b a b a 2

))((-+

∵b a +>0，ab >0，0)(2≥-b a

∴

0)(≥+-+b a a b b a 即 b a a b b a

+≥+

证法2：ab ab

b a ab b a b a b a a b

b a

-+=++=++)()()(3

3

＝1＋1)(2

≥-ab b a

∴ b a a b

b a

+≥+

故原命题成立，证毕．

变式训练1：已知a 、b 、x 、y ∈R +且

a 1＞b

1，x ＞y. 求证：a x x +＞b y y +． 解：证法一：(作差比较法)

∵

a x x +－

b y y +＝））（（b y a x ay bx ++-， 又a 1＞b

1且a 、b ∈R +， ∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，∴bx ＞ay. ∴））（（b y a x ay bx ++-＞0，即a

x x +＞b y y +. 证法二：(分析法)

∵x 、y 、a 、b ∈R +，∴要证a

x x +＞b y y +， 只需证明x(y+b)＞y(x+a)，即证xb ＞ya. 由

a 1＞b

1＞0，∴b ＞a ＞0. 又x ＞y ＞0，知xb ＞ya 显然成立.故原不等式成立

例2. 已知a 、b ∈R +，求证：)(22)1)((a b b a b a b a +≥+++

证明：∵ab b a 2≥+，因此要证明原不等式成立，则只要证)(21b a b a +≥++ 由于)(21b a b a +-++0)22()22(22≥-+-=b a 所以)(21b a b a +≥++，从而原不等式成立．

变式训练2：已知a 、b 、c ∈R ，求证：c b ab c b a 234222++≥+++

证明：左边－右边＝c b ab c b a 234222---+++)812416444(4

1222c b ab c b a ---+++= 0])1(4)2(3)2[(41222≥-+-+-=c b b a ∴ c b ab c b a 234222++≥+++

基础训练

1. 若0<

a 11> (B)a

b a 11>- (C)b a > (D)22b a > 2．设实数a 、b 满足b a <<0，且1=+b a ，则下列四数中最大的是（B ）

(A)21 (B)22b a + (C)ab 2 (D)a

3. ．设m b a ,,都是正数，且b a <，则下列各不等式中恒不成立的是（ B ） (A)1<++

b m a b a ++≥ (C)1≤++≤m b m a b a ( D)a b m a m b <++<1 4．107+与322+的大小关系为_____322107+>+_____．

5. 若0>>b a ，下列各式不等式中恒成立的是（B ） (A)b a b a b a >++22 (B)222211a b a b >++ (C)b b a a 11+>+ (D)b a b a >

6. 设x 、y 满足122=+y x ，则)1)(1(xy xy -+有（B ）

(A)最小值

2

1和最大值1 (B)最小值43和最大值1 (C)最小值43，没有最大值 (D)最大值1，没有最小值 能力提升

7.已知1

b a 证明：要证11<++ab

b a 只需证ab b a +<+1 只需证22)1()(ab b a +<+

只需证2222212b a ab b ab a ++<++ 即证22221b a b a +<+

即证012222>--+b a b a

只需证0)1)(1(22>--b a 1

012<-∴a ，012<-b 0)1)(1(22>--∴b a 成立

11<++∴ab

b a 成立 8. x 、y 、R z ∈，a z y x =++，求证：3

2

222a z y x ≥++ 证明：a z y x =++

xz yz xy z y x z y x a 222)(2

2222+++++=++=∴