柱坐标系与球坐标系简介(课堂PPT)
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y,z) 和柱坐标(ρ,θ,z)之间的互化
公式是什么?
z
x=ρcosθ, y=ρsinθ,
z=z.
O
x θρ
P z
y Q
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思考7:给定一个底面半径为r,高为h的 圆柱,建立柱坐标系,如何利用柱坐标 描述圆柱的侧面?
z
ρ=r, θ∈[0,
2π), z∈[0,
P
h].
O
x
Q
y
11
探究(二):球坐标系
23
作业: 《学海导航》练习册.
24
2
3.通过平面直角坐标系或极坐标系, 使得平面上的点可以用直角坐标或极坐 标表示,对空间一点,可以用空间直角 坐标表示,但在某些实际问题中,用空 间直角坐标表示空间点的位置并不方便, 因此,我们还需要建立新的空间坐标系 来解决这些问题.
3
4
探究(一):柱坐标系 思考1:有一个圆形体育场,自正东方向 起,按逆时针方向等分为十二个扇形区 域,顺次记为一区,二区……十二区, 那么每个座位票是如何设定的?
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z
P(r,φ,θ)
φr
O
xθ
Q
r≥0, φ∈[0,π],
θ∈[0,2π).
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思考6:若按如图所示建立空间直角坐标 系和球坐标系,那么点P的直角坐标 (x, y,z) 和球坐标(r,φ,θ)之间的互化 公式是什么?
x=rsinφcosθ, y=rsinφsinθ,
z=rcosφ.
x
z
φr O
θ
P
y Q
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思考7:利用空间直角坐标系,柱坐标系 或球坐标系,研究空间图形的几何特征 时,应如何根据问题的特点选择坐标系?
涉及三个距离用空间直角坐标系; 涉及两个距离和一个角用柱坐标系; 涉及一个距离和两个角用球坐标系.
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理论迁移
例 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=
1,AD= 3 ,BB1=2,在如图所示的坐
r
的球半径所在射线
Ox为一条极轴,再
Oφ
以经过北极的球半 径所在射线Oz为另
xθ
QBaidu Nhomakorabea
一条极轴.
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思考4:上述坐标系称为球坐标系或空间
极坐标系,因为极角是极径与极轴所成
的角,那么航天器的纬度角φ可换成哪
个角来反映?
z
射线OP与Oz轴正 向所夹的角为φ.
P φr
Oφ
xθ
Q
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思考5:一般地,在球坐标系中,对空 间任意一点P,设|OP|=r,射线OP与Oz 轴正向所夹的角为φ,Ox轴按逆时针方 向旋转到OP在水平面上的射影OQ所转过 的最小正角为θ,则点P的位置可以用 有序数组(r,φ,θ)表示,该有序数 组叫做点P的球坐标,其中三个坐标分 量的取值范围分别是什么?
12
6
思考3:根据坐标思想,可以用数组 (302,1 7 ,1.8)表示点A的准确位置,那
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么这个空间坐标系是如何建立的?
z 在水平面内建立极坐标系Ox, 过极点O作水平面的垂线 Oz.
O
x
7
思考4:上述所建立的坐标系叫做柱坐标
系,对于空间一点P,点P的柱坐标如何
表示? z
P
z
ρ
Q
θ
O
x
设点P在水平面上的射影为Q,点Q的极坐标
思考1:地球上一点P的经度和纬度分别是什
么概念?对地球表面上一点的位置,一般用
哪种方式来确定?
北极
北极
子 地轴 午
P
线o
赤道
南极
P o
赤道 地轴
12
南极
经度:过点P从北极到南极的半圆面与子 午面所成的二面角的平面角;
纬度:过点P的球半径与赤道平面所成的 角.
对地球表面上一点的位置一般用经度和 纬度来确定.
选修4-4 坐标系与参数方程
第一讲 坐标系
四. 柱坐标系与球坐标系简介
1
问题提出
t
p
1 2
5730
1.平面直角坐标系和极坐标系分别是 怎样建立的?
平面直角坐标系:由两条互相垂直的有 向直线建立的;
平面极坐标系:由一点引一条射线建立 的.
2.空间直角坐标系是怎样建立的?
由三条两两互相垂直的有向直线建立的.
标系中,分别写出顶点B1,C1的直角坐
标,柱坐标和球坐标. D1 z
C1
A1
B1
D
A x
C y
B
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小结作业
1.柱坐标系是由平面极坐标系和空间 直角坐标系中的一部分建立起来的,所 以柱坐标系又叫半极坐标系,其中柱坐
标(ρ,θ,z)的前两个坐标分量就是平
面极坐标,后一个坐标分量就是空间直 角坐标系中的竖坐标.
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2.球坐标系在地理学、天文学中有着广
泛的应用,在测量实践中,角θ称为被
测点P(r,φ,θ)的方位角,90°-φ称 为高低角.
3.坐标系是联系数与形的桥梁,利用坐 标系可以实现几何问题与代数问题的相 互转化.但不同的坐标系有不同的特点, 在实际应用时,要根据问题的特点选择 适当的坐标系,使研究过程方便、简捷.
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思考2:要确定航天器在天空中某一时刻 的位置,可通过哪些数据来确定?
航天器到地表面的距离,航天器所处
位置的经度和纬度.
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思考3:设航天器到地表面的距离为r,
航天器所处位置的经度为θ,纬度为φ,
如何建立空间坐标系,才能方便得出r,
θ,φ的值?
在赤道平面上,取
z
地球球心为极点,
P
以与零子午线相交
第几区,第几排,第几座.
5
思考2:设体育场第一排与体育场中心O 的距离为300m,前后相邻两排的间距都 为1m,每层看台的高度为0.6m,那么第 九区第三排正中的位置A与体育场中心O 的水平距离为多少m?从正东方向到位置 A的水平旋转角是多少?位置A距地面的 高度为多少m?
302m,1 7 ,1.8m
为 (ρ,θ),点Q与点P的有向距离为z,则 有序数组 (ρ,θ,z)为点P的柱坐标. 8
思考5:为了表示方便,柱坐标
(ρ,
θ,z)中三个坐标分量的取值范围分别
如何约定为宜?
z
P ρ≥0,θ∈[0,
2π), z∈R.
z
ρ
Q
θ
O
x
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思考6:若按如图所示建立空间直角坐标
系和柱坐标系,那么点P的直角坐标 (x,