高数第八章知识点资料
《高等数学》第八章复习要点
第八章 多元函数微分法及其应用 复习要点多元函数的微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，深刻理解，融会贯通。
1. 会求多元函数的偏导数对二元函数),(y x f z =， x y x f y x x f x z f x ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 01，yy x f y y x f y z f y ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 02 因此求x z ∂∂时，暂时将y 看作常数，对x 求导; 求y z ∂∂时，暂时将x 看作常数，对y 求导.同理，会求三元函数的偏导数。
2. 会求多元函数的高阶偏导数对二元函数),(y x f z =，有)(2211x z x x z f ∂∂∂∂=∂∂=''， )(212xz y y x z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(221y z x x y z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(2222y z y yz f ∂∂∂∂=∂∂=''. 定理：xy z y x z x y z y x z ∂∂∂∂∂∂⇔∂∂∂=∂∂∂2222, 连续 3. 会求多元函数的全微分对二元函数),(y x f z =，dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= 对三元函数),,(z y x f u =，dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=4. 掌握多元复合函数的求导法则设)],(),,([),(),,(),,(y x v y x u f z y x v v y x u u v u f z =⇒===则 xv f x u f x v v z x u u z x z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21yv f y u f y v v z y u u z y z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21 重点：会求复合函数的二阶偏导数。
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
高数第八章总结
第八章空间解析几何与向量代数
第一节向量及其线性运算
1、右手定则方向角
2、记Prju r或（r）u ：向量r在u轴上的投影
第二节数量积向量积混合积
1、a*b= 大小——a·b·sin
方向——右手定则确定
2、a*b=a=（a1，a2，a3）b=（b1，b2，b3）
3、混合积为（a*b）·c记作[abc]的作用：
①平行六面体的体积
②[abc]=0时说明三向量共面
③满足轮换对称性：[abc]= [bca] = [cab]
第三节曲面及其方程
①椭圆锥面
③单叶双曲面④双叶双曲面
⑤椭圆抛物面⑥双曲抛物面
第四节空间曲线及其方程
1、一般方程： F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0
x=x(t)
2、参数方程： y=y(t)
z=z(t)
第五节平面及其方程
1、点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
[其中法向量n=(A,B,C) M0为(x0,y0,z0)]
2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0（一般需要四个平面上的点求出）第六节空间直线及其方程
1、一般方程： A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
2、点向式：
[其中方向向量为s=(p,m,n) 已知点为M0（x0,y0,z0）]
3、平面束方程的重要应用：P48。
高等数学 第8章
以前研究的函数都是只有一个自变量的一元函数，但在自 然科学和工程技术中的很多问题都要取决于多个因素，从而产 生了有几个自变量的函数，称为多元函数．多元函数的微分学 是在一元函数微分学的基础上发展起来的．由于多元函数是一 元函数的推广，它必然要保留一元函数的许多性质，但又由于 自变量的增多，也会产生某些本质的差别．因此在学习多元函 数的理论时，既要注意到它与一元函数的联系，又要弄清它们 之间本质的差别。
dz fx(x ，y)x f y(x ，y)y
由于 dx x，dy y 所以函数z=f(x, y)的全微分可记作
dz fx(x ，y)dx f y(x ，y)dy
三元及三元以上的多元函数的全微分，也有类似公式， 如三元函数u=f(x, y, z)的全微分存在，则
du f dx f dy f dz x y z
设P0(x0, y0)是平面上一点，称点集
(x ，y) (x x0 )2 ( y y0 )2
为点P0的邻域，记作U(P0, )。P0称为此邻域的 中心，称为此邻域的半径．
二、偏导数的概念
研究一元函数变化率时引入了导数的概念，对于多元函 数也需要讨论它的变化率。在实际问题中，常常需要了解 一个受到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情 况下，该变量只随一种因素变化的变化率问题。
不是极值 不确定
利用定理1和定理2，我们把具有二阶连续偏导数的函 数z=f(x, y)的极值的求法叙述如下：
（1）求一阶偏导数fx’(x, y)，fy’ (x, y)，并解方程组
fx(x ，y) 0 ，
f
y(
x
，y)
0
.
求得一切实数解，即求得一切驻点．
（2）对每个驻点(x0, y0)，求出二阶偏导数的值A，B， C。
高数第八章
高数第八章第八章第一节 向量及其线性运算重点：1.方向角与方向余弦 2.向量在轴上的投影典型题目：例7.已知两点M 1(2，2，2)和M 2（1.，3，0），计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。
解：21M M =（1-2，3-2，0-2）=（-1，1，-2），|21M M |=2222)(-(1)(-1)++=2211=++;COS α=-21,COS β=21,COS γ=-22;α=π32,β=3π,γ=43π.例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|=a ，求.P OM OA OA rjOM方向上的投影在解：记∠MOA=θ，有COS θ=31||||=OM OA ，θθ于是OA rjOMP =|3aθ||=COS OA ．θ马云赵振第二节数量积向量积混合积1.两向量的数量积a·b=│a││b│cos θθ为两向量间的角度（1）a·a=│a│2（2）如果两个向量垂直，那么数量积为0，反之亦然（3）数量积满足交换律，分配率结合律如下时才成立(Λa)·b=Λ（a·b）2.向量积a·b=│a││b│sin θ（1）b×a=-a×ba×b=0的充分必要条件是a平行于b（2）满足分配率 结合律如下时才成立（3）(Λa)×b=a×（Λb ）=Λ（a×b ） 用三阶行列式表示i j ka×b=│a x a y a z│b x b y b z例题1.已知三角形ABC 的顶点分别是A （1,2,3）,B （3,4,5）,C （2,4,7），求三角形的面积解：S ABC =1∕2│c ││b │sinA=1∕2│c ×b │i j kc ×b=│2 2 2│=4i-6j+2k1 2 4S ABC =1∕2│4i-6j+2k │=2222)6(4+-+=142.a=3i-j-2k ，b=i+2j-k ，求3.（-2a ）·（3b ）4.a 、b 夹角的余弦解：（1）（-2a ）·（3b ）=-6（a·b ）=18 二、cos<a,b>=a·b/│a │·│b │=3/221张浩康 赵奇第三节 曲面及其方程要点：1.几种常见二次曲面的标准方程： 球面 ()()()22022R z z y y x x =-+-+-椭球面 1222222=++cz b y a x单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x双叶双曲面 1222222=--c z b y a x椭圆抛物面z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面） z b y a x =-22222.空间曲面方程1）一般方程()0xF；yz,,=2）显式方程()y x F=；z,3）参数方程()v u x x,=()()平面上某区域y∈u,v=,y，其中uv为DDvu()v u z=z,3.设()平面上的曲线，则,C0:=z为yOzyf1）();0,22=z绕C轴旋转所得的曲面为fx+±zy2）().0y2,2=C轴旋转所得的曲面为f绕y+±zx旋转曲面由母线和旋转轴确定。
高等数学第八章
1 , x r Q ， x Q， D( x r ) D( x ) . x I. 0 , x r I, 即任意正有理数是 D( x ) 的周期，但正有理数
中不存在最小值， D( x ) 无最小正周期 故 .
负整数集： {， 2,1} , 整数集： {， 1 0， } Z Z ，1 ， ，
有理数集： {全体有理数 , Q } 无理数集： {全体无理数 , I } 实数集： Q I . R
3.常用不等式:
x , x0, 绝对值 : x R , x x , x 0 .
1 . x R, x 0 .
o
2 . x R, x x x .
o
3 . x h (h 0) h x h .
o
4 . x h (h 0) x h 或 x h .
o
5 . x, y R , x y x y x y .
1.1 函数的概念及其初等性质
1.1.1 预 备 知 识
1.一些常用的符号
“对每一个” . : 表示“对任意一个”或 “至少有一个” . ：表示“存在一个”或 “ ：表示“可推出”或若，则”.
或 ：表示“当且仅当”“充分必要” 或“等价” .
2.常用数集 自然数集： * {0,1,2,} , 正整数集： ( N ) {1,2,3,} , N Z
若 在周期函数 f ( x ) 的所有周期中存在 最小的正 周期 T ， 则称这个最小正周期T 为 f ( x ) 的 基本周期 . 通常我们所说的函数的 周期都是指基本周期.
常 用
f ( x ) sinx, cos x 的周期为T 2 , f ( x ) tan x, cot x 的周期为 T , F ( x) Asin( x B) C 的周期为T 2 ,
高等数学第八章知识点总结
高等数学第八章知识点总结第八章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
本文将对数列和级数的基本概念、极限、收敛性以及常见的数列和级数进行总结和归纳。
1. 数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列可以有界，也可以无界。
数列的性质包括有界性、单调性和有界单调性。
1.1 有界性：如果存在一个正数M，对于数列的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么称数列是有界的。
1.2 单调性：如果对于数列的每一项a_n，都有a_n≤a_(n+1)（或a_n≥a_(n+1)），那么称数列是递增的（或递减的）。
1.3 有界单调性：如果数列既是递增的又是有界的，那么称数列是有界递增的；如果数列既是递减的又是有界的，那么称数列是有界递减的。
2. 数列的极限数列的极限是数列中的数值趋于无穷时的极限值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无限的。
2.1 数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|a_n-a|<ε，那么称数列{a_n}收敛于a。
反之，如果不存在这样的实数a，则称数列{a_n}发散。
2.2 数列的极限存在唯一性：如果数列{a_n}收敛于a，并且又收敛于b，那么a=b。
3. 数列的运算数列的运算包括数列的加法、数列的乘法和数列的数乘。
3.1 数列的加法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n + b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的和。
3.2 数列的乘法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n * b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的乘积。
3.3 数列的数乘：若{a_n}是一个数列，k是一个实数，定义数列{b_n} = {k * a_n}，则称{b_n}为{a_n}的数乘。
4. 级数的概念和性质级数是数列的和，级数的性质包括收敛性、发散性和级数的收敛域。
高等数学教材第八章
高等数学教材第八章第八章：多元函数的微分学第一节：多元函数的极限与连续性在高等数学中，多元函数是指与多个自变量相关的函数。
多元函数的微分学则是研究多元函数的导数、极限和连续性的数学分支。
多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数值的变化趋势。
与一元函数类似，我们也可以讨论多元函数在某一点处的左极限、右极限，以及无穷远处的极限。
根据多元函数极限的定义，我们可以得到一元函数极限的特例。
多元函数的连续性则是指函数在某一点的极限等于函数在该点的函数值。
如果一个多元函数在定义域的每一点都是连续的，我们称其为连续函数。
与一元函数连续性的概念类似，多元函数的连续性包括点连续性和区间连续性两种情况。
第二节：多元函数的偏导数和全微分在研究多元函数的微分学时，最重要的概念之一就是偏导数。
偏导数是多元函数对于某个自变量的导数，而将其他自变量视为常数。
通过偏导数，我们可以研究多元函数在不同自变量方向上的变化情况。
与偏导数相关的概念是全导数和全微分。
全导数是指多元函数对于所有自变量的导数，而全微分则是全导数与自变量的微小增量之积。
全微分在多元函数微分学中具有重要的应用价值。
第三节：多元函数的微分多元函数的微分是指函数在某一点处的局部线性近似。
通过微分，我们可以求得函数在某点处的切线、法线以及在该点附近的变化情况。
多元函数的微分是通过偏导数和全微分推导而来的。
通过求得多变量的微分，我们可以进一步研究函数的最值、优化问题等。
第四节：多元函数的导数多元函数的导数是指函数在某一点处的变化率。
与一元函数的导数类比，多元函数的导数也可以用于求得函数的极值、切线与法线方程等问题。
多元函数的导数是通过偏导数推导而来的。
通过求得各个自变量的偏导数，并将其组合成一个向量，我们可以得到多元函数的导数。
第五节：多元函数的高阶导数多元函数的高阶导数是对多层次的导数求导的结果。
与一元函数的高阶导数类似，多元函数的高阶导数可以用于求函数的高阶变化率，进一步研究函数的性质和行为。
高等数学第六版(同济版)第八章复习资料
第八章 空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算一、向量的相关概念1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2. 向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为 AB 或a .3. 向量的模：称向量的大小为向量的模，记为||a .4. 自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5. 单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作e .6. 零向量：称模为0的向量为零向量，记作0.7. 两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作=.(即两个向量平移后重合.)8. 两向量的夹角：],0[),(πϕ∈=∧b a ，≠,.9. 两向量平行：若非零向量a 与b 所成的角•b a 0),(=∧或π，则称的a 与b 平行，记作b //a . 规定: 零向量与任何向量平行.10. 两向量垂直：若非零向量a 与b 所成的角•2/),(π=∧，则称的a 与b 垂直，记作⊥.注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直.11. 向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线.12. 向量共面：将)3(≥k k 个向量的起点放到同一点时，若k 个终点与公共起点在一个平面上，则称这k 个向量共面. 二、向量的线性运算 1．向量的加减法 (1). 向量的加法①．运算法则：设有向量a 与b ，求a 与b 的和.I. 三角形法则：c AC BC AB b a ==+=+.II. 平行四边形法则：==+=+=+.②.运算规律：1°. 交换律：a b b a +=+.2°. 结合律：)()(c b a c b a ++=++.注:)3(≥n 个向量相加的法则：用前一个向量的终点作为后一个向量的起点，依次作向量n a a a ,,,21 ，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即n a a a s +++= 21. (2). 向量的减法①．负向量：称与向量a 同模反向的向量为它的负向量，记作a -.②. 两向量的差：称向量b 与向量a 的负向量a -的和为b 与a 的差向量，记作)(-+=-. 注：特别地，当a b =时，0)(=-+=-a a a a . ③．运算法则：设有向量a 与b ，求a 与b 的差.I.平行四边形法则：AB OC OA OB a b ==-=-. II.三角形法则：AB OA OB a b =-=-. (3). 运算定理：||||||+≤±. 2．向量与数的乘法(1). 定义：称向量与实数λ的乘积λ为向量的数乘. 注：1°. 规定a λ是一个向量.2°. ||||||a a ⋅=λλ3°. 若0>λ，则a λ与a 同向；若0<λ，则a λ与a 反向；若0=λ，则0=a λ. (2). 运算规律：①． 结合律：a a a )()()(λμλμμλ==. ②． 分配律：b a b a λλλ+=+)(. (3). 性质①．向量a 的同向单位向量：||a ae a =，a e a a ⋅=||. ②．向量平行的充要条件(定理)：若向量0≠a ，则向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使a b λ=.③．数轴上的点P 的坐标为x 的充要条件为：i x OP =，其中向量i 为数轴的单位向量，实数x称为有向线段OP 的值.例1. 如图，用a 、b 表示MA 、MB 、MC 以及MD .解：由于MC AC b a 2==+，故()b a MC +=21，进而()b a MA +-=21. 又MD BD a b 2==-，故()-=21，进而()()-=--=2121.三、空间直角坐标系1. 空间直角坐标系：oxyz 坐标系或],,;[O 坐标系.2. 坐标面：xoy 面；yoz 面；zox 面.3. 卦限：),,(+++→z y x I ；),,(++-→z y x II ；),,(+--→z y x III ；),,(+-+→z y x IV ； ),,(-++→z y x V ；),,(-+-→z y x VI ； ),,(---→z y x VII ；),,(--+→z y x VIII .4. 空间点的坐标：),,(z y x M .OM r =(向径)OR OQ OP ++=k z j y i x ++=. (1). 向量r 的坐标分解式：k z j y i x r ++=. (2). 向量的分向量：z y x ,,. (3). 向量的坐标：),,(z y x =. (4). 点M 的坐标：),,(z y x M .注：1°. xoy 面上点M 的坐标：)0,,(y x M ； 2°. x 轴上点M 的坐标：)0,0,(x M ；yoz 面上点M 的坐标：),,0(z y M ； y 轴上点M 的坐标：)0,,0(y M ；zox 面上点M 的坐标：),0,(z x M . z 轴上点M 的坐标：),0,0(z M .四、利用坐标作向量的线性运算：设),,(z y x a a a =，),,(z y x b b b =. 1. 向量线性运算的坐标表示：(1). 加减法：),,(z z y y x x b a b a b a ±±±=±. (2). 数乘：),,(z y x a a a λλλλ=.(3). 两向量平行：)0,,(,),,(),,(≠==⇔=⇔z y x zzy y x x z y x z y x a a a a b a b a b a a a b b b b //a λ.注：1°. 若0,,0≠=z y x a a a ，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔z z yy x ab a b b b //a 0.2°. 若0,0≠==z y x a a a ，则⎩⎨⎧==⇔00yx b b //.例2. 已知)2,1,2(=，)2,1,1(--=，求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-by x ay x 2335的解向量.解：方程①乘2减去方程②乘3得：b a x 32-=)2,1,1(3)2,1,2(2---=)10,1,7(-=，方程①乘3减去方程②乘5得：b a y 53-=)2,1,1(5)2,1,2(3---=)16,2,11(-=.例3. 已知两点),,(111z y x A 、),,(222z y x B 及实数1-≠λ，在直线AB 上求一点M ，使λ=. 解：因为OA OM AM -=，OM OB MB -=，因此有)(-=-λ，整理得)(11OM λλ++=， 代入坐标得)],,(),,[(11222111z y x z y x OM λλ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x ， 从而得到点M 的坐标⎪⎭⎫⎝⎛++++++λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x M .注：线段AB 中点坐标公式⎪⎭⎫⎝⎛+++2,2,2212121z z y y x x M .五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间距离公式：(1). 向量的模：k z j y i x z y x OM r ++===),,(，222||z y x ++=. (2). 两点间距离公式：点),,(111z y x A 与),,(222z y x B 之间的距离：212212212)()()(|z z y y x x AB -+-+-=.推导：因为()121212,,z z y y x x OA OB AB ---=-=，所以|)()()(||||212212212z z y y x x AB AB -+-+-==.例4. 求证以三点)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点间距离公式，有 14)12()31()47(||22221=-+-+-=M M ；6)23()12()75(||22232=-+-+-=M M ； 6)31()23()54(||22213=-+-+-=M M ，由于||||1322M M M M =，故321M M M ∆为等腰三角形. 例5. 在z 轴上求与两点)7,1,4(-A 、)2,5,3(-B 等距离的点. 解：由题可设所求点为),0,0(z M ，有||||MB MA =，即222222)2()05()03()7()10()40(z z --+-+-=-+-++，整理得914=z ，故所求点为⎪⎭⎫ ⎝⎛914,0,0M . 例6. 已知两点)5,0,4(A 、)3,1,7(B ，求与AB 同向的单位向量e .解：因为)2,1,3()53,01,47(-=---=，所以14)2(13||222=-++=，于是)2,1,3(141||-==AB .2. 方向角与方向余弦(1). 向量的方向角：称非零向量r 与三条坐标轴的夹角γβα,,为向量r 的方向角，],0[,,πγβα∈.(2). 向量的方向余弦：方向角的余弦γβαcos ,cos ,cos .222||cos zy x x r ++==α,222||cos zy x y r ++==β,222||cos zy x z r ++==γ.注：1°. 1cos cos cos 222=++γβα；2sin sin sin 222=++γβα.2°. )cos ,cos ,(cos ),,||||γβα===z y x r r r e . 例7. 已知两点)2,2,2(1M 、)0,3,1(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：由于)2,1,1()20,23,21(21--=---=M M ，从而有2)2(1)1(||22221=-++-=M M于是，21cos -=α，21cos =β，22cos -=γ，由此可得43,3,32πγπβπα===.例8．设点A 位于第I 卦限，向径与x 轴、y 轴的夹角依次为3π、4π，且6||=OA ，求点A 的坐标.解：由于3πα=，4πβ=，并且1cos cos cos 222=++γβα，有4122211cos 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=γ，由题可知0cos >γ，故21cos =γ，于是)3,23,3(21,22,216||=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==e ，故点A 的坐标为)3,23,3(. 3. 向量在轴上的投影(1). 向量在轴上的投影：设向量与u 轴正向的夹角为ϕ，称数ϕcos ||为向量在u 轴上的投影，记作j u Pr 或u )(.注：向量),,(z y x a a a a =在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即x x a j =Pr ，y y a j =Pr ，z z a j =Pr .(2). 投影的性质：①．j j j u u u Pr Pr )(Pr +=+. ②．j j u u Pr )(Pr λλ=.例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|= a ，求OA 在OM 方向上的投影OA j OM Pr .解：记ϕ=∠MOA ，有31||||cos ==OM OA ϕ， 于是3cos ||Pr a OA OA j OM ==ϕ.§8.2数量积、向量积一、两向量的数量积1．常力沿直线所作的功：θcos ||||S F W ⋅= 2. 两向量的数量积(1). 定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积),cos(||||∧⋅⋅b a b a 为与的数量积，也称为内积或点积，记作b a ⋅.注：1°. a j b b j a b a Pr ||Pr ||==⋅.2°. 2||=⋅. 3°. 0=⋅⇔⊥b a b a . (2). 运算规律①．交换律：a b b a ⋅=⋅.(由定义可知) ②．分配律：c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(c b c a b j c a j c b a j c c b a ⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅=⋅+Pr ||Pr ||)(Pr ||)(③．结合律：)()(⋅=⋅λλ；)()()(⋅=⋅λμμλ.3. 两向量数量积的坐标表示式：若),,(z y x a a a a =，),,(z y x b b b =，则z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅.4. 两非零向量夹角余弦的坐标公式：222222||||),cos(||||zy x zyxz z y y x x bb b aa ab a b a b a b a ba b a b a ++++++=⋅=⋅⋅∧.例1. 试用向量证明三角形的余弦定理： θcos 2222ab b a c -+=. 解：在ABC ∆中，记a BC =||，b CA =||，c AB =||，a CB =，b CA =，c AB =，有b a c -=，从而⋅+⋅-⋅=-⋅-=⋅=2)()(||22||cos ||||2||+⋅-=θ，即θcos 2222ab b a c -+=.例2. 已知三点)1,1,1(M 、)1,2,2(A 和)2,1,2(B ，求AMB ∠.解：由题可得)0,1,1()11,12,12(=---=MA ，)1,0,1()12,11,12(=---=MB ，于是21221||||cos =⋅=⋅=∠MB MA AMB ，故3π=∠AMB .例3. 设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v . 设为垂直于S 的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m (液体的密度为ρ).解：单位时间内经过该区域的液体的体积为n v A v A V ⋅==θcos ||， 所求质量为n v A V m ⋅==ρρ. 二、两向量的向量积1. 力对支点的力矩：M .模：||||||OQ =θsin ||||=； 方向：与及的方向成右手规则. 2. 两向量的向量积(1).定义：设有向量a 与b ，夹角为θ，称c 为a 与b 的向量积(叉积、外积)，其中c 的模θsin ||||||b a c =，方向与a 和b 的方向符合右手规则，记作b a c ⨯=. 注：1°. 0=⨯a a .2°. 0//=⨯⇔b a b a .3°. ||⨯的几何意义：以a 与b 为邻边的平行四边形的面积. (2).运算规律①．反交换律：⨯-=⨯. ②．分配律：c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(. ③．结合律：)()()(b a b a b a ⨯=⨯=⨯λλλ.(3). 两向量的向量积的坐标表示式：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则b b a a b b a a b b a a b a xx xzz zyy ++=⨯zyxz y x b b b a a a =⨯.例4. 试用两向量的向量积证明三角形正弦定理：CcB b A a sin sin sin ==. 证明：在三角形ABC ∆中，记a BC =||，b CA =||，c AB =||，由于||21||21||21CB CA BA BC AC AB S ABC ⨯=⨯=⨯=∆，即c b a B c a A c b sin sin sin ⋅=⋅=⋅， 整理得 C cB b A a sin sin sin ==. 例5. 设)1,1,2(-=，)2,1,1(-=，计算b a ⨯.解：k j i kj b a 352111--=--=⨯. 例6. 已知三角形ABC 的顶点分别是)3,2,1(A 、)5,4,3(B 和)7,4,2(C ，求三角形ABC 的面积.解：由于)2,2,2(=AB ，)4,2,1(=AC ，有26422+-==⨯，于是142)6(421|264|21||21222=+-+=+-=⨯=S ABC ∆. 例7. 设刚体一角速度ω绕l 轴旋转，计算刚体上一点M 的线速度v . 解：在轴l 上引进一个角速度向量ω，使ωω=||，其方向与旋转方向 符合右手法则，在l 上任取一点O ，作向径=，它与ω的夹角为θ， 则点M 离开转轴的距离θsin ||a =，由物理学中线速度和角速度的关系可知，θωωsin ||||||||r a v ==，且ω、r 、v 符合右手规则，于是r v ⨯=ω.§8.3曲面及其方程一、曲面方程的相关概念1.曲面方程：若曲面S 上任一点的坐标都满足方程(*)0),,(=z y x F ，且不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S 的方程，而称曲面S 为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1). 已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2). 已知关于点),,(z y x M 的坐标x 、y 、z 之间的一个方程0),,(=z y x F ，研究该方程所表示曲面的形状.例1. 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程.解：设),,(z y x M 为所求球面上任一点，有R M M =||0，即R z z y y x x =-+-+-202020)()()(， 整理得 2202020)()()(R z z y y x x =-+-+-.例2. 设有点)3,2,1(A 和)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 为所求平面上任一点，由题意，有||||BM AM =，即222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x ，整理得 07262=-+-z y x .例3. 方程042222=+-++y x z y x 表示怎样的曲面？解：原方程变形为5)2()1(222=+++-z y x ，表示以)0,2,1(0-M 为球心，以5为半径的球面. 二、旋转曲面1. 定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2. 旋转曲面的方程：曲线C ：0),(=z y f 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±z y x f .(绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±x z y f .)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁.)推导：在曲线C 上任取一点),,0(111z y M ，有0),(11=z y f ，且点1M 到z 轴的距离||1y d =.当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 绕z 轴旋转到点),,(z y x M ，其中1z z =，点M 到z 轴的距离221y x d +=，由于1d d =，有221||y x y +=， 即221y x y +±=，代入曲线方程有0),(22=+±z y x f .注：1°. 曲线C ：0),(=y x f 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±z y x f ；绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±y x z f .2°. 曲线C ：0),(=x z f 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±y x z f ；绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±x z y f .3. 常见旋转曲面及其方程(1). 圆锥面及其方程①．圆锥面：称由直线L 绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角)2/,0(πα∈为圆锥面的半顶角.②．圆锥面的方程：以坐标原点o 为顶点，以α为半顶角，以z 轴为旋转轴的圆锥面的方程为：)(2222y x a z +=，其中αcot =a .推导：在yoz 坐标面上，过原点且与z 轴夹角为α的直线方程为y z ⋅=αcot ，于是，直线L 绕z 轴旋转而成的圆锥面的方程为)(cot 22y x z +±⋅=α，整理得)()(cot 2222222y x a y x z +⋅=+⋅=α.注：1°. 以坐标原点O 为顶点，以α为半顶角，以x 轴为旋转轴的圆锥面的方程为：)(2222z y a x +=，其中αcot =a .2°. 以坐标原点O 为顶点，以α为半顶角，以y 轴为旋转轴的圆锥面的方程为：)(2222x z a y +=，其中αcot =a .(2). 旋转双曲面及其方程①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双叶双曲面.②．旋转双曲面的方程：(双曲线：12222=-cz a x ) 旋转单叶双曲面的方程：(绕z 轴旋转) 122222=-+cz a y x . 旋转双叶双曲面的方程：(绕x 轴旋转) 122222=+-cz y a x .三、柱面1. 柱面的定义： 称由直线L 沿定曲线C 平行于定直线l 移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C 为柱面的准线，动直线L 为柱面的母线.2. 几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁)(1). 圆柱面：222R y x =+. (准线为xoy 坐标面上的圆：222R y x =+，母线平行z 轴.)222R z y =+. (准线为yoz 坐标面上的圆：222R z y =+，母线平行x 轴.)222R x z =+. (准线为zox 坐标面上的圆：222R x z =+，母线平行y 轴.)(2). 过坐标轴的平面：0=-y x ，过z 轴，准线为xoy 坐标面上的直线0=-y x .0=-z y ，过x 轴，准线为yoz 坐标面上的直线0=-z y .0=-x z ，过y 轴，准线为zox 坐标面上的直线0=-x z .四、二次曲面1. 椭球面：1222222=++c z b y a x .2. 椭圆锥面：22222z by a x =+. 3. 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x . 4. 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x . 5. 椭圆抛物面：z b y a x =+2222. 6. 双曲抛物面：z by a x =-2222. 7. 椭圆柱面：12222=+b y a x . 8. 双曲柱面：12222=-by a x 9. 抛物柱面：ay x =2.§8.4空间曲线及其方程一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C .二、空间曲线的方程1. 一般式(面交式)方程：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F . 例如：⎩⎨⎧=+=+632122y x y x 表示圆柱面122=+y x 与平面632=+y x 的交线. 又如：⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22222222a y a x y x a z 表示上半球面222y x a z --=与圆柱面22222⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x 的交线.2. 参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，其中点),,(z y x M 随着参数t 的变化遍历曲线C .例1. 称由点),,(z y x M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转，又同时以线速度v 沿平行z 轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程.解：取时间t 为参数，0=t 对应点)0,0,(a A ，t 对应点),,(z y x M ，作M 在xoy 面上的投影'M ，有)0,,('y x M ，且t AOM ω=∠'，于是t a AOM OM x ωcos 'cos |'|=∠=，t a AOM OM y ωsin 'sin |'|=∠=，又vt MM z =='，于是，螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===vt z t a y t a x ωωsin cos ， 令ωωθv b t ==,，则螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos . 三、空间曲线在坐标面上的投影1．投影柱面：称以空间曲线C 为准线，母线平行于z 轴的柱面为曲线C 关于xoy 坐标面的投影柱面.2. 空间曲线的投影：称空间曲线C 关于xoy 坐标面的投影柱面与xoy 坐标面的交线为空间曲线C 在xoy 坐标面上的投影曲线，也称为投影.3. 空间曲线的投影方程：空间曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 在xoy 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==00),(z y x H ，其中0),(=y x H 为方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 消去z 所得的投影柱面方程. 注：1°. 空间曲线曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 在yoz 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==00),(x z y R . 2°. 空间曲线曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 在zox 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==00),(y x z T .例2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1)1()1(1222222z y x z y x 在xoy 坐标面上的投影方程. 解：现求曲线C 在关于xoy 坐标面上的投影方程，将方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1)1()1(1222222z y x z y x 消去z 得投影柱面方程：02222=-+y y x ，于是所求投影方程为⎩⎨⎧==-+002222z y y x .例3. 求由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z +=所围成的立体在xoy 坐标面上的投影. 解：先求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z y x z 关于xoy 坐标面的投影方程，消去z 得投影柱面方程：122=+y x ，故曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z y x z 在xoy 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0122z y x ，从而所求投影为圆域：122≤+y x .§8.5平间及其方程一、平面的点法式方程1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量.2.平面的点法式方程：过点),,(0000z y x M ，以向量),,(C B A =为一法向量的平面∏的方程为：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .推导：在平面∏上任取一点),,(z y x M ，有向量),,(0000z z y y x x M M ---=，由于M M n 0⊥，有00=⋅M M n ，即有0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A (1)，即平面∏上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点),,(z y x M 不在平面∏上，则向量M M 0不垂直法向量n ，从而00≠⋅M M n ，即不在平面∏上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面∏的点法式方程0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .例1. 求过点)0,3,2(-且以)3,2,1(-=为法向量的平面的方程.解：由平面的点法式方程得 0)0(3)3(2)2(=-++--z y x ，整理得 0832=-+-z y x . 例2. 求过三点)4,1,2(1-M 、)2,3,1(2--M 和)3,2,0(3M 的平面的方程. 解：先求所求平面的一个法向量n ，由题可得向量)6,4,3(21--=M M ，)1,3,2(31--=M M ，可取 k j i kj i M M M M n -+=----=⨯=9141326433121，于是所求平面的方程为0)4()1(9)2(14=--++-z y x ，整理得015914=--+z y x .二、平面的一般方程1. 平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax (*)推导：若点),,(0000z y x M 满足方程(*)，则有0000=+++D Cz By Ax ， (**)两方程相减得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ， (***)方程(***)为过点),,(0000z y x M ，以向量),,(C B A n =为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)的图形总是一个平面，称0=+++D Cz By Ax 为平面的一般方程，其一法线向量为),,(C B A n =.2. 几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁)(1). 过原点的平面方程：0=++Cz By Ax ，法向量为),,(C B A =.(2). 平行x 轴的平面方程：0=++D Cz By ，法向量为),,0(C B n =.(3). 垂直于x 轴 (平行yoz 坐标面) 的平面方程：0=+D Ax ，法向量为)0,0,(A n =. 例3．求通过x 轴和点)1,3,4(--的平面的方程.解：由题意，可设所求平面的方程为：0=+Cz By ，(*)又点)1,3,4(--在该平面上，有03=--C B ，得B C 3-=，代入方程(*)得03=-z y . 例4. 设一平面与x 、y 、z 轴的交点依次为)0,0,(a P 、)0,,0(b Q ，),0,0(c R ，求该平面的方程.解：设所求平面的方程为0=+++D Cz By Ax ，(*) 将P 、Q 、R 三点坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000D cC D bB D aA ，得a D A -=，b D B -=，cD C -=，代入方程(*)， 从而有所求平面方程为1=++cz b y a x ，称之为平面的截距式方程. 三、两平面的夹角及点到平面的距离 1. 两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角.2. 两平面夹角的余弦：设平面1∏的法线向量为),,(1111C B A n =，平面2∏的法线向量为),,(2222C B A n =，两平面的夹角为θ，则22222221212121212121|||),cos(|cos C B A C B A C C B B A A n n ++⋅++++==∧θ.注：1°. 212121212121////D D C C B B A A n n ≠==⇔⇔∏∏. 2°. 021********=++⇔⊥⇔⊥C C B B A A n n ∏∏.3. 点到平面的距离：平面0:=+++D Cz By Ax ∏外一点),,(0000z y x P 到平面∏的距离为222000||C B A D Cz By Ax d +++++=.推导：在平面∏上任取一点),,(1111z y x P ，过点0P 作平面∏的一法向量n ， 有|||Pr |001NP P P j d ==，由于01010101010101||||||||cos ||Pr P P e P P n P P n P P n P P P P P P j n ⋅=⋅=⋅== θ， 由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=222222222,,C B A C C B A B CB A A e n ，),,(01010101z z y y x x P P ---=， 于是))()()((Pr 10101022201z zC y y B x x A C B A AP P j n -+-+-++=，又点),,(1111z y x P 在平面∏上，故有0111=+++D Cz By Ax ，从而222000||C B A D Cz By Ax d +++++=.例5. 求两平面062=-+-z y x 和052=-++z y x 的夹角. 解：由两平面夹角余弦公式211122)1(1|121)1(21|cos 222222=++⋅+-+⨯+⨯-+⨯=θ，故所求夹角为3πθ=. 例6. 一平面通过两点)1,1,1(1M 和)1,1,0(2-M 且垂直于平面0=++z y x ，求它的方程. 解：设所求平面∏的一个法线向量为),,(C B A n =，由题可知向量)2,0,1(21--=M M 在平面∏上，已知平面0:1=++z y x ∏的一个法线向量为)1,1,1(1=n ，由题意有21M M ⊥，有02=--C A ；1n n ⊥，有0=++C B A ；由以上两方程可得C A 2-=，C B =，故所求平面∏的法线向量为),,2(C C C n -=，于是所求平面∏的方程为0)1()1()1(2=-+-+--z C y C x C ，整理得02=--z y x . 另解：由题可知所求平面上一向量)2,0,1(21--=M M ，又已知平面0=++z y x 的一个法线向量为)1,1,1(1=n ，易知1n 不平行于21M M ，故可取所求平面的一个法线向量为M M ++-=--=⨯=2201111211，于是所求平面方程为：0)1()1()1(2=-+-+--z y x ，整理得02=--z y x .第六节 空间直线及其方程一、空间直线：称空间两平面1∏、2∏的交线为空间直线.二、空间直线的方程1. 一般(面交式) 方程：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A . 2. 对称式(点向式)方程(1). 直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量.(2). 直线的点向式方程：过点),,(0000z y x M 以向量),,(p n m S =为方向向量的直线L 的方程为：pz z n y y m x x 000-=-=-. 推导：在直线L 上任取一点),,(z y x M ，有向量),,(0000z z y y x x M M ---=，由于S M M //0，故有 pz z n y y m x x 000-=-=-， (*) 即直线L 上点的坐标都满足方程(*).反之，若点),,(z y x M 不在直线L 上，则由于M M 0不平行S ，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L 的方程，称为直线的对称式或点向式方程. 注：1°. m 、n 、p 不同时为零.2°. 若0,,0≠=p n m ，则直线L 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-p z z n y y x x 0000，即平面00=-x x 上的直线.3°. 若0,0≠==p n m ，则直线L 的方程为⎩⎨⎧=-=-0000y y x x ，即平面00=-x x 与00=-y y 上的交线，过点),,(000z y x 且平行z 轴.3. 参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y m t x x 000.注：一般式⇒对称式⇔参数式.例1. 用对称式方程以及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x .解：先找出该直线上一点),,(000z y x ：不妨取10=x ，代入原方程组得⎩⎨⎧=--=+632z y y x ，解得00=y ，20-=z ，即)2,0,1(-为该直线上一点. 再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为)1,1,1(1=n ，)3,1,2(1-=n，故可取k j i kj n n S 341121--=-=⨯=，故所给直线的对称式方程为：32141-+=-=-z y x . 令t z y x =-+=-=-32141，得到所给直线的参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z t y t x 3241. 三、两直线的夹角1. 两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角.2. 两直线夹角的余弦：直线1L 的方向向量为),,(1111p n m S =，直线2L 的方向向量为),,(2222p n m S =,两直线的夹角为ϕ，则22222221212121212121|||),cos(|cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++==∧ϕ. 注：1°. 021********=++⇔⊥⇔⊥p p n n m m S S L L .2°. 2121212121////p p n n m m S S L L ==⇔⇔. 例2. 求直线13411:1+=-=-z y x L 和1222:2-=-+=z y x L 的夹角. 解：由题可知直线1L 的方向向量为)1,4,1(1-=S ，直线2L 的方向向量为)1,2,2(2--=S ，设1L 与2L 的夹角为ϕ，则由两直线夹角余弦公式得21)1()2(21)4(1|)1(1)2()4(21|cos 222222=-+-+⋅+-+-⨯+-⨯-+⨯=ϕ, 故4πϕ=. 四、直线与平面的夹角 1. 直线与平面的夹角：称直线与不垂直该直线的平面上的投影 直线的夹角)2/0(πϕϕ<≤为直线与平面的夹角. 规定：直线与平面垂直时夹角为2π. 2. 直线与平面夹角的正弦：若直线L 的方向向量为),,(p n m S =，平面∏的而一个法线向量为),,(C B A n =.L 与∏的夹角为ϕ，则222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ. 注：1°. p C n B m A n S L ==⇔⇔⊥//∏. 2°. 0//2121=++⇔⊥⇔Cp Bn Am L L .例3. 求过点)4,2,1(-且与平面0432=-+-z y x 垂直的直线的方程. 解：由题意，可取)1,3,2(-=S 为所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为143221-=-+=-z y x . 五、平面束及其方程1. 平面束：称通过定直线的所有平面的全体为平面束.2. 平面束的方程：设有直线⎩⎨⎧=+++=+++00:22221111D z C y B x A D z C y B x A L ，其中111,,C B A 与222,,C B A 不成比例,则通过直线L 的平面束的方程为：0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ. 注：该平面束不包含平面02222=+++D z C y B x A .例4. 求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程. 解：过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束的方程为0)1(1=++-+--+z y x z y x λ，即 01)1()1()1(=-+-+-++λλλλz y x ，其中λ为待定常数.由题可知，该平面与已知平面0=++z y x 垂直，故有01)1(1)1(1)1(=⋅-+⋅-+⋅+λλλ，即01=+λ，解得1-=λ.由此可得所给直线关于所给平面 的投影平面的方程为0222=--z y ，整理得01=--z y ,故所求投影直线的方程为⎩⎨⎧=++=--001z y x z y . 六、点到直线的距离：直线pz z n y y m x x L 111:-=-=-外一点),,(0000z y x M 到直线L 的距离为： ||0S S MM d =),,(z y x M 为直线L 上的一点.推导：在直线L 上任取一点),,(z y x M ，有向量0，设点0M 到直线L 的距离为d ，由于||||0S MM S d ⨯=⋅，故||0S S MM d =. 例5. 求点)3,2,1(到直线412111-=-=-z y x 的距离. 解：由题可知，所给直线的方向向量为)4,2,1(=S ，点)1,1,1(是该直线上一点，从而有向量)2,1,0(--=a ，由平面外一点到直线的距离公式得：2154214221222=++--==d . 七、杂例： 例6. 求与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行且过点)5,2,3(-的直线的方程. 解法一 (点向式) 由题可知两已知平面的法向量分别为)4,0,1(1-=和)5,1,2(2--=，故可取21n n ⨯为所求直线的一个方向向量，即)34(514021++-=---=⨯=，于是所求直线方程为153243-=-=+z y x . 解法二 (一般式)过点)5,2,3(-且与平面34=-z x 平行的平面方程为234-=-z x ，过点)5,2,3(-且与平面152=--z y x 平行的平面方程为3352-=--z y x ，易知所求直线为上述两个平面的交线，所以所求直线方程为⎩⎨⎧-=---=-3352234z y x z x .例7.求直线241312-=-=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点. 解：易知所给直线的参数方程为t x +=2，t y +=3，t z 24+=，代入平面方程中，得06)24()3()2(2=-+++++t t t ，解得1-=t ，代入直线的参数方程得所求交点的坐标2,2,1===z y x .例8.求过点)3,1,2(且与直线12131-=-=+z y x 垂直相交的直线方程.解：先求过点)3,1,2(且垂直于已知直线12131-=-=+z y x 的平面： 由题可知该平面的方程为 0)3()1(2)2(3=---+-z y x .再求该平面与已知直线的交点：已知直线的参数方程为t x 31+-=，t y 21+=，t z -=，代入上述平面方程解得73=t ，于是得到交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛-73,713,72. 以点)3,1,2(为起点，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-73,713,72为终点的向量为)4,1,2(76373,1713,272--=⎪⎭⎫ ⎝⎛----，于是所求直线方程为431122-=--=-z y x .。
高等数学第八章笔记
高等数学第八章笔记一、多元函数的基本概念。
1. 多元函数的定义。
- 设D是n维空间R^n中的一个非空子集，映射f:D→ R称为定义在D 上的n元函数，记为z = f(x_1,x_2,·s,x_n)，(x_1,x_2,·s,x_n)∈ D。
- 当n = 2时，z=f(x,y)，(x,y)∈ D，D是xy-平面上的一个区域。
2. 多元函数的极限。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数varepsilon，总存在正数δ，使得当0<√((x - x_0))^2+(y - y_{0)^2}<δ时，都有| f(x,y)-A|成立，则称常数A为函数z = f(x,y)当(x,y)to(x_0,y_0)时的极限，记作lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=A。
- 注意：(x,y)to(x_0,y_0)是指(x,y)以任何方式趋向于(x_0,y_0)。
3. 多元函数的连续性。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，如果lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)，则称函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)处连续。
- 如果函数z = f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称函数z = f(x,y)在区域D内连续。
二、偏导数。
1. 偏导数的定义。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，固定y = y_0，函数z = f(x,y_0)在x = x_0处的导数，称为函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)对x的偏导数，记作f_x(x_0,y_0)或(∂ z)/(∂ x)|_(x_{0,y_0)}，即f_x(x_0,y_0)=lim_Δ xto0frac{f(x_0+Δ x,y_0) - f(x_0,y_0)}{Δ x}。
高数第八章知识点
, y(t)
( t )
给出，函数 f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f [x(t), y(t)]
x2 (t) y2 (t)dt
( )
L
注意:
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;
2. f ( x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的.
特殊情形
(1) L : y y(x) a x b.
f (x, y)ds
b
f [x, y(x)]
1 y2 (x)dx.
(a b)
L
a
(2) L : x x( y) c y d.
f (x, y)ds
d
f [x( y), y]
1 x2 ( y)dy.
第一卦限部分。
x2 y2在
三、第二类曲面积分的概念
变力F P(x, y) i Q(x, y) j沿L AB所作的功：
W P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
第二类曲线积分又称为对坐标的曲线 积分。
性质
也称为对坐标的曲线积分
(1) L P(x, y)dx Q(x, y)dy L P(x, y)dx LQ(x, y)dy
y 2
ds
1
dy
2
dx
dx
1 1 dx 2x
y2=2x
yds 2 2x 1 1 dx
L
0
2x
0
2x
2 2x＋1dx 1 (5 5 1)
0
3
解2： L : x y 2 , 0≤y≤2 2
高中数学第八章总结知识点
高中数学第八章总结知识点第八章是高中数学课程中的一部分，主要讲解了平面向量的基本概念、向量的加法减法以及数量积的应用。
通过学习本章内容，我们可以加深对向量的理解，掌握向量的运算规则，以及了解向量在几何和物理上的应用。
1. 平面向量的基本概念平面向量是用有序数对(a, b)表示的，也可以表示为向量a。
平面向量有大小和方向，可以进行平移和旋转。
平面向量的大小是其模|a|，方向是与x轴正方向的夹角θ。
2. 向量的加法和减法向量的加法和减法规则是比较简单的，两个向量相加或相减时，只需将它们的对应分量相加或相减即可。
例如，向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)相加得到向量c=(a1+b1, a2+b2)。
当然，向量的加法和减法也可以用几何法解释，就是平行四边形法则和三角形法则。
3. 数量积数量积又叫点积，表示为a·b。
数量积的计算方法是a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模，θ是向量a和b的夹角。
数量积既可以用向量表示也可以用坐标表示，另外它还有一些有用的性质，比如a·b=0时，a和b垂直；a·b>0时，a和b的夹角小于90°，a·b<0时，a和b的夹角大于90°。
4. 向量的应用向量在几何和物理上有很多应用，比如向量的共线，向量的平行，向量的相等，向量的夹角等等。
这些概念在几何题目中经常会出现，通过学习向量，我们能更好的解题。
总的来说，高中数学第八章主要是向量的介绍和应用。
通过学习这一章的内容，我们能更好的理解和掌握向量的基本概念、运算法则和应用，为之后的学习打下坚实的基础。
高等数学第八章知识点总结
高等数学第八章知识点总结1.常微分方程：常微分方程是指只涉及一个自变量的微分方程。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和二阶常微分方程两种。
2. 一阶常微分方程：一阶常微分方程的一般形式为dy/d某 =f(某,y)，其中f(某,y)是已知函数。
可以通过分离变量、变量代换和齐次方程等方法求解。
一阶线性常微分方程的一般形式为dy/d某 + P(某)y = Q(某)，可以用积分因子法求解。
3.二阶常微分方程：二阶常微分方程的一般形式为y''+P(某)y'+Q(某)y=f(某)，其中P(某)、Q(某)和f(某)是已知函数。
可以通过齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加得到二阶常微分方程的通解。
常见的二阶线性常微分方程有齐次线性方程、非齐次线性方程和欧拉方程。
4.偏微分方程：偏微分方程是指涉及多个自变量的微分方程。
偏微分方程的求解方法与常微分方程有所不同。
常见的分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程。
5. 二阶线性偏微分方程：二阶线性偏微分方程的一般形式为Au_某某 + 2Bu_某y + Cu_yy + Du_某 + Eu_y + Fu = 0，其中A、B、C、D、E和F为已知函数。
可以通过分离变量、变量代换和变系数法等方法求解。
6.泊松方程和拉普拉斯方程：泊松方程的一般形式为△u=f(某,y,z)，拉普拉斯方程是泊松方程的特例，即泊松方程中f(某,y,z)为零。
泊松方程和拉普拉斯方程在物理学中有广泛应用。
7.边值问题和初值问题：求解偏微分方程时，通常需要给出边界条件或初值条件。
边值问题是指在一定边界上给出方程的解，初值问题是指在某一初始时刻给出方程的解。
8.分离变量法和变量代换法：分离变量法将偏微分方程中的变量分离出来，变成常微分方程来求解；变量代换法通过适当的变量代换，将偏微分方程转化为常微分方程来求解。
总的来说，高等数学第八章主要讲述了常微分方程和偏微分方程的求解方法和应用，为后续学习微分方程的相关内容打下基础。
《高等数学》 第八章(上)
第一节 空间解析几何简介
设点 M1(x1 ，y1 ，z1) 和 M2 (x2 ，y2 ，z2 ) 是空间两点，如图 所示，则根据立体几何知识可知，长方体的各棱长分别为
| x2 x1 | ， | y2 y1 | ， | z2 z1 | ． 长方体对角线的平方等于三条棱长的平方和，即
M1M2 (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2 ． 特 别 地， 如果 一 点 是 原点 O(0，0，0) ， 另一 点是 点 M (x ，y ，z) ，则
坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征．例 如，点 M 在 yOz 面上，则 x 0 ；在 zOx 面上的点，y 0 ； 在 xOy 面上的点，z 0 ．如果点 M 在 x 轴上，则有 y z 0 ； 在 y 轴上，有 z x 0 ；在 z 轴上，有 x y 0 ．如果点 M 为原点，则 x y z 0 ．
例如，方程 y2 2x 表示母线平行于 z 轴的柱面， 它的准线是 xOy 面上的抛物线 y2 2x ， 该柱面称为抛物柱面，如图所示．
第一节 空间解析几何简介
又如，方程 x y 0 表示母线平行于 z 轴的柱面， 其准线是 xOy 面的直线 x y 0 ， 所以它是过 z 轴的平面，如图所示．
第一节 空间解析几何简介
例 7 将 zOx 坐标面上的双曲线 x2 z2 1和 x2 z2 1 分别绕 z 轴旋转
a2 c2
c2
一周，求所生成的旋转曲面的方程．
解 双曲线 x2 z2 1绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的 a2 c2
方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1，称此曲面为旋转双叶双曲面，如
所示．
第一节 空间解析几何简介
2．一般二次曲面
高三数学第八章知识点总结
高三数学第八章知识点总结在高三数学学习中，第八章的内容涉及到一些重要的知识点，如三角函数、向量、指数函数等。
这些知识点在学生的数学基础中扮演着重要的角色。
在这篇文章中，我们将对这些知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地理解和掌握。
一、三角函数1. sin、cos和tan的定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）这三个函数都是通过三角形中某个角的边长比例来定义的。
其中，sin A = a / c，cos A = b / c，tan A = a / b。
这些函数可以帮助我们计算角度的大小，解决相关的几何和物理问题。
2. 三角函数的基本关系三角函数之间存在着一系列的基本关系，如sin^2 A + cos^2 A = 1，1 + tan^2 A = sec^2 A等。
这些关系式可以帮助我们化简复杂的三角函数表达式，简化运算。
3. 三角函数的图像和性质通过绘制三角函数的图像，我们可以观察到它们的周期性、对称性和振幅等性质。
同时，这些图像可以带给我们直观的感受，帮助我们更好地理解三角函数的行为和性质。
二、向量1. 向量的定义和表示向量是由大小（模长）和方向（方向角）组成的量。
我们可以用箭头来表示一个向量，并且箭头的长度代表向量的大小和模长。
向量的方向可以用角度来表示，也可以用坐标系中的坐标来表示。
2. 向量的运算向量的运算包括加法、减法、数量积和向量积等。
向量加法是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
向量减法是将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量，得到一个新的向量。
数量积是两个向量的数量相乘再求和，得到一个标量。
向量积是两个向量的数量相乘再求和，得到一个新的向量。
3. 向量的应用向量在几何和物理中有广泛的应用。
例如，在平面几何中，我们可以用向量来表示线段的方向和长度。
在力学中，向量可以用来表示力的大小和方向，帮助我们解决相关的问题。
三、指数函数1. 指数函数的定义指数函数是以某个固定的正数为底数，变量为指数的函数。
高等数学第六版（同济版）第八章复习资料汇总
高等数学第六版（同济版）第八章复习资料汇总第一篇：高等数学第六版(同济版)第八章复习资料汇总第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算一、向量的相关概念1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2.向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为或.3.向量的模：称向量的大小为向量的模，记为.4.自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5.单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作.6.零向量：称模为0的向量为零向量，记作7.两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作.(即两个向量平移后重合 8.两向量的夹角：，9.两向量平行：若非零向量与所成的角或，则称的与平行，记作.规定: 零向量与任何向量平行10.两向量垂直：若非零向量与所成的角，则称的与垂直，记作注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直 11.向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线 12.向量共面：将个向量的起点放到同一点时，若个终点与公共起点在一个平面上，则称这个向量共面.二、向量的线性运算1．向量的加减法(1).向量的加法①．运算法则：设有向量与，求与的和.I.三角形法则： II.平行四边形法则：.②.运算规律：1°.交换律：2°.结合律：注:，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即.(2).向量的减法①．负向量：称与向量同模反向的向量为它的负向量，记作②.两向量的差：称向量与向量的负向量的和为与的差向量，记作.注：特别地，当时，.③．运算法则：设有向量与，求与的差.I.平行四边形法则：.II.三角形法则：.(3).运算定理：.2．向量与数的乘法(1).定义：称向量与实数的乘积为向量的数乘.注：1°.规定是一个向量2°.3°.若，则与同向；若，则与反向；若，则.(2).运算规律：①．结合律：.②．分配律：.(3).性质①．向量的同向单位向量：，.②．向量平行的充要条件(定理)：若向量，则向量平行于唯一的实数，使③．数轴上的点的坐标为的充要条件为：，其中向量为数轴的单位向量，实数称为有向线段的值.例1.如图，用、表示、、以及，进而.又，故，进而三、空间直角坐标系解：由于，故1.空间直角坐标系：坐标系或坐标系2.坐标面：面；面；面.3.卦限：；；；；；；；4.空间点的坐标：(向径).(1).向量的坐标分解式：.(2).向量的分向量：.(3).向量的坐标：.(4).点的坐标：注：1°.面上点的坐标：；2°.轴上点的坐标：；面上点的坐标：；轴上点的坐标：；面上点的坐标：.z轴上点的坐标：四、利用坐标作向量的线性运算：设，.1.向量线性运算的坐标表示：(1).加减法：.(2).数乘：(3).两向量平行：注：1°.若，则2.若，则例2.已知，求线性方程组的解向量解：方程①乘2减去方程②乘3得：，方程①乘3减去方程②乘5得：例3.已知两点、在直线AB上求一点M，使.及实数，解：因为，因此有，整理得，代入坐标得，从而得到点M的坐标注：线段AB中点坐标公式五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间距离公式：(1).向量的模：，.(2).两点间距离公式：点与之间的距离：推导：因为，所以例4.求证以三点、、为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点间距离公式，有；；，由于，故为等腰三角形.例5.在z轴上求与两点、等距离的点.解：由题可设所求点为，有，即，整理得，故所求点为.例6.已知两点、，求与同向的单位向量解：因为，所以，于是 2.方向角与方向余弦(1).向量的方向角：称非零向量与三条坐标轴的夹角为向量的方向角(2).向量的方向余弦：方向角的余弦 , , 注：1°.；2°..例7.已知两点、，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：由于，从而有于是，，由此可得例8．设点A位于第I卦限，向径与x轴、y轴的夹角依次为的坐标、，且，求点A，解：由于，并且，有由题可知，故，于是，故点A的坐标为.3.向量在轴上的投影(1).向量在轴上的投影：设向量与u轴正向的夹角为，称数为向量在u轴上的投影，记作或注：向量在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即，(2).投影的性质：①．.②．例9.设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|= a，求在解：记，有，于是.§8.2数量积、向量积一、两向量的数量积1．常力沿直线所作的功：2.两向量的数量积(1).定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积为与的数量积，内积或点积，记作注：1°.2°..3°..(2).运算规律①．交换律：.(由定义可知)②．分配律：③．结合律：； 3.两向量数量积的坐标表示式：若，则4.两非零向量夹角余弦的坐标公式：例1.试用向量证明三角形的余弦定理：.解：在中，记，，，有，从而，即例2.已知三点、和，求解：由题可得，于是，故例3.设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m(液体的密度为解：单位时间内经过该区域的液体的体积为，所求质量为.二、两向量的向量积1.力对支点的力矩：模：；方向：与及的方向成右手规则.2.两向量的向量积(1).定义：设有向量与，夹角为，称为与的向量积(叉积、外积)，其中，方向与和的方向符合右手规则，记作.注：1°.2°.3°.的几何意义：以与为邻边的平行四边形的面积.(2).运算规律①．反交换律：.②．分配律：.③．结合律：(3).两向量的向量积的坐标表示式：设，则.例4..证明：在三角形中，记，，由于，即，整理得.例5.设，计算解：.例6.已知三角形ABC 的顶点分别是、和，求三角形ABC的面积解：由于，有，于是.例7.设刚体一角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解：在轴l上引进一个角速度向量，使，其方向与旋转方向符合右手法则，在l上任取一点O，作向径，它与的夹角为，则点M离开转轴的距离，由物理学中线速度和角速度的关系可知，且、、符合右手规则，于是.§8.3曲面及其方程一、曲面方程的相关概念1.曲面方程：若曲面S上任一点的坐标都满足方程，且不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S的方程，而称曲面S为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1).已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2).已知关于点的坐标、、之间的一个方程，研究该方程所表示曲面的形状例1.建立球心在点、半径为R的球面方程解：设为所求球面上任一点，有，即，整理得例2.设有点和，求线段AB的垂直平分面的方程.解：设为所求平面上任一点，由题意，有，即，整理得例3.方程表示怎样的曲面？解：原方程变形为，表示以为球心，以5为半径的球面.二、旋转曲面1.定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2.旋转曲面的方程：曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.(绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁推导：在曲线C上任取一点，有，且点到z轴的距离.当曲线C绕z轴旋转时，点绕z轴旋转到点，其中，点到z轴的距离，由于，有，即，代入曲线方程有注：1°.曲线C：绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：；绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：2°.曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：；绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：3.常见旋转曲面及其方程(1).圆锥面及其方程①．圆锥面：称由直线L绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角为圆锥面的半顶角②．圆锥面的方程：以坐标原点o为顶点，以为半顶角，以z轴为旋转轴的圆锥面的方程为：，其中推导：在坐标面上，过原点且与z轴夹角为的直线方程为，于是，直线L绕z轴旋转而成的圆锥面的方程为，整理得注：1°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以x，其中2°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以y，其中(2).旋转双曲面及其方程①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双叶双曲面②．旋转双曲面的方程：(双曲线：.旋转单叶双曲面的方程：(绕z轴旋转.旋转双叶双曲面的方程：(绕x轴旋转)三、柱面1.柱面的定义：称由直线L沿定曲线C平行于定直线l 移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C为柱面的准线，动直线L为柱面的母线.2.几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁(1).圆柱面：.(准线为坐标面上的圆：，母线平行z轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行x 轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行y轴(2).过坐标轴的平面：，过z 轴，准线为坐标面上的直线，过x轴，准线为坐标面上的直线.，过y 轴，准线为坐标面上的直线四、二次曲面 1.椭球面：.2.椭圆锥面： 3.单叶双曲面：.4.双叶双曲面：5.椭圆抛物面：.6.双曲抛物面：7.椭圆柱面：.8.双曲柱面： 9.抛物柱面：§8.4空间曲线及其方程一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C.二、空间曲线的方程1.一般式(面交式)方程：例如：表示圆柱面与平面的交线.表示上半球面又如：与圆柱面的交线 2.参数方程：，其中点随着参数t的变化遍历曲线C 例1.称由点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，又同时以线速度v沿平行z轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程解：取时间t为参数，对应点，对应点，作M在xoy面上的投影，有，且，于是，又，于是，螺旋线的参数方程为，令，则螺旋线的参数方程为三、空间曲线在坐标面上的投影 1．投影柱面：称以空间曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面为曲线C关于坐标面的投影柱面2.空间曲线的投影：称空间曲线C关于坐标面的投影柱面与坐标面的交线为空间曲线C在坐标面上的投影曲线，也称为投影3.空间曲线的投影方程：空间曲线C：在坐标面上的投影方程，其中为方程组消去z所得的投影柱面方程.注：1.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为2°.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为例2.求曲线在坐标面上的投影方程.解：现求曲线C在关于坐标面上的投影方程，将方程组消去z 得投影柱面方程：，于是所求投影方程为例3.求由上半球面和锥面所围成的立体在坐标面上的投影解：先求曲线关于坐标面的投影方程，消去z 在坐标面上的投影方程为，从而所求投，故曲线影为圆域：§8.5平间及其方程一、平面的点法式方程1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量2.平面的点法式方程：过点，以向量为一法向量的平面推导：在平面上任取一点，有向量，由于，有，即有(1)，即平面上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点不在平面上，则向量不垂直法向量，从而，即不在平面上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面的点法式方程.例1.求过点且以为法向量的平面的方程解：由平面的点法式方程得，整理得.例2.求过三点、和的平面的方程解：先求所求平面的一个法向量，由题可得向量，可取，于是所求平面的方程为，整理得.二、平面的一般方程1.平面的一般方程：(*)推导：若点满足方程(*)，则有，(**)两方程相减得，(*** 方程(***)为过点，以向量为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)为平面的一般方程，其一法线向量为2.几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁(1).过原点的平面方程：，法向量为.(2).平行x轴的平面方程：，法向量为(3).垂直于x轴(平行坐标面)的平面方程：，法向量为.例3．求通过x轴和点的平面的方程解：由题意，可设所求平面的方程为：，(*)又点在该平面上，有，得，代入方程(*)得.例4.设一平面与x、y、z轴的交点依次为、，求该平面的方程解：设所求平面的方程为，(*)将PQR三点坐标代入得，，代入方程(*)，从而有所求平面方程为，称之为平面的截距式方程三、两平面的夹角及点到平面的距离得1.两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角 2.两平面夹角的余弦：设平面1的法线向量为，平面，两平面的夹角为，则注：1°..2°.3.点到平面的距离：平面外一点到平面的距离为推导：在平面上任取一点，过点作平面的一法向量，有，由于，，由于于是，又点在平面上，故有，从而例5.求两平面和的夹角.解：由两平面夹角余弦公式，故所求夹角为例6.一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程.解：设所求平面的一个法线向量为，由题可知向量在平面上，已知平面的一个法线向量为，由题意有，有；，有；由以上两方程可得，故所求平面的法线向量为，于是所求平面的方程为，整理得另解：由题可知所求平面上一向量，又已知平面的一个法线向量为，易知不平行于，故可取所求平面的一个法线向量为，于是所求平面方程为：，整理得第六节空间直线及其方程一、空间直线：称空间两平面1、的交线为空间直线.二、空间直线的方程1.一般(面交式)方程：2.对称式(点向式)方程(1).直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量(2).直线的点向式方程：过点以向量为方向向量的直线L.推导：在直线L上任取一点，有向量，由于，故有，(*)即直线L上点的坐标都满足方程(*)反之，若点不在直线L上，则由于不平行，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L 的方程，称为直线的对称式或点向式方程.注：1°.mnp不同时为零2°.若，则直线L的方程为，即平面上的直线3°.若，则直线L的方程为，即平面与交线，过点且平行z轴 3.参数方程：注：一般式对称式参数式例1.用对称式方程以及参数方程表示直线解：先找出该直线上一点：不妨取，代入原方程组得，解得，即为该直线上一点再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为，故可取.，得到所给直线的参数方程：令.三、两直线的夹角 1.两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角 2.两直线夹角的余弦：直线的方向向量为，直线的方向向量 ,两直线的夹角为，则注：1°.2°.例2.求直线.和的夹角.解：由题可知直线的方向向量为，直线的方向向量为，设的夹角为，则由两直线夹角余弦公式得故四、直线与平面的夹角 , 1.直线与平面的夹角：称直线与不垂直该直线的平面上的投影直线的夹角为直线与平面的夹角..2.直线与平面夹角的正弦：若直线的方向向量为，平面为.与的夹角为，则.注：1°.2°..例3.求过点且与平面垂直的直线的方程解：由题意，可取为所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为.五、平面束及其方程1.平面束：称通过定直线的所有平面的全体为平面束2.平面束的方程：设有直线，其中与不成比例则通过直线的平面束的方程为：.注：该平面束不包含平面例4.求直线在平面上的投影直线的方程解：过直线的平面束的方程为，即，其中为待定常数.由题可知，该平面与已知平面垂直，故，即，解得.由此可得所给直线关于所给平面的投影平面的方程为，整理得,故所求投影直线的方程为.六、点到直线的距离：直线外一点到直线的距离为：为直线上的一点推导：在直线上任取一点，有向量，设点到直线的距离为，由于，故例5.求点的距离.解：由题可知，所给直线的方向向量为，点，由平面外一点到直线的距离公式得：.七、杂例：例6.求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程.解法一(点向式由题可知两已知平面的法向量分别为和，故可取线的一个方向向量，即，于是所求直线方程为.解法二(一般式过点且与平面平行的平面方程为，过点平行的平面方程为以所求直线方程为例7.与平面的交点.解：易知所给直线的参数方程为，，解得，代入直线的参数方程得所求交点的坐标例8.求过点垂直相交的直线方程.第二篇：高等数学第六版(同济版)第九章复习资料[模版]第九章多元函数微分法及其应用引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至元函数上去第一节多元函数的基本概念一、平面点集的相关概念 1.平面点集：具有性质P} 例如：，其中点表示点2.邻域：(1).邻域：(2).去心邻域：3.坐标面上的点与平面点集的关系：(1).内点：若，使，则称为的内点.(2).外点：若，使，则称为的外点(3).边界点：若，且，则称为的边界点边界：的边界点的全体称为它的边界，记作.(4).聚点：若，则称为的聚点导集：的聚点的全体称为它的导集注：1°.若为的聚点，则可以属于，也可以不属于2°.内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点.例如：；.4.一些常用的平面点集：(1).开集：若点集的点都是其内点，则称为开集(2).闭集：若点集的边界，则称为闭集.(开集加边界(3).连通集：若中任何两点都可用属于的折线连接，则称为连通集.(4).开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域.(5).闭区域：开区域加上其边界称为闭区域例如：为区域.为闭区域.(6).有界集：若，使，则称为有界集.(7).无界集：若，使，则称为无界集二、维空间：对取定的自然数，称元数组的全体为维空间，记为.注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到维空间.三、多元函数的概念 1.，或，其中因映自变变量射量定义域：D 值域：注：可推广：元函数：，.例: 1.，2.，2.几何表示：函数对应空间直角坐标系中的一张曲面:.四、二元函数的极限1.定义：设函数的定义域为，点若，，为，满足，则称为当，称之为的二重极限例1.设证明：，要使不等式，求证成立，只须取，于是，，总有，即例2.不存在，其中证明：当沿直线趋于时，总有，随着的不同而趋于不同的值，故极限不存在例3.求极限五、二元函数的连续性 1.二元函数的连续性:设函数的定义域为D，点为D的聚点，且，则称在点连续 2.二元函数的间断点: 设函数的定义域为D，点为D的聚点，若在点不连续，则称为的间断点.注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点.3.性质：设D为有界闭区域(1).有界性：，有(2).最值性：，使得，有(3).介值性：，使得.4.二元连续函数的运算性质(1).和、差、积仍连续；(2).商(分母不为零)连续；(3).复合函数连续.5.二元初等函数及其连续性(1).二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.(2)..例4.，则解：令例5...(分子有理化)第二节偏导数引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率—导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率，这就是数学上的偏导数.一、偏导数的相关概念1.偏导数：设函数在点的某邻域内有定义，把暂时固定在，而处有增量时，相应地有增量.若极存在，则称此极限值为函数在点处对的；或注: 1°..2°..2.偏导函数：若函数在区域D内每一点处对或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数, 或；或.注：可推广：三元函数在点处对的偏导数定义为例1.求在处的偏导数.，.例2.求的偏导数.，.例3.求的偏导数.，..3.偏导数的几何意义(1).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率(2).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率.4.函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系.(1).函数在点处偏导数存在，但它在点却未必连续例如：函数在点的两个偏导数都存在，即，.不存在，故在点不连续(2).函数在点连续，但它在点处却未必存在偏导数例如：函数在点连续，但它在点对及的偏导数都不存在，这是因为：，即在点对及的偏导数都不存在.二、高阶导数1.二阶偏导数：若函数对及的偏导数及对及的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数记作：；；(二阶纯偏导数)；.(二阶混合偏导数)(二阶纯偏导数注：1°.一般地，二元函数的阶偏导数的偏导数称为它的阶偏导数2°.二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数.3°.二元函数的阶偏导数至多有个.例4.设，求它的二阶偏导数.；；；；；.总结：从这一例题，我们看到：，即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢？我们说不是的，例如：，在点，有，事实上，；而，，于是，，即那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢？有下面的定理：2.二阶混合偏导数的性质定理：若函数的两个二阶混合偏导数与在区域内连续，则它们在D内必相等，即注：1°.可推广：高阶混合偏导数在连续的条件下与求导顺序无关.2°.一般地，若二元函数的高阶混合偏导数都连续，则的阶偏导数只有个第三节全微分一、全微分的相关概念1.偏增量：称为函数对的偏增量称为函数对的偏增量2.偏微分：称与为对及的偏微分.注：，但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量、时，相应的函数增量与自变量的增量、之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量.3.全增量：称为函数在点、的全增量一般来讲，计算全增量是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用、的线性函数来近似代替函数的全增量，为此，引入了全微分4.全微分：若函数在点的某领域内有定义，且在的全增不依赖于、，可表示为，其中而仅与、有关，则称在点可微分，而称为在点的全微分，记作，即若在区域D内每一点都可微分，则称在D内可微分.注：我们知道，当一元函数在点的微分存在时，那么，当二元函数在点的全微分存在时，、又为何值呢？下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏导数存在的关系，从中得到、的值.二、二元函数可微分与偏导数存在、可微分与连续的关系1．函数可微分的必要条件定理1.若函数在点可微分，则它在点的两个偏导数必定存在，且在点的全微分证明：由于在点可微分，则有，。
数学高一第八章知识点总结
数学高一第八章知识点总结第八章的内容主要包括函数的概念、函数的图象、函数的性质、函数的运算、一次函数及其应用、二次函数及其应用、幂函数及其应用、指数函数及其应用、对数函数及其应用等。
一、函数的概念1. 函数的定义: 如果对于每一个x，都有且只有一个y与之对应，那么y是x的一个函数。
2. 自变量与因变量: 函数中，自变量是x，因变量是y。
3. 定义域和值域: 函数的所有自变量的取值范围称为定义域，函数的所有因变量的取值范围称为值域。
4. 基本初等函数: 常数函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
二、函数的图象1. 函数的图象: 函数的图象是由函数的各对应自变量和因变量组成的点的集合。
2. 基本初等函数的图象: 常数函数的图象是一条水平线；一次函数的图象是一条直线；二次函数的图象是抛物线；幂函数的图象是抛物线的一部分；指数函数的图象是一条不经过原点的曲线；对数函数的图象是挨着y轴的一段曲线。
三、函数的性质1. 奇函数和偶函数: 如果对于所有x∈定义域，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数；如果对于所有x∈定义域，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。
2. 周期函数: 如果存在一个正数T，使得对于所有x∈定义域，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)是周期函数。
3. 单调性: 如果对于任意的x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)是单调递增的；如果对于任意的x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么函数f(x)是单调递减的。
4. 奇偶性与周期性: 一次函数是一次函数是奇函数或者偶函数，二次函数是偶函数；幂函数是奇函数或者偶函数；指数函数是奇函数；对数函数是奇函数；正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数；正切函数、余切函数、正割函数、余割函数是周期函数。
四、函数的运算1. 函数加减法: (f+g)(x)=f(x)+g(x)，(f-g)(x)=f(x)-g(x)。
高数期末复习资料(第八章,第九章)
第八章；向量代数与空间解析几何 1.向量及其线性运算1.1向量概念及线性运算1.2 向量的方向角，方向余弦，在某轴的投影例：(,,)OA x y z =，则，cos ||||x x OA r α==，cos ||||y y OA r β==，cos ||||z z OA r γ== 投影||cos ba a Prj ϕ=2.向量的数量积，向量积，混合积：||||cos a b a b θ⋅= ，||||||sin a b a b θ⨯=，xy z xyzi j ka b a a a b b b ⨯=()xy z xy z x yza a a abc b b b c c c ⨯⋅=3.平面 3.1 平面方程（1） 平面的点法式方程：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= （2） 平面的一般方程:0Ax By Cz D +++=（3） 平面的截距式方程:1x y za b c++= （知三点求平面方程：利用任意两点做差乘得法向量，在利用另一点用点法式可得）3.2两平面的夹角11111:0A x B y C z D ∏+++=22222:0A x B y C z D ∏+++=夹角余弦：cos θ=121212120A A B B C C ∏⊥∏⇐⇒++=11112222//A B C A B C ∏∏⇐⇒==4.空间直线4.1 空间直线的方程（1）一般式：可看作两平面交线 （2）对称式：000x x y y z z m n p---== （3）参数式：000x x mt y y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩4.2空间直线的位置关系121212120L L m m n n p p ⊥⇐⇒++=；11112222//m n p L L m n p ⇐⇒==5.点线面距离：66设()()()000011112222,,,,,,,,M x y z M x y z M x y z === （1）两点间距离公式：12M M =（2）点线距离，直线过M1，方向向量为v ，|1|||MM v d v ⨯=（3）两直线间距离：设L1,L2 分别过M1,M2, 且方向向量分别为1s ，2s， 则()1212|1||MM s s d s s ⋅⨯=⨯ 6.曲面及其方程6.1旋转曲面：平面曲线绕其坐标轴旋转时，则该坐标轴对应的变量不变，另一变量改为该变量与第三个变量平方和的正负平方根，如设有曲线(,)0:0f x y L z =⎧⎨=⎩其绕x 轴旋转形成的旋转曲面方程为:(,0f x =绕Y 轴旋转形成的旋转曲面方程为:()0f y =例：球面：2221x y z ++= 圆锥面：222x y z +=旋转双曲面：2222221x y z a a c+-=6.2柱面： 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面，这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线. （曲面方程缺一个变量） 例：圆柱面：222x y R += 抛物柱面：22(0)x pyp =>椭圆柱面：22221x y a b+=6.3二次曲面（1）椭球面：2222221x y z a b c++=(2) 椭圆抛物面：（3）马鞍面：2222x y z p q-+=（4）单叶双曲面2222221x y z a b c +-=（5）双叶双曲面：2222221x y z a b c --=（6）双曲抛物面2222x y z a b-=（马鞍面）（7）椭圆锥面：22222x y z a b+=（z=xy 为马鞍面）7. 空间曲线方程,投影(1)空间曲线的一般方程:(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩(2)空间曲线的参数方程:()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩(3) 曲线在xoy 面上的投影曲线为:(,)0H x y z =⎧⎨=⎩练习题：1. 椭圆222210y z b c x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩绕oy 轴旋转而成的曲面方程为（ ）。
大一高数第8章知识点归纳
大一高数第8章知识点归纳大一的高数课程是大多数理工类专业学生必须学习的一门基础课程。
在高数的学习过程中，第8章是一个相对较为重要的章节，它主要讲述了一元函数的微分与导数运算，以及函数的图形和性质。
一、一元函数的微分与导数在第8章中，我们首先学习了一元函数的微分与导数。
微分是导数的基本概念，通过微分可以研究函数在某一点的变化情况。
而导数是函数在某一点的变化速率，可以用来描述函数的斜率。
1.1 函数的导数定义在第8章中，我们首先学习了函数的导数定义。
对于一元函数f(x)，在其定义域内，若存在极限lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h=λ〗，则称函数f(x)在点x处可导，其导数值为f'(x)=λ。
导数的计算与函数关系密切，它可以用来研究函数的变化性质。
1.2 微分与导数的关系微分是导数的微小变化，它与导数有着密切的联系。
微分是函数在某一点的增量，当自变量发生微小变化时，函数的微分随之产生。
通过微分可以刻画函数在某一点的变化趋势，进而研究函数的性质和图形。
1.3 导数的基本运算法则在第8章中，我们学习了导数的基本运算法则，包括：（1）常数函数的导数为0；（2）幂函数的导数为其幂次减1与系数的乘积；（3）指数函数的导数等于其自身与底数的乘积。
二、函数的图形与性质在第8章中，我们还学习了函数的图形与性质。
通过研究函数的图像，可以更加直观地理解函数的性质与变化规律。
2.1 函数的增减与极值函数的增减性与极值是函数性质的重要特征。
在第8章中，我们学习了如何通过导数的符号变化来判断函数的增减性，并通过导数为零的点来找到函数的极值。
2.2 函数的凹凸与拐点函数的凹凸性与拐点也是函数图像的重要性质。
在第8章中，我们学习了如何通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性，并通过二阶导数为零的点来找到函数的拐点。
2.3 曲线的渐近线曲线的渐近线是指当自变量趋于无穷大或无穷小时，函数图像接近的一条直线。
在第8章中，我们学习了曲线的水平渐近线和斜渐近线的判定方法，并通过求出函数的极限来确定渐近线的方程。
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(3) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
L
L1
L2
(L L1 L2 ).
(4) f (x, y)ds f (x, y)ds.
AB
BA
第一类曲线积分的计算法
设平面光滑曲线弧 L由参数方程
x x(t)
y
[kf (i ,i ) hg(i ,i )]si
i 1
n
n
lim 0
kf
(i
,i
)si
lim
0
hg(i ,i )si
i 1
i 1
k f ( x, y)ds h g(x, y)ds.
L
L
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
(2) L kf ( x, y)ds k L f ( x, y)ds (k为常数).
, y(t)
( t )
给出，函数 f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f [x(t), y(t)]
x2 (t) y2 (t)dt
( )
L
注意:
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;
2. f ( x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的.
其中(x, y) L,求其质量M。
M2
A M1 Mi1
1.分割：M1, M2 ,, Mn1 si ,
o
x
2.近似： M (i ,i )si ,
曲线形构件的质量
n
3.求和： M (i ,i )si ,
i 1
n
4.取极限：M
lim 0
i 1
i1 n
4.取极限： A
lim
0
i 1
h(i ,i )si ,
柱面的面积：
A L h(x, y)ds.
注意：
1. 函数 f (x, y)在闭曲线 L 上对弧长的
曲线积分记为 f (x, y) ds . L
2.当积分路径 L 为 x 轴上的直线段时,曲线积
分 [a,b] 就相当于 f (x, y)ds上的定积分.
第八章 曲线积分与曲面积分
定积分的积分区域： [a,b] 二重积分： 平面区域 D 三重积分： 空间区域 曲线积分： 一段曲线 曲面积分： 一块曲面
一、第一类曲线积分的概念
曲线形构件的质量： y
例：平面曲线的质量 金属
B L Mn1
细线 L AB，线密度为(x, y),
(i ,i ) Mi
2 a 2 adt 2a3 0
例3（书P169 例2）
计算 R2 x2 y2 ds，其中L为上半圆弧x2 y2 Rx, y 0.
L
y
解：
x OLcos , y OLsin;
L
OL R cos
x
y
R cos2 , R cos sin
特殊情形
(1) L : y y(x) a x b.
f (x, y)ds
b
f [x, y(x)]
1 y2 (x)dx.
(a b)
L
a
(2) L : x x( y) c y d.
f (x, y)ds
d
f [x( y), y]
1 x2 ( y)dy.
z
高度为h(x, y)，求的面积。
2)若h(x, y)不为常数;
方法：分割、近似、求和、取极限 1.分割：
h(i ,i )
o
y
x
A
L Mi B
M i1
(i ,i )
2.近似：
h(i
,i
)si
,
其中si
表示M
i1M
的长度。
iபைடு நூலகம்
n
3.求和： A h(i ,i )si ,
y 2
ds
1
dy
2
dx
dx
1 1 dx 2x
y2=2x
yds 2 2x 1 1 dx
L
0
2x
0
2x
2 2x＋1dx 1 (5 5 1)
0
3
解2： L : x y 2 , 0≤y≤2 2
ds
1
dx dy
2 dy
y
L
y
B
A
O
x
Oa b
x
3. f (x, y)ds f (x, y)ds.
AB
BA
性质：
(1) [kf (x, y) hg(x, y)]ds k f (x, y)ds h g(x, y)ds.
L
L
L
证
b
[kf (x, y) hg(x, y)]ds
a
n
lim 0
L
c
(3) L : (), .
L f (x, y)ds
f [() cos, ()sin]
[()]2 [()]2 d.
例1. 计算L yds. 其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)
的一段弧. 解1： L : y 2x, 0≤x≤2
z k的一段. (0 2)
解
I
2
a2 cos sin k
(i ,i )si ,
M L (x, y)ds.
柱面的面积：
z
设是一张母线平行于z轴，准线为
xoy面上曲线L的柱面的一部分，其
高度为h(x, y)，求的面积。
o
x
1)若h(x, y) 常数;
y
L
柱面的面积：
设是一张母线平行于z轴，准线为
xoy面上曲线L的柱面的一部分，其
(0
2
)
o
y
xR x
推广:
空间R3中的曲线：x=x(t), y=y(t), z=z(t),
≤t≤
z
O
y
x
f (x, y, z)ds
f [x(t), y(t), z(t)]
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt
( < )
例4 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,
1 y 2 dy
yds
2
y
1 y 2 dy
L
0
1 (5 5 1) 3
y 2
y2 x
2
0
2x
例2. 计算 (x2 y 2 )ds 其中L: x2+y2=a2. L
解： L: x=acos t, y=asin t, 0≤t≤2
(x2 y 2 )ds L
2 (a 2 cos2 t a 2 sin 2 t) (a sin t)2 (a cost)2 dt 0