多项式最大公因式的求解

多项式最大公因式的求法

定理1

设)(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥Λ是P[x]中n 个多项式.P[x]中多项式d(x)称为

)(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥Λ的最大公因式，如果它满足下面的两个条件：

(1)d(x)是(x),f (x),(x),f f n Λ21的公因式. (2)(x),f (x),(x),f f n Λ21的公因式全是d(x)的因式.

定理2 设)(),(),(x h x g x f 是][x P 中的多项式，P[x]中多项式d(x)是)(),(),(x h x g x f 的最大公因式，c 是任意的非零常数，则有))(),()()(())(),(()(x g x g x h x cf x g x f x d -==.

证明：当)(x f 、)(x g 有一个为零，例如0)(=x g ，那么结论显然成立. 当0)(≠x g 时，则有)()(x f x d ，)()(x g x d .

从而)()()()(x g x h x cf x d -，即)(x d 是)()()(x g x h x cf -与)(x g 的一个公因式，令

)()()()(x g x h x cf x c -，)()(x g x c .根据整除的性质，我们有)()(x f x c ，所以)()(x d x c .

所以))(),()()(())(),(()(x g x g x h x cf x g x f x d -==

方法1：用辗转相除法求最大公因式

引理 如果

)3(121≥n (x),f (x),(x),f f n-Λ的最大公因式存在，那么

)

2(21≥n (x),f (x),(x),f f n Λ的

最

大

公

因

式

也

存

在

，

且

(x)) (x)),f ,f (x),(x),f ((f (x))(x),f ,f (x),(x),f (f n n-n n-121121ΛΛ=. (1)

证明：由题意，假设(x),f (x),(x),f f n-121Λ的最大公因式为)(1x d ，那么(x)d 1与(x)f n 的最大公因式)(x d 也是存在的. (2)

又由(1)、(2)式，可知n)i (x), (d(x)|f i ≤≤1.

假设c(x)是)(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥Λ的一个公因式，由(1)式可得(x)c(x)|d 1.这样c(x)就是(x)d 1与(x)f n 的一个公因式，再由(2)式可得c(x)|d(x).

所以(x)) (x),f ,f (x),(x),f (f d(x)n n-121Λ=.

定理3 设)2)((,),(),(21≥n x f x f x f n Λ是][x P 中的n 个多项式，则在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成(x),f (x),(x),f f n Λ21的一个组合，即有p[x]中多项式

(x),u (x),(x),u u n Λ21使(x)(x)f u (x)(x)f u (x)(x)f u d(x)n n +++=Λ2211.

由定理3对一般情况，

设11

110110(),()n n n n n n n n f x a x a x a x a g x b x b x b x b ----=++++=++++L L ，不妨设m

n ≥则，))(),()((

))(),((x g x g x x f a b x g x f m n n m --=.记)()()(1x g x x f a b

x f m n n

m --=，令01111)(c x c x c x c x f k k k k ++++=--Λ，则m k ≤，故

))(),(())(),((1x g x f x g x f =))()(),

((111x f x x g b c x f m m

k

--=. 记)()()(112x f x x g b c x f m m

k

--=

，且))(())((12x f x f ∂≤∂故))(),(())(),((21x f x f x g x f = 如此下去，所得差式的次数不断降低，即Λ≥∂≥∂≥∂))(())(())((21x f x f x g .因此在有限次之后，必然有一差式为零，即)0),(())(),(())(),((21x f x f x f x g x f r ===Λ，则)(x f r 乘以首项系数的倒数之后即为)(x d .

例1 例1 设x x x g x x x f +=-=2

3

)(,)(求)(f(x),g(x). 解：由题意得：

用等式表示出来，就是

)

66)(3

1

61()()

23)(3()(2++=++-=x x x g x x x x f 因此1))(),((+=x x g x f

例 2 设1256)(,22)(2

3

2

3

4

-++=--+=x x x x g x x x x x f 求))(),((x g x f ，并求

)(),(x v x u 使)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.

解：由题意得：

用等式表示即

)482018()()4()(2-++-=x x x g x x f

)9

4

94()482018)(5413181()(2++-++=x x x x x g

)1082

81

)(

9494

(4820182

++=-+x x x x 因此1))(),((-=x x g x f 而

)482018)(54

13

181()(94942-++-=-x x x x g x )]()4()()[5413

181()(x g x x f x x g --+-=

)()]4)(5413

181(1[)()5413181(x g x x x f x -+++--

= )()27

1

541181()()5413181(2x g x x x f x +++--

= 于是，令27

1

541181)(,5413181)(2++=--

=x x x v x x u 就有)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=