第二讲库仑定律与力学知识的综合

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[例4] 如图所示，悬挂在O点的一根不可伸长 的绝缘细线下端有一个带电荷量不变的小球 A.在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电 荷的小球B.当B到达悬点O的正下方并与A在 同一水平线上，A处于受力平衡时，悬线偏 离竖直方向的角度为θ，若两次实验中B的电 荷量分别为q1和q2，θ分别为30°和45°.则 ) q1/q2为( A． 2 B． 3 C． 2 D． 3
2kQ2 kQq cos30 ， 2 L L 2 （ ） 2cos30
3 q Q 3
（2）对任意小球由牛顿第二定律得：
2kQq 2kQ2 3kQ2 2 cos30 ma，所以a 2 L L mL 2 （ ） （3）对任意小球由牛顿第二定律得： 2cos30
2kQq 2kQ2 v2 k 2 cos30 m 所以v Q L L L mL 2 （ ） 2cos30 2cos30
4Q
分析：A、B自由所以不仅要考虑C球平衡，还要考 虑A、B受力平衡 (设AC距离r1,BC距离r2)
k 9Q QC k 4Q QC 2 2 r1 r2 r1 3 r2 2
k 9Q QC k 4Q 9Q 2 (r1 r2 ) 2 r1
Q
C
36Q 25
【练习】可以自由移动的点电荷 q1、q2、 (1)q2 处于平衡状态，则 q3 放在光滑绝缘水平面上，如图所示， 已知 q1 与 q2 之间的距离为 l1，q2 与 q3 之 间的距离为 l2， 且每个电荷都处于平衡状
第二讲:库仑定律 与力学知识的 综合应用
东辰高中:胡明 会
一、知识回顾
• １、库仑定律的内容： • ２、公式表示： • • • •
３、应用范围： （１）点电荷： 理想化模型 （２）真空 静止 ４、注意点： （1）符合牛顿第三定律 （2）库仑力的运算与一般力相同
q1q2 F k 2 r
二、含库仑力的共点力的平衡
分析方法与力学相同 (1)确定对象:个体或整体 (2)受力分析:外力、性质力 (3)合成或正交分解:巧建坐标 (4)运用平衡条件:合力为零或合力矩为零

例题1、两绝缘细线分别系着a、b两个小球， 并悬挂在Ｏ点，当两个小球静止时，它们处于 同一水平面上，此时 ，则: （1）则两个小球哪个质量大？ （2）线的拉力哪个大？
（2）它们做何运动？
A + B
-3q
6q
-
F
思路：整体法隔离法的交替运用。
整体法 : F (mA mB ) a 隔离法：对A球分析 kQA Q B FB对A mA a 2 L

变式练习 如图，质量均为m的三个带电小球A、B、
C ，放置在光滑的绝缘水平面上，彼此相隔的距 离为 L ，（ L 比球半径 r 大的多）， B 球带电量为 QB =-3q， A球带电量为 QA=6q,若在 C上加一水平向 右的恒力 F ，要使 A 、 B 、 C 三球始终保持 L 的间距 运动，求
突破训练 ．如图所示，足够大的光滑
绝缘水平面上有三个带电质点，A 和 C 围 绕 B 做匀速圆周运动，B 恰能保持静止， 其中 A 、C 和 B 的距离分 别是 L 1 和 L 2．

（1）F的大小？

（2）C球所带电量为多少？带何种电荷？ A + B C
QC
6q
-3q
-
F
A +
B
6q
-3q
-
C +
QC
F
F
QC=+8q
F=18kq2/L2
对整体:
对整体 3m
a
FBA 对A:
F 3ma
对A
FCA a
QC QA QBQA k 2 k ma 2 L (2 L)
对B FAB
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三、含库仑力的动力学问题
1.运用牛顿第二定律结合运动学公式求解 2.运用动能定理、功能关系求解 3.运用动量定理、动量守恒定律求解
例题4、如图，质量均为m的两带电小球A、
B，放置在光滑绝缘水平面上，彼此相距为L， （L比球半径r大的多），B球带电量为 QB=3q，A球带电量为QA=6q,若在B上加一水平向 右恒力 F ，要使 A 、 B 两球始终保持 L 的间距 运动，求 （1）F的大小？
k
q1q3 q1q2 ＝ k l2 l1＋l2 1
2
(2)q1 、 q2 、 q3 三 者 电 荷 量 大 小 之 比 是
l1＋ l2 2 l1＋ l2 2 ( ) ∶ 1∶ ( ) l2 l1
．
q2q3 kq1q3 对 q3 列平衡方程：k 2 ＝ l2 l1＋l2 2 联 立 解 得 ： q1∶q2∶q3 ＝
a
FCB
QBQC QBQA ma 对B: k 2 k 2 L ( L)
对C
FBC
a
FAC F
例5.三个电荷量均为Q（正电）的小球质量均为m，
放在水平光滑绝缘的桌面上，分别位于等边三角形 的三个顶点，其边长为L，如图所示，问：
（1）三角形的中心O点应放置什么性质的电荷，才能使三个带电
小球都处于静止状态？其电荷量是多少？ （2）若中心电荷的电荷量在第（1）问基础上加倍，三个带电小
［练习］在光滑且绝缘的水平面上，有两个 金属小球A、B，它们用一绝缘的轻弹簧相连， 如图所示在A、B带有等量同种电荷后，弹簧 伸长x1时小球平衡，如果小球A、B带电荷量 加倍，它们重新平衡时弹簧伸长为x2，则x1 和x2的关系为( ) A.x2=2x1 B.x2=4x1 C.x2<4x1 D.x2>4x1
C.若A、B为同种电荷，B球一定做远离A的变加速曲线运动 D.若A、B为同种电荷，B球的动能一定会减小
【解析】选C。如果A、B为异种电荷，当A对B的库
仑引力恰好提供B做圆周运动所需要的向心力时，B
绕A做匀速圆周运动；当A对B的库仑引力大于或者
小于B做圆周运动所需要的向心力时，则B将做向心
运动或者做离心运动。如果A、B为同种电荷，则B 受到A的库仑斥力将做远离A的变加速曲线运动，B 球的动能逐渐增加，所以选项C正确。
BD
ma>mb．将两细线同时剪断后，两 球在竖直方向都做自由落体运动， 下落时间相同，B 正确.
水平方向，库仑力逐渐变小，两 球在库仑力作用下做变加速直线 运动 A 错误.
(
)
F 由 a＝m可知，加速度 aa<ab，所 以两球落地时水平位移 xa<xb， 落地速度 va<vb，C 错误，D 正 确.
A.l+5kq /(2k0l ) B.l-kq /(k0l ) 2 2 2 2
2 2 C.l-5kq /(4k0l )
2 2 D.l-5kq /(2k0l )
【解析】本题考查库仑定律，物体的平衡、胡克定律，正确理解并会应 用定律解题是解决问题的前提，考查学生的理解能力和分析综合能力。 以左边小球为研究对象，它受另外两个带电小球的库仑斥力和弹簧弹力作 2 2 2 2 2 2 2 2 用而平衡，有F=k0x=kq /l +kq /(2l) =5kq /(4l ),x=5kq /(4k0l )，故弹簧原 长 2 2 l0=l-Δx=l-5kq /(4k0l )。
【例 7】如图所示，竖直平面内有一圆 形光滑绝缘细管， 细管截面半径远小于 半径 R ， 在中心处固定一带电荷量为＋ Q 的点电荷． 质量为 m 、 带电荷量为＋ q 的带电小 球在圆形绝缘细管 中做圆 周运动， 当小球运动到最高点时恰好对 细管无作用力， 求当小球运动到最低点 时对管壁的作用力是多大？
解析
规范解答
设小球在最高点时的速度为 v1，
根据牛顿第二定律 v1 2 kQq mg－ 2 ＝m R R ①
设当小球在最低点时的速度为 v2， 管壁对 小球的作用力为 F，根据牛顿第二定律有 v2 kQq F－mg－ 2 ＝m ② R R 小球从最高点运动到最低点的过程中只有重
力做功，故机械能守恒． 1 1 则 mv1 2＋mg· 2R＝ mv2 2 ③ 2 2
例 6．两根绝缘细线分别系住 a、b 两个带电
当两小球静止时， 设两球之间的库
小球，并悬挂在 O 点，当两个小球静止时， 仑力大小为 F，则有 F＝magtan α 它们处在同一水平面上， 两细线与竖直方向 ＝ mbgtan β ，因为 α<β ，所以有 间夹角分别为α、β，α<β，如图所示．现将 两细线同时剪断，则 A．两球都做匀变速运动 × B．两球下落时间相同 C ．落地时两球水平位移相同 × D．a 球落地时的速度小于 b 球落地时的速度
①审题切入点：
受力分析与运动过程分析，建立杆固定球做圆周运动的模 型Байду номын сангаас
小球在圆形绝缘细管做怎样的圆周运动？题中的隐含条件是什 么？
②明情境，析过 程：
③理思路，选规律：
小球做变速圆周运动，在最高点和最低点处，重力和库仑 力的合力提供向心力．从最高点到最低点机械能守恒．
④巧布局，详解 析：
在最高点利用向心力公式求速度．从最高点到最低点利用 机械能守恒定律或动能定理求最低点速度．
1 2


（3）能否判断谁的电量大？
m1
α
1
α
2
m2
例题2. A、B两个点电荷，相距为L，A带 有+9Q的正电荷，B带有+4Q的正电荷 （ 1 ）如果 A 和 B 固定，应如何放置第三个 点电荷q，才能使此电荷处于平衡状态？
+
A 9Q QC
-
+
B
4Q
k 9Q QC k 4Q QC 2 2 r1 r2 r1 3 r2 2
2
由①②③式得 F＝6mg 由牛顿第三定律得小球对管壁的作 用力 F′＝6mg．
【练习】如图所示，把一个 带电小球A固定在光滑的水平绝 缘桌面上，在桌面的另一处放置 带电小球B。现给B一个垂直AB方 向的速度v0，下列说法中正确的是( )
A.若A、B为异种电荷，B球一定做圆周运动
B.若A、B为异种电荷，B球可能做匀变速曲线运动
l1＋l2 2 l1＋l2 2 ( ) ∶1∶( )． l2 l1
【例3】如图所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电
荷量均为q (q>0)的相同小球，小球之间用劲度系数 均为k0的轻质弹簧绝缘连接。当3个小球处在静止状 态时，每根弹簧长度为l。已知静电力常量为k，若 不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为(C )
qAqB 由库仑定律得 F＝k 2 ；又 r＝lsin θ，F＝Gtan θ，由以 r Gl2sin2θ tan θ q2 上各式可解得 qB ＝ ，因 G 、 l 、 qA 不变，则 ＝ kqA q1 2 sin 45°tan 45° ＝2 3，故 C 正确． sin230°tan 30° [解析]
两同夹一异， 两大夹一小。 （必要条件） 球间距离合 适，每球都
例题2、 A、B两个点电荷，相距为L，A带有 +9Q的正电荷，B带有+4Q的正电荷
（ 2 ）如果 A 和 B 是自由的，又应如何放置第三个点电 荷，使系统处于平衡状态，且求第三个点电荷的电 量q的大小及电性.
+
A 9Q QC
-
+
B
【突破训练】如图所示，点电荷＋4Q 与＋ Q 分别固定在 A 、B 两点， C、 现使一个带负电的粒子从 C 点开始以某一 D 两点将 AB 连线三等分， 初速度向右运动，不计粒子的重力，则该粒子在 CD 之间运动的速度 大小 v 与时间 t 的关系图象可能是图中的 (
B
)
审题与关联
【例 7】如图所示，竖直平面内有一圆 形光滑绝缘细管， 细管截面半径远小于 半径 R ， 在中心处固定一带电荷量为＋ Q 的点电荷． 质量为 m 、 带电荷量为＋ q 的带电小 球在圆形绝缘细管 中做圆 周运动， 当小球运动到最高点时恰好对 细管无作用力， 求当小球运动到最低点 时对管壁的作用力是多大？
q1、q3 对它的
静电力等大反向，所以 q1、q3 带同种 电荷；q1 处于平衡状态，则 q2、q3 对 它的静电力等大反向，所以 q2、q3 带 异种电荷．因此，q1、q3 都带负电荷．
(2)对 q1 列平衡方程： 负 态． (1)如果 q2 为正电荷， 则 q1 为 _______
负 电荷，q3 为 ________ 电荷．
球将加速运动，求其加速度的大小；
（3）若中心电荷的电荷量在第（1）问基础上加倍后，仍保持三 个小球相对距离不变，可让它们绕中心电荷同时旋转，求它们旋
转的线速度的大小。
【规范解答】（1）根据对称性，A、B、C每个点电荷受其他两
个电荷的库仑力的合力沿中心线向外，所以要使三个带电小球
都处于静止平衡状态，必须在O点放上负电荷，根据平衡条件 列方程可得： 所以