高考理科第一轮复习课件(4.4平面向量的应用)

用基向量解题时要选择适当的基底.
【变式训练】(1)如图，O，A，B是平面上的三点，
向量 OA = a， = b， C为线段AB的中点，设P为线段 OB
AB的垂直平分线CP上任意一点，向量 OP p， 若
a 4， 2，则p a b =( b
△ABC为等边三角形，故选A.
5.在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满
足 OPOA＝4， 则点P的轨迹方程是______．
【解析】由 OPOA＝4， 得(x，y)·(1，2)＝4， 得x＋2y＝4，即x+2y-4=0. 答案：x＋2y－4＝0
) (D)5
(A)2
(B)3
(C)4
【解析】选B.PA PB PC PA PA AB PA AC 0，所以
AB AC 3PA 3AP, 故m=3.


（2）以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平 面直角坐标系，根据题设条件可知A(0，3)， － 3,0 ,C B


3,0 .

设M(x,y)，则 CM x 3, y ，
CB 2 3,0 ， 3,3 . CA







由 CM 1 CB 2 CA 得,
第四节 平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用
（1）常解决的平面几何问题：平面向量在平面几何中的应用
主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂 直、长度、夹角等问题.
（2）解决常见平面几何问题用到的向量知识
问题类型
线平行、点 共线问题
所用知识
共线向量 定理
公式表示 a=λ b(b≠0) a∥b⇔____________ x1y2-x2y1=0 ⇔__________
B ＞2或＜ 2 D 2＜＜2
(2)(2013·保定模拟)已知点A(1,1),B(1,-1),C( 2 cos θ ,
2 sin θ )(θ ∈R)，O为坐标原点. ①若 | BC BA | = 2 ，求sin 2θ 的值；
②若实数m,n满足 mOA nOB OC， 求(m-3)2+n2的最大值.
m 解得 n
2 cos sin , 2 2 cos sin , 2
∴(m-3)2+n2=m2+n2-6m+9
= 3 2 (sin θ+cos θ)+10
=-6sin(θ+
)+10, 4 ∴当sin(θ+ )=-1时，(m-3)2+n2有最大值16. 4
m2 n 2 sin(θ+φ)=4sin(θ+φ)≤4,
m2 n 2 =4,
由于a· b＜λ2恒成立，故λ2＞4，解得λ＞2或λ＜-2.
(2)①∵ | BC BA |2 | AC |2


=( 2 cos θ-1)2+( 2 sin θ-1)2
= 2 2 (sin θ+cos θ)+4,
1 2 2 2 a b a b 2
（2）（2013·九江模拟）若等边△ABC的边长为 2 3， 平面内一
点M满足 CM 1 CB 2 CA，则MAMB ________ . ＝ 6 3
【思路点拨】（1）先求出向量a，b夹角的余弦，再求出其正
【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所以
|F3|= 2 7, 选D.
2.若不重合的四点P，A，B，C，满足 PA PB PC 0,
AB AC mAP, 则实数m的值为(

3. 在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足 BM＝2MA， 则 CMCB 等于( (A)2 (B)3



) (C)4 (D)6
【解析】选B.由题意可知，
1 CM CB CA＋ AB)CB ＝( 3 1 ＝CACB ABCB ＋ 3 1 ＝0＋ 3 2 3cos 45＝3. 3
∴ 2 2 (sin θ+cos θ)+4=2,即sin θ+cos θ=
两边平方得1+sin 2θ= 1 ，∴sin 2θ= 1 .
②由 mOA nOB OC 得
2 2
2 , 2
(m+n,m-n)=( 2 coBiblioteka Baidu θ, 2 sin θ),
m n 2cos , m n 2sin ,
弦，求出三角形的面积化简即可. （2）建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即 可.
【规范解答】（1）选C.设a，b的夹角为θ，由条件得
cos ab , a b ab 2 ) 1 , 2 a b | | a | b |
sin 1 cos 2 1 (
【互动探究】在本例题（2）的第①小题中，若将条件
“ BC BA 2 ”改为“ BC OA”，则如何解答？
【拓展提升】平面几何问题的向量解法 （1）坐标法. 把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了相关点与向量具体 的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问 题得到解决. (2)基向量法. 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造
关于未知量的方程来进行求解.
【提醒】 用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，

4
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】选B.如图，以点A为原点，以AB所 在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意 知B(2,0),D(0,1),C(1,1).故 M( 3 , 1 ).
3 1 3 1 MA ( , ), MD ( , ), 2 2 2 2 3 1 MA MD ( ) 2 2. 2 4
(A)等边三角形
(C)等腰非等边三角形
(B)直角三角形
(D)三边均不相等的三角形
【解析】选A.由 ( AB AC )BC 0 知△ABC为等腰三角形，且 AB | AC | AB＝AC.由 AB AC 1 知， 与AC 的夹角为60°，所以 AB 2 AB | AC |
（3）正确.由于向量的坐标把数和形结合在一起，所以在向量 的应用中，坐标运算起到“桥梁”的作用.
（4）错误.由 ABBC＜0得BABC 0， ＞ 可得角B为锐角，但三角形
的形状不能判定.故不正确. 答案：（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位：牛顿)的作用而 处于平衡状态，已知F1,F2成60°角，且F1,F2的大小分别为2 和4，则F3的大小为( (A)6 (B)2 ) (C) 2 5 (D) 2 7

6 3 1 2 x 3, y 2 3,0 ( 3,3) 3, 2 , 6 3




∴x=0，y=2,∴点M的坐标为(0,2).
MA＝ 0，， ＝ － 3，－2 ． 1 MB MA MB 2.


答案：-2
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）若 AB AC，则A,B,C三点共线.( ∥
)
（2）解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可 以用向量解决.( )
（3）实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的 转化的主要手段是向量的坐标运算.( ) )
ab
2
S OAB 1 2 1 2
1 1 a b sin a b 1 2 2 2 a | b |
2
ab
2
a | b |
2 2

a | b |
2
ab
2 2
a b | |
2
a b a . b



【思路点拨】(1)将a·b表示为θ的三角函数，然后求得a·b 的最值，转化为解不等式的问题. (2)①由 | BC BA | 2 得到关于θ的关系式，两边平方可求解； ②用含θ的关系式表示m,n，然后转化为三角函数的最值问题

求解.
【规范解答】(1)选B.由已知得|b|=1，所以|a|= 因此a· b=mcos θ+nsin θ =
其中a=(x1,y1), b=(x2,y2) a·b=0 a⊥b⇔_______ x1x2+y1y2=0 ⇔__________ a=(x1,y1),b=(x2,y2) cos θ =
ab | a || b | _____
垂直问题
数量积的 运算性质 数量积 的定义
夹角问题
（θ 为向量a,b的夹角）
（3）用向量方法解决平面几何问题的“三步法” 设向量 运算 还原 平面几何问题 向量问题 解决向量问题 解决几
何问题
2.平面向量在物理中的应用 （1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解 与合成和向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积,即 W=F·s=|F||s|cos θ (θ 为F与s的夹角）.

考向 1
向量在平面几何中的应用

【典例1】（1）平面上O,A,B三点不共线，设 OA a,OB b， 则△OAB的面积等于( )
A C
a b a b
2 2
2
B D
a b a b
2 2
2
1 2 2 2 a b a b 2
AB AC 4.在△ABC中，已知向量 AB与AC 满足 ( )BC 0 且 AB | AC | AB AC 1 ) , 则△ABC为( AB | AC | 2
) (C)4 (D)0
(A)8
(B)6
【解析】选B.由 BP AP ， 知|p-b|=|p-a|，
∴|p-b|2=|p-a|2， p2-2p·b+b2=p2-2p·a+a2， 得2p·a-2p·b=a2-b2=16-4=12， ∴p·(a-b)=6.


(2)（2013·重庆模拟）在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB, ∠B= , AB=2CD=2,M为腰BC的中点,则 MAMD =(
（4）在△ABC中，若 ABBC＜0， 则△ABC为钝角三角形.(
【解析】（1）正确.因为 AB AC且AB,AC 有相同的起点A，故 ∥
A，B，C三点共线，故正确.
（2）正确.解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题
可利用向量的共线、数量积、模等知识解决，故正确.
2 2
考向 2
向量与三角函数知识的综合应用
【典例2】(1)(2012·揭阳模拟)已知向量a=(m,n)，b=(cosθ , sin θ )，其中m,n,θ ∈R.若|a|=4|b|，则当a·b＜λ 2恒成立 时实数λ 的取值范围是( )
A ＞ 2或＜ C 2＜＜ 2
2