多项式最大公因式的求解

多项式最大公因式的求法
定理1
设)(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥Λ是P[x]中n 个多项式.P[x]中多项式d(x)称为
)(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥Λ的最大公因式，如果它满足下面的两个条件：
(1)d(x)是(x),f (x),(x),f f n Λ21的公因式. (2)(x),f (x),(x),f f n Λ21的公因式全是d(x)的因式.
定理2 设)(),(),(x h x g x f 是][x P 中的多项式，P[x]中多项式d(x)是)(),(),(x h x g x f 的最大公因式，c 是任意的非零常数，则有))(),()()(())(),(()(x g x g x h x cf x g x f x d -==.
证明：当)(x f 、)(x g 有一个为零，例如0)(=x g ，那么结论显然成立. 当0)(≠x g 时，则有)()(x f x d ，)()(x g x d .
从而)()()()(x g x h x cf x d -，即)(x d 是)()()(x g x h x cf -与)(x g 的一个公因式，令
)()()()(x g x h x cf x c -，)()(x g x c .根据整除的性质，我们有)()(x f x c ，所以)()(x d x c .
所以))(),()()(())(),(()(x g x g x h x cf x g x f x d -==
方法1：用辗转相除法求最大公因式
引理 如果
)3(121≥n (x),f (x),(x),f f n-Λ的最大公因式存在，那么
)
2(21≥n (x),f (x),(x),f f n Λ的
最
大
公
因
式
也
存
在
，
且
(x)) (x)),f ,f (x),(x),f ((f (x))(x),f ,f (x),(x),f (f n n-n n-121121ΛΛ=. (1)
证明：由题意，假设(x),f (x),(x),f f n-121Λ的最大公因式为)(1x d ，那么(x)d 1与(x)f n 的最大公因式)(x d 也是存在的. (2)
又由(1)、(2)式，可知n)i (x), (d(x)|f i ≤≤1.
假设c(x)是)(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥Λ的一个公因式，由(1)式可得(x)c(x)|d 1.这样c(x)就是(x)d 1与(x)f n 的一个公因式，再由(2)式可得c(x)|d(x).
所以(x)) (x),f ,f (x),(x),f (f d(x)n n-121Λ=.
定理3 设)2)((,),(),(21≥n x f x f x f n Λ是][x P 中的n 个多项式，则在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成(x),f (x),(x),f f n Λ21的一个组合，即有p[x]中多项式
(x),u (x),(x),u u n Λ21使(x)(x)f u (x)(x)f u (x)(x)f u d(x)n n +++=Λ2211.
由定理3对一般情况，
设11
110110(),()n n n n n n n n f x a x a x a x a g x b x b x b x b ----=++++=++++L L ，不妨设m
n ≥则，))(),()((
))(),((x g x g x x f a b x g x f m n n m --=.记)()()(1x g x x f a b
x f m n n
m --=，令01111)(c x c x c x c x f k k k k ++++=--Λ，则m k ≤，故
))(),(())(),((1x g x f x g x f =))()(),
((111x f x x g b c x f m m
k
--=. 记)()()(112x f x x g b c x f m m
k
--=
，且))(())((12x f x f ∂≤∂故))(),(())(),((21x f x f x g x f = 如此下去，所得差式的次数不断降低，即Λ≥∂≥∂≥∂))(())(())((21x f x f x g .因此在有限次之后，必然有一差式为零，即)0),(())(),(())(),((21x f x f x f x g x f r ===Λ，则)(x f r 乘以首项系数的倒数之后即为)(x d .
例1 例1 设x x x g x x x f +=-=2
3
)(,)(求)(f(x),g(x). 解：由题意得：
用等式表示出来，就是
)
66)(3
1
61()()
23)(3()(2++=++-=x x x g x x x x f 因此1))(),((+=x x g x f
例 2 设1256)(,22)(2
3
2
3
4
-++=--+=x x x x g x x x x x f 求))(),((x g x f ，并求
)(),(x v x u 使)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.
解：由题意得：
用等式表示即
)482018()()4()(2-++-=x x x g x x f
)9
4
94()482018)(5413181()(2++-++=x x x x x g
)1082
81
)(
9494
(4820182
++=-+x x x x 因此1))(),((-=x x g x f 而
)482018)(54
13
181()(94942-++-=-x x x x g x )]()4()()[5413
181()(x g x x f x x g --+-=
)()]4)(5413
181(1[)()5413181(x g x x x f x -+++--
= )()27
1
541181()()5413181(2x g x x x f x +++--
= 于是，令27
1
541181)(,5413181)(2++=--
=x x x v x x u 就有)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=
方法2：方程组法求解多项式的最大公因式
定理 4 设)(x f 、)(x g 是][x P 上的两个多项式，令⎩⎨⎧==0)(0
)(x g x f 将方程组化解为
⎩
⎨⎧==00
)(c x d 则当0=c 时，][x P 中多项式)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式；当0≠c 时，)(x f 与)(x g 互素.（其中c 是常数）
例 3 设22)(,623)(2
3
2
3
-+-=+++=x x x x g x x x x f 求))(),((x g x f
解：作方程组⎩⎨⎧=-+-=+++0
2206232
323x x x x x x ⎩
⎨⎧=-+-=+−−−→−÷-0220
22
3
24
))2()1((x x x x ⎩
⎨⎧=--=+−−−→−⨯+020
22
2)1()2(x x x
⎩
⎨
⎧==+−−→−+000
22)
1()2(x 所以2))(),((2
+=x x g x f
例 4 设22)(,242)(2
3
4
2
3
4
+-+-=+-+-=x x x x x g x x x x x f 求))(),((x g x f
解：作方程组⎩
⎨⎧=+-+-=+-+-0220
2422
34234x x x x x x x x ⎩⎨⎧=+-+-=--−−→−-0
220
22
34
3)
2()1(x x x x x x ⎩
⎨⎧=+---=--−−−→−⨯+0220
22
3
3)1()2(x x x x x x
⎩⎨⎧=-=--−−→−-0
20
223)
2()1(x x x
⎩
⎨⎧=-=−−−→−⨯-020
02
)2()1(x x
所以2))(),((2
-=x x g x f。