高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解
高考数学总复习 选做01 几何证明选讲试题(含解析)
专题1 几何证明选讲【三年高考全收录】1. 【2017高考江苏】如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．∠=∠；求证：（1）PAC CAB（2）2=⋅．AC AP AB【答案】（1）见解析；（2）见解析．【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2. 【2016高考江苏】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点. 求证：∠EDC=∠ABD.【答案】详见解析【解析】 试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质EC BC DE ==21， 再由ECD EDC ∠=∠，ECD ∠与DBC ∠互余，ABD ∠与DBC ∠互余，得ECD ABD ∠=∠，从而得证. 试题解析：证明：在ADB △和ABC △中，因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠o为公共角，所以ADB △∽ABC △，于是ABD C ∠=∠.在Rt BDC △中，因为E 是BC 的中点，所以ED EC =，从而EDC C ∠=∠.所以EDC ABD ∠=∠.【考点】相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．3．【2015江苏高考，21】如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆A B CE DO（第21——A 题）【答案】详见解析【考点定位】相似三角形4．【2016高考天津理数】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.【答案】33【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x =，又2BD DE x==，所以1AC AE ==，因为AB 是直径，则223122BC =-=249AD x =-BCE DAE ∆∆:，则BC EC AD AE =222149x x=-，解得23x =考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．5．【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与e O 相切；(II)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD .O DC B A【答案】(I)见解析(II)见解析【解析】试题分析：(I)设E 是AB 的中点,先证明60AOE ∠=︒,进一步可得12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．(II) 设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ,证明'OO AB ⊥,'OO CD ⊥．由此可证明//AB CD ．试题解析：（Ⅰ）设E 是AB 的中点,连结OE ,因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切． E O'DC OBA（Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥．同理可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.6．【2016高考新课标2理数】选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ．(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ∆~∆再证,DGF CBF ∆~∆可得0180,CGF CBF ∠+∠=即得,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）由由,,,B C G F 四点共圆，可得FG FB ⊥，再证明,Rt BCG Rt BFG ∆~∆根据四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍求得结论.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即 111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．7．【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O e 中»AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．（I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．【答案】（Ⅰ）60︒；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件可证明PFB ∠与PCD ∠是互补的，然后结合2PFB PCD ∠=∠与三角形内角和定理，不难求得PCD ∠的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知,,,C E F D 四点共圆，然后根据用线段的垂直平分线知G 为四边形CEFD 的外接圆圆心，则可知G 在线段CD 的垂直平分线上，由此可证明结果．试题解析：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.因为»»AP BP=，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠. 又180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=︒∠=∠，所以3180PCD ∠=︒， 因此60PCD ∠=︒. （Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=︒，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥．考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等．8．【2015高考湖北，理15】如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则AB AC= . 【答案】21 AP B C【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理知，)(2BC PB PB PC PB PA +=⋅=，因为3BC PB =，所以224PB PA =，即PB PA 2=， 由PAB ∆∽PCA ∆，所以21==PA PB AC AB . 9.【2015高考新课标2，理22】如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ） 若AG 等于O e 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O e 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O e 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O e 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，103AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)22⨯⨯-⨯⨯=．10．【2015高考陕西，理22】如图，AB 切O e 于点B ，直线D A 交O e 于D ，E 两点，GAEFON D B CMC D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C 2B =，求O e 的直径．【2018年高考命题预测】纵观近几年高考试题，高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考可能以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说, “几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【2018年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若a cb d=，则①a bc d=；②ad bc=；③a b c db d++=；④a b c db d--=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．【考点针对训练】1. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长．【解析】∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB.∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC.∵D 是AC 的中点，∴HDDE＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证： (1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .【解析】(1)在Rt△ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt△ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得, BD 2＝BE ·AB ， 同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt△BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD . 即AD 3＝BC ·CF ·BE . 【考点2】圆的有关问题 【备考知识梳理】 1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d 与圆的半径r的关系相交两个d＜r相切一个d＝r相离无d＞r(2) 圆的切线性质及判定定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向． 【考点针对训练】1. 如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB AD =，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CDA ABE ∆∆∽．【解析】连结AC ．EA Q 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠．AB AD =Q ，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠．Q 圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠．∴CDA ABE ∆∆∽．2. 如图，点C 是⊙O 直径BE 的延长线上一点，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，∠ ACB 的平分线CD 与AB 相交于点D ，与AE 相交于点F ． （I ）求AFD ∠的值； （11）若AB=AC ，求BCAC的值．【解析】（Ⅰ）∵AC 是⊙O 的切线，∴B EAC ∠=∠，又∵DC 是ACB ∠的角平分线，DCB ACD ∠=∠,∴+DCB B ACD EAC ∠∠=∠+∠,∴ADF AFD ∠=∠， 又∵BE 是O e 的直径，∴090BAE ∠=,∴045AFD ∠=(Ⅱ) ∵AB AC =，∴=B ACB EAC ∠=∠∠，由（I ）得，090BAE ∠=，∴+=B AEB B ∠∠∠ACE +∠0390EAC B +∠=∠=,∴30B ∠=,∵B EAC ∠=∠,=ACB ACB ∠∠,∴ACE ∆∽BCA ∆,∴03tan 30AC AE BC AB ===．【两年模拟详解析】1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】选修4-1：几何证明选讲 如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上，若，求的度数.【答案】45° 【解析】连结，．因为为弧的中点，所以．而，所以，即．又因为，所以，故．2. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】选修4-1：几何证明选讲 如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A ，B 两点，DC OB ⊥于点C ，且2DE BE =，求证：23OC BC =.【答案】见解析 【解析】 解：连结，设圆的半径为，，则，. 在中，，，即，①又直线切圆于点，则，即，②，代入①，，，，.3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长.【答案】434. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30AEB ∠=o ．求PCE ∠的大小．【解析】由PC 为APE ∠的平分线得EPC APC ∠=∠,由弦切角定理得PEB PAC ∠=∠,因为,CDE PED EPD DCE PAC APC ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，所以CDE DCE ∠=∠，因此1803075.2PCE -∠==o o o…………10分 5. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．PE B ODAC【解析】AE AC =Q ，AB 为直径，OAC OAE ∴∠=∠，POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，又EAC PDE ∠=∠，PDE POC ∴∠=∠．6. 【2017年第一次全国大联考江苏卷】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，,BC BD BA =的延长线交CD 的延长线于点,E 求证：AE 平分DAF ∠.【解析】因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以,DAE BCD FAE BAC BDC ∠=∠∠=∠=∠ 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠，所以FAE DAE ∠=∠， 所以AE 平分DAF ∠.……………10分7. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】如图， AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C ．若DB DC =，求证：CA AO =．【解析】连接,.OD AD 因为AB 是圆O 的直径，所以90,2.ADB AB AO ∠==o --------（3分） 因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ，-----------------------（6分） 又因为DB DC =，所以B C ∠=∠，于是ADB ODC ∆≅∆，从而AB CO =， 即2OA OA CA =+，得CA AO =．-----------------------------------（10分） 8. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】如图，,,A B E 是⊙O 上的点，过E 点的⊙O 的切线与直线AB 交于点P ，APE ∠的平分线和,AE BE 分别交于点,C D .求证：(1) DE CE =； (2)CA PECE PB=． 【答案】证明见解析．9.【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】如图，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 外一点，且AB AC =，BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 切线交AC 于点E.求证：DE AC ⊥【答案】详见解析【解析】证明：连结OD ，因为AB AC =，所以B C ∠=∠．由圆O 知OB OD =，所以B BDO ∠=∠．从而BDO C ∠=∠，所以//OD AC .又因为DE 为圆O 的切线，所以DE OD ⊥，又因为//OD AC ，所以DE AC ⊥．10．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ．以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接AE 交⊙O 于点F ．求证：BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．【答案】详见解析11．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．【答案】详见解析【解析】证明：因为PA是圆O在点A处的切线，所以∠PAB＝∠ACB．因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB，所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE．又∠PEA＝∠BED，故△PAE∽△BDE．12．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是OC的中点，AH⊥BC．（1）求证：AC是∠PAH的平分线；（2）求PC的长．【答案】（1）详见解析（2）2(2)因为H 是OC 中点，半圆O 的半径为2，所以BH ＝3，CH ＝1．又因为AH ⊥BC ，所以AH 2＝BH ·HC ＝3，所以AH ＝3． 在Rt △AHC 中，AH ＝3，CH ＝1，所以∠CAH ＝30°．由(1)可得∠PAH ＝2∠CAH ＝60°，所以PA ＝23．由PA 是半圆O 的切线，所以PA 2＝PC ·PB ，所以PC ·(PC ＋BC )＝(23)2＝12，所以PC ＝2．13．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知△ABC 内接于O e ，BE 是O e 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．【答案】详见解析【解析】证明：连结AE ．∵BE 是O e 的直径，∴90BAE ∠=︒．∴BAE ADC ∠=∠．又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． ∴BE AC BA AD =，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． 14．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】如图，AB 是圆O 的直径，弦,BD CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ，求证：2AB BE BD AE AC =•-•.【答案】详见解析 【解析】试题分析：证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ，所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， 所以2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．15．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E .求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.【答案】详见解析16．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，AB 是圆O 的直径，弦,CA BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连结FD .求证：DEA DFA ∠=∠.【答案】详见解析【解析】证明：连结AD ，Q AB 是圆O 的直径， 90ADB ∴∠=o ，90ADE ∴∠=o ,又EF FB ⊥Q ，90AFE ∴∠=o ，所以,,,A F E D 四点共圆，DEA DFA ∴∠=∠.A BO · FCDE 第21题（A ）图【一年原创真预测】1. 如图，AB 是O e 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是O e 的割线，已知AB AC =.（Ⅰ）求证：AC FG //；(II)若1,4CG CD ==,求DE GF 的值.【入选理由】本题考查圆的切割线定理、三角形相似，四点共圆的性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题由切割线定理入手，得出三角形相似，结合四点共圆的性质，得出角相等，本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2. 如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点,PO 交圆O 与,B C 两点，15PA =，,5=PB BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1） 求证AB PC AC PA ⋅=⋅ （2） 求AD AE ⋅的值.。
高中数学-几何证明选讲知识点汇总与练习(内含答案)
高中数学-《几何证明选讲》知识点归纳与练习（含答案）一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义岀发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给岀过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1 ）两角对应相等，两三角形相似；（2 ）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3 ）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2 ）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
高中数学几何证明选讲详解
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题
【思路点拨】条件
【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由 得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在 中, 分别为 上的点,且 , 的面积是 ,梯形 的面积为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
5． （2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则 的值为
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。
【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。
【规范解答】由题意可知 ∽ 相似，
所以 ,由 及已知条件
可得 ,又 , 。
【答案】
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= ，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.
【答案】
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得 ，算出 ，再由相交弦定理求出
【规范解答】因为 为 的中点，由垂径定理得 ，在 中， ，由相交弦定理得： ，即 ，
高中数学-几何证明选讲知识点汇总与练习(内含答案)
高中数学-《几何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
高中几何证明题的练习题及讲解
高中几何证明题的练习题及讲解高中几何证明题练习题题目：在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。
已知角A为锐角，且a^2 = b^2 + c^2 - bc*cosA。
证明三角形ABC是直角三角形。
证明：1. 首先，我们已知a^2 = b^2 + c^2 - bc*cosA。
2. 根据余弦定理，我们有a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA。
3. 将已知条件代入余弦定理，得到b^2 + c^2 - bc*cosA = b^2 + c^2 - 2bc*cosA。
4. 简化上述等式，得到bc*cosA = bc。
5. 由于b和c都是正数（三角形的边长），我们可以除以bc，得到cosA = 1。
6. 由于角A是锐角，且cosA = 1，那么角A的度数必须是0°。
但题目中已经说明角A是锐角，所以这里我们得到了一个矛盾。
7. 因此，我们的假设是错误的，所以角A必须是90°。
8. 由于角A是90°，那么三角形ABC就是一个直角三角形。
结论：根据以上证明，我们证明了三角形ABC是直角三角形。
题目：在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。
已知a = 2b，且三角形ABC的面积为3√3。
求边c的长度。
解答：1. 已知三角形ABC的面积为3√3，根据三角形面积公式，我们有面积= (1/2) * b * c * sinA。
2. 将已知面积代入公式，得到3√3 = (1/2) * b * c * sinA。
3. 由于a = 2b，我们可以利用正弦定理，得到sinA = a * sinC / c = 2b * sinC / c。
4. 将sinA代入面积公式，得到3√3 = (1/2) * b * c * (2b * sinC / c)。
5. 简化上述等式，得到3√3 = b^2 * sinC。
6. 由于a = 2b，我们可以利用余弦定理，得到a^2 = b^2 + c^2 -2bc*cosA。
高考数学(新课标版) 专题22 几何证明(选修1) Word版含解析
【名师精讲指南篇】【（高|考）真题再现】1．【2021 新课标全国】如图 ,直线AB为圆的切线 ,切点为B ,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E ,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ )证明：DB =DC；(Ⅱ )设圆的半径为1 ,BC = 3 ,延长CE交AB于点F ,求△BCF外接圆的半径.【解析】 (1 )利用弦切角定理进行求解； (2 )利用 (1 )中的结论配合角度的计算可以得到答案.2.【2021（高|考）全国1】如图 ,四边形ABCD 是O 的内接四边形 ,AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ,且CB CE =.(Ⅰ )证明：D E ∠=∠；(Ⅱ )设AD 不是O 的直径 ,AD 的中点为M ,且MB MC = ,证明：ADE ∆为等边三角形.3.【2021全国Ⅱ】如下图 ,O 为等腰三角形ABC 内一点 ,圆O 与ABC △的底边BC 交于M ,N 两点 ,与底边上的高AD 交于点G ,且与AB ,//EF BC 分别相切于E ,F 两点.(1)证明：//EF BC ；(2)假设AG 等于圆O 的半径 ,且23AE MN ==求四边形EDCF 的面积. ON M GFED A4.【2021全国Ⅰ】如下图 ,AB 是O 直径 ,AC 是O 切线 ,BC 交O 于点E .(1 )假设D 为AC 中点 ,求证：DE 是O 的切线；(2 )假设3OA CE = ,求ACB ∠的大小..解析 (1 )连接OE ,AE ,如下图. A O DE因为AB 为直径 ,所以AE BC ⊥.又D 为AC 中点 ,所以DE AD = ,所以CAE DEA ∠=∠.①因为AC 为切线 ,所以90CAB ∠= ,即90CAE EAO ∠+=.②在圆中 ,OA OE = ,所以EAO OEA ∠=∠.③ E D C O A结合①②③ ,可得90DAE OEA ∠+∠= ,即OE DE ⊥.所以DE 是圆O 的切线.【热点深度剖析】2021年（高|考）以圆为几何背景考查弦切角定理 ,三角形全等 ,直角三角形外接圆半径 ,考查学生的数形结合的能力. 2021年（高|考）涉及到圆的内接四边形的性质 ,垂径定理的推论．2021年涉及到面积、切线证明、切割线定理 .从三年试题来看 ,（高|考）对这局部要求不是太高 ,要求会以圆为几何背景 ,利用直角三角形射影定理 ,圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理 ,相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似 ,全等 ,求线段长等 ,但连续几年没考查相交弦定理 ,预测2021年（高|考）可能以圆为几何背景 ,考查相似三角形的证明、相交线定理 ,切割线定理 ,以及圆内接四边形的性质定理与判定定理 ,考查学生的数形结合的能力.【重点知识整合】一、相似三角形1．相似三角形(1)定义：对应角相等 ,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 ,相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．(2)判定①判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似．判定定理2 三边对应成比例的两个三角形相似．判定定理3 两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．②如果两个直角三角形有一个锐角对应相等 ,那么它们相似．如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例 ,那么它们相似．如果一个直角三角形的斜边与一条直角边和另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例 ,那么这两个三角形相似．(3)性质①性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．②性质定理2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似三角形对应角的平分线的比 ,外接圆直径的比、周长的比 ,内切圆直径的比、周长的比都等于相似比．相似三角形外接圆面积的比 ,内切圆面积的比都等于相似比的平方．2．平行截割定理平行截割定理：三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．直角三角形的射影定理：假设Rt△ABC斜边AB上的高为CD ,那么CD2＝AD·BD ,BC2＝BD·AB ,AC2＝AD·AB.二、圆幂定理与圆锥截线1．圆的切线(1)切线判定定理经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．①经过圆心且垂直于切线的直线必过切点．②经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．推论1 从圆外一点所引圆的两条切线长相等．推论2 经过圆外一点和圆心的直线平分从这点向圆所引两条切线的夹角．(3)内切圆、旁切圆与一个三角形三边都相切的圆 ,叫做这个三角形的内切圆；与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆 ,叫做三角形的旁切圆．2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数．3．圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．推论1 直径(或半圆)所对的圆周角都是直角．推论2 同弧或等弧所对的圆周角相等．推论3 等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径．4．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．5．圆幂定理(1)相交弦定理圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．(2)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线 ,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项．(3)割线定理从圆外一点引圆的两条割线 ,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．圆幂定理⊙(O ,r) ,通过一定点P ,作⊙O的任一条割线交圆于A、B两点 ,那么PA·PB＝定值k.①当点P在圆外时 ,k＝PO2－r2 ,②当点P在圆内时 ,k＝r2－OP2 ,③当点P在⊙O上时 ,k ＝0 ,通常把这里的定值k称作点P对⊙O的幂．6．圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理①对角互补．②外角等于它的内对角(2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的一组对角互补 ,那么这个四边形内接于圆．推论如果四边形的一个外角等于它的内对角 ,那么这个四边形四个顶点共圆．【应试技巧点拨】1．辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线 ,相似关系的根底就是平行截割定理 ,故作辅助线的主要方法就是作平行线 ,见中点取中点连线利用中位线定理 ,见比例点取等比的分点构造平行关系 ,截取等长线段构造全等关系 ,立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．2．比例的性质的应用相似关系的证明中 ,经常要应用比例的性质：假设a cb d= ,那么①a bc d=；②ad bc=；③a b c db d++=；④a b c db d--=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+.3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形 ,然后证明图形符合命题条件 ,确定所作图形与题设条件所指的图形相同 ,从而证明命题成立．4.证明多点共圆 ,当两点在一条线段同侧时 ,可证它们对此线段张角相等 ,也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧 ,那么证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．【考场经验分享】1．应用相似三角形的性质时 ,对应量必须找准(对应边 ,对应角 ,对应边上的高、中线 ,对应的角平分线等等) ,牢牢把握对应角对的边是对应边 ,对应边对的角是对应角．2．判定两三角形相似时 ,可以用三边对应成比例 ,也可以用两角对应相等(只要两角对应相等 ,第三个角也对应相等)．但两边对应成比例时 ,必须有夹角相等的条件．3．等弧对等弦、对等圆心角、对等圆周角、对等弦切角的前提是同圆或等圆．4．相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线假设相交 ,各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理 ,当两交点在圆外时为割线定理 ,两交点重合时为切线 ,一条上两点重合时为切割线定理 ,两条都重合时为切线长定理 ,应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．【名题精选练兵篇】1.【2021河北唐山二模】如图 ,四边形ABCD 内接于圆O ,AC 与BD 相交于点F ,AE 与圆O 相切于点A ,与CD 的延长线相交于点E ,∠ADE ＝∠BDC ．(Ⅰ )证明：A 、E 、D 、F 四点共圆；(Ⅱ )证明：AB ∥EF ．2.【2021广西桂林市、北海市、崇左市3月联合调研】如图,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形,延长BA 和CD 相交于点P ,14PA PB =,12PD PC =． (1 )求AD BC的值； (2 )假设BD 为圆O 的直径,且1PA =,求BC 的长．【解析】 (1 )由PAD PCB ∠=∠,P P ∠=∠,得PAD ∆与PCB ∆相似．设PA x =,PD y =,那么有PA PD PC PB =,24x y y x=2y x ⇒． ∴22AD PA x BC PC y ===． EB O FDC A(2 )由题意知,90C ∠=︒,1PA =,∴4PB = , 22PC =． ∴2228BC PB PC =-=,∴22BC =．3.【2021吉林长春质量监测 (二 )】如图 ,过圆O 外一点P 的作圆O 的切线PM ,M 为切点 ,过PM 的中点N 的直线交圆O 于A 、B 两点 ,连接PA 并延长交圆O 于点C ,连接PB 交圆O 于点D ,假设MC BC =.(1 )求证：APM ∆∽ABP ∆；(2) 求证：四边形PMCD 是平行四边形.4.【2021安徽 "江南十校〞联考】如图 ,过圆O 外一点E 作圆O 的两条切线EA EB 、 ,其中A B 、为切点 ,BC 为O 的一条直径 ,连CA 并延长交BE 的延长线于D 点.(Ⅰ )证明：ED BE =；(Ⅱ )假设3AD AC =,求:AE AC 的值.OB AC E D解： (Ⅰ )连接AB 、OE ,因为EA 、EB 为圆O 的切线 ,所以OE 垂直平分AB又BC 为圆O 的直径 ,所以CD AB ⊥ ,所以CD OE //又O 为BC 的中点 ,故E 为BD 的中点 ,所以ED BE =(Ⅱ )设(0)AC t t => ,那么3AD t = ,4CD t =在Rt BCD ∆中 ,由射影定理可得：2212BD DA DC t =⋅= 23BD t ∴= ,在Rt ABD ∆中 ,132AE BD t == :AE AC ∴ =35.【2021河南新乡许昌平顶山二调】如图 ,圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点 ,AB 是圆O 2的直径 ,过A 点作圆O 1的切线交圆O 2于点E ,并与BO 1的延长线交于点P ,PB分别与圆O 1、圆O 2交于C ,D 两点．(Ⅰ )求证：PA ·PD ＝PE ·PC ；(Ⅱ )求证：AD ＝AE ．O B A C E D.6.【2021甘肃兰州实战考试】7.【2021福建4月质检】如图 ,ABC ∆的两条中线AD 和BE 相交于点G ,且D ,C ,E ,G 四点共圆.(Ⅰ)求证：ACG BAD ∠=∠；(Ⅱ)假设GC =1 ,求AB .解法一： (Ⅰ )连结DE ,因为,,,D C E G 四点共圆 ,那么ADE ACG ∠=∠．又因为,AD BE 为△ABC 的两条中线 ,所以,D E 分别是,BC AC 的中点 ,故DE ∥AB ．所以BAD ADE ∠=∠ ,从而BAD ACG ∠=∠．(Ⅱ )因为G 为AD 与BE 的交点 ,故G 为△ABC 的重心 ,延长CG 交AB 于F ,那么F 为AB 的中点 ,且2CG GF =．在△AFC 与△GFA 中 ,因为FAG FCA ∠=∠ ,AFG CFA ∠=∠ ,所以△AFG ∽△CFA ,所以FA FG FC FA = ,即2FA FG FC =⋅．来源:Z +xx +k ] 因为12FA AB =,12FG GC = ,32FC GC = , 所以221344AB GC = ,即3AB GC = , 又1GC = ,所以3AB =．解法二： (Ⅰ )同解法一．8．【2021届陕西省宝鸡市九校高三联合检测】圆内接△ABC 中 ,D 为BC 上一点 ,且△ADC 为正三角形 ,点E 为BC 的延长线上一点 ,AE 为圆O 的切线．(Ⅰ )求∠BAE 的度数；(Ⅱ )求证:2=CD BD EC ⋅E D C B A【解析】证明: (Ⅰ )在△EAB 与△ECA 中 ,因为AE 为圆O 的切线 ,所以∠EBA =∠EAC ,又∠E 公用 ,所以∠EAB =∠ECA ,因为△ACD 为等边三角形 ,所以120o EAB ECA ∠=∠= (Ⅱ )因为AE 为圆O 的切线,所以∠ABD =∠CAE ,因为△ACD 为等边三角形,所以∠ADC =∠ACD,所以∠ADB =∠ECA,所以△ABD∽△EAC ,所以AD EC BD CA=,即AD CA BD EC = ,因为△ACD 为等边三角形,所以AD =AC =CD, ,所以2=CD BD EC ⋅.9. 【2021届河北省唐山市高三第|一次模拟】如图 ,圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ,过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ,AD 交BC 于点F.(Ⅰ )求证：//BC DE ；(Ⅱ )假设D ,E ,C ,F 四点共圆 ,且弧长AC 等于弧长BC ,求BAC ∠.10. 【2021届甘肃省局部普通高中高三第|一次联考】如下图 ,PA 为圆O 的切线 ,A 为切点 ,两点，于交圆C B O PO ,20PA = ,10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .(1 )求证AB PC PA AC ⋅=⋅(2 )求AD AE ⋅的值.11. 如下图 ,AB 为圆O 的直径 ,C ,D 是圆O 上的两个点 ,AB CE ⊥于E ,BD 交AC 于G ,交CE 于F ,FG CF =． F GE CO D(1 )求证：C 是劣弧BD 的中点； (2 )求证：FG BF =．【解析】 (1 )∵FG CF = ,∴FCG CGF ∠=∠ ,∵AB 圆O 的直径 ,∴2π=∠=∠ADB ACB ,∵AB CE ⊥ ,∴2π=∠CEA ,∵CAB CBA ∠-=∠2π,2ACE CAB π∠=-∠ ,∴ACE CBA ∠=∠ ,∵DGA CGF ∠=∠ ,ABC DGA ∠=∠ ,∴22DGA ABC ππ-∠=-∠ ,∴DAC CAB ∠=∠ ,∴C 为劣弧BD 的中点；(2 )∵CGB GBC ∠-=∠2π,2FCB GCF π∠=-∠ ,∴FCB GBC ∠=∠ ,∴FB CF =,∴FG BF =．12．如图 ,AB 是O 的直径 ,CD 是O 的切线 ,C 为切点 ,AD CD ⊥ ,交O 于点E ,连接AC 、BC 、OC 、CE ,延长AB 交CD 于F . E OF BAC D (1 )证明：BC CE =；(2 )证明：BCF EAC ∆∆∽.【解析】 (1 )∵CD 为O 的切线 ,C 为切点 ,AB 为O 的直径 ,∴OC CD ⊥ ,又∵AD CD ⊥ ,∴OC AD // ,∴OCA CAE ∠=∠ ,又∵OC OA = ,∴OAC OCA ∠=∠ , ∴OAC CAE ∠=∠ , ∴BC CE =；(2 )由弦切角定理可知 ,FCB OAC ∠=∠ ,∴=FCB CAE ∠∠ ,∵四边形ABCE 为圆O 的内接四边形 ,∴180ABC CEA ∠+∠= , 又∵+=180ABC FBC ∠∠ ,∴FBC CEA ∠=∠ ,∴BCF EAC ∆∆∽.13 ．如图 ,AB 是O 的一条切线 ,切点为B ,直线D A E ,CFD ,CG E 都是O 的割线 ,C A =AB ．(1 )求证：FG//C A ；(2 )假设CG 1= ,CD 4=．求D GFE 的值．14．如图 ,AB 是⊙O 的直径 ,CD 是⊙O 的切线 ,C 为切点 ,连接AC ,过点A 作AD⊥CD 于点D ,交⊙O 于点E ．(Ⅰ )证明：∠AOC =2∠ACD； (Ⅱ )证明：AB•CD =AC•CE．15. 如图 ,C B A ,,为O 上的三个点 ,AD 是BAC ∠的平分线 ,交O 于点D ,过B 作O 的切线交AD 的延长线于点E ．(1 )证明：BD 平分EBC ∠；(2 )证明：BE AB DC AE ⋅=⋅．【解析】 (1)因为BE 是⊙O 的切线 ,所以BAD EBD ∠=∠ ,又因为CAD BAD CAD CBD ∠=∠∠=∠,所以CBD EBD ∠=∠,即BD 平分EBC ∠.(2)由⑴可知BAD EBD ∠=∠ ,且BED BED ∠=∠ ,BDE ∆∽ABE ∆,所以AB BD AE BE =,又因为DBC DBE BAE BCD ∠=∠=∠=∠,所以DBC BCD ∠=∠ ,CD BD = ,所以ABCD AB BD AE BE == , 所以BE AB DC AE ⋅=⋅16. 如图,ABC ∆内接于⊙O , AB 是⊙O 的直径, PA 是过点A 的直线, 且ABC PAC ∠=∠.(Ⅰ)求证: PA 是⊙O 的切线;(Ⅱ)如果弦CD 交AB 于点E , 8=AC , 5:6:=ED CE , 3:2:=EB AE , 求BCE ∠sin . . ABCO E D P【名师原创测试篇】1．如下图 ,PE 是圆O 的切线 ,E 为切点 ,PBA 是圆O 的割线 ,∠APE 的平分线与AE ,BE 分别交于点C,D ,且30∠AEB =． (Ⅰ)求证：D D D CE PB P ⋅=B PA P ； (Ⅱ)求DB ∠P 的大小．101520DPC E BO【解析】(Ⅰ)证明：由题意可知 ,EPC APC ∠=∠ ,由弦切角定理得PEB PAC ∠=∠ ,那么△PED ∽△PAC ,那么PE PD PA PC = ,由三角形角平分线定理得,PE ED PB BD= ,那么ED PB PD BD PA PC⋅=. (Ⅱ)∵PCE DCE APC PAC ∠=∠=∠+∠ ,CDE EPC PEB ∠=∠+∠ ,而EPC APC ∠=∠ ,PEB PAC ∠=∠ ,∴CDE ECD ∠=∠.又在△ECD中 ,30CED ∠= ,可知()118030752CDE ︒︒∠=-=.又CDE DB ∠=∠P ,∴75DB ∠P =.2. 如图 ,O ⊙是△ABC 的外接圆 ,D 是AC ⌒ 的中点 ,BD 交AC 于E ． (Ⅰ )求证：DB DE DC ⋅=2；(Ⅱ )假设32=CD ,O 到AC 的距离为1 ,求⊙O 的半径r3. 如下图, PA 为圆O 的切线, A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA = ,10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .(Ⅰ )求证AB PA AC PC =； (Ⅱ )求AD AE ⋅的值. A CBO ．ED4. 如图 ,在△ABC 中 ,CM 是∠ACB 的平分线 ,△AMC 的外接圆O 交BC 于点N . 假设AB =2AC , 求证：BN =2AM .【解析】连结MN ,那么由BM·BA =BN·BC 得：BM BC BN BA = ,又MBN CBA ∠=∠ ,所以 ,BMN ∆∽BCA ∆ , 于是12MN CA BN BA ==. 因为CM 是∠ACB 的平分线 ,所以MN =AM ,故BN =2AM.5. P 是圆O 外一点 ,PE 切圆O 于点E ,A 是圆O 上一点 ,PA 交圆O 于B 点 ,C 为AE 一点 ,PC 交BE 与D ,CE ＝DE ．(Ⅰ )求证：PC 是APE ∠的平分线(Ⅱ )PA BD PE DE ⨯=⨯【解析】 (Ⅰ )PE 切⊙O 于点E ,A BEP ∴∠=∠．∵EC ED = ,∴∠ECD=∠EDC ,∵,ECD A CPA EDC BEP DPE ∠=∠+∠∠=∠+∠ ,∴∠CPA =∠CPE ,∴PC 是∠APE 的平分线 (Ⅱ ),,PDB EDC EDC ECD PDB PCE ∠=∠∠=∠∴∠=∠ ,,BPD EPC PBD ∠=∠∴△∽PEC △ ,PE CE PB BD ∴=． EC ED = ,PE DE PB BD ∴= ,PE 是圆O 的切线 ,PBA 是圆O 的割线 ,2PE PA PB ∴=⨯ ,PA PE ∴ =PE PB ,PA PE∴ =DE BD ．∴PA BD PE DE ⨯=⨯. MCN B O ·A6. 如图 ,ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ,过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ,BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点E D 、 ,假设102==PB PA .(Ⅰ )求证：AB AC 2=；(Ⅱ )求DE AD ⋅的值.。
高中数学第十一章 几何证明选讲(选修4-1)
第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节 相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点， 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， 所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ， 所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5， 所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中 ，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一 平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角， 故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°， 故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ， 故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ， 垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， 所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三 直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ， 所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值． 解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ， 所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ， 所以HF BF ＝AF GF ， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8， 所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ， 所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ， 所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2， 则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高， 则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ， 所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ， 所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ， 所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节 直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2， 根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ， 故PD PA ＝PCPO， 即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二 圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三 与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4， 所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ， 即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3， 即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ， 则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ， 即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值． 解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )， 因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ， 又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ， 所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ， 即62＝3PD ， 解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9， 所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ， 则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小． 解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ， 所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值． 解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ， 又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。
【步步高】高考数学理江苏大二轮总复习练习：专题八第1讲几何证明选讲(含答案解析)
第 1 讲几何证明选讲1.(2016 江·苏 ) 如图，在△ ABC 中，∠ ABC＝ 90°，BD⊥ AC，D 为垂足， E 是 BC 的中点，求证：∠ EDC＝∠ ABD .证明由 BD ⊥ AC，可得∠ BDC ＝ 90°，由 E 为 BC 中点，可得 DE＝ CE＝1 BC，2则∠ EDC ＝∠ C，由∠ BDC ＝ 90°，得∠ C＋∠ DBC ＝90°，又∠ ABC＝ 90°，则∠ ABD＋∠ DBC ＝90°，∴∠ABD ＝∠ C，又∵∠ EDC＝∠ C，∴∠ EDC＝∠ ABD.12.(2016 课·标全国乙 ) 如图，△ OAB 是等腰三角形，∠AOB＝ 120 °.以 O 为圆心，2OA 为半径作圆 .(1)证明：直线 AB 与⊙ O 相切；(2)点 C， D 在⊙ O 上，且 A，B， C， D 四点共圆，证明： AB∥ CD .证明 (1)设 E 是 AB 的中点，连接 OE.因为 OA＝ OB，∠ AOB ＝ 120°，所以 OE⊥ AB，∠ AOE＝ 60°.1AB 与⊙O 在 Rt△ AOE 中， OE＝ AO，即 O 到直线 AB 的距离等于⊙ O 的半径，所以直线2相切 .(2)因为 OA＝ 2OD ，所以 O 不是 A， B，C， D 四点所在圆的圆心 .设 O′是 A，B， C，D 四点所在圆的圆心，作直线 OO′由.已知得 O 在线段 AB 的垂直均分线上，又 O′在线段 AB 的垂直均分线上，所以 OO′⊥ AB.同理可证， OO ′⊥ CD ，所以 AB ∥CD .3.(2016 课·标全国甲 )如图，在正方形ABCD 中， E，G 分别在边DA，DC 上(不与端点重合)，且 DE＝ DG ，过 D 点作 DF ⊥ CE，垂足为 F.(1)证明： B，C， G， F 四点共圆；(2) 若 AB＝ 1， E 为 DA 的中点，求四边形BCGF 的面积 .(1)证明因为 DF⊥EC，则∠EFD＝∠DFC＝90°，易得∠DEF＝∠CDF ，所以△ DEF ∽△ CDF ，则有∠ GDF ＝∠ DEF ＝∠ FCB，DF＝DE＝DG，CF CD CB所以△ DGF ∽△ CBF ，由此可得∠ DGF ＝∠ CBF .所以∠ CGF＋∠ CBF＝ 180°，所以 B，C， G， F 四点共圆 .(2)解由 B，C，G， F 四点共圆，CG⊥ CB 知 FG ⊥ FB.连接 GB.由 G 为 Rt△ DFC 斜边 CD 的中点，知 GF＝ GC，故 Rt△ BCG≌ Rt△ BFG.所以四边形111. BCGF 的面积 S 是△ GCB 的面积 S△GCB的 2 倍，即 S＝ 2S△GCB＝ 2×× ×1＝222本讲主要考察相像三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判断定理，圆周角定理及弦切角定理，订交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多半波及圆，而且多是以圆为背景设计的综合性考题，考察逻辑推理能力.热门一相像三角形及射影定理1.相像三角形的判断定理判断定理1：关于随意两个三角形，假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像.判断定理2：关于随意两个三角形，假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，而且夹角相等，那么这两个三角形相像.判断定理3：关于随意两个三角形，假如一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比率，那么这两个三角形相像.2.相像三角形的性质(1)相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应角均分线的比都等于相像比；(2)相像三角形周长的比等于相像比；(3)相像三角形面积的比等于相像比的平方.3.直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比率中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比率中项.例 1如下图，在△ ABC中，∠ CAB＝90°，AD⊥ BC于D，BE是∠ ABC的均分线，交AC于 E，交 AD 于 F ，求证：DFAF＝ECAE.证明由三角形的内角均分线定理得，在△ ABD 中，DFAF＝BDAB，①在△ ABC 中，AE＝AB，②EC BC在 Rt△ ABC 中，由射影定理知，AB 2＝ BD ·BC，BD AB即AB＝BC.③由①③得：DF＝AB，④AF BCDF AE由②④得：AF＝EC.思想升华(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转变为相像三角形中的“比例式”.(2)证题时，作垂线结构直角三角形是解该类问题的常用方法.追踪操练1如下图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°， CD ⊥ AB 于 D ，且 AD ∶ BD ＝ 9∶ 4，求 AC∶BC 的值 .解方法一因为∠ ACB＝90°，CD⊥AB于D，所以由射影定理，得 AC2＝AD·AB， BC2＝ BD ·AB.AC 2AD ·AB AD所以 (BC) ＝BD·AB＝BD.又 AD∶ BD ＝ 9∶4，所以 AC∶ BC＝ 3∶2.方法二因为 AD ∶ BD ＝9∶ 4，所以可设AD ＝ 9k， BD ＝ 4k， k 为正实数，又∠ ACB＝ 90°， CD⊥ AB 于 D，2由射影定理，得CD ＝ AD·BD，由勾股定理，得AC ＝3 13k 和 BC＝ 213k，所以 AC∶ BC＝ 3∶2.热门二订交弦定理、切割线定理的应用1.圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径.2.圆的切线的判断定理经过半径的外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.4.订交弦定理圆内的两条订交弦，被交点分红的两条线段长的积相等.5.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比率中项.例 2 如下图， AB 为⊙ O 的直径， P 为 BA 的延伸线上一点， PC 切⊙ O 于点 C，CD ⊥ AB，垂足为D，且 PA＝4， PC＝ 8，求 tan∠ACD 和 sin P.解连接 OC， BC.因为 PC 为⊙ O 的切线，所以 PC2＝ PA·PB.故 82＝ 4·PB，所以 PB＝ 16.所以 AB＝ 16－4＝ 12.由条件，得∠PCA＝∠ PBC，又∠ P＝∠ P，所以△ PCA∽△ PBC，AC PC所以BC＝PB .因为 AB 为⊙ O 的直径，所以∠ ACB＝ 90°.又 CD⊥ AB，所以∠ ACD ＝∠ B.所以 tan∠ ACD ＝ tan B＝AC＝PC＝81 BC PB＝ .16 2因为 PC 为⊙ O 的切线，所以∠ PCO＝90°.又⊙ O 直径为 AB ＝ 12，所以 OC＝ 6， PO＝10.所以 sin P＝OC＝6＝3. PO105思想升华(1) 圆中线段长度成比率的问题，要联合切割线定理、订交弦定理，结构比率关系 .(2) 利用相像关系求解线段长度要灵巧地在三角形中对条件进行转变或等比替代.追踪操练 2 如图，⊙ O 的半径 OB 垂直于直径 AC， M 为 AO 上一点， BM 的延伸线交⊙ O 于 N，过 N 点的切线交 CA 的延伸线于 P.(1)求证： PM 2＝ PA·PC；(2)若⊙ O 的半径为 2 3，OA＝ 3OM，求 MN 的长 .(1)证明连接 ON，则 ON⊥ PN，且△ OBN 为等腰三角形，则∠ OBN＝∠ ONB ，∵∠ PMN ＝∠ OMB ＝ 90°－∠ OBN，∠PNM ＝ 90°－∠ ONB，∴∠ PMN ＝∠ PNM ，∴PM＝PN.依据切割线定理，有PN2＝ PA·PC，∴PM 2＝ PA·PC .(2)解 OM ＝2，在 Rt△ BOM 中， BM ＝ OB2＋ OM 2＝ 4.延伸 BO 交⊙ O 于点 D，连接 DN .由条件易知△ BOM ∽△ BND，于是BOBN＝BMBD，即2 3＝4，∴ BN＝6. BN 43∴MN ＝ BN－BM ＝ 6－ 4＝ 2.热门三四点共圆的判断1.圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.3.圆内接四边形的性质定理(1)圆的内接四边形的对角互补；(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.4.圆内接四边形的判断定理假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆.例 3如图，AB是圆O的直径，弦CA，BD 的延伸线订交于点E，EF 垂直 BA 的延伸线于点 F，连接 FD .求证：∠ DEA ＝∠ DF A.证明连接 AD ，∵ AB 是圆 O 的直径，∴∠ ADB ＝90°，∴∠ ADE＝ 90°，又∵ EF⊥ FB ，∴∠ AFE ＝ 90°，所以 A，F， E， D 四点共圆，∴∠ DEA ＝∠ DFA.思想升华(1)假如四点与必定点距离相等，那么这四点共圆；(2) 假如四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆；(3) 假如四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个极点共圆.追踪操练 3 (2015 ·湖南 )如图，在⊙ O 中，订交于点 E 的两弦 AB，CD 的中点分别是M，N，直线 MO 与直线 CD 订交于点 F ，证明：(1)∠ MEN ＋∠ NOM ＝ 180 °；(2)FE·FN＝ FM ·FO .证明(1)如下图，因为M， N 分别是弦 AB，CD 的中点，所以OM ⊥ AB， ON⊥ CD ，即∠ OME ＝ 90°，∠ ENO＝ 90°，所以∠ OME ＋∠ ENO ＝ 180°，又四边形的内角和等于360°，故∠ MEN ＋∠ NOM ＝180°.(2)由 (1)知， O， M，E， N 四点共圆，故由割线定理即得FE ·FN＝ FM ·FO .1.如图，∠ B ＝∠ D ，AE ⊥BC ，∠ ACD ＝90°，且 AB ＝ 6， AC ＝ 4， AD ＝ 12，求 BE 的值 .解∵ AC ＝ 4， AD ＝ 12，∠ ACD ＝ 90°，∴ CD 2＝ AD 2－ AC 2 ＝128，∴ CD ＝8 2.又∵ AE ⊥ BC ，∠ B ＝∠ D ，∴△ ABE ∽△ ADC ，∴ AD AB ＝ CD BE ，∴ BE ＝AB ·CD ＝6×8 2＝ 4 2.AD12a2.如图，在直角梯形ABCD 中， DC ∥AB ， CB ⊥ AB ， AB ＝ AD ＝ a ， CD ＝ 2，点 E ，F 分别为线段 AB ， AD 的中点，求 EF 的值 .解连接 DE ，因为 E 是 AB 的中点，故 BE ＝ a.2又 CD ＝ a，AB ∥DC ， CB ⊥ AB ，2∴四边形 EBCD 是矩形 .在 Rt △ ADE 中， AD ＝ a ， F 是 AD 的中点，故 EF ＝ a.2 3.如图， D ， E 分别为 △ABC边 AB ， AC 的中点，直线DE交 △ABC的外接圆于 F ，G两点 .若 CF ∥ AB ，证明：(1)CD＝ BC；(2)△ BCD∽△ GBD .证明(1)因为 D， E 分别为 AB ，AC 的中点，所以 DE∥ BC.又已知 CF∥ AB，故四边形BCFD 是平行四边形，所以 CF＝BD＝AD.而 CF∥ AD ，连接 AF，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝ AF.因为 CF∥ AB，所以 BC＝ AF，故 CD＝ BC.(2) 因为 FG ∥ BC，故 GB＝ CF .由 (1) 可知 BD ＝ CF ，所以 GB＝ BD，所以∠ BGD＝∠ BDG .由 BC＝ CD 知∠ CBD ＝∠ CDB ，又因为∠ GDB ＝∠ DBC ，所以∠ DGB ＝∠ DCB，所以△ BCD∽△ GBD .A 组专题通关1.如图，在 ?ABCD 中， E 是 DC 边的中点， AE 交 BD 于 O，S△DOE＝ 9 cm2，求△ AOB 的面积 .解∵在 ?ABCD 中， AB∥ DE，∴△ AOB ∽△ EOD ，∴S △ AOB＝ (AB)2.S △DOEDE∵E 是 CD 的中点，11∴ DE ＝ 2CD ＝2AB ，则 AB＝ 2，∴ S △AOB＝ 22＝ 4，DE S △DOE∴ S △ AOB ＝ 4S △DOE ＝ 4×9＝ 36(cm 2).2.(2015 重·庆改编 ) 如图，圆 O 的弦 AB ，CD 订交于点E ，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P ，若 PA ＝ 6， AE ＝ 9， PC ＝ 3， CE ∶ ED ＝ 2∶1，求 BE 的值 .解第一由切割线定理得PA 2＝ PC ·PD ，26所以 PD ＝＝ 12， CD ＝ PD －PC ＝9，又 CE ∶ ED ＝ 2∶1，所以 CE ＝ 6，ED ＝ 3，再由订交弦定理得AE ·EB ＝ CE ·ED ，所以 BE ＝CE ·ED＝6×3＝2.AE93.如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与 AC 的延伸线订交于点D .过点C 作 BD 的平行线与圆订交于点E ，与 AB 订交于点F ，AF ＝ 3，FB ＝ 1，EF ＝ 3，求线段 CD2的长 .解因为 AF ·BF ＝ EF ·CF ，解得 CF ＝ 2，所以3＝2，即 BD ＝8.4 BD3设 CD ＝ x ，AD ＝4x ，所以 4x 2＝649，所以 x ＝43.4即线段 CD 的长是 3.4. 如图， Rt △ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC 于 D ， BE 均分∠ ABC 交 AC 于 E ， EF ⊥ BC于 F.求证： EF ∶ DF ＝ BC ∶ AC.证明 ∵∠ BAC ＝ 90°，且 AD ⊥ BC ，∴由射影定理得 AC 2＝ CD ·BC ，∴ AC ＝ BC .①CD AC∵ EF ⊥ BC ， AD ⊥ BC ，∴ EF ∥ AD ，∴ AE ＝ AC .DF CD又 BE 均分∠ ABC ，且 EA ⊥ AB ， EF ⊥ BC ，EF AC∴ AE ＝ EF ，∴ DF ＝ CD .②由①、②得 EF ＝ BC ，DF AC即 EF ∶ DF ＝ BC ∶ AC.5.(2015 陕·西 ) 如图， AB 切⊙ O 于点 B ，直线 AO 交⊙ O 于 D ，E 两点， BC ⊥ DE ，垂足为 C. (1) 证明：∠ CBD ＝∠ DBA ；(2) 若 AD ＝3DC ， BC ＝ 2，求⊙ O 的直径 .(1) 证明 因为 DE 为⊙ O 直径，则∠ BED ＋∠ EDB ＝90°，又 BC ⊥ DE ，所以∠ CBD ＋∠ EDB ＝90°，进而∠ CBD ＝∠ BED .又 AB 切⊙ O 于点 B ，得∠ DBA ＝∠ BED ，所以∠ CBD ＝∠ DBA .(2) 解 由 (1)知 BD 均分∠ CBA ，则 BA ＝ AD ＝ 3，又 BC ＝ 2，BC CD进而 AB ＝ 3 2，所以 AC ＝ AB 2－BC 2＝ 4，所以 AD ＝ 3.由切割线定理得 AB 2＝ AD ·AE ，2 即 AE ＝ AB ＝6，AD故 DE ＝ AE － AD ＝ 3，即⊙ O 的直径为 3.6.如图，四边形 ABDC 内接于圆， BD ＝ CD ，过 C 点的圆的切线与 AB 的延伸线交于 E 点 .(1) 求证：∠ EAC ＝ 2∠ ECD ；(2) 若 BD ⊥AB ， BC ＝ BE ， AE ＝ 2，求 AB 的长 .(1) 证明 因为 BD ＝CD ，所以∠ BCD ＝∠ CBD .因为 CE 是圆的切线，所以∠ ECD ＝∠ CBD.所以∠ ECD ＝∠ BCD ，所以∠ BCE ＝ 2∠ ECD .因为∠ EAC ＝∠ BCE ，所以∠ EAC ＝2∠ ECD.(2) 解 因为 BD ⊥ AB ，所以 AC ⊥ CD ，AC ＝AB .因为 BC ＝ BE ，所以∠ BEC ＝∠ BCE ＝∠ EAC ，所以 EC ＝ AC ＝ AB.由切割线定理得 EC 2＝ AE ·BE ，即 AB 2 ＝AE ·(AE － AB)，即 AB 2 ＋2AB － 4＝ 0，解得 AB ＝ 5－ 1.B 组 能力提升7.(2015 课·标全国Ⅱ ) 如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点， ⊙ O 与 △ ABC 的底边 BC 交于 M 、 N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G ，且与 AB 、 AC 分别相切于 E 、F 两点 .(1) 证明： EF ∥ BC ；(2) 若 AG 等于⊙ O 的半径，且 AE ＝ MN ＝ 2 3，求四边形 EBCF 的面积 .(1) 证明 因为 △ABC 是等腰三角形， AD ⊥ BC ，所以 AD 是∠ CAB 的均分线 .又因为⊙ O 分别与 AB， AC 相切于点E，F，所以 AE＝ AF，故 AD⊥EF.进而 EF∥ BC.(2)解由 (1)知， AE＝ AF， AD⊥ EF，故 AD 是 EF 的垂直均分线，又 EF为⊙O的弦，所以 O在AD 上.连接 OE， OM，则 OE⊥ AE.由 AG 等于⊙ O 的半径得 AO＝2OE，所以∠ OAE ＝ 30°.所以△ ABC 和△ AEF 都是等边三角形.因为 AE＝ 2 3，所以 AO＝ 4， OE＝2.1因为 OM＝ OE＝ 2，DM ＝ MN＝3，所以 OD＝1.所以 AD＝ 5， AB ＝1033.所以四边形 EBCF 的面积为1103231×(22×3＝163××－3)23. 23228.如图， AB 为⊙ O 的直径，直线 CD 与⊙ O 相切于点 D，AC⊥ CD ，DE⊥ AB，C、E 为垂足，连接 AD， BD. 若 AC＝ 4， DE＝3，求 BD 的长 .解因为 CD 与⊙ O 相切于 D，所以∠ CDA＝∠ DBA,又因为 AB 为⊙ O 的直径，所以∠ADB＝ 90°.又 DE⊥ AB，所以△ EDA ∽△ DBA ，所以∠ EDA＝∠ DBA，所以∠ EDA ＝∠ CDA，又∠ ACD ＝∠ AED ＝ 90°， AD ＝ AD ，所以△ ACD≌△ AED .所以 AE＝ AC＝ 4，所以 AD＝AE 2＋DE 2＝5，又 DE＝ AE，所以 BD ＝DE15BD AD AE·AD＝4 .。
高考数学总复习选做几何证明选讲试题含解析
专题1 几何证明选讲【三年高考全收录】1. 【2017高考江苏】如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．∠=∠；求证：（1）PAC CAB（2）2=⋅．AC AP AB【答案】（1）见解析；（2）见解析．【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2. 【2016高考江苏】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点. 求证：∠EDC=∠ABD.【答案】详见解析 【解析】试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质EC BC DE ==21， 再由ECD EDC ∠=∠，ECD ∠与DBC ∠互余，ABD ∠与DBC ∠互余，得ECD ABD ∠=∠，从而得证.试题解析：证明：在ADB △和ABC △中，因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠为公共角， 所以ADB △∽ABC △，于是ABD C ∠=∠. 在Rt BDC △中，因为E 是BC 的中点， 所以ED EC =，从而EDC C ∠=∠. 所以EDC ABD ∠=∠. 【考点】相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例． 2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．3．【2015江苏高考，21】如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆ABCE DO（第21——A 题）【答案】详见解析【考点定位】相似三角形4．【2016高考天津理数】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.【答案】33【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x =，又2BD DE x==，所以1AC AE ==，因为AB 是直径，则223122BC =-=249AD x =-BCE DAE ∆∆，则BC EC AD AE =222149xx=-，解得23x =考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．5．【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与O 相切；(II)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD .ODCBA【答案】(I)见解析(II)见解析 【解析】试题分析：(I)设E 是AB 的中点,先证明60AOE ∠=︒,进一步可得12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．(II) 设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ,证明'OO AB ⊥,'OO CD ⊥．由此可证明//AB CD ． 试题解析：（Ⅰ）设E 是AB 的中点,连结OE ,因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．EO'DCO BA（Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥．同理可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ． 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理. 6．【2016高考新课标2理数】选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ．(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ∆~∆再证,DGF CBF ∆~∆可得0180,CGF CBF ∠+∠=即得,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）由由,,,B C G F 四点共圆，可得FG FB ⊥，再证明,Rt BCG Rt BFG ∆~∆根据四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍求得结论.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ， 由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆ 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．7．【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．（I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．【答案】（Ⅰ）60︒；（Ⅱ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件可证明PFB ∠与PCD ∠是互补的，然后结合2PFB PCD ∠=∠与三角形内角和定理，不难求得PCD ∠的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知,,,C E F D 四点共圆，然后根据用线段的垂直平分线知G 为四边形CEFD 的外接圆圆心，则可知G 在线段CD 的垂直平分线上，由此可证明结果．试题解析：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,. 因为AP BP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠. 又180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=︒∠=∠，所以3180PCD ∠=︒， 因此60PCD ∠=︒. （Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=︒，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥．考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆． 【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等．8．【2015高考湖北，理15】如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC= .【答案】21APBC【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理知，)(2BC PB PB PC PB PA +=⋅=，因为3BC PB =，所以224PB PA =，即PB PA 2=，由PAB ∆∽PCA ∆，所以21==PA PB AC AB . 9.【2015高考新课标2，理22】如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ； （Ⅱ） 若AG 等于O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，103AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)22⨯⨯-⨯⨯=．10．【2015高考陕西，理22】如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，GAEFONDB CMC D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ； （II ）若D 3DC A =，C 2B =，求O 的直径．【2018年高考命题预测】纵观近几年高考试题，高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考可能以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说, “几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【2018年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若a cb d=，则①a bc d=；②ad bc=；③a b c db d++=；④a b c db d--=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．【考点针对训练】1. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长．【解析】∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB.∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC.∵D 是AC 的中点，∴HDDE＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证： (1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .【解析】(1)在Rt△ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt△ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得, BD 2＝BE ·AB ， 同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt△BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD . 即AD 3＝BC ·CF ·BE . 【考点2】圆的有关问题 【备考知识梳理】 1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d 与圆的半径r的关系相交两个d＜r相切一个d＝r相离无d＞r(2) 圆的切线性质及判定定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向． 【考点针对训练】1. 如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB AD =，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CDA ABE ∆∆∽．【解析】连结AC ．EA 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠．AB AD =，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠．圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠． ∴CDA ABE ∆∆∽．2. 如图，点C 是⊙O 直径BE 的延长线上一点，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，∠ ACB 的平分线CD 与AB 相交于点D ，与AE 相交于点F ． （I ）求AFD ∠的值； （11）若AB=AC ，求BCAC的值．【解析】（Ⅰ）∵AC 是⊙O 的切线，∴B EAC ∠=∠，又∵DC 是ACB ∠的角平分线，DCB ACD ∠=∠,∴+DCB B ACD EAC ∠∠=∠+∠,∴ADF AFD ∠=∠， 又∵BE 是O 的直径，∴090BAE ∠=,∴045AFD ∠=(Ⅱ) ∵AB AC =，∴=B ACB EAC ∠=∠∠，由（I ）得，090BAE ∠=，∴+=B AEB B ∠∠∠ACE +∠0390EAC B +∠=∠=,∴30B ∠=,∵B EAC ∠=∠,=ACB ACB ∠∠,∴ACE ∆∽BCA ∆,∴03tan 30AC AE BC AB ===．【两年模拟详解析】1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】选修4-1：几何证明选讲 如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上，若，求的度数.【答案】45° 【解析】连结，．因为为弧的中点，所以．而，所以，即．又因为，所以，故．2. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】选修4-1：几何证明选讲 如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A ，B 两点，DC OB ⊥于点C ，且2DE BE =，求证：23OC BC =.【答案】见解析 【解析】 解：连结，设圆的半径为，，则，. 在中，，，即，①又直线切圆于点，则，即，②，代入①，，，，.3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长.【答案】434. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30AEB ∠=．求PCE ∠的大小．【解析】由PC 为APE ∠的平分线得EPC APC ∠=∠,由弦切角定理得PEB PAC ∠=∠,因为,CDE PED EPD DCE PAC APC ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，所以CDE DCE ∠=∠，因此1803075.2PCE -∠== …………10分 5. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．PE B ODAC【解析】AE AC =，AB 为直径，OAC OAE ∴∠=∠，POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，又EAC PDE ∠=∠，PDE POC ∴∠=∠．6. 【2017年第一次全国大联考江苏卷】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，,BC BD BA =的延长线交CD 的延长线于点,E 求证：AE 平分DAF ∠.【解析】因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以,DAE BCD FAE BAC BDC ∠=∠∠=∠=∠ 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠，所以FAE DAE ∠=∠， 所以AE 平分DAF ∠.……………10分7. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】如图， AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C ．若DB DC =，求证：CA AO =．【解析】连接,.OD AD 因为AB 是圆O 的直径，所以90,2.ADB AB AO ∠==--------（3分） 因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=，-----------------------（6分） 又因为DB DC =，所以B C ∠=∠，于是ADB ODC ∆≅∆，从而AB CO =， 即2OA OA CA =+，得CA AO =．-----------------------------------（10分） 8. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】如图，,,A B E 是⊙O 上的点，过E 点的⊙O 的切线与直线AB 交于点P ，APE ∠的平分线和,AE BE 分别交于点,C D .求证：(1) DE CE =； (2)CA PECE PB=． 【答案】证明见解析．9.【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】如图，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 外一点，且AB AC =，BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 切线交AC 于点E.求证：DE AC ⊥【答案】详见解析【解析】证明：连结OD ，因为AB AC =，所以B C ∠=∠．由圆O 知OB OD =，所以B BDO ∠=∠．从而BDO C ∠=∠，所以//OD AC .又因为DE 为圆O 的切线，所以DE OD ⊥，又因为//OD AC ，所以DE AC ⊥．10．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ．以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接AE 交⊙O 于点F ．求证：BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．【答案】详见解析11．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．【答案】详见解析【解析】证明：因为PA是圆O在点A处的切线，所以∠PAB＝∠ACB．因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB，所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE．又∠PEA＝∠BED，故△PAE∽△BDE．12．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是OC的中点，AH⊥BC．（1）求证：AC是∠PAH的平分线；（2）求PC的长．【答案】（1）详见解析（2）2(2)因为H 是OC 中点，半圆O 的半径为2，所以BH ＝3，CH ＝1．又因为AH ⊥BC ，所以AH 2＝BH ·HC ＝3，所以AH ＝3． 在Rt △AHC 中，AH ＝3，CH ＝1，所以∠CAH ＝30°．由(1)可得∠PAH ＝2∠CAH ＝60°，所以PA ＝23．由PA 是半圆O 的切线，所以PA 2＝PC ·PB ，所以PC ·(PC ＋BC )＝(23)2＝12，所以PC ＝2．13．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．【答案】详见解析【解析】证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒．∴BAE ADC ∠=∠．又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． ∴BE AC BA AD =，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． 14．【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】如图，AB 是圆O 的直径，弦,BD CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ，求证：2AB BE BD AE AC =•-•.【答案】详见解析 【解析】试题分析：证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ，所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， 所以2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．15．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E .求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.【答案】详见解析16．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，AB 是圆O 的直径，弦,CA BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连结FD .求证：DEA DFA ∠=∠.【答案】详见解析【解析】证明：连结AD ，AB 是圆O 的直径，90ADB ∴∠=，90ADE ∴∠=,又EF FB ⊥，90AFE ∴∠=，所以,,,A F E D 四点共圆，DEA DFA ∴∠=∠.A B O · FCDE 第21题（A ）图【一年原创真预测】1. 如图，AB 是O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是O 的割线，已知AB AC =.（Ⅰ）求证：AC FG //；(II)若1,4CG CD ==,求DE GF 的值.【入选理由】本题考查圆的切割线定理、三角形相似，四点共圆的性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题由切割线定理入手，得出三角形相似，结合四点共圆的性质，得出角相等，本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2. 如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点,PO 交圆O 与,B C 两点，15PA =，,5=PB BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1） 求证AB PC AC PA ⋅=⋅ （2） 求AD AE ⋅的值.。
几何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）
⼏何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）《⼏何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)⼀、相似三⾓形的判定及有关性质平⾏线等分线段定理平⾏线等分线段定理：如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形⼀腰的中点，且与底边平⾏的直线平分另⼀腰。
平分线分线段成⽐例定理平分线分线段成⽐例定理：三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例。
推论：平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例。
相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：定义：对应⾓相等，对应边成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形。
相似三⾓形对应边的⽐值叫做相似⽐（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三⾓形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应⾓是否分别相等，三组对应边是否分别成⽐例，显然⽐较⿇烦。
所以我们曾经给出过如下⼏个判定两个三⾓形相似的简单⽅法：（1）两⾓对应相等，两三⾓形相似；（2）两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似；（3）三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
预备定理：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三⾓形与三⾓形相似。
判定定理1：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两⾓对应相等，两三⾓形相似。
判定定理2：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两边和另⼀个三⾓形的两边对应成⽐例，并且夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似。
判定定理3：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的三条边和另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例，那么这两个三⾓形相似。
简述为：三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
引理：如果⼀条直线截三⾓形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例，那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边。
定理：（1）如果两个直⾓三⾓形有⼀个锐⾓对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直⾓三⾓形的两条直⾓边对应成⽐例，那么它们相似。
高中几何证明选讲课后练习及答案解析
高中几何证明选讲课后练习及答案解析1、[选修4-1：几何证明选讲]如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：①BE=EC;②AD·DE=2PB2.证明：①∵PC=2PA，PD=DC，∴PA=PD，△PAD为等腰三角形.连接AB，那么∠PAB=∠DEB=β，∠BCE=∠BAE=α，∵∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE，∴β+α=β+∠DBE，即α=∠DBE，即∠BCE=∠DBE，所以BE=EC.②∵AD·DE=BD·DC，PA2=PB·PC，PD=DC=PA，BD·DC=(PA-PB)PA=PB·PC-PB·PA=PB·(PC-PA)，PB·PA=PB·2PB=2PB2.2、[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为y=2+2sinα(x=2cosα)(α为参数)，M为C1上的动点，P点满足→(OP)=2→(OM)，点P的轨迹为曲线C2.①求C2的参数方程;②在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=3(π)与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解：①设P(x，y)，那么由条件知M2(y).由于M点在C1上，所以=2+2sinα(y)，即y=4+4sinα(x=4cosα).从而C2的参数方程为y=4+4sinα(x=4cosα)(α为参数).②曲线C1的极坐标方程为=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为=8sinθ.射线θ=3(π)与C1的交点A的极径为1=4s in3(π)，射线θ=3(π)与C2的交点B的极径为2=8sin3(π).所以|AB|=|2-1|=2.3、 [选修4-5：不等式选讲]函数f(x)=|x-m|+|x+6|(m∈R).①当m=5时，求不等式f(x)≤12的解集;②假设不等式f(x)≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围.解：①当m=5时，f(x)≤12即|x-5|+|x+6|≤12，当x<-6时，得-2x≤13，即x≥-2(13)，所以-2(13)≤x<-6;当-6≤x≤5时，得11≤12成立，所以-6≤x≤5;当x>5时，得2x≤11，即x≤2(11)，所以5故不等式f(x)≤12的解集为2(11).②f(x)=|x-m|+|x+6|≥|(x-m)-(x+6)|=|m+6|，由题意得|m+6|≥7，那么m+6≥7或m+6≤-7，解得m≥1或m≤-13，故m的取值范围是(-∞，-13]∪[1，+∞).三道题让你快速“吃透”几何选讲，你还在等什么呢?更多数学资讯，尽在数学网。
「精选」人教版最新高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解及参考答案-精选文档
高中数学高考总复习几何证明选讲习题(附参考答案)一、选择题1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D[解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] C[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D[解析] 由切割线定理知：PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5.4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．5 6 B.562 C.15 D.3102[答案] B[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，20102009) D ．(0，20092010) [答案] A[解析] 由题意知圆与x 轴交点为A (2010,0)，B (－2009,0)，与y 轴交点为C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)．设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，此方程两根为2010和－2009，∴F ＝－2010×2009 令x ＝0得y 2＋Ey －2010×2009＝0 ∴－2010×2009×y 2＝－2010×2009 ∴y 2＝1，故选A.[点评] 圆与x 轴交点A (2010,0)，B (－2009,0)与y 轴交点C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)，∵A 、C 、B 、D 四点共圆，∴AO ·OB ＝OC ·OD ， ∴OD ＝1，∴y 2＝1.6．设平面π与圆柱的轴的夹角为β (0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )A.12B.22C.33D.32[答案] B[解析] ∵Dandelin 双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，∴2b ＝2c ，∴e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝22.二、填空题7．如图，PT 切⊙O 于点T ，P A 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝________.[答案] 15[解析] 由相交弦定理得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )．又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15.8．(09·天津)如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为______________．[答案] 2[解析] ∵AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1，∴△AOB ∽△A 1OB 1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比，∴△A 1OB 1的外接圆直径为2.9．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案] 99°[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .10．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，P AB 为割线，PC ＝4，PB ＝8，∠B ＝30°，则BC ＝________.[答案] 4 3[解析] (1)由切割线定理 PC 2＝P A ·PB ， ∴P A ＝2，∠ACP ＝∠B ＝30°，在△P AC 中，由正弦定理2sin30°＝4sin ∠P AC ，∴sin ∠P AC ＝1，∴∠P AC ＝90°，从而∠P ＝60°，∠PCB ＝90°， ∴BC ＝PB 2－PC 2＝82－42＝4 3.11．(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等，设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cosα13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝____________.[答案] －12[解析] 如图，O 1、O 2、O 3为三个圆的圆心，A 1、A 2、A 3分别是每两个圆的交点，则∠A 1P A 2＋∠A 2P A 3＋∠A 3P A 1＝12(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π，∴cos α13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝cos α1＋α2＋α33＝cos 4π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.12．(2010·广东中山市四校联考)如图，P A 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析] 由图可知，P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴P A ＝3，∴∠AOP ＝60°， 又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－12，∴PD ＝7.三、解答题13．(2010·南京市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析] 连接OC .设∠P AC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CP A ＝θ，∠COP ＝2θ. 又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC . 所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中， r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33. 14．(2010·江苏盐城调研)如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析] 连结OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形，∴∠CBO ＝∠COB ＝60°， 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.15．(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4，(1)求PF 的长度．(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度． [解析] (1)连结OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系， 结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC ，又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ， 从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PDPO， 由割线定理知PC ·PD ＝P A ·PB ＝12， 故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点的圆F 的切线为PT ， 则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.。
推荐2019年人教版高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解Word版
高中数学高考总复习几何证明选讲习题(附参考答案)一、选择题1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是()A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数[答案]D[解析]∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为()A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案]C[解析]由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝()A ．3 B.15 C ．32 D ．35 [答案]D[解析]由切割线定理知：PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45，∴PN ＝35.4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝32，则斜边AB 上的中线CE 的长为()A ．56 B.562 C.15 D.3102 [答案]B[解析]设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是()A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，20102009) D ．(0，20092010)[答案]A[解析]由题意知圆与x 轴交点为A (2010,0)，B (－2009,0)，与y 轴交点为C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)．设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，此方程两根为2010和－2009，∴F ＝－2010×2009令x ＝0得y 2＋Ey －2010×2009＝0 ∴－2010×2009×y 2＝－2010×2009∴y 2＝1，故选A.[点评]圆与x 轴交点A (2010,0)，B (－2009,0)与y 轴交点C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)，∵A 、C 、B 、D 四点共圆，∴AO ·OB ＝OC ·OD ，∴OD ＝1，∴y 2＝1.6．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为()A.12 B.22 C.33 D.32[答案]B[解析]∵Dandelin 双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，∴2b ＝2c ，∴e ＝c a ＝c b2＋c2＝c 2c ＝22.二、填空题7．如图，PT 切⊙O 于点T ，P A 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB＝________.[答案]15[解析]由相交弦定理得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )．又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15.8．(09·天津)如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为______________．[答案]2[解析]∵AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1，∴△AOB ∽△A 1OB 1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比，∴△A 1OB 1的外接圆直径为2.9．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案]99°[解析]连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得，∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评]可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .10．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，P AB 为割线，PC ＝4，PB ＝8，∠B ＝30°，则BC ＝________.[答案]43[解析](1)由切割线定理 PC 2＝P A ·PB ，∴P A ＝2，∠ACP ＝∠B ＝30°，在△P AC 中，由正弦定理2sin30°＝4sin∠PAC，∴sin ∠P AC ＝1，∴∠P AC ＝90°，从而∠P ＝60°，∠PCB ＝90°，∴BC ＝PB2－PC2＝82－42＝43.11．(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等，设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cosα13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝____________.[答案]－12[解析]如图，O 1、O 2、O 3为三个圆的圆心，A 1、A 2、A 3分别是每两个圆的交点，则∠A 1P A 2＋∠A 2P A 3＋∠A 3P A 1＝12(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π，∴cos α13cos α2＋α33－sin α13sinα2＋α33 ＝cos α1＋α2＋α33＝cos 4π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12.12．(2010·广东中山市四校联考)如图，P A 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析]由图可知，P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴P A ＝3，∴∠AOP ＝60°，又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1，∴cos ∠POD ＝22＋12－PD22×2×1＝－12，∴PD ＝7.三、解答题13．(2010·南京市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析]连接OC .设∠P AC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CP A ＝θ，∠COP ＝2θ.又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC .所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中，r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33.14．(2010·江苏盐城调研)如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析]连结OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形，∵BC ＝4，∴OB∠COB ＝60°，∴∠CBO＝C ，又直线l 切⊙O 于∠CBO ＝60°，∴∠DCA ＝∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，∵AD ⊥l，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.15．(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4，(1)求PF 的长度．(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度．[解析](1)连结OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系， 结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC ，又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PD PO， 由割线定理知PC ·PD ＝P A ·PB ＝12， 故PF ＝PC·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点的圆F 的切线为PT ， 则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝22.。
高考专题专题16几何证明选讲-高考数学(理)试题小题部分分项版解析(解析版)
1.【2014高考湖南卷第12题】如图3，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO BC ⊥，3AB =，22BC =，则O 的半径等于________.2.【2014高考湖北卷理第15题】如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则=PB .【答案】43.【2014高考广东卷理第15题】如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF .4.【2014重庆高考理第14题】过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PBC 分别交圆于B 、C ，若6=PA ，AC =8，BC =9，则AB =________.又由是圆的切线，所以ACP BAP ∠=∠,所以ACPBAP ∆∆、||||||PA AB AC PC ∴=,所以86412AB ⨯== 所以答案应填：4.考点：1、切割线定理；2、三角形相似.5.【2014陕西高考理第15B 题】如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =6．【2014天津高考理第6题】如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBF；②2FB FD FA；③AE CE BE DE；④AF BD AB BF．则所有正确结论的序号是（）（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④EFDABC。
高中数学选修4-1几何证明选讲知识点及练习含答案(精品)
相似三角形的判定及有关性质知识点1：比例线段的相关概念比例线段：对于四条线段a b c d 、、、，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a cb d=（或:=a b c d :）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．⑶比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=． 知识点2：比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=．发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等． 等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么ban f d b m e c a =++++++++ΛΛ．知识点3：比例线段的有关定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（三角形中位线定理的逆定理）推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.（梯形中位线定理的逆定理）平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点:4：黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=0.618AB ≈．知识点5：相似图形1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）2、相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理的基本图形语言：数学符号语言表述是：BC DE //Θ∴ADE ∆∽ABC ∆．判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似.判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. 3、相似三角形的性质定理：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形的周长比等于相似比； （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方；（4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 5、相似直角三角形引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的第三边.（与三角形的中位线定理类似）定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 6、直角三角形的射影定理从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型知识点6：与位似图形有关的概念1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.2、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.3、画位似图形⑴画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）；③根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置；④顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.⑵位似中心的选取：①位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外；②位似中心可取在多边形的一条边上；③位似中心可取在多边形的某一顶点上.说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.圆的章节知识点总结一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合； 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线； 二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇔d r <⇔点C 在圆内；2、点在圆上⇔d r =⇔点B 在圆上；3、点在圆外⇔d r >⇔点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇔d r >⇔无交点；2、直线与圆相切⇔d r =⇔有一个交点；3、直线与圆相交⇔d r <⇔有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇔ 无交点 ⇔d R r >+； 外切（图2）⇔ 有一个交点⇔d R r =+；AD相交（图3）⇔ 有两个交点⇔R r d R r -<<+； 内切（图4）⇔ 有一个交点⇔d R r =-； 内含（图5）⇔ 无交点 ⇔d R r <-；五、垂径定理弦：连接圆上任意两点之间的线段叫做弦.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧.推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论.即：AB 是直径;②AB CD ⊥;③CE DE =;④ 弧BC =弧BD ( );⑤ ;中任意2个条件推出其他3个结论. 推论4：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、 圆心角定理圆心角的定义：顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆心角.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数. （同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等——也称一推三定理）即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;③图4图5»»BCBD =»»AC AD =DB AB AOOC OF=;④推论1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；推论2：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等；推论3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等；七、圆周角定理圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于它所对的圆心的角的一半.符号语言：①∵在Oe中，C D∠∠、都是弧AB所对的圆周角∴C D∠=∠②∵AOB∠和ACB∠是弧AB所对的圆心角和圆周角∴2AOB ACB∠=∠图形语言：推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；（90︒的圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径）符号语言：∵在Oe中，AB是直径∴=90C︒∠;或∵=90C︒∠∴AB是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形符号语言：在△ABC中，∵OA OB OC==∴△ABC是直角三角形或=90C︒∠八、圆内接四边形圆内接四边形：如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.圆的内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.»»BA ED=符号语言：∵在O e 中，四边形ABCD 是内接四边形 ∴180180C BAD B D DAE C ︒︒∠+∠=∠+∠=∠=∠，， 图形语言：圆的内接四边形的判定定理1：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆.符号语言：∵在四边形ABCD 中，180180C BAD B D ︒︒∠+∠=∠+∠=， ∴A B C D 、、、四点共圆圆的内接四边形的判定定理2：如果四边形的一个外角等于它内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.符号语言：∵在四边形ABCD 中，DAE C ∠=∠ ∴A B C D 、、、四点共圆 九、 切线的性质与判定定理1、切线的定义：当直线和圆有且只有一个公共点时，我们把这条直线叫做圆的切线. （1）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号语言：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是O e 的切线 图形语言：（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经经过圆心.2、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段的长叫做该点到圆的切线长.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角.符号语言：∵PA PB 、是的两条切线 ∴=PAPB 且PO 平分APB ∠图形语言：3、弦切角：顶点在圆上，且一边和圆相交而另一边和圆相切的角叫做弦切角.(弦与切线的夹角叫做弦切角)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.符号语言：∵BAC ∠是圆的一个弦切角 ∴BAC APC ∠=∠4、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等. 符号语言： ∵在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅ 图形语言：推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. 符号语言：∵在⊙O 中，直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅5、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.符号语言：∵在⊙O 中，PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅6、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.符号语言：∵在⊙O 中，PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅图形语言：PO DC BA OE DCBADEC BPAO十、圆内正多边形的计算（1）正三角形：在O e 中，△ABC 是正三角形，有关计算在Rt △BOD 中进行，::2OD BD OB =（2）正四边形：同理，四边形的有关计算在Rt △OAE 中进行，::OE AE OA =（3）正六边形：同理，六边形的有关计算在Rt △OAB 中进行，::2AB OB OA =十一、圆的有关概念1、三角形的外接圆、外心. →用到：线段的垂直平分线及性质2、三角形的内切圆、内心. →用到：角的平分线及性质3、圆的对称性。
高考数学(精讲+精练+精析)专题14_1 几何证明选讲试题 理(含解析)
专题14.1 几何证明选讲【三年高考】1. 【2016高考天津】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.【答案】23 32.【2016高考新课标1卷】如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,12OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.OD CBAEO'DCO BA3．【2016高考新课标2】如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ． (Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【解析】（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ∆~∆则有,,DF DE DGGDF DEF FCB CF CD CB∠=∠=∠==所以,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠由此0180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=4．【2016高考新课标3】如图，O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．（I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．【解析】（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.因为AP BP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠.又180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=︒∠=∠，所以3180PCD ∠=︒， 因此60PCD ∠=︒.（Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=︒，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥．5.【2015高考新课标2，】如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ； （Ⅱ） 若AG 等于O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，所以O 在AD上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，1033AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)232223⨯⨯-⨯⨯=．6．【2015高考陕西，】如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ； （II ）若D 3DC A =，C 2B =，求O 的直径．7.【2015高考新课标1】如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于E .（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（Ⅱ）若3OA CE =，求∠ACB 的大小.【解析】（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，在Rt △AEC 中，由已知得DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ， 连结OE ，∠OBE =∠OEB ，∵∠ACB +∠ABC =90°，∴∠DEC +∠OEB =90°，∴∠OED =90°，∴DE 是圆O 的切线.（Ⅱ）设CE =1，AE =x ,由已知得AB =23，212BE x =-， 由射影定理可得，2AE CE BE =， ∴2212x x =-，解得x =3，∴∠ACB =60°.8.【2015高考湖南】如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（1）180MEN NOM ∠+∠=； （2）FE FN FM FO ⋅=⋅【解析】（1）如图a 所示， ∵M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，∴OM AB ⊥，ON CD ⊥， 即90OME ∠=， 90ENO ∠=，180OME ENO ∠+∠=，又四边形的内角和等于360，故180MEN NOM ∠+∠=；（2）由（I ）知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅9. 【2014高考辽宁第22题】如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径； （Ⅱ）若AC =BD ，求证：AB =ED .【解析】（Ⅰ）因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA, 又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.(Ⅱ)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA与∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB.由于ED是直径，由（Ⅰ）得ED=AB.10. 【2014高考全国2第22题】如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC；PB（Ⅱ）AD DE=2211. 【2014高考全国1第22题】如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =. （Ⅰ）证明：D E ∠=∠； （Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.【解析】（I ）由题设知,,,A B C D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠．由已知得E CBE ∠=∠，故D E ∠=∠． （II ）设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上．又AD 不是O的直径，AD 的中点为M ，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥．所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠．又CBE E ∠=∠，故E A ∠=∠．由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出, 高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考还会以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【2017年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若a cb d=，则①a bc d=；②ad bc=；③a b c db d++=；④a b c db d--=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．【考点针对训练】1.【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】如图所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N作割线NAB，交圆O于A，B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连接PB交圆O 于点D，若MC=BC.（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形.2.【2016年山西省右玉一中高考冲刺压轴卷三】如图，已知⊙O 和⊙M 相交于B A 、两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点F E 、，连结CE .（Ⅰ）求证：GD CE EF AG ⋅=⋅；（Ⅱ）求证：22CEEF AG GF =. 【解析】（Ⅰ）连结AC AB ,，∵AD 为⊙M 的直径，∴ 90=∠ABD ，∵AC 为⊙O 的直径，∴AGD CEF ∠=∠，∵CFE DFG ∠=∠，∴GDF ECF ∠=∠，∵G 为弧BD 中点，∴GDF DAG ∠=∠，∵BAG ECB ∠=∠，∴ECF DAG ∠=∠，∴AGD CEF ∆∆~，∴GDAGEF CE =，∴GD CE EF AG ⋅=⋅. （Ⅱ）由（Ⅰ）知GDF DAG ∠=∠，G G ∠=∠，∴ADG DFG ∆∆~，∴GF AG DG ⋅=2，由（Ⅰ）知2222AG GD CE EF =，∴22CE EF AG GF =. 【考点2】圆的有关问题 【备考知识梳理】 1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△PAC∽△PDB(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)应用相似求AC、BD(1)(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段：(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条． 2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向． 【考点针对训练】1.【2016届湖北七市教研协作体高三4月联考】已知ABC ∆中，AB AC =，D 是ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点（不与点,A C 重合），延长BD 至E ，延长AD 至F .（1）求证：ABC EDF ∠=∠；（2）若75ABC ∠=，ABC ∆中BC 边上的高为23+，求ABC ∆外接圆的面积.【解析】（1）如图，由AB AC =得ABC ACB ∠=∠，∵ACB ∠与ADB ∠都是同弧AB 所对的圆周角， ∴ACB ADB ∠=∠且ADB EDF ∠=∠，故ABC EDF ∠=∠.（2）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ，则AH BC ⊥，连接OC ，由题意易得030BAC ∠=，015OAC OCA ∠=∠=，且075ACB ∠=，∴060OCH ∠=，设圆半径为r ，则3232r r +=+， 解得2r =，故外接圆面积为4π.2.【2016届陕西省高三下学期教学质检二】如图，已知圆1O 与2O 相交于,A B 两点，过点A 作圆1O 的切线交圆2O 于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交圆1O 、圆2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P . （Ⅰ）求证：ADEC ；（Ⅱ）若AD 是圆2O 的切线，且6,2,9PA PC BD ===，求AD 的长.【解析】（Ⅰ）连接BA ．∵AC 是圆1O 的切线，∴BAC D ∠=∠.又∵BAC E ∠=∠，∴D E ∠=∠，∴AD EC .（Ⅱ）证明：设,BP x PE y ==，∵6,2PA PC ==，∴12xy =.又∵AD EC ，∴PD APPE PC=，∴962x y +=.又∵0,0x y >>，联立上述方程得到3,4x y ==，∴916DE x y =++=.∵AD 是圆2O 的切线，∴2916AD DB DE =⋅=⋅.∴12AD =.【应试技巧点拨】 1．辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．2．比例的性质的应用相似关系的证明中，经常要应用比例的性质： 若a cb d =，则①a bcd =；②ad bc =；③a b c d b d ++=；④a b c d b d --=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+. 3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．5.与圆有关的比例线段(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用． 二年模拟1. 【2016年山西榆林高三二次模考】如图所示，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =.（1）求证：2BE AD =；（2）当1,2AC EC ==时，求AD 的长.【解析】（1）连接DE ，因为四边形ACED 是圆内接四边形，所以BDE BCD ∠=∠，所以DBE CBA ∆∆，即有BE DEBA CA=，又2AB AC =，所以2BE DE =，又CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =，从而2BE AD =;（2）由条件 得22AB AC ==，设AD t =，根据割线定理得：BD BA BE BC =，即()()22AB AD BA AD AD CE -=+，所以有()()22222t t t -⨯=+，解得：12t =，所以12AD =. 2. 【2016年湖北八校高三四次联考】如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 另外的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于F ． （Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线；（Ⅱ）若3CD =，7=5EA ，求AB 的长．EFDOC B3. 【2016年安徽安庆二模】如图,以ABC ∆的边AB 为直径作圆O ,圆O 与边BC 的交点D 恰为BC 边的中点,过点D 作DE AC ⊥于点E ． （I ）求证：DE 是圆O 的切线； （II ）若30B ∠=,求AEDC的值．4.【2016年江西高三九校联考】如图所示，AC 为O 的直径，D 为BC 的中点，E 为BC 的中点．（1）求证：//DE AB ；（2）求证：·2?AC BC AD CD ＝．【解析】（Ⅰ）连接OE ，因为D 为BC 的中点，E 为BC 的中点，所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以//OE AB ，故//DE AB .（Ⅱ）因为D 为BC 的中点，所以BAD DAC ∠∠＝，又,BAD DCB DAC DCB ∠∠∠∠＝＝．又因为,AD DC DE C DAC ECD ⊥⊥∆∆，∽． ··A AC AD C D CD A D CEC CE =∴＝, 22AD CD AC CE ⋅⋅＝, 2AD CD AC BC ⋅⋅＝．5. 【2016年安徽淮北一中高三模考】如图，,A B 是圆O 上的两点，P 为圆O 外一点，连结,PA PB 分别交圆O 于点,C D ，且AB AD =，连结BC 并延长至E ，使PEB PAB ∠=∠．（1）求证：PE PD =；（2）若1AB EP ==，且0120BAD ∠=，求AP ．【解析】（1）连结DC ，因为,PCE ACB ADB PCD ABD ∠=∠=∠∠=∠，又因为AB AD =，所以ABD ADB ∠=∠，所以PCE PCD ∠=∠，由已知,PEB PAB PDC PAB ∠=∠∠=∠，所以PEC PDC ∠=∠，且PC PC =，所以PEC PDC ∆≅∆，所以PE PD =．（2）因为,ACB PBA BAC PAB ∠=∠∠=∠，所以ABCAPB ∆∆，则()2AB AP AC AP AP PC ==-，所以()22AP AB AP PC PD PB PD PD BD -===+，又因为,1PD AB AB ==，所以2223AP AB AB BD -==，所以223AP =+，所以262AP +=．6. 【2016年江西南昌高三一模】如图， 圆M 与圆N 交于A ， B 两点， 以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于C 、D 两点，延长DB 交圆M 于点E ， 延长CB 交圆N 于点F ．已知BC=5， DB=10. (I)求AB 的长；（II ）求CF DE . 【解析】（Ⅰ）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，∴△ABC ∽△DBA ，则AB BC DB BA=，故250,52AB BC BD AB =⋅==. （Ⅱ）根据切割线定理，知2CA CB CF =⋅，2DA DB DE =⋅，两式相除，得22CA CB CF DA DB DE =⋅（*）.由△ABC ∽△DBA ，得522102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==，由（*）得1CF DE =． 7. 【2016年河南八市高三三模】已知，ABC ∆内接于圆，延长AB 到D 点，使得2,DC DB DC =交圆于E 点.（1）求证：2AD DE =；（2）若AC DC =，求证：DB BE =.【解析】(1）如图，连结··DB DA DE D B C E=．．DB DE DC DA ∴=．又22DC DB DA DE =∴=，． （2）AC DC D A BED A BED D BD BE =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=，．，．．8.【2016届河北省石家庄市高三二模】如图，ABC RT ∆内接于⊙O ， 90=∠C ，弦BF 交线段AC 于E ，E 为AC 的中点，在点A 处作圆的切线与线段OE 的延长线交于D ，连接DF .（I ）求证：EB FE EO DE ⋅=⋅；（II ）若45=∠CEB ，⊙O 的半径r 为52，求切线AD 的长.9. 【2016届陕西省高三高考全真模拟四】如下图,,AB CD 是圆O 的两条互相垂直的直径,E 是圆O 上的点,过E 点作圆O 的切线交AB 的延长线于F .连结CE 交AB 于G 点.（1）求证：2FG FA FB =；（2）若圆O 的半径为23,3OB OG =,求EG 的长.【解析】（1）证明：连接,OE DE ,由弦切角定理知,90,90FEG D C D C FEG ∠=∠∠+∠=∴∠+∠=，又90,,90,C CGO CGO FGE C FGE FGE FEG ∠+∠=∠=∠∴∠+∠=∴∠=∠,即FG FE =.由切割线定理得2FE FA FB =,所以2FG FA FB =.（2）由323OB OG ==知，2OG =.在Rt OCG ∆中，由23,2OC OG ==得，4,30CG C =∠=.在Rt CDE ∆中，由43,30CD C =∠=得6CE =，于是642EG CE CG =-=-=.10.【2016届山西右玉一中高三下学期模拟】已知如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，对角线,AC BD 交于点E ，直线AP 是圆O 的切线，切点为A ，PAB BAC ∠=∠.（1）若5,2BD BE ==，求AB 的长；（2）在AD 上取一点F ，若FED CED ∠=∠，求BAF BEF ∠+∠的大小.【解析】（1）∵AP 是圆O 的切线，∴PAB ADB ∠=∠，由PAB BAC ∠=∠，∴ADB BAC ∠=∠.又ABD EBA ∠=∠，∴ABD ∆∽EBA ∆，∴AB BD EB AB=.又5BD =，2BE =，∴210AB BD BE =•=，∴10AB =. （2）由（1）知，BAD BEA ∠=∠，∵BEA CED FED ∠=∠=∠，∴BAD FED ∠=∠，∴180BAF BEF BAD BEF FED BEF ∠+∠=∠+∠=∠+∠=.11. 【2015届陕西西安西北工大附中高三下学期5月模拟】如图，O 和'O 相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于,C D 两点，连结DB 并延长交O 于点E ．证明：（Ⅰ）AC BD AD AB ⋅=⋅； （Ⅱ）=AC AE ．【解析】（1）由AC 与O 相切于A ，得=CAB ADB ∠∠，同理=ACB DAB ∠∠， 所以ACB DAB ∆∆从而=AC AB AD BD ，即=AC BD AD AB （2）由AD 与O 相切于A ，得=AED BAD ∠∠，又=ADE BDA ∠∠，得EAD ABD ∆∆ 从而=AE AD AB BD，即=AE BD AD AB ，综合（1）的结论，=AC AE 12.【2015届陕西省西工大附中高三下学期模拟考试一】如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE ＝AC ,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB ,（Ⅰ）求PF 的长度．（Ⅱ）若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度【解析】（Ⅰ）连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠,AOC P OCP ∠=∠+∠,从而PFD OCP ∠=∠,故PFD ∆∽PCO ∆,∴PF PD PC PO =, 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===． （Ⅱ）若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为21OF r =-=即1r =，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT ，则2PT 248PB PO =⋅=⨯=，即PT 22= .13.【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】如图，在△ABC 中，90B ∠=，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于E ，AE 交⊙O 于点F ．（Ⅰ）证明：E 是BC 的中点；（Ⅱ）证明：AD AC AE AF ⋅=⋅.14.【2015届辽宁省师大附中高三模拟考试】如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F ．（1）求证：DE BC //;（2）若F C E D ,,,四点共圆，且弧AC 与弧BC 相等，求BAC ∠15.【2015届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题二】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ADC ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =． ED CA B（Ⅰ）求证：2BE AD =；（Ⅱ）当3AC =，6EC =时，求AD 的长．【解析】（Ⅰ）连接DE ，因为ACED 是圆内接四边形，所以,BCA BDE ∠=∠又,CBA DBE ∠=∠DBE ∆∴∽CBA ∆，即有BE DE BA CA=，又因为2AB AC =，可得2BE DE =因为CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =，从而AD BE 2=（Ⅱ）由条件知62==AC AB ，设t AD =，则62,2+==t BC t BE ，根据割线定理得BC BE BA BD ⋅=⋅，即),62(26)6(+⋅=⨯-t t t 即018922=-+t t ，解得32t =或6-（舍去），则32AD =． ED CA B拓展试题以及解析1. 如图，ABC ∆内接于⊙O ，弦AE 交BC 于点D ，已知2AD BD DC =⋅，°60ADC ∠=，OD =1,BC OE ⊥. （Ⅰ）求ODG ∠；（Ⅱ）求ABC ∆中BC 边上的高．【解析】（Ⅰ）由于2AD BD DC =⋅，所以D 为AE 中点，那么AE OD ⊥，ODE ∆为直角三角形， ∵BC OE ⊥，∴DGE ∆∽ODE ∆，则DOE EDG ∠=∠，又EDG ADC ∠=∠(对顶角)，∴°°°60,906030ADC DOE ODG ∠=∠=∴∠=-=.（Ⅱ）作AF ⊥BC 于点F ，连接OA ，由(1)得3π=∠=∠DOE AOD ，在直角AOD ∆与直角ADF ∆中，AF =AD sin 3π=OE sin 23π=32，即BC 边上的高为32． 【入选理由】本题主要考查平面几何的相关知识，同时考查考生的逻辑推理能力.高考对平面几何的考查主要是通过三角形全等或三角形相似进行边角转化，并综合运用圆的切割线定理、相交弦定理等 进行证明计算．以圆为背景 是基本不变的，因而灵活应用圆的几何性质，找准有关的对应三角形、对应边和对应角是解题的关键.本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2．如图，过圆O 外一点P 作圆的切线PC ，切点为C ，割线PAB 、割线PEF 分别交圆O 于A 与B 、E 与F ．已知PB 的垂直平分线DE 与圆O 相切．（1）求证：DE BF ；（2）若23PC =，1DE =，求PB 的长．【解析】（1）证明：连结BE ，∵DE 与圆O 相切，∴BED BFE ∠=∠．又DE 为PB 的垂直平分线，∴BED PED ∠=∠，∴PED BFE ∠=∠，∴DE BF ．（2）由（1）知DE BF 且D 为PB 的中点，∴E 为PF 的中点，且90FBP EDP ∠=∠=︒，∴BE PE EF ==．∵PC 为圆O 的切线，∴2PC PE PF =，∴2(23)2PE PE =，∴6PE =222222225PB BD BE DE PE DE ==-=-=【入选理由】本题考查圆的切割线定理，弦切角定理等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题难度不大，故选此题.3.如图，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A 、B ，直线AF 交圆O 于F （不与B 重合），直线l 与圆O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连接AC ．求证：（Ⅰ）CAG BAC ∠=∠；（Ⅱ）AF AE AC ⋅=2．。
高考数学 16 选修系列：几何证明选讲讲试题解析 学生 文 试题
智才艺州攀枝花市创界学校2021年高考试题解析数学〔文科〕分项之专题16选修系列：几何证明选讲--学
生
一、填空题:
1.(2021年高考卷文科15)〔几何证明选讲选做题〕如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA=∠DBA ，假设AD=m ，AC=n ，那么AB=_________.
2．(2021年高考卷文科13)如图，AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于
D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点
E ,与AB 相交于点
F ,3AF =,1FB =,32EF =
,那么线段CD 的长为.
3．(2021年高考卷文科15)B 〔几何证明选做题〕如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，假设6AB =，
1AE =，那么DF DB ⋅=
二、解答题:
4．〔2021年高考全国卷文科22〕〔本小题总分值是10分〕选修4-1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，假设CF//AB ，证明：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学高考总复习几何证明选讲习题(附参考答案)一、选择题1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D[解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] C[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D[解析] 由切割线定理知：PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5.4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝32，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．5 6 B.56 C.15 D.3102[答案] B[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C．(0，2010 2009)D．(0，2009 2010)[答案] A[解析]由题意知圆与x轴交点为A(2010,0)，B(－2009,0)，与y轴交点为C(0，－2010×2009)，D(0，y2)．设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，此方程两根为2010和－2009，∴F＝－2010×2009令x＝0得y2＋Ey－2010×2009＝0∴－2010×2009×y2＝－2010×2009∴y2＝1，故选A.[点评]圆与x轴交点A(2010,0)，B(－2009,0)与y轴交点C(0，－2010×2009)，D(0，y2)，四点共圆，∴AO·OB＝OC·OD，1.与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin双球使之与圆柱面和都相切，若已知Dandelin双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为()C.3 3D.3 2[答案] B[解析]∵Dandelin双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，∴2b＝2c，∴e＝ca＝cb2＋c2＝c2c＝22.二、填空题7．如图，PT切⊙O于点T，P A交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝________.[答案] 15[解析] 由相交弦定理得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )．又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15.8．(09·天津)如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为______________．[答案] 2[解析] ∵AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1，∴△AOB ∽△A 1OB 1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比，∴△A 1OB 1的外接圆直径为2.9．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案] 99°[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .10．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，P AB 为割线，PC ＝4，PB ＝8，∠B ＝30°，则BC ＝________.[答案] 4 3[解析] (1)由切割线定理 PC 2＝P A ·PB ， ∴P A ＝2，∠ACP ＝∠B ＝30°，在△P AC 中，由正弦定理2sin30°＝4sin ∠P AC ，∴sin ∠P AC ＝1，∴∠P AC ＝90°，从而∠P ＝60°，∠PCB ＝90°， ∴BC ＝PB 2－PC 2＝82－42＝4 3.11．(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等，设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cosα13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝____________.[答案] －12[解析] 如图，O 1、O 2、O 3为三个圆的圆心，A 1、A 2、A 3分别是每两个圆的交点，则∠A 1P A 2＋∠A 2P A 3＋∠A 3P A 1＝12(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π，∴cos α13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝cos α1＋α2＋α33＝cos 4π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.12．(2010·广东中山市四校联考)如图，P A 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析] 由图可知，P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴P A ＝3，∴∠AOP ＝60°， 又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－12，∴PD ＝7.三、解答题13．(2010·南京市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析] 连接OC .设∠P AC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CP A ＝θ，∠COP ＝2θ. 又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC . 所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中， r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33. 14．(2010·江苏盐城调研)如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析] 连结OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形， ∴∠CBO ＝∠COB ＝60°， 又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.15．(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4，(1)求PF 的长度．(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度． [解析] (1)连结OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系， 结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC ，又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ， 从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PDPO， 由割线定理知PC ·PD ＝P A ·PB ＝12， 故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点的圆F 的切线为PT ， 则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.。