柱坐标系与球坐标系简介(课堂PPT)
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
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经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
第1章 3 柱坐标系和球坐标系
§3 柱坐标系和球坐标系1.柱坐标系(1)定义：在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z 轴，这样就建立了柱坐标系.设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面.(2)空间点M 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .2.球坐标系(1)定义：设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM→与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影.这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.特别地， r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎨⎧x ＝r ·sin φ·cos θ，y ＝r ·sin φ·sin θ，z ＝r cos φ.【思维导图】【知能要点】 1.柱坐标系. 2.球坐标系.3.空间点的坐标的确定.题型一 柱坐标系柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.空间任一点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )表示，(ρ，θ)是点P 在Oxy 平面上的射影Q 的极坐标，z 是P 在空间直角坐标系中的竖坐标. 【例1】 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？解 在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径的圆.因此，在柱坐标系中，设Oz 轴所在的直线为l ，则方程ρ＝2表示以l 为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱面.【反思感悟】 柱坐标满足ρ＝2的点可以和平面直角坐标系中满足x ＝1的点构成一条直线，空间直角坐标系中满足y ＝2的点构成的图形是一个平面结合考虑.1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标. P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π，－3 解直接代入互化公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z，可得P 的直角坐标为(3，1，1)，Q 点的直角坐标为(－2，23，－3).题型二 球坐标系球坐标系又称空间极坐标系，用空间任意一点P 到O 的距离r 以及两个角θ，φ来刻画点P 的位置.【例2】 经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻离地面2 384千米的位置，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.解 在赤道平面上，我们选取地球球心为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立平面极坐标系，在此基础上，取以O 为端点且经过北极的射线Oz (垂直于赤道平面)为另一条极轴，如图所示建立一个球坐标系.由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°，由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米.所以点P 的球坐标为(8 755，15°，80°).【反思感悟】 写空间任一点的球半径，就是求该点到点O 的距离和方位角、高低角.两个角可以和地球的经纬度相结合，要搞清它们的联系和区别.2.在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系.有A ，B 两个城市，它们的球坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，2π3，飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？解 由题意可知面AOO 1，面BOO 1都垂直于两圆平面， ∴∠AO 1B 是两平面AOO 1和BOO 1的夹角， 又∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，2π3，∴∠AO 1B ＝2π3－π6＝π2， ∠AOO 1＝∠BOO 1＝π4， ∠AO 1O ＝∠BO 1O ，∴小圆O1的半径r＝22R，∴AB＝R，∴∠AOB＝π3，则经过A、B两地的球面距离为π3R.故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为π3R.题型三空间点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z).2.空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).3.(1)空间点的球坐标是点和原点的连线与x轴正方向所成的角θ，与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即(r，φ，θ).(2)注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.【例3】已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB＝14，AD＝6，AA1＝10，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标，球坐标，柱坐标.分析如图所示，此题是考查空间直角坐标，球坐标，柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C1点的(x，y，z)，分别对应着CD、BC、CC1，C1点的(ρ，θ，z)分别对应着CA、∠DCA、CC1，C1点的(r，φ，θ)分别对应着AC1、∠A1AC1、∠BAC.解C1点的空间直角坐标为(14，6，10)，C1点的柱坐标为(258，arctan 37，10)，C 1点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫283，arccos 58383，arctan37. 【反思感悟】 注意空间任一点的直角坐标、球坐标和柱坐标的联系和区别，它们都能刻画点的位置，可以进行互化.3.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)，图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图(2)所示，建立空间直角坐标系O -xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标，柱坐标.解 把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π2，π4，它们的柱坐标分别为(0，0，0)，(1，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0； 上层的钠原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，arctan 2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arctan 22，π4，它们的柱坐标分别为(0，0，1)，(1，0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，1. 中层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为12，所以，这四个钠原子所在位置的球坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arccos 66，arctan 12，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arccos 66，arctan 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π2，它们的柱坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，arctan 12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，arctan 2，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π2，121.一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心O 的距离为500 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，求出点A 的坐标.解 以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地平面上建立极坐标系.则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为503 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点A 的准确位置.所以点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫503，17π16，2.8. 2.一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角为π3的圆锥面上从顶点出发盘旋着向上爬行，已知它上升的速度为v >0，盘旋的角速度为ω>0，求t 时刻蚂蚁所在的位置的球坐标.解 取圆锥的顶点O 为坐标原点，建立球坐标系，设t 时刻蚂蚁在点M (r ，φ，θ)处，由题意得θ＝ωt ，z ＝v t ，φ＝π3， 由于z r ＝cos φ＝cos π3＝12， 于是r ＝2z ＝2v t ，所以t 时刻蚂蚁在球坐标系中的位置为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2v t ，π3，ωt ， t ∈[0，＋∞).3.摊开世界地图，问初次降临地球的外星人：台湾在哪里？阿根廷的Formosa(福尔摩沙)省又位于何处(如图所示)？外星人必然一头雾水，如果你再给他一组数据：.想一想，它们的位置有什么关联？解两地经度差180°，纬度相反.故它们位于地球同一直径的两个端点上.1.空间点的坐标的确定(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z).(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即(r，φ，θ).注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.2.球坐标的应用在球坐标系中，它的三度实际上也是我们所熟悉的，它与前面所学的球的一些基本知识是有着密切联系的.我们得熟悉这部分内容.(1)经线与经度：地球球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线，规定以经过英国格林尼治天文台原址的经线为0°经线.一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数，以0°经线为基准，向东度量的为东经，向西度量的为西经.如东经30°，西经60°等.(2)纬线与纬度：与地轴(通过北极和南极的直线)垂直的平面截地球球面所得的圆叫做纬线(纬线圈)，其中的大圆叫做赤道.一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数，赤道为0°纬线；以赤道为基准，向北度量为北纬，向南度量为南纬.如北纬25°，南纬23.5°.与球坐标比较，点P (r ，φ，θ)中的r 是到球心的距离，φ与纬度是互余的；θ与经度是相关的，若建立适当的坐标系，θ就是经度. 【规律方法总结】1.根据图形的特征，可以选择不同的坐标系来确定点的位置.2.点的直角坐标、柱坐标、球坐标可以相互转化.3.利用柱坐标系、球坐标系解决空间点的位置时，对于含角度的比较方便.一、选择题1.已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( ) A.P 点(5，1，1)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62B.P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62 C.P 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62，B 点(1，1，5) D.P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫62，364，324 解析 设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，x ＝2·cos π4＝2·22＝1，y ＝2·sin π4＝1，z ＝5. 设B 点的直角坐标为(x ，y ，z )， x ＝6·sin π3·cos π6＝6·32·32＝364， y ＝6·sin π3·sin π6＝6·32·12＝324，z ＝6·cos π3＝6·12＝62.所以，点P 的直角坐标为(1，1，5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62. 答案 B2.设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，3 解析 ∵ρ＝（－1）2＋（－3）2＝2，θ＝43π，z ＝3.∴M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，3.答案 C3.设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4 解析 由变换公式r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cos φ＝z r ＝22，∴φ＝π4.∵tan θ＝y x ＝1，∴θ＝54π. ∴M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，54π.答案 B4.点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π3，56π则它的直角坐标为( )A.(－6，23，4)B.(6，23，4)C.(－6，－23，4)D.(－6，23，－4)解析 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4， 得点M 的直角坐标为(－6，23，4).答案 A5.点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π4，2，则点P 到原点的距离为( ) A.17 B.217 C.417D.817解析 x ＝8cos π4＝42，y ＝8sin π4＝42， ∴柱坐标化为直角坐标为(42，42，2)， |OP |＝32＋32＋4＝68＝217.答案 B 二、填空题6.在球坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4的距离为________.解析 把A 、B 两点的球坐标化为直角坐标为A ()1，1，2， B ()－1，1，－2. |AB |＝（1＋1）2＋（1－1）2＋（2＋2）2＝12＝2 3.答案 2 37.在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________. 解析 在极坐标系中，ρ＝2表示圆心在极点半径为2的圆.在柱坐标系中方程ρ＝2表示以z 轴为中轴线的，半径为2的圆柱面. 答案 以z 轴为中轴线的，半径为2的圆柱面8.已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4，34π，点N 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π4，34π，则M 、N 两点间的距离为________.解析 x ＝4sin π4cos 3π4＝4·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2， y ＝4sin π4sin 3π4＝4·22·22＝2，z ＝4cos π4＝4·22＝22，∴点M 的直角坐标为(－2，2，22).同理点N 的直角坐标为(2，－2，22)，∴|MN |＝16＋16＝4 2.答案 4 29.在球坐标系中，方程r ＝1表示______________________，方程φ＝π4表示空间的________________________.解析 r ＝1表示球心在原点半径为1的球面，φ＝π4表示顶点在原点，母线与z 轴夹角为π4的圆锥面.答案 球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面夹角为π2的圆锥面三、解答题10.如图所示，在长方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝5，|OD ′|＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P 的柱坐标.解 C 点的ρ、θ分别为|OC |及∠COA .B ′点的ρ为|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋52＝34；θ＝∠BOA ，而tan ∠BOA ＝|AB ||OA |＝53，所以∠BOA ＝arctan 53.P 点的ρ、θ分别为OE 、∠AOE ，|OE |＝12|OB |＝342，∠AOE ＝∠AOB .∴各点的柱坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，0，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫34，arctan 53，3，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫342，arctan 53，3.11.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π4，θA 、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，34π，θB ，求出这两个截面间的距离. 解 在△OO 1A 中，由球坐标知∠AOO 1＝π4，|OA |＝8，∴|OO 1|＝8cos ∠AOO 1＝8×22＝42，同理在△OO 2B 中，|OB |＝8，∠O 2OB ＝π4，∴OO 2＝42，∴O 1O 2＝82， ∴两个截面间的距离为8 2.12.在柱坐标系中，求满足⎩⎨⎧ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )围成的几何体的体积.解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π(体积单位).习题1－3 (第22页)1.解 点A 的柱坐标为(3，0，3)，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，0； 点B 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，2，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π2； 点C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，0，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π2，π4. 图略2.解 点A 的直角坐标为(－22，22，2)；点B 的直角坐标为(3，33，－5). 图略.3.解 点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3；点N 的直角坐标为(6，23，4).。
简单曲线的极坐标方程 柱坐标系与球坐标系简介课件
题型四 极坐标系中曲线位置关系
例4 已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρcos θ＝3,ρ＝
2.柱坐标系 一般地,如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间_任_意___ 一点,它在Oxy平面上的射__影____为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π) ___________________表极示坐点标Q在平面Oxy上的
__________,
这时点的位置可用有序数组_ρ_,_θ_,_z_(z_∈__R_)__表示.这样,我
【解】 法一:将极坐标方程 ρ＝3 转化为普通方程:x2＋y2 ＝9,ρ(cos θ＋ 3sin θ)＝2 可化为 x＋ 3y＝2, 在 x2＋y2＝9 上任取一点 A(3cos α,3sin α), 则 点 A 到 直 线 的 距 离 d ＝ |3cos α＋3 2 3sin α－2| ＝ |6sinα＋230°－2|,所以它的最大值为 4.
【解】 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角
坐标系,两坐标系中取相同的长度单位. (1)x＝ρcos θ,y＝ρsin θ,由 ρ＝4cos θ 得 ρ2＝4ρcos θ. 所以 x2＋y2＝4x. 即 x2＋y2－4x＝0 为圆 O1 的直角坐标方程. 同理 x2＋y2＋4y＝0 为圆 O2 的直角坐标方程. (2)由xx22＋＋yy22－＋44xy＝＝00.，
标
x＝ρcos θ
y＝ρsin θ
z＝z
(ρ,θ,z)之间的变换公式为______________.
柱坐标与球坐标系简介
柱坐标与球坐标系简介
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标系是描述三维空间中点的两种常用坐标系。
它们为研究三维问题提供了方便的工具，可以使问题的表达和求解更加简洁。
柱坐标系
柱坐标系是一种用圆柱形式来描述三维空间中的点的坐标系。
在柱坐标系中，
一个点的位置由距离原点的长度、与正向x轴的夹角和z坐标组成。
通常用(r, θ, z)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系在求解具有轴对称性的问题时特别有用，例如旋转体的体积和表面积
的计算等问题。
球坐标系
球坐标系是通过球坐标来描述三维空间中的点的坐标系。
在球坐标系中，一个
点的位置由距离原点的长度、与正向z轴的夹角和在x-y平面上的极角组成。
通常用(r, θ, φ)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，φ表示点在z轴上的极角。
球坐标系常常用于处理具有球对称性或球体几何的问题，例如电场和磁场的计
算等。
它也在计算机图形学和三维建模中被广泛应用。
无论是柱坐标系还是球坐标系，它们都是解决特定类型的问题时十分有效的工具。
通过灵活运用这两种坐标系，我们可以更好地理解和分析三维空间中的问题，为实际问题的求解提供更多的可能性和方法。
柱坐标和球坐标系给了我们描述空间中点位置的不同视角，为解决相关问题提
供了更多的数学工具。
通过学习和掌握这两种坐标系的原理和应用，我们可以在数学和物理领域中更加灵活地处理复杂的三维问题。
2014年人教A版选修4-4课件 4.柱坐标系与球坐标系简介
如: 一个圆形体育场, 自正东方向起, 按逆时针 方向等分为 12 个扇形区域, 项次记为一区, 二区, …, 十二区. 设圆形体育场的第一排与体育场中心 O 相距 300 m, 每相邻两排的间距为 1 m, 每层看台的高度为 0.6 m. 如何确定第九区第三排正中 A 的位置? 以正东方向为极轴, 以极轴为始边, 第九 O x 区的正中位置为终边 9区 17p . A 的角为 12 从中心到第三排的 水平距离为 300+2=302(m). 第三排的高度为 0.63=1.8(m). 所以点 A 的柱坐标为 A(302, 17p , 1.8). 12
P(r, j, q) r j y
j
O x = r sinj cosq , q A y = r sinj sinq , Q z = r cosj . x 在测量中, q 称为被测点的方位角, 90-j 称为高低角.
x
1. 柱坐标系 问题1. 在空间直角坐标系中, 一个点的位置是由 哪几个坐标组成? 若将空间直角坐标系的 y 轴取消, 将 xOy 平面用极坐标表示, 请你设计一下, 空间一个 点 P 的位置怎标表示? z x, y P(r q,, z z) ) 如图, 在空间直角坐标系中, 点 P 的位置由坐标 P(x, y, z) 确定. PQ⊥平面xOy, QA⊥Ox, B O y QB⊥Oy. q r A OA=x, OB=y, QP=z. Q 在 xOy 平面内, 以 x 轴为 x 极轴, 去掉 y 轴, 建立极坐标系. 则点 Q 的坐标为 Q(r, q ). 于是点 P 的位置可用坐标 P(r, q, z) 确定.
第1讲-柱坐标系和球坐标系讲解
究
业
系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
点的柱坐标与直角坐标互化
课
当
前
堂
自 主
(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标
双 基
导
达
学 系中的坐标．
标
(2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
课
【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱
课 堂 互 动
∴|P1P2|＝
0＋322－ 262＋
3－12＝
30－ 2
10 .
课 时
探
作
究
业
柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解
决．
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
在球坐标系中，求两点 P(3，π6，4π)，Q(3，π6，34π)的距离．
课
【解】 将 P、Q 两点球坐标转化为直角坐标．设点 P 当
2．球坐标系
课
当
前
堂
自
双
主
基
导
达
学
标
图 1－4－2
课
堂 互
建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 课
动
时
探 究
间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的
作 业
角为 φ.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点 M 的球
课 前
1.4《柱坐标系与球坐标系简介》 课件(人教A版选修4-4)
对应的点在平面yOz内的是( )
【解析】选A.由点P的柱坐标（ρ,θ,z），当θ= 时，点P
在平面yOz内，故选A.
2
2.已知空间直角坐标系Oxyz中，点M在平面yOz内，若M的球坐
0≤φ≤π,0≤θ<2π.
答案： , ) (4,
6 3
9.已知柱坐标系中,点M的柱坐标为 (2, 2 , 5) ,且点M在数轴Oy
上的射影为N,则|OM|=______,|MN|=______.
【解析】设点M在平面Oxy上的射影为P,连结PN, 则PN为线段MN在平面Oxy上的射影.
3
≧MN⊥直线Oy,MP⊥平面xOy，
)
2=cos 【解析】选A.设M的柱坐标为(ρ,θ,z)，由 0=sin , z=2 =2 解得 =0, ≨点M的柱坐标为（2,0,2）. z=2
4.若点P的柱坐标为 (2, , 3)，则P到直线Oy的距离为(
6
)
（A）1
（B）2
（C） 3
（D） 6
6
＜2π，0≤z≤2的动点M（ρ,θ,
z）的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面 为正方形的圆柱，如图所示,圆柱的
底面半径r=1,h=2,≨V=Sh=πr2h=
2π(体积单位).
标为(r,φ ,θ ),则应有( )
【解析】选D.由点M向平面xOy作垂线，垂足N一定在直线Oy
上，由极坐标系的意义知θ= 或 3 .
2 2
3.设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为( (A)(2,0,2) (C)( 2,0,2) (B)(2,π ,2) (D)( 2,π ,2)
3 3 3 3
求|MN|. 【解析】方法一:由题意知, |OM|=|ON|=6，∠MON= ,
常用坐标系介绍及变换PPT课件
目录
• 常用坐标系介绍 • 坐标变换基础 • 坐标变换的应用 • 坐标变换的数学表达 • 坐标变换的物理意义 • 坐标变换的计算机实现
01
常用坐标系介绍
笛卡尔坐标系
01
02
03
直角坐标系
以原点为中心，x轴、y轴、 z轴分别代表三个相互垂 直的坐标轴，用于描述平 面和空间中的点。
二维坐标变换
总结词
二维坐标变换是指平面内的坐标变化， 包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
二维坐标变换涉及平面内的点，可以 通过平移、旋转或缩放等操作进行坐 标变化。这种变换在平面几何、图形 处理等领域应用广泛，可以通过矩阵 运算实现快速变换。
三维坐标变换
总结词
三维坐标变换是指空间中的坐标变化，包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
三维坐标变换涉及空间中的点，可以通过平移、旋转或缩放等操作进行坐标变化。这种变换在三维建模、动画制 作、机器人控制等领域应用广泛，需要使用三维矩阵运算进行实现。
03
坐标变换的应用
图形变换
图形变换是指通过数学方法将一个二维或三维图形在坐标系 中进行平移、旋转、缩放等操作，以达到改变图形位置、大是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个单元，可 以分析物体的受力情况和形变程度。有限元分析在工程领域中有着广泛 的应用，可以提高设计效率和精度。
06
坐标变换的计算机实现
OpenGL中的坐标变换
投影变换
将三维场景投影到二维屏 幕上，包括正交投影和透 视投影。
视图变换
将场景中的坐标系与观察 者的坐标系进行关联，实 现视景体裁剪。
旋转变换不改变图形的大小和形状， 只改变其方向。
柱坐标系和球坐标系 课件
z＝5，
∴(1,1,5)为所求．
点(r，θ，z)是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面 xOy
内实际为极坐标系，且 r≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z 为
任意实数．化点的柱坐标(r，θ，z)为直角坐标(x，y，z)，需
要运用公式yx＝＝rrscions θθ z＝z
转化为三角函数的求值与运算即得．
∴(－1，－1，－ 2)为所求．
首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π，0≤θ ＜2π.
化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用
公式yx＝＝rrssiinn
φcos φsin
θ， θ，
z＝rcos φ
转化为三角函数的求值与1，建立空间直角坐标系 O－xyz.设 M(x，y， z)为空间一点，并设点 M 在 xOy 平面上的投影点 P 的极坐标 为(r，θ)，则这样的三个数 r，θ，z 构成的有序数组(r，θ，z) 就叫作点 M 的 柱坐标 ，这里规定 r，θ，z 的变化范围为 0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞.
图 1－3－1
特别地， r＝常数，表示的是以 z 轴为轴的圆柱面； θ＝常数，表示的是过 z 轴的半平面； z＝常数，表示的是与 xOy 平面平行的平面．
2．球坐标系 设 M(x，y，z)为空间一点，点 M 可用这样三个有次序的 数 r，φ，θ 来确定，其中 r 为原点 O 到点 M 间的距离，φ 为
2．在空间的柱坐标系中，方程 r＝r0(r0 为不等于 0 的常 数)，θ＝θ0，z＝z0 分别表示什么图形？
【提示】 在空间的柱坐标系 中，方程 r＝r0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 r0 的圆柱面，它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的．方程 θ＝θ0 表示与 zOx 坐标面成 θ0 角的半平 面．方程 z＝z0 表示平行于 xOy 坐标面 的平面，如图所示．
柱坐标系和球坐标系 课件
x＝ρcos θ， 则由y＝ρsin θ，
z＝z，
x＝πcos π， 得y＝πsin π，zΒιβλιοθήκη π，x＝－π， ∴y＝0，
z＝π.
因此，点 N 的直角坐标为(－π，0，π)．
坐标．
已知点 M 的球坐标为(2，34π，34π)，求它的直角 【自主解答】 设点的直角坐标为(x，y，z)．
x＝2sin34πcos34π＝2× 22×－ 22＝－1， 则y＝2sin34πsin34π＝2× 22× 22＝1，
.
(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标 系中的坐标．
(2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
【自主解答】 (1)设 M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，
1＝ρcos θ， 则由1＝ρsin θ， z＝1，
解之得，ρ＝ 2，θ＝π4.
因此，点 M 的柱坐标为( 2，4π，1)． (2)设 N 的直角坐标为(x，y，z)，
建立了空间的点与有序数组 (ρ，θ，z) 之间的一 种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做 柱坐标系， 有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，
其中 ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R.
2．球坐标系
图 1－4－2 建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的 角为 φ.
图 1－4－3
【自主解答】 点 C1 的直角坐标为(1,1， 2)． 设 C1 的球坐标为(r，φ，θ)，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2. 由 z＝rcos φ，∴cos φ＝ 22，φ＝4π 又 tan θ＝yx＝1，∴θ＝π4， 从而点 C1 的球坐标为(2，π4，π4)
柱坐标和球坐标简介
设 C1 的球坐标为(r， φ， θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π， 由 x＝rsin φcos θ，y＝ rsin φ sin θ， z＝rcos φ， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2. 2 π 由 z＝rcos φ，∴cos φ＝ ，φ＝ 2 4 y π 又 tan θ＝ ＝1，∴θ＝4， x π π 从而点 C1 的球坐标为(2，4，4)
【思路探究】 可把两点坐标均化为空间直角坐标，再
用空间两点间的距离公式求距离．
【自主解答】 设 P1 的直角坐标为 P1(x1，y1，z1)， x1＝2 3sin πcos π＝3 2， 3 4 2 π π 3 2 则y1＝2 3sin sin ＝ ， 3 4 2 π z1＝2 3cos 3＝ 3， 3 2 3 2 ∴P1 的直角坐标为( 2 ， 2 ， 3)．
四
柱坐标系与球坐标系简介
课标 解读
1.了解柱坐标系、球坐标系的意 义，能用柱坐标系、球坐标系 刻画简单问题中的点的位置． 2．知道柱坐标、球坐标与空间 直角坐标的互化关系与公式， 并用于解题.
1．柱坐标系
图 1－4－1 如图 1－4－1 所示， 建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空 间 任 意 一 点 ． 它 在 Oxy 平 面 上 的 射 影 为 Q ， 用 (ρ ， θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．
3．空间直角坐标与柱坐标的转化 空间点 P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z . 4．空间直角坐标与球坐标的关系 空间点 P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为
1.3 柱坐标系与球坐标系 课件 (北师大选修4-4)
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
1 cos 1 sin 1 z
24
给定一个底面半径为r，高为h的圆 柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述
圆柱侧面以及底面上点的位置.
z
注：坐标与点的位置有关 x
o
y
练习： 1、设点M的直角坐标是 1, 3,3),则它的柱 ( 坐标是？
4 (2, ,3) 3
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin zz
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标. 解 得 点在柱坐标系中的坐标为 ρ （ 2 ， ，1）. 4 = 注：求θ 时要注意角的终边与点的 射影所在位置一致
小结
坐标系
数轴 平面直角坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系ห้องสมุดไป่ตู้以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
6 ,7), 求它的直角坐标。
2、设点 M的柱坐标为 (2,
高中数学第1讲坐标系第7课时柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修44
x＝3sinπ6cosπ4＝3×12× 22＝342，
y＝3sinπ6sinπ4＝3×12× 22＝342，
z＝3cosπ6＝3×
23＝3
3 2.
∴P 点的直角坐标为34 2，342，323．
同理 Q 点的直角坐标为－34 2，342，32 3． ∴PQ＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22＝3 2 2．
坐标为1＋2 1，1－2 3，1＋2 4，即1，1－2 3，52．
直角坐标系与柱、球坐标系的互化
【例 1】 (1)空间一点 M 的直角坐标为(1,1,3)，求其在相应 的柱坐标系中的坐标；
(2) 空间一点 M 的直角坐标为(1,1， 2)，求其在相应的球 坐标系中的坐标．
【解题探究】 由柱坐标、球坐标化为直角坐标，给出了 具体的公式，将直角坐标化为柱坐标、球坐标，要会将公式逆 运用．
柱坐标系中的几何问题
【例 3】 如图，在柱坐标系中， 长方体的两个顶点坐标为 A1(4,0,5)， C1 6，π2，5 ， 求 长 方 体 的 外 接 球 的 体 积．
【解题探究】 根据顶点的柱坐标求出长方体的三边长， 其外接球的直径恰为长方体的对角线的长．
【解析】由柱坐标的定义可得 OA＝4，OC＝6，OO1＝5， 则对角线的长为 42＋52＋62＝ 77． 则外接球的体积为43×π× 2773＝77 677π．
B．2，π4，54π
C．2，54π，π4
D．2，34π，π4
【答案】B
x＝
2cos54π，
【解析】设点 M 的直角坐标为(x，y，z)，则y＝ 2sin54π，
z＝ 2，
即xy＝ ＝－ －11， ， z＝ 2，
∴M 的直角坐标为 M(－1，－1， 2)．
柱坐标系与球坐标系简介
极径、极角,只是比平面极坐标多了一个量,即点在空间中的高度. -15-
四 柱坐标系与球坐标系简介
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练3】 经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
2.球坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP, 记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设点P在Oxy平面上的射影 为点Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样 点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样,空间的点与有序数 组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系 叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标, 记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π. (2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系
的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.这样,我
们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系.把建立
上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱
坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z<+∞.
(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式
3
解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),则由互化公式可得,
详细版圆柱坐标系和球坐标系.ppt
第1章 矢量分析
1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
标量： 一个只用大小描述的物理量。
矢量： 一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示： 一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的大小或模：A A r
矢量的单位矢量： 矢量的代数表示：
erˆA r A
A A erˆA
A
erˆA
r A
常矢量： 大小和方向均不变的矢量。
A
矢量的几何表示
注意： 单位矢量不一定是常矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3
矢量用坐标分量表示
z
r A
erˆx
Ax
erˆy
Ay
erˆz
Az
Ax A cos
Az
A
Ay
Ax O
y
Ay A cos
Az A cos
A// B
A B AB
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
6
（4）矢量的矢积（叉积）
r A
r B
erˆn
AB
sin
坐标分量表示
r A
r B
erˆx
( Ay Bz
Az By
)
erˆy
(Az Bx
Ax Bz
)
erˆz
( Ax By
Ay Bx
)
行列式形式为
r r erˆx erˆy erˆz A B Ax Ay Az
( Az
Bz
)
A B
B
A
矢量的加法
柱坐标系与球坐标系简介课件
z1＝6×cosπ3＝3. ∴点 M 的直角坐标为323，92，3， 设点 N 的直角坐标为(x2，y2，z2)， 则 x2＝6×sin23π×cosπ3＝323， y2＝6sin23π×sinπ3＝92， z2＝6cos23π＝－3. ∴点 N 的直角坐标为323，92，－3， ∴|MN|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22＝6.
2．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则
空间直角坐标(x，y，z)
转换公式
柱坐标 (ρ，θ，z)
x＝_ρ_c_o_s_θ__， y＝_ρ_s_in__θ__， z＝z
球坐标 (r，φ，θ)
x＝_r_s_i_n_φ_c_o_s__θ__ y＝_r_s_in__φ_s_i_n_θ__ z＝ rcos φ
∴(－ 3，1,3)为所求点的直角坐标．
(2)∵(ρ，θ，z)＝
2，π4，5，
x＝ρcos θ＝
2cosπ4＝1，
∴y＝ρsin θ＝ 2sinπ4＝1，
z＝5，
∴(1,1,5)为所求点的直角坐标．
直角坐标与柱坐标的互化
点(ρ，θ，z)是三维空间坐标中的点的柱坐标，在平面 xOy 中实际为极坐标， 且 ρ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上 z 为任意实数．化点的柱坐标(ρ，θ，z)为直
柱坐标系与球坐标系简介
1．空间直角坐标系、柱坐标系与球坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点 O，作两两垂直的三条数轴 Ox， Oy，Oz，使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°，这就是空间直角坐标系．有 序实数组 (x，y，z) 叫点 P 的直角坐标．
(2)柱坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面的射影为 Q，用 (ρ，θ) 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) 表示．这就是柱坐标系．有序数组 _(_ρ_，__θ_，__z_) _叫点 P 的柱坐标．其中 ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞. (3)球坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ.P 在 Oxy 平面的射影 为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为 θ.这样 点 P 的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这就是球坐标系．有序数组(r，φ，θ) 叫作点 P 的球坐标．其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
演示文稿柱坐标系与球坐标系ppt讲解
第一页，共21页。
（优选）柱坐标系与球坐
标系ppt讲解
第二页，共21页。
1.柱坐标系
学习目标：
(1)理解柱坐标三个分量的几何意义； (2)掌握柱坐标与空间直角坐标的互化.
第三页，共21页。
思考：在一个圆形体育场内，如何确定看台
上某个座位的位置？
第四页，共21页。
第十三页，共21页。
地球的纬度与经度：
第十四页，共21页。
地球的纬度与经度：
第十五页，共21页。
球坐标系 建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z)是空
间任意一点，记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的 角为j.点P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆 时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.则P
z z
(2)直角坐标转化为柱坐标
第十一页，共21页。
2 x2 y2
tan
y x
z z
2.球坐标系
学习目标： (1)理解球坐标三个分量的几何意义； (2)能够将球坐标转化为直角坐标.
第十二页，共21页。
思考：在**的上空有一台飞机，你如何对它 进行精确定位呢？ 广东省**市的经纬度： 北纬**.12°，东经**2.19°.
的位置可用有序数组(r, j, )表示， (r, j , )叫做
点P的球坐标.
第十六页，共21页。
球坐标系
P(r, j , )
r0
0j 0 2
第十七页，共21页。
z
P(Hale Waihona Puke , j , )jro
y
θ
Q
x
将球坐标转化为直角坐标：
x r sin j cos
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P
y Q
19
思考7：利用空间直角坐标系，柱坐标系 或球坐标系，研究空间图形的几何特征 时，应如何根据问题的特点选择坐标系？
涉及三个距离用空间直角坐标系； 涉及两个距离和一个角用柱坐标系； 涉及一个距离和两个角用球坐标系.
20
理论迁移
例 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝
1，AD＝ 3 ，BB1＝2，在如图所示的坐
标系中，分别写出顶点B1，C1的直角坐
标，柱坐标和球坐标. D1 z
C1
A1
B1
D
A x
C y
B
21
小结作业
1.柱坐标系是由平面极坐标系和空间 直角坐标系中的一部分建立起来的，所 以柱坐标系又叫半极坐标系，其中柱坐
标(ρ，θ，z)的前两个坐标分量就是平
面极坐标，后一个坐标分量就是空间直 角坐标系中的竖坐标.
12
6
思考3：根据坐标思想，可以用数组 (302，1 7 ，1.8)表示点A的准确位置，那
12
么这个空间坐标系是如何建立的？
z 在水平面内建立极坐标系Ox， 过极点O作水平面的垂线 Oz.
O
x
7
思考4：上述所建立的坐标系叫做柱坐标
系，对于空间一点P，点P的柱坐标如何
表示？ z
P
z
ρ
Q
θ
O
x
设点P在水平面上的射影为Q，点Q的极坐标
2
3.通过平面直角坐标系或极坐标系， 使得平面上的点可以用直角坐标或极坐 标表示，对空间一点，可以用空间直角 坐标表示，但在某些实际问题中，用空 间直角坐标表示空间点的位置并不方便， 因此，我们还需要建立新的空间坐标系 来解决这些问题.
3
4
探究（一）：柱坐标系 思考1：有一个圆形体育场，自正东方向 起，按逆时针方向等分为十二个扇形区 域，顺次记为一区，二区……十二区， 那么每个座位票是如何设定的？
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z
P(r，φ，θ)
φr
O
xθ
Q
r≥0， φ∈[0，π]，
θ∈[0，2π).
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思考6：若按如图所示建立空间直角坐标 系和球坐标系，那么点P的直角坐标 (x， y，z) 和球坐标(r，φ，θ)之间的互化 公式是什么？
x＝rsinφcosθ， y＝rsinφsinθ，
z＝rcosφ.
x
z
φr O
思考1：地球上一点P的经度和纬度分别是什
么概念？对地球表面上一点的位置，一般用
哪种方式来确定？
北极
北极
子 地轴 午
P
线o
赤道
南极
P o
赤道 地轴
12
南极
经度：过点P从北极到南极的半圆面与子 午面所成的二面角的平面角；
纬度：过点P的球半径与赤道平面所成的 角.
对地球表面上一点的位置一般用经度和 纬度来确定.
r
的球半径所在射线
Ox为一条极轴，再
Oφ
以经过北极的球半 径所在射线Oz为另
xθ
Q
一条极轴.
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思考4：上述坐标系称为球坐标系或空间
极坐标系，因为极角是极径与极轴所成
的角，那么航天器的纬度角φ可换成哪
个角来反映？
z
射线OP与Oz轴正 向所夹的角为φ.
P φr
Oφ
xθ
Q
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思考5：一般地，在球坐标系中，对空 间任意一点P，设|OP|＝r，射线OP与Oz 轴正向所夹的角为φ，Ox轴按逆时针方 向旋转到OP在水平面上的射影OQ所转过 的最小正角为θ，则点P的位置可以用 有序数组(r，φ，θ)表示，该有序数 组叫做点P的球坐标，其中三个坐标分 量的取值范围分别是什么？
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作业： 《学海导航》练习册.
24
为 (ρ，θ)，点Q与点P的有向距离为z，则 有序数组 (ρ，θ，z)为点P的柱坐标. 8
思考5：为了表示方便，柱坐标
(ρ，
θ，z)中三个坐标分量的取值范围分别
如何约定为宜？
z
P ρ≥0，θ∈[0，
2π)， z∈R.
z
ρ
Q
θ
O
x
9
思考6：若按如图所示建立空间直角坐标
系和柱坐标系，那么点P的直角坐标 (x，
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思考2：要确定航天器在天空中某一时刻 的位置，可通过哪些数据来确定？
航天器到地表面的距离，航天器所处
位置的经度和纬度.
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思考3：设航天器到地表面的距离为r，
航天器所处位置的经度为θ，纬度为φ，
如何建立空间坐标系，才能方便得出r，
θ，φ的值？
在赤道平面上，取
z
地球球心为极点，
P
以与零子午线相交
选修4－4 坐标系与参数方程
第一讲 坐标系
四. 柱坐标系与球坐标系简介
1
问题提出
t
p
1 2
5730
1.平面直角坐标系和极坐标系分别是 怎样建立的？
平面直角坐标系：由两条互相垂直的有 向直线建立的；
平面极坐标系：由一点引一条射线建立 的.
2.空间直角坐标系是怎样建立的？
由三条两两互相垂直的有向直线建立的.
y，z) 和柱坐标(ρ，θ，z)之间的互化
公式是什么？
z
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
z＝z.
O
x θρ
P z
y Q
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思考7：给定一个底面半径为r，高为h的 圆柱，建立柱坐标系，如何利用柱坐标 描述圆柱的侧面？
z
ρ＝r， θ∈[0，
2π)， z∈[0，
P
h].
O
x
Q
y
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探究（二）：球坐标系
第几区，第几排，第几座.
5
思考2：设体育场第一排与体育场中心O 的距离为300m，前后相邻两排的间距都 为1m，每层看台的高度为0.6m，那么第 九区第三排正中的位置A与体育场中心O 的水平距离为多少m？从正东方向到位置 A的水平旋转角是多少？位置A距地面的 高度为多少m？
302m，1 7 ，1.8m
22
2.球坐标系在地理学、天文学中有着广
泛的应用，在测量实践中，角θ称为被
测点P(r，φ，θ)的方位角，90°－φ称 为高低角.
3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐 标系可以实现几何问题与代数问题的相 互转化.但不同的坐标系有不同的特点， 在实际应用时，要根据问题的特点选择 适当的坐标系，使研究过程方便、简捷.