20力学量算符和量子力学公式的矩阵表示

*
g
g
dx
dg
ag (t)
* g
Fˆ
g
dx
dg
bg (t) (g g)dg ag (t)Fgg dg
bg (t) ag (t)Fgg dg
其中，算符 Fˆ的矩阵元
Fgg
* g
(
x)
Fˆg
(
x)dx
例1．坐标表象中 的Fˆ 矩阵元为
Fxx
* x
( x) Fˆ
x,
ih
x
x
(x)dx
gn
m*
(
x)n
(
x)dx
gnmn
g1 0 0 0
0 g2 0 0
Gˆ
0
0
0 0 0 gn 0
算符在自身表象下是一个对称矩阵，并且本征值就是对角元
素。它的阵迹就是全部本征值之和。
说明：
（1）欲求力学量 在Fˆ 表G象下的矩阵表示，必须知道力学量 Gˆ 的本征解，才能计算 Fˆ的矩阵元；
一、力学量算符的矩阵表示
力学量 满Gˆ足的本征方程
Gˆn (x) gnn (x)
算符 满Fˆ足
(x,t) Fˆ (x,t)
把波函数 (、x,t) 分别(x,向t) 展开{n (x)}
(x,t) an (t)n (x)
n
(x,t) bn (t)n (x)
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
则
Fm称n 为算符 在Fˆ 表G象中的矩阵元。
算符 在Fˆ 表G象中的矩阵形式为
bm (t) Fmnan (t)
n
F11 F12 L
F21
F22
L
F(G) L L L
Fk1
Fk 2
L
L L L
F1k L
F2k
L
L L
Fkk
L
L L
因为 是Fˆ厄米算符，所以它的矩阵元的复共轭为
p (x)dx
ih
p
* p
(
x)
p
(
x)dx
ih ( p p)
p
或
xpp
* p
(
p)
ih
p
p
(
p)dp
(
p
p)
ih
p
(
p
p)dp
ih ( p p)
p
例3．动量表象中 的Fˆ 矩阵元为
Fpp
* p
(
p)Fˆ
p, ih
p
p (
p)dp
(
p
p)Fˆ
§4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
一、力学量算符的矩阵表示 二、量子力学公式的矩阵表示
§4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
量子力学的三个基本要素是波函数、算符和薛定格方程。上一节 讲了波函数的矩阵表示，为了保证理论体系的一致性，必须实现力 学量算符与量子力学公式的矩阵表示。
在量子力学中，将坐标表象下的表示称为波动力学方法，把任意 力学量表象下的表示称为矩阵力学方法。在量子力学的历史上，上 述两种表示方法几乎是同时发展起来的，后来，狄拉克证明了它们 是等价的。
0
a1 a2
把波函数归一化
/2
a1 a1
/ 2 / 2
a1*
a2*
a1 a1
2 a1
2
1
/ 2 11//
2 2
1 2
11
同理
/ 2
1 2
11
最后，把矩阵对角化。
a1 1/ 2
Sx
/ 2 0
0 /
2
i
d dt
a2 (t)
H 21
H 22
H 2k
a2 (t)
ak (t) H k1 H k 2 H kk ak (t)
式中
H mn
* m
(
x)Hˆ
n
(
x)dx
4．平均值公式
F(t)
*(x,t)Fˆ (x,t)dx
am* (t)an (t)
（2）不论在任何具体表象中，任何厄米算符 的Fˆ矩阵元 一F定mn 是 一个数值，故其可以在公式中随意移动位置；
（3）在不同的表象中，算符的矩阵元可能会不同，但是该算符 的本征值不会改变；
（4）如果的本征值为连续谱，则
Gˆg (x) gg (x)
{g (x构)}成正交归一完备基矢组。
算符 满Fˆ足
Fm*n m (x)[Fˆn (x)]*dx n*(x)Fˆm (x)dx Fnm
即矩阵中关于对角线对称的元素一定互为复共轭。或者
Fmn Fn*m Fmn
它表明矩阵是厄米矩阵。一般说来，实的对称矩阵都是厄米矩阵。
特例：力学量算符在自身表象中的矩阵。
Gmn
m*
(
x)Gˆn
(
x)dx
p, ih
p
(
p
p)dp
Fˆ
p,
ih
p
(
p
p)
例4．求一维谐振子中，坐标算符、动量算符和能量算符在能量 表象中的矩阵表示。
解：
x
n
(x)
1
n
2
n1
(
x)
n
2
1
n1
(
x)
d
dx
n
(
x)
n
2
n1
(
x)
n
2
1
n1
(
x)
坐标算符、动量算符和能量算符在能量表象中的矩阵元分别为
xmn
例5．已知力学量 在Sˆx某表象中的矩阵表示为 征值和归一化波函数，并将 对角化S。x
Sx 0/，2 求0/它2的本
解： 首先，求解本征值方程
0 / 2
/ 0
2
a1 a2
a1 a2
/ 2
0
/ 2
/ 2
/ 2
a1 a2
0
/ 2
下面求本征函数。
1
h 2
/ 2 / 2
/
2 /2
a1 a2
对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表象
下，波函数及算符的矩阵元是不同的，但最后所得到的物理结果
（力学量的可能取值、取值几率和平均值）却都是一样的。因为我
们所关心的只是有物理意义的结果，所以，允许对表象作选择。如
果选取了一个合适的表象，将使问题得到简化。这也就是表象理论
的价值所在。
* m
x
n
dx
1
n
2
m,n1
n
2
1
m,n
1
pmn
* m
ih
d dx
n dx
ih
n
2
m,n1
n
2
1
m,n1
Hmn
* m
Hˆ
n
dx
Enm,n
n
1 2
h
m,n
所以，它们的矩阵表示分别是
0 1 0 0
1 0 2 0
x
1
2
0 0
20
3
0 3 0
0
1 0 0
1 0
2
p
i
2
0 0
2 0 0 3
0
3
0
1/ 2 0 0 0
0 3/2 0 0
H 0
0
5/2
0
0 0 0 7/2
二、量子力学公式的矩阵表示
以下内容都是在 表G象下的表示。
1．算符方程
(x,t) Fˆ (x,t)
b1 (t) F11
b2 (t) F21
m*
(
x)
Fˆn
(
x)dx
mn
am* (t)Fmnan (t)
mn
a1*(t) a2*(t) L
F11 F12 L
F21
F22
L
ak* (t)
L L Fk1
L Fk 2
L L
L L L
F1k L a1(t)
F2k
L
a2
(t
)
L L L
Fkk
L
ak (t)
L L L
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m*，L得dx
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
n
n
bm(t) an (t) m* Fˆndx
n
令 Fmn m* (x)Fˆn (x)dx
F21 F22 F2k a2 (t) a2 (t)
Fk1 Fk 2 Fkk ak (t)
ak (t)
F11
F21
Fk1
F12
F22
Fk 2
F1k F2k
Fkk
a1(t)
a2 (t)
0
ak (t)
或简写为
Fmnan am
bk (t) Fk1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
F12 F22
Fk 2
F1k a1 (t)
F2k a2 (t)
Fkk ak (t)
或简写为 2．本征方程
bm (t) Fmnan (t)
n
Fˆ (x,t) (x,t)
F11 F12 F1k a1 (t) a1 (t)
(x,t) Fˆ (x,t)
把波函数 (、x,t) 分别(x,向t) 展开{g (x)}
(x,t) ag (t)g (x)dg
(x,t) bg (t)g (x)dg
代入到算符方程中，得
bg (t)g (x)dg ag (t)Fˆg (x)dg
上式两端做运算 g*， L得dx
bg (t)
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常把 求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
3．薛定格方程
ih (x,t) Hˆ (x,t)
t
a1 (t) H11 H12 H1k a1 (t)
(
x
x)Fˆ
x,
ih
x
(
x
x)dx
Fˆ
x,
ih
x
(
x
x)
其中，x为变数，x、 为x本征值。
例2．动量表象中 的xˆ矩阵元为
xpp
* p
(
x)
x
p (x)dx
1
2 h
eipx / h x p (x)dx
1
2 h
ih
p
eipx
/
h
p
(
x)dx
ih
p
1
2
h
eipx / h