高数第八章知识点资料

其中(x, y) L,求其质量M。
M2
A M1 Mi1
1.分割：M1, M2 ,, Mn1 si ,
o
x
2.近似： M (i ,i )si ,
曲线形构件的质量
n
3.求和： M (i ,i )si ,
i 1
n
4.取极限：M
lim 0
i 1
特殊情形
(1) L : y y(x) a x b.
f (x, y)ds
b
f [x, y(x)]
1 y2 (x)dx.
(a b)
L
a
(2) L : x x( y) c y d.
f (x, y)ds
d
f [x( y), y]
1 x2 ( y)dy.

1 y 2 dy

yds
2
y
1 y 2 dy
L
0
1 (5 5 1) 3
y 2
y2 x
2
0
2x
例2. 计算 (x2 y 2 )ds 其中L: x2+y2=a2. L
解： L: x=acos t, y=asin t, 0≤t≤2
(x2 y 2 )ds L
2 (a 2 cos2 t a 2 sin 2 t) (a sin t)2 (a cost)2 dt 0
y
L
y
B
A
O
x
Oa b
x
3. f (x, y)ds f (x, y)ds.
AB
BA
性质：
(1) [kf (x, y) hg(x, y)]ds k f (x, y)ds h g(x, y)ds.
L
L
L
证
b
[kf (x, y) hg(x, y)]ds
a
n
lim 0
(i ,i )si ,
M L (x, y)ds.
柱面的面积：
z
设是一张母线平行于z轴，准线为
xoy面上曲线L的柱面的一部分，其
高度为h(x, y)，求的面积。
o
x
1)若h(x, y) 常数;
y
L
柱面的面积：
设是一张母线平行于z轴，准线为
xoy面上曲线L的柱面的一部分，其
L
c
(3) L : (), .
L f (x, y)ds


f [() cos, ()sin]
[()]2 [()]2 d.

例1. 计算L yds. 其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)
的一段弧. 解1： L : y 2x, 0≤x≤2
[kf (i ,i ) hg(i ,i )]si
i 1
n
n
lim 0
kf
(i
,i
)si

lim
0
hg(i ,i )si
i 1
i 1
k f ( x, y)ds h g(x, y)ds.
L
LBiblioteka Baidu
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
(2) L kf ( x, y)ds k L f ( x, y)ds (k为常数).

(0




2
)
o
y
xR x
推广:
空间R3中的曲线：x=x(t), y=y(t), z=z(t),
≤t≤
z

O
y
x
f (x, y, z)ds


f [x(t), y(t), z(t)]
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt

( < )
例4 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,
第八章 曲线积分与曲面积分
定积分的积分区域： [a,b] 二重积分： 平面区域 D 三重积分： 空间区域 曲线积分： 一段曲线 曲面积分： 一块曲面
一、第一类曲线积分的概念
曲线形构件的质量： y
例：平面曲线的质量 金属
B L Mn1
细线 L AB，线密度为(x, y),
(i ,i ) Mi
i1 n
4.取极限： A

lim
0
i 1
h(i ,i )si ,
柱面的面积：
A L h(x, y)ds.
注意：
1. 函数 f (x, y)在闭曲线 L 上对弧长的
曲线积分记为 f (x, y) ds . L
2.当积分路径 L 为 x 轴上的直线段时,曲线积
分 [a,b] 就相当于 f (x, y)ds上的定积分.
(3) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
L
L1
L2
(L L1 L2 ).
(4) f (x, y)ds f (x, y)ds.
AB
BA
第一类曲线积分的计算法
设平面光滑曲线弧 L由参数方程
x x(t)

y

, y(t)
( t )
给出，函数 f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds

f [x(t), y(t)]
x2 (t) y2 (t)dt
( )

L
注意:
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;
2. f ( x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的.
z
高度为h(x, y)，求的面积。
2)若h(x, y)不为常数;
方法：分割、近似、求和、取极限 1.分割：
h(i ,i )
o
y
x
A
L Mi B
M i1
(i ,i )
2.近似：
h(i
,i
)si
,
其中si
表示M
i1M
的长度。
i
n
3.求和： A h(i ,i )si ,
y 2
ds
1

dy
2

dx

dx
1 1 dx 2x
y2=2x
yds 2 2x 1 1 dx
L
0
2x
0
2x
2 2x＋1dx 1 (5 5 1)
0
3
解2： L : x y 2 , 0≤y≤2 2
ds
1

dx dy
2 dy
2 a 2 adt 2a3 0
例3（书P169 例2）
计算 R2 x2 y2 ds，其中L为上半圆弧x2 y2 Rx, y 0.
L
y
解：
x OLcos , y OLsin;
L
OL R cos

x

y

R cos2 , R cos sin
z k的一段. (0 2)
解
I
2
a2 cos sin k